APS1 - Álgebra Linear e Cálculo Vetorial - Sistemas Lineares

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CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA
Leonardo de Souza Rufino
Thiago Soares Procópio
Igor Silva de Souza
Gabriel Reis do Nascimento
SISTEMAS LINEARES
Rio de Janeiro, Brasil
10 de Abril de 2019
Lista de ilustrações
Figura 1 – Estrutura de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Figura 2 – Fluxograma das classificações de um sistema . . . . . . . . . . . . 5
Sumário
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Resumo Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Sistema Possível e Determinado (SPD) . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI) . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Sistema Impossível (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Aplicação =⇒ Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1 Exercício 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3
1 Introdução
O sistema linear é correlacionado à álgebra linear e o entendimento mais
profundo dos sistemas é dependente do domínio desta matéria.
Sendo assim, é importante o entendimento dos espaços vetoriais, dos isomorfismos,
das transformações lineares, da interpolação de Lagrange, da decomposição de um
polinômio em fatores primos, de anéis comutativos, do teorema da decomposição
primária, da forma de Jordan e das formas bilineares.
Um sistema linear, partindo da premissa de que tem resultado existente e
determinado e não há dependência entre as equações, deve ter o mesmo número
de equações e de incógnitas. O número de variáveis (incógnitas) também é chamado
de quantidade de dimensões do problema. O número de dimensões está relacionado
ao espaço vetorial. Por outro lado, os números que são subsumidos às incógnitas das
equações podem ser de vários universos. Em geral, se resolvem sistemas para números
reais, mas também existem sistemas para números complexos e ainda para outros
tipos de números. Assim, para n dimensões no conjunto dos números reais, diz-se que
se trabalha no conjunto Rn.
Para que o resultado de um sistema seja existente e determinado, não pode
haver redundância, o que é chamado também dependência entre as matrizes que
representam as equações.
4
2 Resumo Teórico
Sistemas Lineares são conjuntos de equações associadas entre elas que apre-
sentam a forma a seguir:
Figura 1 – Estrutura de um Sistema Linear
https://www.todamateria.com.br/sistemas-lineares/
A chave do lado esquerdo é o símbolo usado para sinalizar que as equações
fazem parte de um sistema. O resultado do sistema é dado pelo resultado de cada
equação.
Os coeficientes amxm, am2xm2, am3xm3, . . . , an, an2, an3 das incógnitas x1,
xm2,xm3, . . . , xn, xn2, xn3 são números reais.
Ao mesmo tempo, b também é um número real que é chamado de termo independente.
Sistemas lineares homogêneos são aqueles cujo termo independente é igual a
0 (zero): a1x1 + a2x2 = 0.
Portanto, aqueles que apresentam termo independente diferente de 0 (zero) indica que
o sistema não é homogêneo: a1x1 + a2x2 = 3.
5
3 Classificação
Os sistemas lineares podem ser classificados conforme o número de soluções
possíveis. Lembrando que a solução das equações é encontrado pela substituição das
variáveis por valores.
Figura 2 – Fluxograma das classificações de um sistema
https://matematicabasica.net/sistemas-lineares/
• Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o
que acontece quando o determinante é diferente de zero (D 0).
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas,
o que acontece quando o determinante é igual a zero (D = 0).
• Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução,
o que acontece quando o determinante principal é igual a zero (D = 0) e um ou
mais determinantes secundários são diferentes de zero (D 0).
As matrizes associadas a um sistema linear podem ser completas ou incom-
pletas. São completas as matrizes que consideram os termos independentes das
equações.
Os sistemas lineares são classificados como normais quando o número de
coeficientes é o mesmo que o número de incógnitas. Além disso, quando o determinante
da matriz incompleta desse sistema não é igual a zero.
3.1 Sistema Possível e Determinado (SPD)
Se D=det A6=0; caso em que a solução é única.
Capítulo 3. Classificação 6
Exemplo:
m=n=3
Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
3.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Se D = Dx1 = Dx2 = Dx3 = . . . = Dxn= 0, para n = 2. Se n ≥ 3, essa condição
só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectiva-
mente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível
e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:
D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
3.3 Sistema Impossível (SI)
Se D=0 e 3 Dxi 6= 0, 1 ≤ i ≤ n; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:
Capítulo 3. Classificação 7
Como D = 0 e Dx 6= 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.
as
asd
6=
8
4 Aplicação =⇒ Exercícios
4.1 Exercício 01
Usando um microfone com caixinha de som por causa da voz, Antônio Carnevale
vende balas nos trens do Rio de Janeiro (Ramal Gramacho - SuperVia). Em um dia
de excelentes vendas, o vendedor que é conhecido popularmente como “Carnaval”
teve que reabastecer 3 vezes durante o dia. Na primeira compra, Carnaval comprou 6
sacos de balas juquinha, 8 sacos de balas gengibre com mel e 5 sacos de balas fini,
compra essa no total de R$99,00. Após vender rapidamente quase toda a mercadoria,
Carnaval resolveu fazer uma nova compra no valor de R$39,00 onde foram comprados
5 sacos de bala juquinha, 1 saco de balas gengibre com mel e 2 sacos de balas fini.
