PC_2020-1_AD1-Parte1_GABARITO

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AD1-Parte 1 – 2020-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 7 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
AD1-Parte 1 – GABARITO 
 
Questão 1 [2,0 pontos] Considere 𝑥 ∈ ℝ e o polinômio 𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 32𝑥3 − 15𝑥2 − 3𝑥 + 2. 
(a) Sabendo que 𝑝(𝑥) possui apenas uma raiz inteira, encontre essa raiz. 
(b) Sabendo que 𝑝(𝑥) possui pelo menos uma raiz racional não inteira, encontre essa raiz. 
(c) Encontre todas as raízes reais de 𝑝(𝑥). 
(d) Fatore o polinômio 𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 16𝑥3 + 17𝑥2 − 𝑥 − 2. 
(e) Usando a fatoração de 𝑝(𝑥), analise o seu sinal. 
RESOLUÇÃO 
(a) As possíveis raízes inteiras são os divisores de 2 (o termo independente), que são 1;−1; 2; −2. 
Para testar qual é a raiz, vamos considerar que 𝑥 é um desses valores, substituir em 𝑝(𝑥) e verificar se 
𝑝(𝑥) = 0. 
Se 𝑥 = 1: 𝑝(1) = −12 ∙ 14 + 32 ∙ 13 − 15 ∙ 12 − 3 ∙ 1 + 2 = −12 + 32 − 15 − 3 + 2 = 
= 34 − 30 = 4 ≠ 0. Logo 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
Se 𝑥 = −1: 𝑝(−1) = −12(−1)4 + 32(−1)3 − 15(−1)2 − 3(−1) + 2 = 
−12 − 32 − 15 + 3 + 2 = −59 + 5 = −54 ≠ 0. Logo −1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
Se 𝑥 = 2: 𝑝(2) = −12 ∙ 24 + 32 ∙ 23 − 15 ∙ 22 − 3 ∙ 2 + 2 = − 12 ∙ 16 + 32 ∙ 8 − 
−15 ∙ 4 − 6 + 2 = −192 + 256 − 60 − 4 = 0. Logo 2 é a raiz inteira de 𝑝(𝑥). 
 
(b) As possíveis raízes racionais não inteiras são os divisores de 2 (termo independente) divididos pelos 
divisores de −12 (coeficiente do termo de maior grau, que é 4). 
Começando a verificar pelos mais simples, 
Se 𝑥 =
1
2
: 𝑝 (
1
2
) = −12 (
1
2
)
4
+ 32 (
1
2
)
3
− 15 (
1
2
)
2
− 3 ∙
1
2
+ 2 = −
12
16
+
32
8
−
15
4
−
3
2
+ 2 = 
= −
 3 
4
+ 4 −
15
4
−
3
2
+ 2 = −
18
4
−
3
2
+ 6 = −
9
2
−
3
2
+ 6 = −
12
2
+ 6 = 0. 
Logo 
1
2
 é uma raiz racional não inteira de 𝑝(𝑥). 
 
(c) Sabemos que se 𝑥 = 2 e 𝑥 =
1
2
 são raízes de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 2) e por (𝑥 −
1
2
). 
Vamos usar Briot-Ruffini para dividir por (𝑥 − 2) e em seguida por (𝑥 −
1
2
). 
AD1-Parte 1 – 2020-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 7 
 −12 32 −15 −3 2 
2 −12 
−12 ∙ 2 + 32 
= 8 
8 ∙ 2 − 15 
= 1 
1 ∙ 2 − 3 
= −1 
−1 ∙ 2 + 2 
= 0 
1
2
 −12 
−12 ∙
1
2
+ 8 
= 2 
2 ∙
1
2
+ 1 
= 2 
2 ∙
1
2
− 1 
= 0 
 
Logo, 𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 32𝑥3 − 15𝑥2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2) (𝑥 −
1
2
) (−12𝑥2 + 2𝑥 + 2). 
Encontrando as raízes do trinômio 𝑞(𝑥) = −12𝑥2 + 2𝑥 + 2, que também serão raízes de 𝑝(𝑥), 
−12𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 0 ⟺ 6𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
1±√1−4∙6∙(−1)
12
=
1±5
12
= {
6
12
=
1
2
−4
12
= −
1
3
 
Portanto, as raízes reais de 𝑝(𝑥) são: 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 𝑥3 =
1
2
 (raiz dupla) e 𝑥4 = −
1
3
. 
 
