Solução dos Problemas do Módulo Online de Engenharia Mecânica

de limite de escoamento está listado para o poliestireno e o politetrafluoroetileno na 
Tabela B.4 do Apêndice B. Além disso, quando são dadas faixas para o valor de σl, são considerados valores 
médios para o cálculo dos índices de performance.
M.P5 (a) Uma amostra em forma de barra com seção transversal quadrada com comprimento de aresta c é 
submetida a uma força de tração uniaxial F, como mostrado na figura a seguir. Desenvolva expressões para 
o índice de performance da resistência e da rigidez análogas às Equações. M.9 e M.11 para essa barra.
24 Solução de Problemas 
(b) A partir do banco de dados para as propriedades dos materiais que foi apresentado no Apêndice B 
(tanto da Introdução quanto dos Fundamentos), selecione as ligas metálicas com índices de performance da 
rigidez maiores que 26,0 (para E e ρ em unidades de GPa e g/cm3, respectivamente).
(c) Usando o banco de dados para o custo dos materiais (Apêndice C, tanto da Introdução quanto dos 
Fundamentos), conduza uma análise de custos da mesma maneira como na Seção M.2. Em relação a essa 
análise e àquela na parte (b), qual liga você selecionaria com base na rigidez em relação à massa?
(d) Então, selecione as ligas metálicas que têm índices de performance da resistência maiores que 120 
(para σl e ρ em unidades de MPa e g/cm3, respectivamente), e classifique-as em ordem decrescente de P.
(e) Usando o banco de dados para o custo dos materiais, classifique os materiais na parte (d) em ordem 
crescente do custo. Em relação a essa análise e àquela na parte (d), qual liga você selecionaria com base na 
resistência em relação à massa?
(f) Qual material você selecionaria se tanto a rigidez quanto a resistência tivessem que ser consideradas 
em relação a essa aplicação? Justifique sua seleção.
Solução
(a) Essa parte do problema pede que desenvolvamos expressões para os índices de performance da resis-
tência e da rigidez análogas às Equações. M.9 e M.11 para uma amostra em forma de barra que apresenta se-
ção transversal quadrada e que é puxada em tração uniaxial ao longo de seu eixo longitudinal.
Para a rigidez, começamos considerando o alongamento, ∆l, na Equação 7.2, em que o comprimento ini-
cial l0 é substituído por L. Essa equação pode agora ser escrita como
(M.79)
em que ϵ é a deformação de engenharia. Além disso, assumindo que a deformação seja inteiramente elástica, 
a lei de Hooke, Equação 7.5, é obedecida por esse material (isto é, σ = Eϵ), em que σ representa a tensão de 
engenharia. Dessa forma, combinando a Equação M.79 com a expressão para a lei de Hooke, temos
(M.80)
E, uma vez que σ é definido pela Equação 7.1 como
(7.1)
em que A0 é a área de seção transversal original; nesse caso, A0 = c2. Dessa forma, a incorporação dessas re-
lações na Equação M.80 leva a uma expressão para ∆l que tem a forma
(M.81)
Agora, a massa de material, m, é simplesmente o produto da massa específica, ρ, e do volume da viga, em 
que o volume é simplesmente Lc2; isto é
(M.82)
Ou, resolvendo para c2
(M.83)
A substituição da expressão acima para c2 na Equação M.81 leva a
(M.84)
E resolvendo para a massa
(M.85)
F
L
c
c
F
Módulo de Suporte Online para Engenharia Mecânica 25
Dessa forma, os melhores materiais para serem empregados para uma barra leve puxada em tração quan-
do a rigidez é o fator a ser considerado são aqueles que apresentam baixas razões ρ/E. O índice de performan-
ce da rigidez, Pr, é o inverso dessa razão, ou seja,
(M.86)
Agora, vamos considerar a resistência do bastão. A tensão σ imposta sobre essa viga por F pode ser de-
terminada usando a Equação 7.1; isto é
(M.87)
No tratamento da rigidez (Equação M.83) foi mostrado que c2 = m/ρL; fazendo essa substituição na Equa-
ção M.87, tem-se
(M.88)
Agora, resolvendo para a massa, m, tem-se
(M.89)
E substituindo a tensão pelo limite de escoamento, σl, dividido por um fator de segurança, N
(M.90)
Dessa forma, os melhores materiais para serem empregados para uma barra leve que é puxada em tração 
quando a resistência é o fator a ser considerado são aqueles que apresentam baixas razões ρ/σl; e o índice de 
performance da resistência, P, é simplesmente o inverso dessa razão, ou seja
(M.91)
(b) Aqui se pede para selecionar aquelas ligas metálicas no banco de dados que têm índices de perfor-
mance da rigidez (isto é, razões E/ρ, Equação M.86) maiores que 26,0 (para E e ρ em unidades de GPa e 
g/cm3, respectivamente). 
