Apostila de Topografia I

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TTOOPPOOGGRRAAFFIIAA PPRRÁÁTTIICCAA 
Engo Dalvino Francisco Salvador 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
1. CONDUÇÃO DE ALINHAMENTOS COM BALIZAS ...................................................................1 
1.1. Conceitos.....................................................................................................................................1 
1.2. Instrumentos utilizados ...............................................................................................................2 
1.2.1. Piquetes ................................................................................................................................2 
1.2.2. Estacas ou testemunhas........................................................................................................2 
1.2.3. Balizas..................................................................................................................................2 
1.2.4. Níveis de mão ......................................................................................................................2 
1.3. Técnica de operação....................................................................................................................3 
1.3.1. Extremos visíveis entre si. ...................................................................................................3 
1.3.2. Extremos invisíveis pela existência de uma elevação..........................................................4 
1.3.3. Extremos invisíveis pela existência de obstáculo intransponível.........................................4 
2. MEDIÇÃO DE ALINHAMENTOS A TRENA................................................................................6 
2.1. Instrumentos utilizados ...............................................................................................................6 
2.1.1. Trenas...................................................................................................................................6 
2.1.2. Caderneta de campo.............................................................................................................7 
2.2. Técnica de Operação ...................................................................................................................8 
2.2.1. Balizamento da direção........................................................................................................9 
2.2.2. Medição a trena....................................................................................................................9 
2.3. Anotação de caderneta ..............................................................................................................10 
2.4. Erros na medição a trena ...........................................................................................................11 
2.4.1. Desvio do alinhamento.......................................................................................................11 
2.4.2. Catenária ou barriga...........................................................................................................11 
2.4.3. Falta de horizontalidade da trena .......................................................................................11 
2.4.4. Falta de verticalidade da baliza..........................................................................................12 
2.4.5. Dilatação térmica da trena..................................................................................................12 
2.4.6. Elasticidade da trena ..........................................................................................................12 
2.4.7. Distensão da trena ..............................................................................................................13 
2.4.8. Outros erros........................................................................................................................13 
3. MEDIÇÃO E DEMARCAÇÃO DE ÂNGULOS A TRENA...........................................................14 
3.1. Medição de ângulos a trena.......................................................................................................14 
3.1.1. Técnica de operação...........................................................................................................14 
3.1.2. Anotação de caderneta .......................................................................................................15 
3.1.3. Lançamento dos ângulos na planta topográfica .................................................................15 
3.1.4. Compensação gráfica de erro de fechamento de poligonal................................................16 
3.2. Demarcação de ângulos a trena.................................................................................................17 
4. MEDIÇÃO DE AZIMUTES A BÚSSOLA .....................................................................................19 
4.1. Bússolas.....................................................................................................................................19 
4.1.1. Bússolas de limbo fixo.......................................................................................................19 
4.1.2. Bússolas de limbo móvel ...................................................................................................21 
4.2. Técnica de operação..................................................................................................................21 
4.3. Anotação de caderneta ..............................................................................................................23 
4.4. Erros na medição de azimutes...................................................................................................23 
4.4.1. Sensibilidade da bússola ....................................................................................................23 
 
 
4.4.2. Atração local ......................................................................................................................23 
4.4.3. Excentricidade do pivô.......................................................................................................24 
4.4.4. Falta de equilíbrio da agulha..............................................................................................24 
4.4.5. Erro de paralaxe .................................................................................................................24 
5. LEVANTAMENTO DE DETALHES..............................................................................................25 
5.1. A precisão das medidas .............................................................................................................25 
5.2. Cadastro dos detalhes ................................................................................................................26 
5.3. Levantamento de detalhes - Métodos........................................................................................26 
5.3.1. Levantamento de detalhes por prolongamento de lados ....................................................27 
5.3.2. Levantamento de detalhes por coordenadas retangulares ..................................................28 
5.3.3. Levantamento de detalhes por irradiação...........................................................................31 
5.3.4. Levantamento de detalhes por interseção de visadas.........................................................34 
6. TEODOLITO TOPCON SÉRIE DT-100 .........................................................................................36 
6.1. Nomenclatura ............................................................................................................................36 
6.2. Display ......................................................................................................................................376.3. Teclas de operação do display...................................................................................................37 
6.4. Cuidados no uso ........................................................................................................................38 
6.5. Instalação e calagem..................................................................................................................38 
6.5.1. Instalação do aparelho........................................................................................................38 
6.5.2. Centralização vertical aproximada pelo fio de prumo .......................................................39 
6.5.3. Ajuste do nível circular ......................................................................................................39 
6.5.4. Ajuste do nível cilíndrico...................................................................................................39 
6.5.5. Centralização vertical precisa pelo prumo óptico ..............................................................40 
6.5.6. Verificação final.................................................................................................................40 
6.6. Visando pontos..........................................................................................................................41 
6.7. Medição de ângulos horizontais................................................................................................41 
6.7.1. Medição de ângulos horizontais por ângulo simples .........................................................42 
6.7.2. Medição de ângulos horizontais por repetição...................................................................42 
6.8. Medição de ângulos verticais ....................................................................................................42 
6.9. Substituição das baterias ...........................................................................................................43 
6.10. Configuração .............................................................................................................................43 
6.11. Mensagens de erro.....................................................................................................................44 
6.12. Especificações técnicas .............................................................................................................45 
7. MEDIÇÃO DE ÂNGULOS HORIZONTAIS A TEODOLITO ......................................................46 
7.1. Classificação dos teodolitos ......................................................................................................46 
7.2. Processos de medida de ângulos horizontais.............................................................................47 
7.3. Métodos de medida de ângulos horizontais ..............................................................................48 
7.3.1. Por ângulo simples.............................................................................................................48 
7.3.2. Por ângulo duplo ................................................................................................................48 
7.3.3. Por repetição ......................................................................................................................49 
7.3.4. Por reiteração .....................................................................................................................49 
7.4. Anotação de caderneta ..............................................................................................................49 
8. NIVELAMENTO GEOMÉTRICO ..................................................................................................51 
8.1. Conceitos...................................................................................................................................51 
8.1.1. Altitudes e cotas.................................................................................................................51 
8.1.2. Referências de nível (RN)..................................................................................................52 
8.2. Aparelhos utilizados..................................................................................................................54 
8.2.1. Nível óptico........................................................................................................................54 
8.2.2. Mira....................................................................................................................................54 
8.3. Nivelando entre dois pontos......................................................................................................55 
8.4. Roteiro de execução de um nivelamento...................................................................................57 
8.4.1. A precisão do nivelamento.................................................................................................57 
 
 
8.4.2. Escolha entre cota ou altitude e definição da RN ..............................................................57 
8.4.3. Execução do nivelamento ..................................................................................................57 
8.4.4. Verificação do erro e cálculo da planilha...........................................................................59 
8.5. Erros que ocorrem no nivelamento geométrico ........................................................................60 
8.5.1. Falta de verticalidade do eixo principal .............................................................................60 
8.5.2. Erro de colimação ..............................................................................................................60 
8.5.3. Erro decorrente da curvatura da Terra ...............................................................................61 
8.5.4. Erro decorrente da refração atmosférica ............................................................................61 
8.5.5. Erros de mira......................................................................................................................61 
9. TAQUEOMETRIA ESTADIMÉTRICA..........................................................................................63 
9.1. Aparelhos utilizados.................................................................................................................63 
9.2. Elementos da taqueometria estadimétrica .................................................................................64 
9.3. Técnica de operação..................................................................................................................65 
9.3.1. Procedimento de campo.....................................................................................................65 
9.3.2. Anotação de caderneta .......................................................................................................66 
9.3.3. Cálculo da Planilha de Taqueometria ................................................................................68 
9.4. Precisão da taqueometria estadimétrica ....................................................................................69 
9.5. Erros da taqueometria estadimétrica .........................................................................................70 
9.5.1. Erros de leitura dos fios .....................................................................................................70 
9.5.2. Falta de verticalidade da mira ............................................................................................70 
9.5.3. Erros decorrentes da temperatura.......................................................................................70 
ÍNDICE REMISSIVO.................................................................................................................................71BIBLIOGRAFIA E REFERÊNCIAS .........................................................................................................73 
 
 
CONDUÇÃO DE ALINHAMENTOS COM BALIZAS 
Dalvino Francisco Salvador Todos os direitos reservados 
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1. CONDUÇÃO DE ALINHAMENTOS COM BALIZAS 
1.1. CONCEITOS 
Define-se como alinhamento a reta que une dois pontos dados no terreno. Embora o ali-
nhamento seja sinuoso em relação à superfície do terreno (perfil), projeta-se sobre planos horizontais co-
mo uma linha reta (Figura 1.1). 
Figura 1.1 - Alinhamento e poligonal 
Ao conjunto de dois ou mais alinhamentos interligados de forma consecutiva chama-se 
poligonal. A poligonal pode ser fechada ou aberta; no primeiro caso, a extremidade final do último ali-
nhamento é ligada (coincide) com a extremidade inicial do primeiro alinhamento da poligonal; no segun-
do caso, a poligonal apresenta dois extremos distintos (Figura 1.1). 
Materialização é o ato de demarcar fisicamente um ponto, alinhamento ou poligonal no 
terreno, de forma. Por exemplo, nós podemos materializar um ponto cravando um piquete, fixando uma 
baliza ou um marco. 
Ocupação é o ato de posicionar-se em determinado ponto do terreno para efetuar obser-
vação ou medida. 
Decorrem daí os termos ponto ocupado, significando o ponto que é objeto de ocupação, 
e ponto materializado, significando o ponto que foi demarcado fisicamente no terreno. Você pode ocupar 
um ponto sem materializá-lo previamente. 
A execução de serviços de topografia se resume a ocupar pontos para determinar sua po-
sição ou para medir distâncias (horizontais e verticais) de alinhamentos e ângulos (horizontais e verticais) 
que entre si fazem 2 ou mais alinhamentos. 
Neste capítulo descreveremos os procedimentos a serem adotados para materializar no 
terreno um alinhamento com uso de balizas. Com o advento dos modernos aparelhos de medição eletrôni-
ca, capazes de cobrir grandes distâncias, a necessidade de se materializar alinhamentos com uso de bali-
zas reduziu em muito, porém ainda se faz para a correta medição de distâncias a trena, para a locação de 
obras etc. 
 