Cansado e muito feliz, Carnaval resolveu estender um pouco mais as vendas do dia,
com o objetivo de comprar um espumante para a sua esposa, onde foram adquiridos
mais 4 sacos de bala juquinha, 7 sacos de balas gengibre com mel e somente 1 saco
de balas fini, totalizando R$58,00 da última compra.
Com base nos dados apresentados, resolva o sistema pelo Método de Gauss com o
objetivo de descobrir o valor unitário de cada saco de balas comprado pelo vendedor.
RESOLVENDO O SISTEMA:
Resolveremos o problema acima utilizando o Método de Gauss, logo, precisaremos
transformar os dados acima em equações. Denominaremos cada tipo de bala como
uma incógnita, ficando assim:
• Saco de Balas Juquinha = x
• Saco de Balas de Gengibre com Mel = y
• Saco de Balas Fini = z
Nosso sistema ficará da seguinte forma:
Agora, colocaremos todos os valores das incógnitas e dos termos independentes em
uma matriz, ficando assim:
Capítulo 4. Aplicação =⇒ Exercícios 9
Feito isso, faremos determinantes de matrizes 2x2, ficando assim:
Repare que, as matrizes 2x2 são retiradas da matriz acima, sendo as primeiras matrizes
representadas pela circunferência e as demais pelos retângulos.
Faremos o determinante de todas as matrizes 2x2 representadas pelos círculos e
respectivas cores:
• 6 x 1 - 5 x 8 = -34
• 6 x 2 - 5 x 5 = -13
• 6 x 39 - 5 x 99 = -261
Pegamos o resultado de cada determinante e adicionamos em baixo da matriz, iso-
lando a primeira incógnita (x), ou seja, pulando uma “casa”. O resultado parcial está
representado na imagem abaixo:
Agora calcularemos o determinante das matrizes 2x2 representadas pelo retângulo e
suas respectivas cores:
• 6 x 7 - 4 x 8 = 10
• 6 x 1 - 4 x 5 = -14
Capítulo 4. Aplicação =⇒ Exercícios 10
• 6 x 58 - 4 x 99 = -48
Agora que temos os resultados dos determinantes das matrizes 2x2 representadas
pelo retângulo, colocaremos os resultados em baixo dos resultados das matrizes 2x2
representadas pela circunferência, ficando assim:
Feito isso, novamente faremoso determinante das matrizes 2x2 formadas em baixo
da nossa primeira matriz, seguindo a mesma lógica usada anteriormente e agora
isolaremos a incógnita (y), novamente pulando uma “casa”. Veja:
Agora que obtemos todos os resultados, montaremos novamente o novo sistema
utilizando os novos valores retirados das resoluções anteriores, assim:
Capítulo 4. Aplicação =⇒ Exercícios 11
Reescreveremos o nosso sistema substituindo os coeficientes pelos valores achados
anteriormente, sendo o último valor sempre o termo independente.
Resolveremos o nosso sistema sempre pela equação com menor número de incógnitas,
então:
ACHANDO Z
• 606z = 4242
• z = 4242 / 606
• z = 7
ACHANDO Y
• -34y - 13z = -261
• -34y - 13 * 7 = -261
• -34y - 91 = -261
• -34y = -261 + 91
• -34y = -170
• y = -170 / -34
Capítulo 4. Aplicação =⇒ Exercícios 12
• y = 5
ACHANDO X
• 6x + 8y + 5z = 99
• 6x + 8 * 5 + 5 * 7 = 99
• 6x + 40 + 35 = 99
• 6x = 99 - 40 - 35
• 6x = 24
• x = 24 / 6
• x = 4
Resposta Final: S = { ( 4 , 5 , 7 ) }
• Saco de Balas Juquinha = R$ 4,00
• Saco de Balas de Gengibre com Mel = R$5,00
• Saco de Balas Fini = R$7,00
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5 Conclusão
Sistemas de Equações Lineares, conhecido abreviadamente por Sistemas Line-
ares, é utilizado na resolução de problemas com incógnitas em diversas áreas. Como
já explicado anteriormente, um Sistema Linear pode ter várias soluções (SPI), uma
só (SPD) ou até mesmo nenhuma (SI). Para que exista o sistema, é necessário que
o número de incógnitas seja igual ao número de equações, assim possibilitando a
sua resolução (em caso de sistemas possíveis). Por exemplo, em um sistema com
5 incógnitas (a, b, c, d, e) é necessário que tenha também 5 equações, e assim
sucetivamente.
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6 Referências Bibliográficas
1) https://www.todamateria.com.br/sistemas-lineares/
2) https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_equações_lineares
3) https://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas4.php
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	Sumário
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	Resumo Teórico
	Classificação
	Sistema Possível e Determinado (SPD)
	Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
	Sistema Impossível (SI)
	Aplicação -3mu Exercícios
	Exercício 01
	Conclusão
	Referências Bibliográficas