05-Função Quadrática-2020 1 (1)

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Matemática Aplicada - Erisson M. Moreira - 05 -
 - Função do 2o Grau - Funções Custo, Receita e Lucro Quadráticos
 Empresa instável (lucros e prejuízos) = Equação do segundo grau.
 y
 c
 0 A B x
 V
Equação Geral y =  ax2 bx c
Definições importantes:
1) Prejuízo máximo - é o ponto mais baixo da parábola. 
 Só existe em parábola de boca (concavidade) para cima. 
em parábola de boca para cima, a ordem dos sinais será: 
 positivo-negativo-positivo → y =  ax2 bx c
2) Lucro máximo - é o ponto mais alto da parábola. 
 Só existe em parábola de boca para baixo. 
em parábola de boca para baixo, a ordem dos sinais será:
 negativo-positivo-negativo → y =  ax2 bx c
--------------------------------------------------------------------------
Exemplo: Monte o gráfico de desempenho de uma fábrica que obedece a equação: y = x2 – 8x + 12
Conclusões importantes:
1. o sinal de X ao quadrado é positivo, a concavidade é para cima.
2. a parábola corta o eixo “Y” no ponto 12. → (para x = 0)
3. a parábola corta o eixo “X” nas raízes da equação:
Devemos procurar dois números que:
somados sejam iguais a -b/a = 8/1 = 8
e multiplicados sejam iguais a c/a = 12/1 = 12
Logo as duas raízes são 2 e 6.
4. como a parábola é côncava para cima, temos um ponto de mínimo
 (prejuízo máximo) => xv = -b/2a = - (-8) / 2 = 4
 e yv = 42 – 8 . 4 + 12 = 28 – 32 = - 4
 y
 
 
 C = 12 
 
 0 2 4 6 x
 yv = - 4 
 xv
Exercício Resolvido: A equação de demanda de um produto é
p = 10 − x e o custo total é dado por Ct(x) = 2x + 11 ,
em que: p é o preço e x é a quantidade demandada.
Determine: a) a expressão da função lucro;
 b) o valor de x que torna o lucro máximo;
 c) o valor máximo do lucro.
Resolução: a) Como R (x) = p . x e p = 10 -x , temos: 
R (x) = (10 - x) . x => R(x) = -x2 + 10x
como L(x) = R(x) - Ct(x) => L(x) = -x2 + 10x − (2x + 11)
L(x) = -x2 + 10x - 2x - 11 => L(x) = -x2 + 8x - 11
b) x que maximiza o lucro: xv = - b/2a = - 8 / -2 => xv = 4
c) L(x)MÁX = - 42 + 8 . 4 – 11 = -16 + 32 – 11
L(x)MÁX = 16 – 11 => L(x)MÁX = 5
· FUNÇÃO DO 2O GRAU 
 Uma função f : R → R será função quadrática quando assumir a forma:
 f(x) = ax2 + bx + c (sendo a, b e c R e a 0)
 O gráfico desta função é uma parábola.
Para o coeficiente a < 0 → concavidade voltada para baixo
 Y 
 yv Vértice
 
 
 0 x1 xv x2 x
 
 c côncava (boca) para baixo
 Para o coeficiente a > 0 → concavidade voltada para cima
 
 y
 
 c côncava (boca) para cima
 
 xv
 0 x1 x2 x
 yv 
 Vértice
 ELEMENTOS DA PARÁBOLA 
 (0, C) : Ponto de interseção com o eixo y .
 (x1, 0) e (x2, 0) : Pontos de interseção com o eixo x .
 x1 e x2 : São os zeros da função, ou seja, as raízes da
 equação ax2 + bx + c = 0
 A resolução pode ser feita pela fórmula de Bháskara
 ou e 
 ou pela Soma x’ + x’’ = -b/a e Produto x’ ∙ x’’ = c/a
Se 0 → a equação terá duas raízes reais e distintas. 
Se = 0 → a equação terá duas raízes reais e iguais.
Se 0 → a equação não terá raízes reais. 
 Os vértice da parábola V(xV , yV) , tem coordenadas 
 em que, = b2 - 4ac
· SINAL DA FUNÇÃO
 a > 0 a < 0
 + + +
 x1 x2 x1 x2 
 y > 0 para x < x1 ou x > x2 y > 0 para x1 < x < x2 
 y < 0 para x1 < x < x2 y < 0 para x < x1 ou x > x2 
 