CONDUÇÃO DE ALINHAMENTOS COM BALIZAS 
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1.2. INSTRUMENTOS UTILIZADOS 
1.2.1. Piquetes 
São pequenas estacas feitas normalmente de madeira de boa qualidade, com dimensões da 
ordem de 20 cm. ou mais de comprimento e seção retangular ou circular de cerca de 5 cm., apresentando 
a extremidade inferior afinada para permitir-lhe a cravação no solo (figura 1.2). 
São utilizados para a materialização de pontos no terreno. Os pontos são normalmente ex-
tremidades de alinhamentos. Aconselha-se que o piquete seja cravado quase que inteiramente no solo, 
restando cerca de 2 a 3 cm. acima da superfície, com isso proporcionando-lhe maior rigidez e invariabili-
dade de posição. 
Após cravar o piquete, é necessária assinalar no seu topo a posição exata do ponto; para 
isso se crava uma taxa de cobre ou latão (materiais mais resistentes à oxidação) aproximadamente no cen-
tro.. 
1.2.2. Estacas ou testemunhas 
São estacas semelhantes aos piquetes mas de comprimento maior que estes, e apresentam 
um chanfro na lateral, destinado à inscrição alfanumérica de identificação de um piquete. São usadas para 
facilitar a localização futura de piquetes que tenham sido cravados em locais onde possam, com o decor-
rer do tempo, ser encobertos por solo de erosão ou pela vegetação. Costuma-se cravar a testemunha à di-
reita do piquete (considerando-se o sentido de caminhamento) e a uma distância aproximada de 0,50 m. 
deste, levemente inclinada para a direita, com o chanfro voltado na direção do piquete (ver Figura 1.2). 
Figura 1.2 - Piquete e testemunha 
Por ser de comprimento maior, a testemunha pode ser cravada de forma que fique uma al-
tura também maior acima do solo, tornando sua localização mais fácil. Assim, encontrada a testemunha, a 
localização do piquete se torna bastante simples, bastando procurá-lo a 0,50 m. na direção do chanfro. 
1.2.3. Balizas 
São hastes retas de madeira ou metálicas, com comprimento padrão de 2m e seção circu-
lar em torno de 2cm de diâmetro, apresentando a ponta inferior afinada para permitir sua cravação no solo 
(Figura 1.3). 
São usadas na materialização temporária de pontos e alinhamentos. São pintadas alterna-
damente em vermelho e branco, a intervalos de 0,50m. A razão do uso dessas duas cores é facilitar a visu-
alização à distância: A cor branca contrasta com fundos escuros, como o verde da vegetação, solos escu-
ros, e a vermelha contrasta com fundos claros, como a areia, nuvens etc. 
1.2.4. Níveis de mão 
Os níveis de mão, também chamados níveis de cantoneira, são níveis esféricos de bolha 
de ar montados sobre um suporte metálico tipo cantoneira (ver Figura 1.3A). 
São destinados a calar um eixo de forma que seja vertical, sendo comumente usados para 
aprumar balizas e miras. 
 
 
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Figura 1.3 - Nível de mão e baliza 
Para conseguir a verticalidade da mira ou baliza a ser aprumada, encoste nela o suporte 
tipo cantoneira do nível de mão (Figura 1.3B) e ajuste a verticalidade da baliza até que a bolha de ar fi-
que concêntrica ao círculo no nível. Quando isto acontecer, a baliza ou mira estará aprumada. 
1.3. TÉCNICA DE OPERAÇÃO 
Na prática, podem surgir três situações distintas na condução de um alinhamento: 
- os extremos são visíveis entre si; 
- os extremos não são visíveis pela existência de uma elevação; 
- existe um obstáculo intransponível entre os extremos. 
1.3.1. Extremos visíveis entre si. 
Acompanhe pela Figura 1.4. 
1. Se o alinhamento ainda não estiver materializado no terreno, faça-o cravando piquetes 
nos extremos (A e B). 
2. Sinalize os extremos (A e B) com balizas, e aprume-as com um nível de mão. Se os ex-
tremos estiverem demarcados por piquetes, não há como fixar balizas sobre os mesmos; neste caso, um 
ajudante deverá manter a prumo uma baliza centralizada na taxa do piquete. Não havendo disponibilidade 
de um ajudante, então crave a baliza a pequena distância do piquete (± 10cm), devendo este deslocamento 
seguir a direção do alinhamento (posições E1 e E2); neste caso você vai usar a baliza apenas para sinali-
zar o alinhamento, e não para medir a distância, pois introduziria nela o erro correspondente ao desloca-
mento dado. 
3. Um operador (O1) faz o alinhamento visual da direção segundo as balizas E1 e E2; pa-
ra isso, deve posicionar-se a uma distância de 5 m. ou mais de uma das balizas extremas. Distâncias me-
nores dificultam a visada do alinhamento devido à grande diferença do tamanho das balizas vistas em 
perspectiva. 
Figura 1.4 - Alinhamento de balizas 
 
 
CONDUÇÃO DE ALINHAMENTOS COM BALIZAS 
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4. Um segundo operador (O2) se posiciona com uma terceira baliza (m) à distância dese-
jada da extrema A, e, mantendo a baliza vertical, suspensa a poucos centímetros do solo e presa somente 
pelas pontas dos dedos polegar e indicador, para que fique vertical por ação do peso próprio, se deslocará 
num ou noutro sentido, transversalmente ao alinhamento, segundo orientação do primeiro operador. O 
primeiro operador, para bem alinhar, deve deslocar o olho à direita e à esquerda das balizas, alternada-
mente, para comprovar o alinhamento correto em ambos os lados. Obtido o alinhamento, o segundo ope-
rador simplesmente solta a baliza, que irá cair em direção vertical e cravar-se levemente no solo, onde 
deverá ser fixada e aprumada com auxílio de um nível de mão. 
5. Procedimento idêntico ao referido no parágrafo anterior será usado para alinhar outras 
balizas intermediárias (n, o, p...) , tantas quanto forem necessárias.1.3.2. Extremos invisíveis pela existência de uma elevação 
Existindo uma elevação no terreno entre os pontos extremos do alinhamento (A e B na 
Figura 1.5), tal que impeça a visão direta de um ao outro, e sendo necessário demarcar pontos intermediá-
rios com balizas, pode-se recorrer à técnica descrita a seguir, que baseia-se no princípio de que 4 pontos 
alinhados 3 a 3 são necessariamente colineares. 
1. Sinalizam-se os extremos A e B com balizas aprumadas, conforme descrito no tem 
1.3.1. 
2. Dois operadores, cada qual munido de uma baliza, se posicionam sobre a elevação, nos 
pontos M e N, escolhidos de forma que satisfaçam às três seguintes condições: a posição de M e N deve 
ser a mais próxima possível do alinhamento, dentro das limitações de uma estimativa visual; as balizas 
extremas A e B devem ser vistas por ambos os operadores sem que necessitem sair de suas respectivas 
posições; e a distância entre os pontos M e N não deve ser muito pequena, pois, quanto maior essa distân-
cia, mais rápido será o alinhamento. 
3. Uma das balizas centrais é fixada, por exemplo a M, e em seguida alinha-se a outra (N) 
segundo a direção MB. A baliza será deslocada do ponto N para o ponto N1 (veja na Figura 1.5). 
4. Agora se fixa a baliza N e desloca-se a primeira (M) de maneira semelhante, para a po-
sição M1, alinhanda segundo N1A. 
Figura 1.5 - Alinhamento com extremos invisíveis devido a elevação 
5. Repete-se o procedimento descrito em 3 e 4 tantas vezes quanto necessário. A cada des-
locamento das balizas, elas se aproximam mais do alinhamento, e os deslocamentos vão se tornando cada 
vez menores e tendendo a zero. 
6. A operação estará concluída no momento em que o operador em M ver alinhadas as ba-
lizas M, N e B, e, ao mesmo tempo, o outro operador ver alinhadas N, M e A. 
7. Se necessário, podem ser alinhadas outras balizas intermediárias conforme procedi-
mento descrito no item 1.3.1. 
1.3.3. Extremos invisíveis pela existência de obstáculo intransponível 
Existindo um obstáculo intransponível entre os extremos do alinhamento, e havendo ne-
cessidade de demarcá-lo, pode-se recorrer à técnica da translação do alinhamento a seguir descrita. A-
companhe pela Figura 1.6. 
 