(d) 𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 16𝑥3 + 17𝑥2 − 𝑥 − 2. Para fatorar é preciso encontrar as raízes de 𝑝(𝑥). 
As possíveis raízes inteiras são os divisores de 2 (o termo independente), que são 1;−1; 2; −2. 
Se 𝑥 = 1: 𝑝(1) = −12 + 16 + 17 − 1 − 2 = 33 − 15 ≠ 0. Logo 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
Se 𝑥 = −1: 𝑝(−1) = −12 − 16 + 17 + 1 − 2 = 18 − 30 ≠ 0. Logo −1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
Se 𝑥 = 2: 𝑝(2) = −12 × 16 + 16 × 8 + 17 × 4 − 2 − 2 = (−12 + 8) × 16 + 17 × 4 − 4 = 
= −4 × 16 + 16 × 4 = 0. Logo 2 é uma raiz de 𝑝(𝑥). 
Se 𝑥 = −2: 𝑝(−2) = −12 × 16 − 16 × 8 + 17 × 4 + 2 − 2 = (−12 − 8) × 16 + 17 × 4 = =
−20 × 16 + 17 × 4 ≠ 0. Logo −2 não é uma raiz de 𝑝(𝑥). 
Logo, a única raiz inteira de 𝑝(𝑥) é 𝑥 = 2. 
Para começar a fatorar vamos dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 2), usando Briot-Ruffini. 
 −12 16 17 −1 −2 
2 −12 
−12 ∙ 2 + 16 
= −8 
−8 ∙ 2 + 17 
= 1 
1 ∙ 2 − 1 
= 1 
1 ∙ 2 − 2 
= 0 
Logo, 𝑝(𝑥) = (−12𝑥3 − 8𝑥2 + 𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 2). 
As raízes de 𝑞(𝑥) também serão raízes de 𝑝(𝑥). Como 𝑝(𝑥) só possui uma raiz inteira, que já foi 
determinada, 𝑞(𝑥) não possui raízes inteiras. Vamos procurar as raízes racionais não inteiras de 𝑞(𝑥). 
As possíveis raízes racionais não inteiras de 𝑞(𝑥) são os divisores de 1 (termo independente) divididos 
pelos divisores de −12 (coeficiente do termo de maior grau, que é 3). 
Começando a verificar pelas mais simples, 
𝑞 (
1
2
) = −12 (
1
2
)
3
− 8(
1
2
)
2
+
1
2
+ 1 = −
12
8
−
8
4
+
3
2
=
3
2
− 2 +
3
2
= −2 ≠ 0 ⟹ 
1
2
 não é raiz de 𝑞(𝑥). 
AD1-Parte 1 – 2020-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 7 
𝑞 (−
1
2
) = −12 (−
1
2
)
3
− 8(−
1
2
)
2
−
1
2
+ 1 =
12
8
−
8
4
+
1
2
=
3
2
− 2 +
1
2
= 2 − 2 = 0 ⟹ −
1
2
 é raiz de 𝑞(𝑥). 
Vamos dividir q(𝑥) por (𝑥 +
1
2
), usando Briot-Ruffini. 
 −12 −8 1 1 
−
1
2
 −12 
−12 ∙ (−
1
2
) − 8 
= −2 
−2 ∙ (−
1
2
) + 1 
= 2 
2 ∙ (−
1
2
) + 1 
= 0 
Logo, 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 2) = (−12𝑥2 − 2𝑥 + 2) (𝑥 +
1
2
) (𝑥 − 2) = 𝑡(𝑥) (𝑥 +
1
2
) (𝑥 − 2). 
Para fatorar o trinômio 𝑡(𝑥) = −12𝑥2 − 2𝑥 + 2, vamos determinar suas raízes. 
−12𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 =
2±√4−4∙(−12)∙2
−24 
=
2±√100
−24 
=
2±10
−24 
 ⟺ 𝑥 =
12
−24
= −
1
2
 ou 𝑥 =
−8
−24
=
1
3
. 
Logo, 𝑡(𝑥) = −12𝑥2 − 2𝑥 + 2 = −12 (𝑥 +
1
2
) (𝑥 −
1
3
). 
Portanto a fatoração de 𝑝(𝑥) é: 
𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 16𝑥3 + 17𝑥2 − 𝑥 − 2 = −12 (𝑥 +
1
2
) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 +
1
2
) (𝑥 − 2) 
Como −12 = −2 ∙ 2 ∙ 3, podemos simplificar a fatoração acima. 
𝑝(𝑥) = −2 ∙ (𝑥 +
1
2
) ∙ 3 ∙ (𝑥 −
1
3
) ∙ 2 ∙ (𝑥 +
1
2
) (𝑥 − 2) = −(2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 
𝑝(𝑥) = −(2𝑥 + 1)2(3𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ou 𝑝(𝑥) = (2𝑥 + 1)2(−3𝑥 + 1)(𝑥 − 2) ou 
𝑝(𝑥) = (2𝑥 + 1)2(3𝑥 − 1)(−𝑥 + 2). 
 
