07-Função Logarítmica-2020 1

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Matemática – Erisson M. Moreira - 07 -
 - Função Logarítmica
logloglog
aaa
b
c
bc
æö
=-
ç÷
èø
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
10
2
2
10
log
N
L
N
L
=
30259
,
2
69315
,
0
10
2
loglog10log2
æö
=-
ç÷
èø
10
2
10
log5
log5
log2
=
0,69897
0,30103
=
 
0,47712
0,30103
l
ogxlogxxx
aa
1212
<Þ<
a1a212
logxlogxxx
<Þ>
- 07A -
07 - Admitindo log 2 = 0,30 , resolva a equação 2x = 10 
Resolução: 2x = 10 , aplicando logaritmo em ambos os lados da equação, temos: 
 log 2x = log 10
 x log 2 = log 10 => x . 0,30103 = 1 => x = 
1
0,30103
 => x = 3,32193
08 - Um investidor aplicou R$ 16.500 em uma instituição que paga 2,15% ao mês. Após certo período de tempo, ele recebeu R$ 24.197,00 , estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado ?
Resolução: C = 16.500 , i = 2,15% a.m. = 2,15/100 = 0,0215 a.m. , M = 24.197 .
M = C . (1 + i)n → 24.197 = 16.500 (1 + 0,0215)n => = 1,0215n 
 1,0125n = 1,46648
Aplicando logaritmo em ambos os lados da equação , temos:
log 1,0215n = log 1,46648 => n log 1,0215 = log 1,46648
log1,46648
log1,0215
n
=
 => n ≈ 
0,16628
0,00924
 => n ≈ 17,99567 => n = 18 me
Propriedades: 
a) logaritmo do produto → loga (b . c) = loga b + loga c
 (vide exercício 01 resolvido abaixo)
b) logaritmo do quociente → � EMBED Equation.3 ���
 (vide exercício 02 resolvido abaixo)
c) logaritmo da potência → loga bc = c . loga b
 (vide exercício 03 resolvido abaixo)
d) mudança de base → � EMBED Equation.3 ���
 (vide exercício 04 resolvido abaixo)
Exemplo: Aplique a mudança de base e determine, na calculadora financeira (Ln → base 2,71828...), o log 10 2 .
Na base 10, temos: � EMBED Equation.3 ���= � EMBED Equation.3 ���= 0.30103
 Exercícios Resolvidos
01 - Admitindo log 2 = 0,30103 e log 3 = 0,47712 , 
aplique as propriedades e determine log 6 .
 log 6 = log (2 . 3) = log 2 + log 3 = 0,30103 + 0,47712 
 log 6 = 0,77815
02 - Considerando os dados anteriores, calcule log 5 . 
 � EMBED Equation.3 ��� = 1 – 0,30103 = 0,69897
03 - Usando a propriedade da potência, encontre log 25 .
 log 25 = log 52 = 2 . log 5 = 2 . 0,69897 = 1,39794
04 - Realizando uma mudança de base, obtenha log 2 5
 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� = 2,32193
05 - Resolva as equação 2x = 3 
 2x = 3 => log 2x = log 3 => x.log 2 = log 3 
 x . 0,30103 = 0,47712 => x = � EMBED Equation.3 ��� => x = 1,58496 
06 - Um capital de R$ 3.500 é aplicado à taxa de 3% ao mês, a juros compostos, durante n meses, produzindo um montante de R$ 4.058. Calcule o período de aplicação do capital (em meses).
Resolução: P = 3.500,48 , i = 3% a.m. , S = 4.058 , n = ? 
S = P (1 + i) n => 4.058 = 3.500,48 (1 + 0,03) n
4.058 / 3.500,48 = (1,03) n => 1,15927 = 1,03 n
log 1,03 n = log 1,15927 => n log 1,03 = log 1,15927
 n . 0,01284 = 0,06418 => n = 4,99880 => n = 5 me
1 - Função Logarítmica − É a função f: R*+ → R
 dada por f(x) = log a x ou y = log a x
 em que: a > 0 ; a ( 1
 É denominada função logarítmica na base a e definida para todo x real positivo e não nulo. 
Assim como a função exponencial, a função logaritmo pode ser crescente ou decrescente :
 y y = loga x é crescente se a > 1
 � EMBED Equation.3 ���
 (conserva a desigualdade)
 quanto maior x, maior y 
 0 1 x1 x2 x
 y y = loga x é decrescente se 0 < a < 1
 � EMBED Equation.3 ��� 
 (muda a desigualdade)
 0 1 x1 x2 x quanto maior x, menor y 
 Logo, o conjunto imagem da função y = loga x é R .
2 - Definição
Logaritmo de um número real b positivo, numa base a
(a > 0 e a ( 1) , é o expoente x , ao qual se eleva a base a para obter-se o número b
log a b = x => ax = b
 b = logaritmando ou antilogaritmo
em que: a = base
 x = logaritmo
Exemplo 01: Aplicando a definição, calcule log 2 32 
log 2 32 = x => 2x = 32 => 2x = 25 => x = 5
Exemplo 02: Resolva a equação logarítmica: log x 64 = 2
Solução: pela definição de logaritmo, temos:
x2 = 64 => x = √64 => x = 8
A definição de logaritmo nos leva às seguintes conseqüências:
loga 1 = 0 , pois, de fato a0 = 1
loga a = 1 , pois, de fato a1 = a
loga ab = b , pois, de fato ab = ab
_1327149340.unknown
_1538219451.unknown
_1626986156.unknown
_1626986797.unknown
_1626987148.unknown
_1626986222.unknown
_1617603115.unknown
_1617604499.unknown
_1588112082.unknown
_1538219122.unknown
_1271587921.unknown
_1327148989.unknown
_1271587844.unknown