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1. Translade o alinhamento AB para uma posição A'B', através de um deslocamento x, de 
tal forma que os extremos A' e B' se tornem visíveis entre si. O deslocamento x deve ser o menor possí-
vel, para diminuir a incidência de erros, e deve ser igual nos 2 extremos, em comprimento, direção e sen-
tido, caso contrário o alinhamento transladado seria diferente do original. 
Para se obter a direção paralela do descolamento nos dois pontos pode ser utilizada uma 
bússola, mas é melhor usar direção de um ponto situado a distância relativamente grande, como acidentes 
visíveis no horizonte. Se a distância do ponto visado como alvo for muito maior que a distância AB, o 
erro é muito pequeno e pode ser desprezado. 
2. Alinhe as balizas intermediárias (I1 e I2) no alinhamento transladado com procedimen-
to semelhante ao descrito no item 1.3.1. 
3. Por último, translade as balizas intermediárias para o alinhamento original AB, através 
de um deslocamento x de mesmo comprimento, mesma direção, porém de sentido contrário ao inicial-
mente feito. Assim obtém-se os pontos I'1 e I'2 que estarão alinhados segundo a reta AB. 
4. Se necessário, alinhe outras balizas intermediárias. 
Figura 1.6 - Alinhamento com extremos invisíveis devido a obstáculo 
 
 
MEDIÇÃO DE ALINHAMENTOS A TRENA 
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2. MEDIÇÃO DE ALINHAMENTOS A TRENA 
A medição de distâncias horizontais é uma das tarefas mais comuns no levantamento topo-
gráfico. Ela pode ser feita por processos diretos ou indiretos, entendendo-se como medida direta aquela em 
que o operador percorre a distância a ser medida, comparando a distância com algum instrumento de com-
primento conhecido (trena, odômetro, passo etc). 
Dentre os instrumentos de medida de distâncias, a trena é a mais importante e a mais utiliza-
da, já que permite boa precisão sem exigir equipamentos sofisticados e caros. Você pode, sem muito esforço, 
medir distâncias a trena com precisão melhor que 1/2000. 
2.1. INSTRUMENTOS UTILIZADOS 
Além das balizas, necessárias à demarcação dos alinhamentos a medir, e dos níveis de mão, 
utilizados para aprumar as balizas, instrumentos estes já descritos no item 1.2, torna-se necessário o uso de 
uma trena para a medição das distâncias, e de uma caderneta de campo, necessária à anotação dos dados 
colhidos. 
2.1.1. Trenas 
Trenas são fitas de espessura reduzida, largura da ordem de 1 cm. e comprimentos variáveis 
de 10, 20, 30, 50 ou 100 m., as quais apresentam uma ou ambas as faces graduadas em unidades de compri-
mento, normalmente metros, centímetros e milímetros. Algumas trenas apresentam também graduação no 
sistema inglês (polegadas e pés). 
Na Figura 2.1 apresentamos uma trena comum em fibra de vidro (fiberglass), juntamente 
com detalhe de uma parte da fita onde se pode ver a de graduação da mesma. 
Figura 2.1 - Trena de fibra de vidro Eslon 
O material empregado na confecção das trenas pode ser lona, aço, invar ou fibra de vidro. 
As trenas de lona, hoje em desuso, consistiam em uma fita de pano oleado que continha in-
ternamente, na direção longitudinal, finos fios de aço. Estes fios de aço conferiam resistência à trena e lhe 
impediam o esticamento. Apresentavam como desvantagens a pouca durabilidade da fita de lona, o elevado 
peso e a variação de comprimento devido à dilatação térmica dos fios metálicos. 
As trenas de aço consistem em uma delgada lâmina de aço com faces graduadas. Embora 
em uso há muitos anos, têm a preferência de muitos profissionais ainda hoje, por serem mais resistentes à 
tração e por apresentarem menor elasticidade que as trenas de fibra de vidro. Como desvantagens, são passí-
MEDIÇÃO DE ALINHAMENTOS A TRENA 
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veis de oxidação (enferrujam), não permitem dobras, são pesadas, sofrem dilatação térmica, e, por serem fi-
nas lâminas de aço, podem provocar cortes nas mãos de operador menos cuidadoso. Embora sejam ampla-
mente usadas em modelos de bolso, com comprimentos de 1 a 5 m., podem ser encontradas comercialmente 
nas versões de 10 a 50m para uso em topometria. 
Já as trenas de invar são de aparência semelhante às de aço, com a diferença que o material 
constituinte é invar, uma liga de ferro (64%) e níquel (36%), com adição de outros materiais, normalmente 
carbono e cromo, cujo nome deriva da invariância de volume quando aquecida, pois apresenta a propriedade 
de baixíssimo e controlado coeficiante de diltatação térmica1. As trenas de invar são utilizadas em medições 
de alta precisão (melhor que 1/10.000). 
As trenas de fibra de vidro (Figura 2.1) são atualmente as mais utilizadas, e consistem em 
fitas de material plástico flexível que contém fundidos internamente, na direção longitudinal, milhares de 
fios de fibra de vidro, os quais conferem à trena resistência à tração e invariabilidade de comprimento. Na 
verdade as trenas de fibra de vidro são uma evolução das trenas de lona, em que os materiais constituintes 
foram substituídos por versões mais modernas e mais eficientes: plástico em lugar da lona, e fibra de vidro 
em lugar do aço. Apresentam como vantagens inegáveis o baixo peso, a facilidade de manutenção - são lavá-
veis e imunes à oxidação - o baixíssimo coeficiente de dilatação térmica e a grande durabilidade. Porém a-
presentam algumas desvantagens em relação às trenas de aço: são menos resistentes à tração e apresentam 
uma certa elasticidade (veja mais sobre o erro de elasticidade no item 2.4.6). 
2.1.2. Cadernetade campo 
Pequeno caderno de capa oleada e resistente, a caderneta de campo é usada para anotação de 
todas as medidas efetuadas no campo e respectivo croqui do terreno. 
É indispensável seu uso em qualquer levantamento topográfico, e é indispensável que se use 
ordenação e clareza nas anotações nela feitas. As funções de operador no levantamento topográfico, de cal-
culista e de desenhista não são necessariamente exercidas pela mesma pessoa ou equipe. Pelo contrário, fre-
qüentemente estes trabalhos são desenvolvidos por pessoas diferentes. Por tal razão, há necessidade de se 
estabelecerem convenções e de se fazer uso da máxima clareza nessas anotações, a fim de que seja uma lin-
guagem de comum entendimento. 
Mesmo que o levantamento esteja sendo executado com estação total eletrônica, a qual pos-
sui memória para gravação das medidas feitas, ainda assim é conveniente fazer-se uso de uma caderneta de 
campo, para nela registrar, num croqui bem elaborado, a posição e a identificação dos pontos levantados. 
A caderneta de campo apresenta as páginas internas quadriculadas para facilitar a ordenação 
das anotações. As páginas da direita (ímpares) são normalmente usadas para a elaboração de um croqui, en-
quanto as páginas da esquerda, as quais, além de quadriculadas, são divididas em 5 colunas, destinam-se à 
anotação das medidas feitas (veja Figura 2.2). 
Existem algumas variações, cadernetas específicas para determinado tipo de medição (taque-
ometria estadimétrica, nivelamento), em que apresentam as colunas da esquerda já tituladas, dispensando 
assim o anotador de tal trabalho. Já aquela reproduzida na Figura 2.2 não apresenta títulos nas colunas e des-
tina-se a uso geral. 
O croqui é um esboço de desenho ou planta, normalmente feito à mão livre. É feito normal-
mente no próprio local do levantamento, reproduzindo-se o terreno objeto da medição, com seus detalhes 
naturais ou artificiais - edificações, ruas, cursos d'água etc - e todos os pontos envolvidos na operação, em 
suas respectivas posições (veja na Figura 2.6). O croqui não precisa obedecer a escala, mas deve respeitar a 
forma e a proporção das coisas nele representadas, a fim de não provocar dúvidas ou interpretação errada ao 
calculista e/ou desenhista; não raro, croquis mal feitos provocam dúvidas de interpretação posterior que so-
mente podem ser sanadas com o retorno da equipe de levantamento ao campo para novas medições. 
 