Pontos Principais do Gráfico:
C) investimento inicial
A) mês de perda total do capital inicial
V) mês de prejuízo máximo 
B) mês de pagamento total do empréstimo bancário
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios RESOLVIDOS – Função do 2o Grau - Prof. Erisson - 05A -
· FUNÇÃO QUADRÁTICA
 01 - Uma empresa trabalha com um produto cuja equação de demanda é p = 30 - 2x e cuja função custo total é 
 Ct (x) = 2x + 40. Sabendo-se que p é o preço e x a quantidade demandada, obtenha:
a) a função receita; c) a quantidade que deverá ser comercializada para maximizar o lucro;
b) a função lucro; d) o valor do lucro máximo.
a) como P = 30 – 2x → R(x) = P. x => R(x) = (30 – 2x) x => R(x) = 30x – 2x2 ou R(x) = -2x2 + 30x
b) L(x) = R(x) – Ct(x) → Ct(x) = 2x + 40 => L(x) = R(x) = -2x2 + 30x – (2x + 40) => L(x) = -2x2 + 28x – 40
c) xv = = = => xv = 7 unid. que maximiza o lucro.
d) o valor do lucro que máximo será: L(x) = -2x2 + 28x – 40 => L(7) = -2 . 72 + 28 . 7 – 40 = -2 . 49 + 196 – 40 
 L(7) = -98 + 156 => L(7) = 58
02 – O dono da loja Info.@ constatou que quando o preço de reposição de tinta de um determinado cartucho era $ 20,00 , o número de cliente era 100 por semana. Constatou também que, quando o preço passava para $ 15,00 , o número de clientes dobrava.
a) Obtenha a função demanda admitindo-a linear; 
b) Determine a quantidade de cartuchos repostos para que a receita seja máxima;
c) Calcule o valor da receita máxima.
Resolução: 
 a) p
 
