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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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reta formados por um feixe de retas paralelas cortado por retas 
transversais. Antes de falar do teorema em si, é bom lembrar o conceito de feixe de retas 
paralelas, retas transversais e uma de suas propriedades: 
Duas ou mais retas são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum. 
Quando destacamos três ou mais retas paralelas em um plano, dizemos que elas formam 
um feixe de retas paralelas. As retas transversais são aquelas que “cortam” as retas 
paralelas. 
Suponha que um feixe de retas paralelas forme segmentos de reta congruentes sobre uma 
reta transversal qualquer. Nessa hipótese, ele também forma segmentos congruentes em 
qualquer outra reta transversal. 
A imagem a seguir mostra um feixe de retas paralelas, duas retas transversais e as medidas 
dos segmentos de reta formados por elas. 
 
 
Teorema de Tales 
Os segmentos de reta formados sobre retas transversais a um feixe de retas paralelas são 
proporcionais. 
 
 89 
Isso significa que é possível que as divisões entre os comprimentos de alguns segmentos 
formados nessas circunstâncias tenham o mesmo resultado. 
Para compreender melhor o teorema enunciado, observe a imagem a seguir: 
 
 
O que o teorema de Tales garante a respeito dos segmentos formados sobre as retas 
transversais é a seguinte igualdade: 
𝑱𝑲
𝑲𝑳
=
𝑶𝑵
𝑵𝑴
 
Note que a divisão foi feita, nesse caso, de cima para baixo. Os segmentos superiores nas 
retas transversais aparecem no numerador. O teorema também garante outras 
possibilidades. Veja: 
𝑲𝑳
𝑱𝑲
=
𝑵𝑴
𝑶𝑵
 
Outras variações podem ser obtidas pela troca das razões de membro ou pela aplicação da 
propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos). 
Outras possibilidades de proporcionalidade pelo teorema de tales são: 
𝑱𝑲
𝑶𝑵
=
𝑲𝑳
𝑵𝑴
 
𝑶𝑵
𝑱𝑲
=
𝑵𝑴
𝑲𝑳
 
𝑱𝑲
𝑱𝑳
=
𝑶𝑵
𝑶𝑴
 
 
 90 
𝑲𝑳
𝑱𝑳
=
𝑵𝑴
𝑶𝑴
 
 
Tanto esse teorema quanto essa propriedade são usados para descobrir a medida de um 
dos segmentos quando se conhece a medida dos outros três ou quando se conhece a razão 
de proporcionalidade entre dois segmentos. 
O mais importante para resolver exercícios que envolvem o teorema de Tales é respeitar a 
ordem em que os segmentos de reta são colocados nas frações. 
 
Exemplo 
No feixe de retas paralelas a seguir, vamos determinar a medida do segmento NM. 
 
 
Solução: 
Seja x o comprimento do segmento NM, vamos mostrar a proporcionalidade entre os 
segmentos e utilizar a propriedade fundamental das proporções para resolver a equação: 
𝟐
𝟖
=
𝟒
𝒙
 
𝟐𝒙 = 𝟑𝟐 
𝒙 =
𝟑𝟐
𝟐
 
𝒙 = 𝟏𝟔𝒄𝒎 
 
 
 91 
Note que qualquer uma das razões expostas acima poderia ter sido utilizada para resolver 
esse problema e o resultado seria o mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 92 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Quando comparamos duas figuras geralmente queremos saber quais as semelhanças 
existentes entre elas. Algumas vezes elas são iguais, algumas vezes são apenas parecidas e 
também existem os casos em que as figuras comparadas são completamente diferentes. Na 
matemática, frequentemente as figuras geométricas são comparadas e os resultados 
possíveis são: Figuras congruentes, figuras semelhantes e figuras diferentes. A seguir, 
discutiremos a semelhança entre polígonos e os casos de semelhança entre triângulos. 
Dois polígonos são semelhantes quando existe proporcionalidade entre seus lados e seus 
ângulos correspondentes são todos iguais. Existir uma razão de proporcionalidade quer 
dizer que se dividirmos a medida de um lado da primeira figura pelo valor de um lado da 
segunda figura e o resultado for, por exemplo, o número 3, então todas as divisões entre 
medidas de lados da primeira figura por medidas dos lados da segunda figura terão 3 como 
resultado. 
 