1 O invar foi inventado em 1896 pelo suíço Charles Edouard Guillaume, agraciado com o Prêmio Nobel em Física no ano de 
1920. Atualmente são desenvolvidas variações de invar com adição de diferentes materiais que lhe conferem propriedades 
especiais de acordo com a utilização. 
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Figura 2.2 - Caderneta de Campo - páginas internas 
Oportunamente apresentaremos modelos de anotação de caderneta sugeridos para cada tipo 
de medição, os quais adotamos por serem claros e concisos. 
2.2. TÉCNICA DE OPERAÇÃO 
A distância topográfica entre dois pontos é a distância reduzida à horizontal. Isto quer dizer 
que, se tivermos um alinhamento genérico AB a ser medido (Figura 2.3), a medida da distância deve ser feita 
preferencialmente com a trena horizontal (L), pois neste caso a medição é direta e imediata. Para que isto 
seja possível, na maioria das vezes torna-se necessário alinhar balizas intermediárias de forma que se torne 
possível a tomada das medidas com a trena horizontal. 
Figura 2.3 - Medição de distância a trena 
Se eventualmente for medida a distância inclinada L', então haverá necessidade de se reduzir 
posteriormente esta distância à horizontal, para o que se faz necessário também medir o ângulo de inclinação 
î. Como a medida de ângulos é mais trabalhosa e exige equipamentos mais sofisticados (goniômetros), rara-
mente faz-se uso desta segunda opção. 
Em algumas situações, mais raras, torna-se mais conveniente medir a distância inclinada e o 
ângulo de inclinação. É o caso, por exemplo, de o alinhamento ter uma inclinação tão acentuada que have-
ria necessidade de alinhar um número muito grande de balizas intermediárias, o que tornaria a operação mais 
trabalhosa e mais sujeita à incidência de erros provocados pela falta de verticalidade das balizas (referidos no 
item 2.4.4). 
Numa medição a trena, a equipe de trabalho é composta, via de regra, por 3 pessoas: um o-
perador, um ajudante e um anotador, este último encarregado das anotações na caderneta de campo. Na 
impossibilidade da existência de anotador, as funções deste podem ser assumidas pelo operador, embora com 
conseqüente prejuízo à produtividade. 
 
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2.2.1. Balizamento da direção 
Se o alinhamento a ser medido tiver uma extensão igual ou menor que o comprimento da 
trena utilizada, e o terreno for plano, então a medição do alinhamento torna-se bastante simples, pois pode 
ser feita diretamente da taxa do piquete inicial à taxa do piquete final. Porém esta particularidade dificilmen-
te ocorre: Na maioria das vezes o terreno é inclinado e/ou o alinhamento é maior do que o comprimento da 
trena. Nestes casos é preciso previamente demarcar o alinhamento com balizas intermediárias, para que as 
medidas possam ser tomadas de baliza a baliza (Figura 2.5). 
A distância entre uma baliza e outra deve ser definida em função dos seguintes critérios: 
- o número de balizas intermediárias deve ser o menor possível, para evitar trabalho desne-
cessário e para diminuir a probabilidade da ocorrência de erros (referidos no item 2.4); 
- a distância entre balizas adjacentes deve ser no máximo igual ao comprimento da trena uti-
lizada; 
- e o desnível do terreno entre duas balizas adjacentes deve ser no máximo igual à altura da 
baliza, ou seja, o topo da baliza cravada mais abaixo não pode ficar abaixo do nível do terreno em que estiver 
cravada a baliza mais acima, caso contrário não seria possível estender a trena horizontal de baliza a baliza 
(veja na Figura 2.5). 
A prática de cravar balizas atrás ou avante dos piquetes extremos do alinhamento, conforme 
descrito no item 1.3.1, somente é válida para o balizamento da direção. Uma vez alinhadas as balizas inter-
mediárias, aquelas cravadas nos extremos devem ser retiradas, pois as medidas devem ser tomadas nas taxas 
dos piquetes ou em balizas mantidas a prumo sobre as mesmas (veja Figura 2.3). 
Demarcado convenientemente o alinhamento com balizas, é possível então se proceder à 
medição do mesmo. 
2.2.2. Medição a trena 
Durante a medição, o ajudante segura a trena pela sua origem (zero) e se posiciona sempre 
atrás do operador, por isso sendo chamado operador de ré. O operador, por sua vez, segura a outra extremi-
dade da trena (carretel), sendo encarregado das leituras feitas sempre no ponto à frente, por isso sendo cha-
mado operador de vante. 
Nas balizas, o operador de vante deve tomar as medidas no centro diametral das mesmas. O 
operador de ré, no trecho seguinte, ajustará o zero da trena também no centro diametral da baliza, evitando 
assim erros de medida. O centro da baliza deve ser observado com linha de visada perpendicular ao eixo lon-
gitudinal da trena, evitando-se assim erro de paralaxe (vejas Figura 2.4). 
Figura 2.4 - Direção correta para leitura da trena 
Ao iniciar a medição do alinhamento ( acompanhe pela Figura 2.5), o operador de ré coinci-
de o zero da trena na taxa do piquete inicial (A) ou no centro de uma baliza colocada a prumo sobre ele, en-
quanto o operador de vante se posiciona na primeira baliza intermediária (I1), ajusta a horizontalidade da tre-
na, aplica nela a força de tração correta e faz a leitura da medida no centro diametral da baliza, informando-aao anotador, que a registra na caderneta. A seguir, a equipe se desloca para o trecho seguinte (I1I2) e repete o 
procedimento até o piquete final (B). 
Havendo necessidade de manter uma baliza a prumo sobre a taxa do piquete, esta função de-
ve se assumida pelo anotador, pois os operadores de ré e de vante devem se ater exclusivamente ao manejo 
da trena. 
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Figura 2.5 - Medição de alinhamento a trena 
Terminada a medição do alinhamento no sentido direto (de A para B), chamada ida, repete-
se a operação no sentido inverso (de B para A), chamada volta. Para a medida de volta, é recomendável que 
as balizas sejam realinhadas por um novo balizamento da direção. A necessidade de repetir a medida decorre 
do fato de que uma única medição não permitiria detectar erros eventualmente cometidos. 
A anotação de caderneta pode ser feita conforme exemplo da Figura 2.6. 
Tomadas as medidas parciais de ida e volta, totalizam-se as parciais obtendo-se os compri-
mentos totais de ida e volta. Estes devem então ser comparados entre si, observando-se a diferença entre as 
medidas, que deve ser menor que a tolerância (limite máximo de erro) admitida. Sendo a diferença aceitável, 
toma-se como comprimento da linha (AB) a média entre as duas medidas; caso contrário, procede-se a nova 
medição. 
A tolerância de erro (ou seja, o limite máximo de erro permitido) é fixada previamente, de 
acordo com a classe de precisão do levantamento, normalmente definida pelo contratante do serviço ou pela 
própria natureza do levantamento. Se o contratante não fixou a precisão, ela deve ser definida pelo próprio 
responsável pelo levantamento topográfico. 
2.3. ANOTAÇÃO DE CADERNETA 
Na Figura 2.6, sugerimos um modelo para anotação de medida a trena que entendemos apro-
priado, por ser claro e sucinto, conforme recomendações do item 2.1.2. 
 
MEDIÇÃO DA POLIGONAL A TRENA CROQUI 
PE PV IDA VOLTA MÉDIA 
A B 19,66 19.67 19.665 
B C 17,06 
19,18 
7,10 
-------- 
43,34 
17,05
19,20
7,11
--------
43,36 43,35
 
C D 15,980 
12,305 
-------- 
28,285 
 
15,98
12,31
--------
28,29 28,288
 
D A 18,50 18,50 18,50 
Figura 2.6 - Anotação de caderneta para medida de distâncias 
Observe-se que na página esquerda da caderneta são anotadas as medidas feitas, e na página 
direita é elaborado um croqui identificando a poligonal objeto da medição, detalhes existentes no terreno e a 
direção do norte. 
Convencionam-se as abreviaturas PE para indicar o ponto estação, também chamado de 
ponto ocupado, e PV para indicar o ponto visado. Ponto estação ou ponto ocupado é o ponto no qual o ope-
 