 
 20
 
 15
 
 0 100 200 x
A reta y = ax + b => cálculo de a => = = = => a = – 0,05
cálculo de b => p = b – 0,05p => no ponto (100, 20), temos: 20 = b – 0,05 . 100 => 20 = b – 5 => -b = -5 – 20
 b = 5 + 20 => b = 25 , logo, a função demanda é: p = 25 – 0,05x
b) como P = 25 – 0,05x → R(x) = P. x => R(x) = (25 – 0,05x) x => R(x) = 25x – 0,05x2 ou R(x) = -0,05x2 + 25x
 logo, xv = = = => xv = 250 unid. que torna a receita máxima.
c) R(x) = -0,05x2 + 25x =>R(250) = -0,05 . 2502 + 25 . 250 = -0,05 . 62.500 + 6.250 
 R(x) = - 3.125 + 6.250 => R(x) = 3.125 
03 - Uma empresa que sofreu grandes oscilações financeiras ao longo do ano apresentou um prejuízo máximo em certo mês. Sabendo-se que, em fevereiro e junho seu faturamento foi zero e seu capital inicial foi de 6 mil reais, indique nas alternativas abaixo a sua equação matemática, o prejuízo máximo e o mês em que ocorreu esse prejuízo, respectivamente.
a) y = –50x2 + 500x – 600 , prejuízo de R$ 6.500 , mês de maio
b) y = 5x2 – 30x + 6.000 , prejuízo de R$ 5.955 , mês de março
c) y = 0,5x2 – 4x + 6 , prejuízo de R$ 2.000 , mês de abril
d) y = 500x2 – 4.000x – 6.000 , prejuízo de R$ 14.000 , mês de abril
Solução: 
1. Como apresentou prejuízo máximo, a parábola possui concavidade para cima (o sinal do coeficiente de “a” é positivo).
2. Corta o eixo “y” no ponto 6.000
3. Corta o eixo “x” em 2 (fevereiro) e 6 (junho)
Produto = c / a => 2 x 6 = 6.000 / a => 12 = 6.000 / a => a = 6.000 / 12 => a = 500
Soma = - b / a => 2 + 6 = - b / 500 => 8 = - b / 500 => -b = 8 . 500 => -b = 4.000 => b = -4.000
- 05B -
a) y = 500x2 – 4.000x + 6.000 → ou dividindo tudo por mil => y = 0,5x2 – 4x + 6
b) xv = -b / 2a => xv = - (-4.000) / 2 . 500 = 4.000 / 1.000 => xv = 4 => 4 (mês de abril)
c) y = 500 . 42 – 4.000 . 4 + 6.000 = 500 . 16 – 16.000 + 6.000 = 8.000 – 10.000 = -2.000
 ou seja, o prejuízo foi de 2.000 → Resposta: C. 
04 – Considere a função receita R(x) = – x2 + 18x e a função custo total C(x) = 2x + 39 relativas à produção e venda de 
 x unidades de um mesmo produto. 
a) Determine os pontos de nivelamentos; b) Esboce o gráfico.
OBS 1: PONTO DE NIVELAMENTO - Assim como na função do primeiro grau, podemos também encontrar o ponto de nivelamento na função quadrática. Basta igualar as funções Receita e Custo.
Solução: a) C(x) = 2x + 39 e R(x) = – x2 + 18x 
 P.Niv. => R(x) = Ct(x) → – x2 + 18x = 2x + 39 => – x2 + 18x – 2x – 39 = 0
 - x2 + 16x – 39 = 0 => x = = 
 x = => x1 = => x1 = 3 e x2 = => x2 = 13
b) Gráfico: C(x) R(x)
 Ct(x)
 65
 
 R(x)
 45 
 
 39
 
 0 3 13 18 x 
05 - Considere as função oferta dada por p = x2 + 10x + 9 e a função demanda p = -x2 + 81 . Determine o ponto de equilíbrio e o gráfico.
OBS 2: PONTO DE EQUILÍBRIO DE MERCADO - Assim como na função do primeiro grau, podemos também encontrar o ponto de equilíbrio na função quadrática igualando as funções Oferta e Demanda.
Solução: x2 + 10x + 9 = -x2 + 81 => x2 + 10x + 9 + x2 − 81 = 0
 2x2 + 10x – 72 = 0 , resolvendo a equação do 2º grau, temos:
 x = = = 
 x = => x1 = => x1 = -9 (omite-se) e x2 = => x2 = 4 (quantidade de equilíbrio)
Para determinar o preço de equilíbrio, basta substituir x2 = 4 numa das funções oferta ou demanda:
Substituindo, por exemplo, na função oferta p = x2 + 10x + 9 => p = 42 + 10 . 4 + 9 = 16 + 40 + 9 => p = 65
 Ou na função demanda p = -x2 + 81 => p = -42 + 81 = -16 + 81 => p = 65
O gráfico é dado pelo cruzamento das duas curvas (parábolas) de oferta e demanda:
 (preço) p
 curva de oferta
 81
 
 curva de demanda
 
 
 9
 
 0 4 9 x (quantidade)
a
2
b
'
x
D
+
-
=
a
2
b
'
'
x
D
-
-
=
a
4
yv
e
a
2
b
xv
D
-
=
-
=
2
b
a
-
28
2(2)
-
-
28
4
-
-
a=
D
D
p
x
p-p
fi
-x
fi
x
1520
200100
-
-
5
100
-
25
2(0,05)
-
-
25
0,1
-
-
2
156
256
16
-
-
±
-
2
100
16
-
±
-
2
10
16
-
±
-
2
6
-
-
2
26
-
-
2
10104.2.(72)
2.2
-±--
10100576
4
-±+
10676
4
-±
1026
4
-±
36
4
-
16
4
 
a
2
b
x
D
±
-
=