 
Isso ocorre no caso dos hexágonos da imagem acima. Repare que a divisão de qualquer lado 
do primeiro hexágono por qualquer lado do segundo tem 3 como resultado. 
 
 93 
Para que dois polígonos sejam semelhantes, deve existir proporcionalidade entre seus lados 
correspondentes, além de ângulos correspondentes congruentes. 
Voltando ao exemplo dos hexágonos acima, observe que a razão entre lados 
correspondentes é sempre 3: 
𝑨𝑩
𝑮𝑯
=
𝑩𝑪
𝑯𝑰
=
𝑪𝑫
𝑰𝑱
=
𝑫𝑬
𝑱𝑲
=
𝑬𝑭
𝑲𝑳
=
𝑭𝑨
𝑳𝑮
= 𝟑 
 
Para mostrar que eles são semelhantes, falta apenas mostrar que seus ângulos 
correspondentes são congruentes. Nesse caso são, por terem sido construídos como 
polígonos regulares. 
Para os triângulos a regra é a mesma. Dois triângulos são semelhantes caso três ângulos 
correspondentes sejam congruentes e 3 lados correspondentes possuam a mesma razão de 
proporcionalidade. 
-- 
Porém, é possível verificar a semelhança nos triângulos de uma forma mais simples. Basta 
observar se eles se enquadram em um dos casos de semelhança de triângulos a seguir: 
Caso Ângulo Ângulo (AA): Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos 
correspondentes congruentes. 
 
 
 
 94 
Não é necessário verificar o terceiro ângulo e nenhuma proporcionalidade entre os lados. 
Basta que dois ângulos sejam congruentes e os dois triângulos já podem ser declarados 
semelhantes.: 
Caso Lado Lado Lado (LLL): Se dois triângulos possuem três lados proporcionais, então 
esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não é necessário verificar os ângulos. 
 
 
Na imagem acima, observe que as razões entre lados correspondentes têm o mesmo 
resultado: 
𝑨𝑩
𝑫𝑬
=
𝑩𝑪
𝑬𝑭
=
𝑪𝑨
𝑭𝑫
= 𝟏 
 
Então, pelo segundo caso de semelhança, esses triângulos são semelhantes. 
 
Caso Lado Ângulo Lado (LAL): Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e o 
ângulo entre eles congruente são semelhantes. 
Observe este caso de semelhança no exemplo: 
 
 95 
 
 
𝑨𝑩
𝑫𝑬
=
𝑪𝑨
𝑭𝑫
=
𝟏
𝟐
 
 
Nesse exemplo, o ângulo de 90 graus fica entre os lados proporcionais. Configurando assim 
o caso LAL. 
 
Exercício resolvido 
Observe a figura abaixo 
 
 
 96 
Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo instante em que 
uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. 
Pode-se afirmar que a altura do prédio vale 
a) 27 m 
b) 30 m 
c) 33 m 
d) 36 m 
e) 40 m 
 
Resolução 
Podemos considerar que o prédio, sua sombra projetada e o raio solar formam um 
triângulo. Da mesma forma, temos também um triângulo formado pela pessoa, sua sombra 
e o raio solar. 
Considerando que os raios solares são paralelos e que o ângulo entre o prédio e o solo e a 
pessoa e o solo é igual a 90º, os triângulos, indicados na figura abaixo, são semelhantes 
(dois ângulos iguais). 
 
 
 
 
 97 
Sendo os triângulos semelhantes, podemos escrever a seguinte proporção: 
𝑯
𝟑𝟎
=
𝟏, 𝟖
𝟐
 
𝟐𝑯 = 𝟏, 𝟖 ∗ 𝟑𝟎 
𝑯 =
𝟓𝟒
𝟐
= 𝟐𝟕𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 98 
PLANO CARTESIANO 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
O plano cartesiano é um objeto matemático plano e composto por duas retas numéricas 
perpendiculares, ou seja, retas que possuem apenas um ponto em comum, formando um 
ângulo de 90°. Esse ponto comum é conhecido como origem e é nele que é marcado o 
número zero de ambas as retas. O plano cartesiano recebeu esse nome por ter sido 
idealizado por René Descartes e é usado fundamentalmente para sistematizar técnicas de 
localização no plano. 
 
Retas numéricas: abcissa e ordenada 
As duas retas que dão origem

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