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rador está posicionado ou do qual ele parte, e ponto visado é aquele para o qual ele se dirige durante a medi-
ção. 
2.4. ERROS NA MEDIÇÃO A TRENA 
A medição de alinhamentos a trena está sujeita, como qualquer trabalho de topometria, à in-
cidência de alguns tipos específicos de erros, cujo conhecimento de sua natureza e causas possibilita ao ope-
rador, se não evitá-los, ao menos reduzir a influência dos mesmos. 
Alguns desses erros são de procedimento (desvio do alinhamento, catenária, falta de horizon-
talidade da trena, falta de verticalidade da baliza), outros são erros de instrumento (elasticidade, dilatação 
térmica e distensão da trena). 
2.4.1. Desvio do alinhamento 
A falta de alinhamento das balizas intermediárias provoca a medição da distância segundo 
uma linha quebrada que serpenteia em torno do alinhamento, provocando um erro na medida para maior (ve-
ja Figura 2.7A). Na prática, o erro provocado por pequenos desvios do alinhamento (da ordem de poucos 
centímetros) pode ser desprezado, por ser quase imperceptível na medição comum a trena. 
Figura 2.7 - Desvio do alinhamento (A) e catenária (B) 
2.4.2. Catenária ou barriga 
Catenária é a barriga formada pela trena que se curva por ação do peso próprio, provocando 
um erro na medida para maior (Figura 2.7B). Ela cresce de forma proporcional ao comprimento da trena es-
tendida e inversamente proporcional à força de tração nela aplicada. Para reduzir o erro decorrente da catená-
ria, aplique uma tensão correta à trena e/ou reduza o espaçamento entre as balizas. Porém atente que reduzir 
o espaçamento entre balizas implica em usar um número maior delas, e, conseqüentemente, haverá maior 
probabilidade de erro decorrente da falta de verticalidade de balizas, comentado no item 2.4.4. 
2.4.3. Falta de horizontalidade da trena 
Ocorre quando se procede à medição de uma distância com a trena inclinada em relação à 
horizontal (Figura 2.8A). A distância medida L' será sempre maior que a distância real L. 
Cabe ao operador de vante manter a trena horizontal durante a leitura. Para isso, ele poderá 
lançar mão do seguinte artifício: Aplicar uma força constante à trena e movê-la para cima e para baixo, ob-
servando as medidas obtidas em diferentes alturas da baliza. É fácil deduzir que a altura correta é aquela para 
a qual se obtém a menor leitura da distância, já que a menor distância entre duas retas paralelas é perpendicu-
lar a elas - admitindo-se serem as balizas duas retas verticais, a perpendicular a elas é uma reta horizontal. 
 
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Figura 2.8 - Trena inclinada (A) e baliza inclinada (B) 
2.4.4. Falta de verticalidade da baliza 
É sem dúvida a principal causa de erro na medida de distâncias a trena, principalmente em 
terrenos inclinados. O erro na medida pode acontecer para maior ou para menor, dependendo do sentido da 
inclinação da baliza (Figura 2.8B). Por tal motivo, principalmente em terrenos inclinados, tome o máximo 
cuidado ao aprumar as balizas, pois a falta desse cuidado pode resultar em erro de alguns centímetros em 
cada medida. 
Exemplificando: Um desvio de prumo de cerca de 2cm no topo da baliza é pouco perceptível 
na bolha do nível de mão. Se o terreno for bastante inclinado, de forma que a medida à esquerda seja tomada 
na extremidade inferior da baliza e a medida à direita na extremidade superior (ou vice-versa), então haverá 
um erro de 2cm na distância, para mais ou para menos, dependendo do sentido da inclinação da baliza (veja 
Figura 2.8B). 
Em terrenos planos você pode eliminar esse erro tomando as medidas sempre do pé das bali-
zas. 
2.4.5. Dilatação térmica da trena 
Uma grande variação da temperatura altera de maneira acentuada o comprimento da trena, 
provocando erros na medição. Mas tal erro pode ser previsto e compensado se conhecida a temperatura am-
biente, a temperatura ideal da trena, e o coeficiente de dilatação térmica desta. 
As trenas de fibra de vidro têm um coeficiente de dilatação térmica tão reduzido que pode 
ser desprezado em levantamentos comuns. 
2.4.6. Elasticidade da trena 
 Elasticidade é a característica de um corpo que faz aumentar seu comprimento quando sub-
metido a uma força de tração, retornando ao comprimento original quando cessada a força. 
Com relação às trenas, estão mais sujeitas a esse tipo de erro as de fibra de vidro. Em princí-
pio, toda trena de fibra de vidro apresenta uma certa elasticidade. Mas temos observado a existência no mer-
cado de alguns modelos de baixíssima qualidade, capazes de variar o comprimento na razão 1/1.000 (1 milí-
metro por metro) com aplicação de uma tração de 3 ou 4 kgf. 
A elasticidade da trena normalmente provoca um erro para menor na medida da distância, já 
que a trena estica quando lhe é aplicada a força de tração para a leitura. Ora, se o comprimento da trena va-
ria de acordo com a força de tração, qual a força que efetivamente deve ser aplicada? O fabricante da trena 
reproduzidana Figura 2.1 (Eslon) recomenda que tal força seja de 4,4 libras (2 Kg). Para uma força de 1 li-
bra, a medida deve ser corrigida para menor na razão de 0,02 polegada/3 pés (0,5 mm/m); para uma força de 
20 libras, a medida deve ser corrigida para maior na razão de 0,04 polegada/3 pés (1 mm/m). Mas aí surge 
outro problema: como calibrar a mão do operador para que ele aplique 4,4 libras? Isso pode ser feito usando-
se um dinamômetro; na falta deste, o operador pode calibrar a força comparando determinado comprimento 
da trena com o mesmo comprimento de uma trena de aço, que praticamente não apresenta elasticidade, ou 
então com alguma distância já aferida. Mas é preciso considerar que, mesmo tendo o operador calibrado sua 
 
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mão, essa sensação de força é um pouco subjetiva e pode sofrer influência de fatores como o nível de cansa-
ço ou de exaltação 
2.4.7. Distensão da trena 
 Distensão é a deformação permanente por alongamento (aumento do comprimento) que 
uma trena pode sofrer quando submetida a força de tração excessiva. Provoca um erro para menor na distân-
cia, e pode ser compensado se determinada a taxa de alongamento que a trena sofreu. 
Para evitá-lo, afira a trena com um metro padrão ou com uma distância já aferida antes de 
seu uso. 
Trenas de baixa qualidade são mais susceptíveis a esse tipo de deformação. 
2.4.8. Outros erros 
Além dos erros clássicos já mencionados, há sempre a possibilidade da ocorrência de outros 
erros, devidos à imperícia ou negligência do operador ou do anotador, como a interpretação incorreta da gra-
duação da trena, a imprecisão na leitura, a anotação errada na caderneta, etc. Estes somente podem ser evita-
dos usando-se da atenção e do cuidado necessários durante a medição. 
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3. MEDIÇÃO E DEMARCAÇÃO DE ÂNGULOS A TRENA 
A medição ou levantamento compreende a tomada de medidas do campo com o objetivo de 
quantificar uma coisa física (um terreno, uma casa, uma rua etc.), transformando-a em grandezas simbólicas, 
ou seja, em um certo número de unidades de comprimento, área, volume, ou numa planta. Necessitamos des-
sa transformação porque não podemos levar essa coisa física para dentro do nosso escritório ou computador, 
então a simbolizamos numa planta topográfica, num croqui com medidas, numa planilha de dados, ou mes-
mo simplesmente num conjunto de medidas guardadas na nossa memória, para, a partir dessa representação 
simbólica, obtermos o fim desejado, que pode ser a elaboração de um projeto de loteamento, de 
desmembramento, de rodovia, de urbanismo etc. 
Já a demarcação, também chamada de locação e materialização, é um processo inverso: Se 
tem em mãos uma representação simbólica – planta de locação, planta de loteamento, projeto de uma rodovi-
a, projeto de urbanismo etc - e transferem-se os dados para o terreno, transformando-os em coisas físicas. 
Aparelhos destinados à medição e à demarcação de ângulos são os goniômetros, dentre os 
quais o mais utilizado é o teodolito. Entretanto, na falta destes, você pode desenvolver tais operações apenas 
com uso de trena e balizas, é claro que com uma precisão limitada. 
O processo se aplica a levantamentos de pequenas áreas e quando não se exija grande preci-
são, e à locação de pequenas obras. 
3.1. MEDIÇÃO DE ÂNGULOS A TRENA 
3.1.1. Técnica de operação 
A medição de um ângulo a trena resume-se em estabelecer no vértice da poligonal, cujo ân-
gulo se queira conhecer, um triângulo demarcado por três balizas convenientemente alinhadas, e em medir os 
três lados do triângulo assim formado (veja Figura 3.1). 
Descreveremos o procedimento exemplificando com a medição do ângulo ββββ da Figura 3.1, 
que corresponde ao ângulo interno no vértice B de uma poligonal, formado pelos alinhamentos AB e BC. 
Figura 3.1 - Medição de alinhamento a trena 
1. Sobre os lados do ângulo a ser medido (BA e BC) alinhe balizas intermediárias M1 e M2, 
rigorosamente sobre os respectivos lados da poligonal, a distâncias quaisquer L1 e L2 do vértice A. 
2. Com a maior precisão possível, meça os 3 lados do triângulo formado, L1, L2 e C. 
3. O ângulo 
 
 ββββ pode ser calculado pela Lei dos Cossenos: 
 C2 = L12 + L22 – 2 . L1 . L2 . cos β 
 