(e) Vamos usar tabela para auxiliar na análise de sinal de 𝑝(𝑥). 
 (−∞,−
1
2
) −
1
2
 (−
1
2
,
1
3
) 
1
3
 (
1
3
, 2) 2 (2,∞) 
−(2𝑥 + 1)2 − 0 − − − − − 
3𝑥 − 1 − − − 0 + + + 
𝑥 − 2 − − − − − 0 + 
𝑝(𝑥) − 0 − 0 + 0 − 
 
Concluindo a análise de sinal de 𝑝(𝑥): 
𝑝(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 = −
1
2
 ou 𝑥 =
1
3
 ou 𝑥 = 2. 
𝑝(𝑥) > 0 se e só se 
1
3
< 𝑥 < 2 . Em intervalo, 𝑝(𝑥) > 0 se e só se 𝑥 ∈ (
 1 
3
 , 2). 
𝑝(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 < −
1
2
 ou −
1
2
< 𝑥 <
1
3
 ou 𝑥 > 2. 
Em intervalos, 𝑝(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 ∈ (−∞,−
1
2
) ∪ (−
1
2
,
1
3
) ∪ (2,∞). 
 
Questão 2 [2,2 pontos] Considere 𝑥 ∈ ℝ e os trinômios 𝐴(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 − 3 e 𝐵(𝑥) = 𝑥2 − 4. 
AD1-Parte 1 – 2020-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 4 de 7 
(a) Esboce o gráfico de 𝐴(𝑥) e analise o sinal de 𝐴(𝑥). 
(b) Esboce o gráfico de 𝐵(𝑥) e analise o sinal de 𝐵(𝑥). 
(c) Analise o sinal da expressão 𝑅(𝑥) =
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
=
−𝑥2+𝑥−3
𝑥2−4
. 
(d) Considere 𝑥 ∈ ℝ e determine o domínio da expressão 𝐸(𝑥) = √𝑅(𝑥) = √
−𝑥2+𝑥−3
𝑥2−4
. 
(e) Considere 𝑥 ∈ ℝ e determine o domínio da expressão 𝐹(𝑥) =
√(𝑥−4)∙𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
. 
Lembre que determinar o domínio de uma expressão na variável 𝑥 ∈ ℝ significa encontrar 
todos os valores reais de 𝑥 em que é possível calcular a expressão na variável 𝑥 ∈ ℝ. 
RESOLUÇÃO 
(a) Para encontrar os pontos onde o gráfico de 𝐴(𝑥) corta o eixo 𝑥, vamos procurar as raízes de 𝐴(𝑥). 
−𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 =
−1±√12−4(−1)(−3)
2(−1)
=
−1±√1−12
−2
=
−1±√−11
−2
 
Como não existe raiz quadrada de número negativo, o trinômio 𝐴(𝑥) não possui raízes reais e, 
consequentemente, não corta o eixo 𝑥. 
Como o coeficiente de 𝑥2 é igual a −1 < 0, a parábola, que é o gráfico do trinômio 𝐴(𝑥) , tem 
concavidade para baixo. 
No ponto de interseção com o eixo 𝑦, temos que 𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝐴(0) = −0 + 0 − 3 = −3. 
Como só temos um ponto da parábola, vamos determinar o vértice. Para isso, vamos completar o 
quadrado no trinômio para encontrar a sua forma canônica 𝐴(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘. Nessa forma sabemos 
que o vértice 𝑉(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘). 
𝐴(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 − 3 = −(𝑥2 − 𝑥) − 3 = −(𝑥2 − 2 ∙
1
2
𝑥 + (
1
2
)
2
− (
1
2
)
2
) − 3 = 
= −(𝑥2 − 2 ∙
1
2
𝑥 +
1
4
) − 3 +
1
4
= −(𝑥 −
1
2
)
2
−
11
4
. 
Logo, 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (
1
2
,−
11
4
). 
Portanto, o gráfico de 𝐴(𝑥) é uma parábola com concavidade para baixo, 
tem vértice no ponto (
1
2
, −
11
4
), não corta o eixo 𝑥 e corta o eixo 𝑦 no 
ponto (0, −3). O gráfico está esboçado ao lado. 
 