Trinta ligas metálicas satisfazem esse critério. Todos os 21 aços-carbono simples e aços de baixa liga con-
tidos no banco de dados se enquadram nesse grupo, e, além dessas, várias outras ligas. Essas e as suas razões 
E/ρ estão listadas a seguir e classificadas em ordem decrescente do valor. (Todas essas 21 ligas de aço têm a 
mesma razão E/ρ e, portanto, entram na tabela como se fossem um único item.) Esses materiais estão classi-
ficados em ordem decrescente da razão.
Liga(s) Condição
Molibdênio Lâmina/barra 31,3
356,0 Al Conforme fundida, alta produção 26,9
356,0 Al Conforme fundida, personalizada 26,9
356,0 Al T6 26,9
Inoxidável 17–7PH Lâmina, laminada a frio 26,6
Inoxidável 17–7PH Endurecida por precipitação 26,6
Aços-carbono simples/de baixa liga Várias 26,3
2024 Al O 26,1
2024 Al T3 26,1
2024 Al T351 26,1
E
ρ
(c) Agora temos que realizar uma análise de custo com as ligas indicadas anteriormente.
26 Solução de Problemas 
A seguir estão listados, para cada liga, a razão ρ/E, o custo relativo do material (c–) e o produto desses dois 
parâmetros. Apenas aquelas ligas na tabela anterior para as quais os dados de custos são fornecidos estão in-
cluídas na tabela; essas estão classificadas em ordem crescente de custo.
Liga Condição c–
Aço 1040 Lâmina, laminada a quente 3,79 0,7 2,65
Aço 1020 Lâmina, laminada a frio 3,79 0,9 3,41
Aço 1020 Lâmina, laminada a quente 3,79 1,0 3,79
Aço A36 Lâmina, laminada a quente 3,79 1,0 3,79
Aço A36 Cantoneira, laminada a quente 3,79 1,0 3,79
Aço 4140 Barra, normalizada 3,79 1,6 6,06
Aço 1040 Lâmina, laminada a frio 3,79 1,7 6,44
Aço 4340 Barra, recozida 3,79 2,0 7,58
356,0 Al Fundida, alta produção 3,72 2,4 8,93
Aço 4340 Barra, normalizada 3,79 2,8 10,6
Aço 4140H Redonda, normalizada 3,79 3,9 14,8
Aço inox 17–7PH Lâmina, laminada a frio 3,75 7,1 26,6
2024 Al T3 3,83 12,9 49,4
356,0 Al Fundida, personalizada 3,72 13,6 50,6
2024 Al T351 3,83 13,4 51,3
356,0 Al T6 3,72 14,7 54,7
Molibdênio Chapa/barra 3,19 161 514
10–2
E
ρ c–
E
ρ _
_10–2
Fica para o aluno selecionar a melhor liga metálica a ser empregada para essa barra puxada em tração com 
base na rigidez em relação à massa, incluindo o elemento custo e outras considerações relevantes.
(d) Agora temos que selecionar as ligas metálicas no banco de dados que têm índices de performance da 
resistência maiores que 120 (para σl e ρ em unidades de MPa e g/cm3, respectivamente). Esse processo pode 
ser acelerado usando um procedimento análogo àquele descrito na parte (b).
Treze ligas satisfazem esse critério; elas e suas razões σl /ρ (de acordo com a Equação M.91) estão listadas 
a seguir; aqui elas estão classificadas em ordem decrescente do valor da razão.
Liga(s) Condição
Ti-6Al-4V Tratada por solução/envelhecida 249
Inoxidável 440A T/R, 315ºC 212
Aço 4340 T/R, 315ºC 206
Aço 4140 T/R, 315ºC 200
Ti-6Al-4V Recozida 187
7075 Al T6 180
7075 Al T651 180
Inoxidável 17–7PH Endurecida por precipitação 171
Ti-5Al-2,5Sn Recozida 170
Inoxidável 17–7PH Lâmina, laminada a frio 158
C17200 Cu Tratada por solução/envelhecida 132
2024 Al T3 125
AZ31B Mg Chapa, laminada 124
ρ
σl
(e) Agora temos que realizar uma análise de custo para as ligas indicadas anteriormente.
A seguir estão listados, para cada uma das ligas acima, os valores de ρ/σl, o custo relativo do material (c
–) 
e o produto desses dois parâmetros; além disso, aquelas ligas para as quais os dados de custos são fornecidos 
estão classificadas em ordem crescente de custo.
Módulo de Suporte Online para Engenharia Mecânica 27
Fica para o aluno selecionar a melhor liga