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 



⋅⋅
=
−+
LL
CLL
21
22
2
2
1
2
arccosβ 
Ao executar o procedimento descrito, tome o máximo cuidado no alinhamento das balizas, 
pois desvios de poucos milímetros podem provocar erros muito grandes na determinação do ângulo. As dis-
tâncias L1 e L2 têm suas dimensões limitadas por certos fatores, como a existência ou não de obstáculos, o 
comprimento da trena utilizada, mas, teoricamente, a precisão da medida será tanto maior quanto maiores 
forem tais distâncias. Na prática, costuma-se adotar comprimentos de 5 a 10m. 
3.1.2. Anotação de caderneta 
Para a medição de ângulos a trena, sugerimos que os dados colhidos sejam registrados na ca-
derneta de campo segundo modelo reproduzido na Figura 3.2. 
O exemplo aqui fornecido corresponde à medição de ângulos de uma poligonal com 4 vérti-
ces. 
MEDIÇÃO DE ÂNGULOS A TRENA CROQUI 
PE L1 L2 C 
A 10,052 8,108 13,264 
B 7,55 12,684 14,111 
C 7,206 10,210 12,741 
D 6,860 8,904 11,240 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 - Anotação de caderneta para medida de ângulos a trena 
3.1.3. Lançamento dos ângulos na planta topográfica 
Mesmo sem calcular analiticamente os ângulos medidos a trena, conforme descrito no item 
3.1.1, é possível lançá-los à mão na planta topográfica, a partir das medidas L1, L2 e C colhidas no campo, 
conforme a seguir descreveremos. Acompanhe pela Figura 3.3. 
Figura 3.3 - Lançamento dos ângulos na planta 
1. Lance na planta o alinhamento AB, na posição desejada em relação à folha de desenho, e 
na escala previamente definida para a planta ( 1 ). 
2. Com um compasso centrado no ponto B e com abertura L1, delineie o arco de círculo ( 2 ) 
cortando a linha AB. Obtém-se na interseção o ponto M1, que corresponde à posição ocupada no terreno pe-
la baliza M1 da Figura 3.3. 
 
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3. Com o compasso ainda centrado em B, porém agora com abertura L2, trace um segundo 
arco de círculo ( 3 ), na direção aproximada da linha BC. 
4. Mude o centro do compasso para M1 e, usando abertura C, e trace o terceiro arco de cír-
culo ( 4 ), de tal forma que intercepte o segundo arco ( 3 ). A interseção é o ponto M2, que corresponde à po-
sição ocupada no terreno pela baliza M2 da Figura 3.1. 
5. Trace uma linha unindo B a M2, e prolongue-a. Marque sobre esta linha a partir de B a 
distância BC, obtendo assim a posição do vértice C da poligonal ( 5 ). 
6. Repita o procedimento para lançar os outros ângulos da poligonal. 
3.1.4. Compensação gráfica de erro de fechamento de poligonal 
Quando você desenha um polígono fechado pelo processo gráfico, tanto com uso de transfe-
ridor como como pelo método descrito no item 3.1.3, este polígono normalmente vai apresentar um erro de 
fechamento, que se caracteriza pela não coincidência do ponto de partida com o ponto de chegada, ou seja, 
iniciando-se o desenho a partir do vértice A e lançando-se sucessivamente os lados e ângulos do polígono, 
chega-se ao final a um ponto A' diferente de A, fato este que não deveria acontecer, pois na verdade trata-se 
do mesmo ponto. O erro de fechamento é devido à imprecisão das medidas tomadas no campo, somada à 
imprecisão gráfica na elaboração do desenho, e ocorre tanto no desenho feito à mão comonaquele feito em 
computador, através de um software de projeto, a exemplo do AutoCAD2. 
Na Figura 3.3, a poligonal desenhada em traço mais fino exemplifica a situação mencionada. 
A linha gráfica AA' consiste no erro de fechamento da poligonal; o erro foi aqui deliberadamente aumentado 
para melhor esclarecer o processo de sua compensação. 
O processo de compensação gráfica de erro de fechamento de poligonal, que descreveremos 
a seguir, baseia-se simplesmente numa regra de três gráfica, partindo-se do pressuposto que o erro de pro-
pagou de forma linear durante o percurso - uma regra de três, como você sabe, aplica-se a equações de 
primeiro grau cujo gráfico resume-se a uma linha reta. 
É interessante comparar o erro de fechamento (a linha gráfica AA') com um vetor, possuin-
do então, como este, direção, sentido e módulo. A direção é a da reta que contém os pontos A e A'; o sen-
tido é de A para A'; e o módulo é a distância gráfica AA'. 
Fica agora fácil entender que, para compensar este erro, basta aplicar a partir de A' um outro 
“vetor” de correção, de mesma direção, mesmo módulo, porém de sentido contrário. 
Figura 3.4 - Compensação gráfica de erro de fechamento de poligonal 
1. Desenhe a poligonal conforme descrito no item 3.1.3, já na escala correta da planta, porém 
fazendo-a com traço fino a lápis ou lapiseira (Figura 3.4). Se a poligonal assim desenhada não apresentar 
erro de fechamento, obviamente não haverá necessidade de compensá-la, e, neste caso, bastará reforçar a 
espessura das linhas do desenho de acordo com o padrão desejado. Mas, se houver erro de fechamento, sua 
compensação poderá ser feita conforme descrito nos parágrafos seguintes. 
 
2 AutoCAD é marca registrada da Autodesk, Inc. 
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2. Em uma folha de papel auxiliar você vai executar uma regra de três gráfica para determi-
nar os valores das correções em cada um dos vértices da poligonal. Para isso, desenhe inicialmente a poligo-
nal retificada ABCDA' (veja na Figura 3.5). A poligonal retificada consiste em marcar todos os lados do 
polígono seqüencialmente, na ordem de caminhamento, sobre uma linha reta. Não é necessário usar a mes-
ma escala da planta na poligonal retificada, sendo conveniente usar uma escala menor. 
Figura 3.5 - Compensação gráfica do erro de fechamento 
3. Sobre cada um dos vértices da poligonal retificada, trace uma linha auxiliar perpendicular 
à reta principal (Figura 3.5). 
4. Sobre a perpendicular feita no ponto A', e a partir deste, marque o módulo do erro de fe-
chamento, que consiste simplesmente em transferir a distância gráfica AA' da Figura 3.4. Obtém-se assim o 
ponto A''. Em seguida, una A a A'', formando o triângulo AA'A''. Assim você obtém, em cada um dos vérti-
ces da poligonal retificada, o módulo do respectivo erro de fechamento naquele ponto: As distâncias gráficas 
BB', CC', DD' . 
Lembre-se que partimos do pressuposto de que o erro se propagou de forma linear durante o percurso, então a re-
ta AA'' é o gráfico do erro. A “regra de três gráfica” nada mais é do que a proporcionalidade dos triângulos obtidos 
na Figura 3.5, ou seja: se no percurso de A até A' houve o erro A'A'', então de A até B houve o erro BB', de A até 
C o erro CC' e assim por diante. 
5. Volte para a planta da poligonal (Figura 3.4) e trace uma linha auxiliar unindo A a A' (di-
reção do erro de fechamento), depois paralelas a ela nos demais vértices da poligonal. 
6. Sobre essas linhas traçadas no passo 5, marque os respectivos “módulos” do erro de fe-
chamento a partir de cada vértice da poligonal e seguindo a direção contrária ao erro AA'. Para isso, sim-
plesmente transfira as distâncias gráficas BB', CC' e DD' da Figura 3.5. Obtém-se assim as posições com-
pensadas de todos os vértices da poligonal. Atente que as distâncias BB', CC' e DD' devem ser marcadas em 
sentido contrário ao do erro, ou seja, de A' para A, pois, caso contrário, o erro de fechamento seria duplicado 
em vez de compensado. Note também que é desnecessário fazer a compensação no vértice A, pois ele já é a 
posição compensada do ponto A'. 
7. Desenhe a poligonal compensada, simplesmente unindo os pontos obtidos com o proce-
dimento descrito no passo 6 (a poligonal em traço mais espesso da Figura 3.4). 
3.2. DEMARCAÇÃO DE ÂNGULOS A TRENA 
A demarcação de ângulos a trena tem seu uso na locação de pequenas obras, podendo tam-
bém ser usada no levantamento de detalhes pelo processo de coordenadas, referido no capítulo 5. 
Descreveremos a seguir o procedimento usado para demarcar sobre um alinhamento AB uma 
perpendicular a ele - um ângulo de 90º - por um ponto M pertencente ao alinhamento. Acompanhe pela 
Figura 3.6. Para executar o trabalho são necessárias três pessoas, um operador e dois ajudantes. 
1. Sinalize os pontos A, B e M com balizas perfeitamente alinhadas. 
2. Dobre a trena em forma de um triângulo retângulo, usando, por exemplo, lados de 3, 4 e 5 
metros, ou múltiplos de tais valores, e fazendo que o vértice reto do triângulo coincida com a baliza M. 
Para isso, um dos ajudantes posiciona a marca de 3m da trena no centro da baliza M, consi-
derando a direção de visada segundo a bissetriz do ângulo reto, identificada pela linha tracejada na Figura 
3.6. Outro ajudante fixa uma baliza no ponto N, cuja posição ficará determinada pela distância de 3m do 
ponto M (basta esticar convenientemente o lado de 3m da trena) e alinhada segundo AB (o alinhamento vi-
sual poderá ser feito pelo operador). Em seguida as marcas de 0 e 12m da trena devem ser coincididas na 
 