Análise de sinal 
Pelo gráfico, 𝐴(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
 
(b) Para encontrar os pontos onde o gráfico corta o eixo 𝑥, vamos procurar as raízes de 𝐵(𝑥). 
𝑥2 − 4 ⟺ 𝑥2 = 4 ⟺ 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 2. 
Como o coeficiente de 𝑥2 é igual a 1 > 0, a parábola, que é o gráfico do trinômio 𝐵(𝑥) , tem concavidade 
para cima. 
Determinando a abscissa do vértice 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉), 𝑥𝑉 =
−2+2
2
= 0. Logo o vértice 𝑉(0, 𝑦𝑉) está no eixo 𝑦. 
No ponto de interseção com o eixo 𝑦, temos que 𝑥𝑉 = 0 e 𝑦𝑉 = 𝐵(0) = 0 − 4 = − 4. 
AD1-Parte 1 – 2020-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 5 de 7 
Já temos elementos suficientes para esboçar o gráfico de 𝐵(𝑥) que é uma 
parábola com concavidade para cima, corta o eixo 𝑥 em 𝑥1 = −2 e em 𝑥2 =
2, tem vértice 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) no eixo 𝑦 e 𝑦𝑉 = −4. O gráfico está esboçado ao 
lado. 
 
Análise de sinal 
Observando o gráfico ao lado, 
𝐵(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 2 
𝐵(𝑥) > 0 se e só se 𝑥 < −2 ou 𝑥 > 2. Em intervalo, 𝑥 ∈ (−∞, 2) ∪ (2,∞). 
𝐵(𝑥) < 0 se e só se −2 < 𝑥 < 2. Em intervalo, 𝑥 ∈ (−2, 2). 
 
(c) Vamos usar tabela de sinais e a análise de sinal dos itens (a) e (b) para analisar o sinal de 
𝑅(𝑥) =
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
=
−𝑥2+𝑥−3
𝑥2−4
. 
 (−∞,−2) −2 (−2, 2) 2 (2,∞) 
−𝑥2 + 𝑥 − 3 − − − − − 
𝑥2 − 4 + 0 − 0 + 
𝑅(𝑥) =
−𝑥2 + 𝑥 − 3
𝑥2 − 4
 − 𝑛𝑑 + 𝑛𝑑 − 
𝑛𝑑 = não definido 
𝑅(𝑥) = 0 não existe 𝑥 , tal que 𝑅(𝑥) = 0 . 
𝑅(𝑥) > 0 se e só se −2 < 𝑥 < 2. Em intervalo, 𝑥 ∈ (−2, 2). 
𝑅(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 < −2 ou 𝑥 > 2. Em intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,− 2) ∪ (2,∞). 
 
(d) Única restrição do domínio de 𝐸(𝑥) = √𝑅(𝑥) = √
−𝑥2+𝑥−3
𝑥2−4
: 
radicando positivo ou nulo, ou seja, 
−𝑥2+𝑥−3 
𝑥2−4
 ≥ 0. 
Pela análise de sinal do item (c), concluímos: 
𝐷𝑜𝑚(𝐸) = {𝑥 ∈ ℝ; −2 < 𝑥 < 2} = (−2, 2). 
 
(e) As restrições do domínio de 𝐹(𝑥) =
√(𝑥−4)∙𝐴(𝑥) 
𝐵(𝑥)
 são: 
• Radicando positivo ou nulo, ou seja (𝑥 − 4) ∙ 𝐴(𝑥) ≥ 0 
• Denominador não nulo, ou seja 𝐵(𝑥) ≠ 0. 
Resolvendo (𝒙 − 𝟒) ∙ 𝑨(𝒙) ≥ 𝟎. 
AD1-Parte 1 – 2020-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 6 de 7 
É preciso analisar o sinal de (𝑥 − 4) ∙ 𝐴(𝑥). para isso , vamos usar tabela de sinais, com o sinal de 𝐴(𝑥) 
determinado no item (a). 
 