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baliza N. Por último, o operador posiciona uma terceira baliza na marca de 7m e estica convenientemente a 
trena nos dois lados, obtendo a posição do ponto O. 
3. A linha MO é a perpendicular desejada. Se necessário, poderá ser prolongada por baliza-
mento. 
Figura 3.6 - Demarcação de ângulo reto a trena 
Se o objetivo é demarcar ângulos de 45º ou 135º, basta dividir o ângulo reto ao meio: Para 
isso, seria necessário calcular a posição de um ponto P sobre o lado NO, tal que a linha MP fosse a bissetriz 
do ângulo reto, definindo-se então um ângulo de 45º à esquerda e um ângulo de 135º à direita. 
Observe que não se pode simplesmente dividir ao meio o lado NO para dividir ao meio o ângulo. Isso somente se-
ria possível se os outros dois lados do triângulo fossem iguais entre si. 
Se houver necessidade de demarcar um ângulo qualquer αααα, basta calcular analiticamente um 
triângulo que apresente tal ângulo em um de seus vértices, e posicioná-lo de forma semelhante no alinhamen-
to AB. Você poderia, por exemplo, partir de um triângulo isósceles com base de 4 metros, resultando então, 
pela Lei dos Senos (acompanhe pela Figura 3.7): 
)90(
2
)90(
2
)90( αα −
=⇒
−
=
sen
L
sensen
L
 
 
Figura 3.7 - Demarcação de um ângulo a qualquer 
 
MEDIÇÃO DE AZIMUTES A BÚSSOLA 
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4. MEDIÇÃO DE AZIMUTES A BÚSSOLA 
Define-se como azimute de um alinhamento o ângulo formado a partir da direção norte até 
o alinhamento considerado, medido no sentido horário. 
Assim sendo, os azimutes podem variar no intervalo de 0º inclusive a 360º exclusive. 
O azimute pode ser magnético, se tomado em relação ao pólo Norte magnético (detectado 
pelas bússolas), e geográfico ou verdadeiro, se tomado em relação ao Norte geográfico ou verdadeiro. 
Neste capítulo nos limitaremos à determinação do azimute magnético com emprego de bús-
solas. Se houver interesse de sua parte, em “Topografia – Módulo 6” você encontrará informações detalhadas 
sobre as diferentes técnicasutilizadas para determinação da direção do pólo Norte geográfico. 
A determinação de azimutes é indispensável em qualquer levantamento topográfico que te-
nha por objetivo a elaboração de uma carta ou planta topográfica, qualquer que seja a finalidade desta, pois 
nenhuma planta topográfica será apresentada sem a indicação da direção norte. 
Também a determinação dos ângulos que fazem entre si os alinhamentos da poligonal pode 
ser feita com base na medição dos azimutes dos respectivos alinhamentos. Porém a medição de azimutes 
magnéticos, embora apresente a vantagem de ser simples e rápida, tem o inconveniente da pouca precisão 
das bússolas, afetando assim a precisão dos ângulos calculados a partir dos mesmos. 
4.1. BÚSSOLAS 
As bússolas são instrumentos destinados à medição de azimutes magnéticos. Normalmente 
são constituídas por uma agulha fortemente imantada apoiada sobre um pivô vertical que lhe permite girar 
com um mínimo de atrito, um conjunto de pínulas que lhe permite orientar segundo uma direção, e um lim-
bo graduado para a leitura dos ângulos. 
Limbo é um círculo dividido em unidades angulares; o exemplo mais comum é o transferi-
dor. 
As bússolas podem apresentar o limbo graduado para determinação de azimutes ou de ru-
mos, chamando-se, respectivamente, bússolas azimutais e bússolas de rumos. 
 Quanto à natureza de construção, podem ser divididas em dois grupos: bússolas de limbo 
fixo e bússolas de limbo móvel. 
4.1.1. Bússolas de limbo fixo 
As bússolas de limbo fixo, mais comuns, se caracterizam pela presença da agulha apoiada 
sobre um pivô vertical, perfeitamente visível, e um limbo preso ao corpo do aparelho. Em qualquer lugar, 
soltando-se a agulha da bússola, ela se manterá numa mesma direção, aproximadamente coincidente com a 
linha norte-sul magnética. O limbo, fixo ao corpo da bússola, um pouco abaixo da agulha e com diâmetro 
levemente maior que o comprimento desta, tem a finalidade de permitir a leitura do azimute. 
 Na Figura 4.1 reproduzimos uma bússola deste grupo, fabricada pela VEB Freiberger alemã, 
com a identificação de seus principais dispositivos. Seu limbo, com diâmetro de 45mm., é graduado a inter-
valos de 2º, com leitura estimada de 0,5º (30') e precisão de 0,5º (30'). 
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Figura 4.1 - Bússola de limbo fixo WEB Freiberger 
Na Figura 4.2 apresentamos uma bússola tipo Brunton de fabricação da CST/Berger (EUA), 
que é também de limbo fixo, e que apresenta basicamente os mesmos dispositivos. A precisão não foi forne-
cida pelo fabricante. 
Figura 4.2 - Bússola de limbo fixo CST 
Presas ao corpo da bússola e diametralmente opostas em relação ao limbo, existem duas pí-
nulas, dispositivos de mira destinados à orientação da bússola segundo a direção cujo azimute se queira de-
terminar. A bússola WEB apresenta ainda como acessório um colimador de visada, que permite opcional-
mente orientar a bússola através dele. 
O nível esférico destina-se ao ajuste da horizontalidade da bússola. O nível cilíndrico é uti-
lizado apenas com o clinômetro, conforme comentaremos adiante. 
O botão de fixação da agulha tem a finalidade de prender ou soltar a agulha da bússola. Na 
bússola WEB ele é acionado manualmente: Pressiona-se o dedo indicador sobre o botão e aplica-se um giro 
horário para soltar a agulha, anti-horário para prendê-la. Já na bússola CST ele prende a agulha enquanto 
pressionado para baixo; assim sendo, ao fechar a tampa do aparelho, a agulha é automaticamente presa, para 
evitar desgaste e danos no pivô durante o transporte. 
Além dos dispositivos necessários à determinação de azimutes, as bússolas em questão pos-
suem também um clinômetro, destinado à medição de ângulos verticais de inclinação. Na bússola WEB o 
clinômetro é composto por um pêndulo, escala de ângulos, nível tubular e botão de fixação do pêndulo. Sua 
escala é graduada a intervalos de 5º, com leitura estimada e precisão de 1º. Já na bússola CST o clinômetro 
 
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não funciona por gravidade (pêndulo), e deve ser ajustado manualmente observando-se a horizontalidade do 
nível cilíndrico; sua escala é graduada a intervalos de 1º. 
Para a medir inclinações, mantenha a bússola na posição vertical (o limbo vertical) e aponte 
as pínulas na direção cujo ângulo queira medir. Em seguida, mantendo a posição da bússola, ajuste a hori-
zontalidade do nível cilíndrico, por rotação da alavanca localizada na parte inferior do aparelho. Por fim, leia 
o ângulo de inclinação na escala do clinômetro. Na bússola WEB não é necessário ajustar o nível cilíndrico, 
pois o pêndulo assume esta função. 
4.1.2. Bússolas de limbo móvel 
As bússolas de limbo móvel se caracterizam pela aparente ausência da agulha imantada. Na 
verdade elas também a possuem, porém presa na parte inferior do limbo e invisível externamente. Agulha e 
limbo giram solidariamente sobre o pivô. Assim, solto o limbo, ele se manterá orientando sua origem (0º) na 
direção norte magnética. 
Figura 4.3 - Bússolas de limbo fixo e limbo móvel 
Em razão da diferente natureza de construção, as bússolas de limbo móvel se diferenciam 
das de limbo fixo no sentido de graduação de seus limbos: pequeno detalhe que deve merecer devida atenção 
ao se proceder à leitura do azimute, para evitar erros de interpretação. Enquanto as bússolas de limbo móvel 
apresentam-no graduado no sentido horário, as de limbo fixo o têm graduado no sentido anti-horário. Essa 
inversão no sentido de graduação das bússolas de limbo fixo se faz necessária em razão da orientação tam-
bém invertida da origem do limbo (0º), que será orientado na direção do alinhamento e não na direção norte 
(veja na Figura 4.3); efetivamente, tivesse o fabricante graduado o limbo no sentido horário, tais bússolas 
indicariam o replemento do azimute (360º - Az) e não o próprio azimute. 
4.2. TÉCNICA DE OPERAÇÃO 
Considere um alinhamento genérico AB cujo azimute se queira medir (Figura 4.4). Observe 
que, para cada alinhamento, existem dois azimutes, aquele medido no sentido direto (de A para B), que é o 
azimute propriamente dito, e aquele medido no sentido inverso (de B para A), que é dito contra-azimute do 
alinhamento. Os dois azimutes são recíprocos, isto é: 
 AzAB = AzBA ± 180º 
O azimute medido de A para B é indicado pelo símbolo AzAB e se lê “azimute de A para B”;, 
enquanto aquele medido de B para A é indicado por AzBA e se lê “azimute de B para A”. 
 
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Figura 4.4 - Azimute e contra-azimute de um alinhamento 
Descreveremos a técnica de operação para a medição do azimute de A para B. 
1. Instale a bússola sobre o ponto A. Para a instalação, use um tripé ou então um prumo-
bastão. Em qualquer dos casos, tome o cuidado necessário para que o limbo fique horizontal e seu centro 
coincida verticalmente com a taxa do piquete. 
A horizontalidade do limbo é indicada pelo nível esférico de bolha de ar incorporado à bús-
sola. A centralização vertical pode ser obtida através de um fio de prumo, no caso de uso de tripé, ou de um 
nível de cantoneira, usando-se prumo-bastão. A falta de horizontalidade da bússola, além de provocar erro na 
medição do azimute, ainda pode fazer com que a agulha prenda no vidro protetor ou no limbo. 
2. Sinalize o ponto B com uma baliza perfeitamente aprumada. 
3. Oriente as pínulas da bússola na direção da baliza fixada em B. Esta operação equivale, 
nas bússolas de limbo fixo, a orientar a origem do limbo na direção de B (ver Figura 4.3). 
4. Aguarde a estabilização das oscilações da agulha e faça a leitura do azimute. Se a bússola 
é de limbo fixo, leia o ângulo que coincide com a ponta norte da agulha. Se abússola é do tipo limbo mó-
vel, então a leitura do azimute deve ser feita em na marca de índice existente no corpo do aparelho. 
Figura 4.5 - Medição de azimute a bússola 
Ao proceder à medição de um azimute, procure tomar os seguintes cuidados: 
- faça a leitura do ângulo com o olho posicionado no plano vertical que contém o eixo da 
agulha, a fim de evitar erro de leitura por paralaxe (descrito no item 4.4.5); 
- feita a leitura, provoque um pequeno deslocamento na agulha, aproximando e depois afas-
tando dela um objeto ferromagnético qualquer, aguarde novamente a estabilização da agulha e verifique se a 
nova leitura do azimute coincide com a primeira (se diferir, provavelmente a bússola apresenta problemas de 
perda de sensibilidade, descrito no item 4.4.1); 
- certifique-se da ausência de materiais ferromagnéticos nas proximidades, os quais provo-
cam desvio da agulha e, conseqüentemente, erro na determinação do azimute; 
- verifique se o ângulo indicado na ponta sul da agulha difere em 180º do indicado na ponta 
norte; se isso não acontecer, então a bússola apresenta erro de excentricidade do pivô, descrito no item 4.4.3. 
Após medido o azimute, é indispensável que você repita o procedimento no outro extremo 
do alinhamento, medindo aí contra-azimute. Feito isso, compare as duas medidas e verifique se diferem entre 
si em 180º, admitindo-se uma tolerância equivalente à precisão da bússola, para mais ou para menos. Se a 
diferença estiver além fora da tolerância admitida, procure determinar a causa do erro (atração local, alinha-
mento errado das pínulas etc). Se o erro é devido à atração local - comentada no item 4.4.2, página 23 - então 
 
 
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tente tomar as medidas nos outros alinhamentos da poligonal, até encontrar um isento da influência de cam-
pos magnéticos interferentes. 
4.3. ANOTAÇÃO DE CADERNETA 
Apresentamos a seguir um modelo próprio para anotação da medição de azimutes na cader-
neta de campo. Trata-se da mesma poligonal usada como exemplo na Figura 3.2, página 15. Observe que, no 
exemplo, foi medido o azimute de A para B e seu contra-azimute. Normalmente assim se procede num le-
vantamento topográfico: Determina-se apenas o azimute de um dos alinhamentos, pois os demais poderão 
serão calculados no escritório, com base nos ângulos internos ou deflexões. 
No exemplo citado, a diferença entre o azimute e o contra-azimute é de 40’ além dos 180º. 
Essa diferença de 40’ foi considerada admissível, uma vez que equivale à precisão da bússola utilizada. As-
sim sendo, adotou-se como AzAB o valor de 267º 20’, resultante da média entre os valores AzAB e AzBA+180º. 
 
MEDIÇÃO DE AZIMUTES A BÚSSOLA CROQUI 
PE PV AZIM MÉDIA 
A B 267º 40’ 267º 20’ 
B A 87º 00’ 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 - Anotação de caderneta para azimutes 
4.4. ERROS NA MEDIÇÃO DE AZIMUTES 
Como em qualquer medição, o levantamento de azimutes está sujeito à incidência de deter-
minados erros específicos, cujo conhecimento de sua natureza e causas permite, se não evitá-los, ao menos 
reduzir seus efeitos. 
4.4.1. Sensibilidade da bússola 
A sensibilidade da bússola deve ser verificada antes de seu uso. Diz-se que uma bússola 
perdeu a sensibilidade, ou ficou “preguiçosa”, quando seus movimentos são lentos. São causas deste proble-
ma a perda de imantação da agulha e/ou o aumento do atrito no apoio da agulha sobre o pivô, por desgaste 
deste ou por acúmulo de sujeira. Bússolas com pouca sensibilidade normalmente indicam valores diferentes 
para cada medição do mesmo azimute, sendo a diferença tanto maior quanto menor sua sensibilidade. 
É fácil verificar a sensibilidade da bússola: Force a saída da agulha da direção norte-sul onde 
se encontra pela aproximação instantânea de um objeto ferromagnético qualquer, e em seguida observe se ela 
retorna à posição anterior, com oscilações rápidas, regulares e levemente amortecidas. 
4.4.2. Atração local 
A atração local é provocada por campos magnéticos estranhos originários de materiais fer-
romagnéticos existentes nas proximidades da bússola, e se manifestam por um desvio da agulha em relação à 
direção norte-sul. 
Os objetos que podem provocar campos magnéticos interferentes podem ser móveis, como o 
relógio, a lapiseira ou a fivela do cinto usado pelo operador, ou fixos, como veículos estacionados nas pro-
 
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ximidades, minerais com teor de ferro no solo. Os campos magnéticos móveis são facilmente detectáveis, 
pois seus efeitos sobre a agulha variam com o movimento da fonte. Já a influência de campos magnéticos 
fixos requer mais cuidado na sua verificação; uma das maneiras de comprovar sua existência consiste em 
medir os azimute recíprocos do alinhamento e verificando se diferem entre si em 180º, conforme já comen-
tado no item 4.2. 
4.4.3. Excentricidade do pivô 
É um defeito que consiste na não coincidência do pivô com o centro do limbo, ocasionando 
uma rotação da agulha excêntrica em relação a este (veja na Figura 4.7). A existência de tal defeito pode ser 
constatada pela leitura do ângulo nas duas pontas da agulha: Se a diferença entre as duas leituras não for de 
180º, então existe o erro de excentricidade. Havendo excentricidade, o erro pode ser compensado usando-se a 
média aritmética dos ângulos lidos na ponta norte e na ponta sul, este último acrescido de 180º. 
Figura 4.7 - Erro de excentricidade do pivô 
4.4.4. Falta de equilíbrio da agulha 
Consiste na não coincidência do ponto de rotação da agulha com seu centro de gravidade, e 
se manifesta por uma inclinação da agulha em relação à horizontal. Para comprovar o equilíbrio da agulha, 
instale a bússola em posição perfeitamente horizontal e verifique em seguida se a agulha permanece horizon-
tal, ou seja, se suas duas pontas ficam suspensas a igual altura em relação ao limbo. Se isso não acontecer, o 
equilíbrio da agulha deve ser ajustado. Para o ajuste, as agulhas normalmente têm em uma de suas extremi-
dades um contrapeso (algumas voltas de fio). Desloque o contrapeso em direção à ponta da agulha ou em 
direção ao centro até conseguir o ajuste desejado. 
4.4.5. Erro de paralaxe 
É um erro do operador e não do aparelho, e resulta do posicionamento incorreto do olho no 
momento da leitura. Normalmente ocorre em instrumentos em que a marca de índice (usada para leitura) não 
se encontra no mesmo plano da escala de medida. No caso das bússolas de limbo fixo, a agulha fica suspensa 
cerca de 1mm acima do limbo, e o operador deve posicionar seu olho no plano vertical (perpendicular ao 
limbo) que contém o eixo da agulha, caso contrário ocorrerá um erro de leitura para maior ou para menor, 
dependendo da inclinação da visada. 
 
LEVANTAMENTO DE DETALHES 
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5. LEVANTAMENTO DE DETALHES 
O termo detalhes é usado na Topografia para denominar acidentes naturais e artificiais exis-
tentes no terreno - dentro ou fora da poligonal de exploração - e que interessam ao levantamento. Exemplos 
de detalhes são edificações em geral, ruas, cercas, muros, árvores, cursos d'água, elevações etc. 
Por um motivo ou por outro pode haver necessidade de serem representados na planta topo-
gráfica os detalhes existentes no terreno, em suas posições e formas corretas. Ao arquiteto ou ao engenheiro 
que projeta uma edificação sobre uma planta topográfica é necessária tal informação; por exemplo, árvores 
existentes podem ser aproveitadas como elemento paisagístico. Em projetos de urbanismo, a importância 
ainda é maior. 
Evidentemente, para que cada detalhe seja lançado na planta topográfica em sua posição e 
forma correta, é necessário que se façam