 
 
 
Solução de (𝑥 − 4) ∙ 𝐴(𝑥) ≥ 0 é: {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 4} = (−∞, 4). 
Resolvendo 𝑩(𝒙) ≠ 𝟎 
Pelo item (b) 𝐵(𝑥) ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −2 𝑒 𝑥 ≠ 2. 
Logo, domínio de 𝐹(𝑥) é: 
𝐷𝑜𝑚(𝐹) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 4 𝑒 𝑥 ≠ −2 𝑒 𝑥 ≠ 2} = (−∞,−2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, 4]. 
 
Questão 3 [0,8] Considere a inequação 
1
𝑥−1
≤ 𝑥 − 1. 
Resolva a inequação 
1
𝑥−1
≤ 𝑥 − 1, isto é, encontre os valores reais de 𝑥 que satisfazem a inequação. 
Dê a resposta em forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos 
em comum). Deixe escritas aqui, as contas que você fez para chegar na sua solução. 
 
A solução dessa inequação é {𝑥 ∈ ℝ ; 0 ≤ 𝑥 < 1 ou 𝑥 ≥ 2 } = [0 , 1) ∪ [2 ,∞). 
A solução da inequação coincide com a solução que você encontrou? 
Se coincide, você está de parabéns! Sua resolução será corrigida normalmente, junto com as outras questões. 
Se não coincide, procure entender onde está o erro em sua resolução. Para isso, leia o gabarito do exercício 6(a) do 
EP02. Se depois disso ainda não descobriu onde está o erro de sua resolução, procure o mediador presencial ou o 
mediador a distância para que ele diga onde está o erro e indique para você uma maneira diferente da sua maneira 
de resolver. O mediador está ciente que excepcionalmente nessa questão pode dizer para o aluno onde está o erro. 
Depois disso, descarte a sua resolução errada, refaça a sua resolução da inequação para que seja corrigida 
normalmente, junto com as outras questões. 
RESOLUÇÃO 
1
𝑥−1
≤ 𝑥 − 1 
𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 (𝑥−1)
𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜
⇔ 
1
𝑥−1
− (𝑥 − 1) ≤ 0 
𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
⇔ 
1−(𝑥−1)(𝑥−1)
𝑥−1
≤ 0 
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟
⇔ 
1−(𝑥−1)2
𝑥−1
≤ 0 ⟺ 
1−(𝑥2−2𝑥+1)
𝑥−1
≤ 0 ⟺ 
1−𝑥2+2𝑥−1
𝑥−1
≤ 0 ⟺ 
−𝑥2+2𝑥
𝑥−1
≤ 0. 
Agora vamos analisar o sinal do numerador 𝑁(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 e do denominador 𝐷(𝑥) = 𝑥 − 1 para 
usar tabela de sinais e analisar os sinal de 
−𝑥2+2𝑥
𝑥−1
. 
 (−∞, 4) 4 (4,∞) 
𝑥 − 4 − 0 + 
−𝑥2 + 𝑥 − 3 − − − 
(𝑥 − 4) ∙ 𝐴(𝑥) + 0 − 
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Sinal de 𝑵(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 
−𝑥2 + 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥(−𝑥 + 2) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2. 
Como o coeficiente de 𝑥2 é − 1 < 0, o gráfico de 𝑁(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 é uma parábola com concavidade 
para baixo e corta o eixo 𝑥 em 𝑥1 = 0 e 𝑥2 = 2. Logo, 
𝑁(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 
𝑁(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 > 0 ⟺ 0 < 𝑥 < 2 
𝑁(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 < 0 ⟺ 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 > 2. 
Sinal de 𝑫(𝒙) = 𝒙 − 𝟏 
𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1; 𝑥 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 > 1; 𝑥 − 1 < 0 ⟺ 𝑥 < 1. 
Sinal de 
𝑵(𝒙)
𝑫(𝒙)
= 
−𝒙𝟐+𝟐𝒙
𝒙−𝟏
 
 (−∞, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 2) 2 (2,∞) 
𝑁(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 0 + + + 0 − 
𝐷(𝑥) = 𝑥 − 1 − − − 0 + + + 
𝑁(𝑥)
𝐷(𝑥)
=
−𝑥2 + 2𝑥
𝑥 − 1
 + 0 − 𝑛𝑑 + 0 − 
 
Assim, 
−𝑥2+2𝑥
𝑥−1
≤ 0 se e só se {𝑥 ∈ ℝ; 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 2 } = [0, 1) ∪ [2,∞). 
Portanto, a solução de 
1
𝑥−1
≤ 𝑥 − 1 é {𝑥 ∈ ℝ; 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 2 } = [0, 1) ∪ [2,∞).