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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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ao plano cartesiano precisam ser retas numéricas, pois essa é 
a condição que tornará possível encontrar localizações de pontos quaisquer no plano. Essa 
localização é a base fundamental de muitos conhecimentos comuns no cotidiano, como 
distância entre pontos. 
Uma reta numérica é uma reta comum em que foi estabelecida uma correspondência com 
os números reais. Desse modo, cada ponto da reta está ligado a um único número real e é 
esse fato que permite qualquer localização. Um número real qualquer terá apenas uma 
localização em toda a extensão infinita da reta. 
 
O plano cartesiano é formado por duas dessas retas: Uma responsável pela coordenada 
horizontal e outra responsável pela coordenada vertical. É comum usar as letras x para a 
primeira e y para a segunda e os termos "coordenada x" e "coordenada y". 
No plano cartesiano, a reta vertical responsável pelas coordenadas y é chamada de 
ordenada, e a reta horizontal, responsável pelas coordenadas x, é chamada de abcissa. 
 
 99 
 
 
Pares ordenados e localizações no plano 
Um par ordenado é formado por dois números reais que representam uma coordenada. A 
ordem escolhida é a seguinte: Primeiro vêm as coordenadas x e, depois, as coordenadas y, 
que são colocadas entre parênteses para representar uma localização qualquer. Por 
exemplo, observe a imagem a seguir: 
 
Perceba que o ponto A possui coordenadas x = 2 e y = 3. Caso seja dado um ponto para que 
sua localização seja marcada no plano, como o ponto B = (3, -3), devemos primeiro traçar 
uma linha vertical sobre o número 3 no eixo das abcissas (coordenadas x). Isso acontece 
porque a primeira coordenada sempre é a coordenada x. Posteriormente, desenhamos uma 
linha horizontal sobre o número –3 no eixo das ordenadas (coordenadas y): 
 
 100 
 
O ponto B é o encontro entre as linhas horizontais desenhadas, como ilustra a imagem 
acima. 
 
Quadrantes 
Por ser formado por duas retas numéricas, existem algumas particularidades do plano 
cartesiano. Pontos mais à direita possuem coordenada x maior que pontos mais à esquerda. 
Pontos mais para cima possuem coordenada y maior que números mais para baixo. 
Além disso, a região onde x e y são positivos simultaneamente é chamada de primeiro 
quadrante. A região onde y é positivo e x é negativo é conhecida como segundo quadrante. 
Já a região onde x e y são negativos simultaneamente é chamada de terceiro quadrante. Por 
fim, quando x é positivo e y é negativo, os pontos estão localizados no quarto quadrante. 
Esses quadrantes são numerados em sentido anti-horário, partindo do primeiro quadrante, 
que fica à direta do eixo y e acima do eixo x, como mostra a figura a seguir: 
 
 
 101 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Razão trigonométrica – também chamada de relação trigonométrica – é, grosso modo, o 
resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo. As razões 
trigonométricas são capazes de relacionar os lados com os ângulos de um triângulo 
retângulo. Se não fosse por elas, só seria possível construir o que conhecemos como 
relações métricas. 
Antes de definir as razões trigonométricas, é importante conhecer a nomenclatura dos 
lados de um triângulo retângulo. 
 
Triângulo retângulo 
Em um triângulo retângulo qualquer, o lado oposto ao ângulo reto – que é o maior lado do 
triângulo – recebe o nome de hipotenusa. Os outros dois recebem o nome de catetos. 
Além disso, fixando o ângulo agudo 𝜃 de um triângulo retângulo qualquer, o lado oposto a 
esse ângulo recebe o nome de cateto oposto, e o lado que toca esse ângulo é chamado de 
cateto adjacente. 
 
 
 
 102 
Razões trigonométricas 
As razões trigonométricas foram criadas a partir da seguinte observação: 
Dois triângulos retângulos que possuem um segundo ângulo congruente são semelhantes. 
Isso significa que, entre esses dois triângulos, as medidas dos lados são proporcionais e as 
medidas dos ângulos são congruentes. Dessa forma, tomando um ângulo agudo de um 
triângulo retângulo, a razão entre seus lados terá o mesmo resultado. 
Essa informação é importante para a trigonometria porque uma razão trigonométrica 
relacionada com um determinado ângulo terá um valor fixo para qualquer triângulo, 
independentemente do tamanho de seus lados, pois, como eles são proporcionais, a razão 
entre os lados correspondentes será igual. 
Dito isso, definiremos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente: 
𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 
𝐜𝐨𝐬 𝛉 = 
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 
𝐭𝐚𝐧 𝛉 = 
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽
 
 
Um valor para cada ângulo 
O seno de um ângulo é invariável independentemente da medida do lado do triângulo de 
onde esse ângulo foi tirado. O triângulo a seguir foi construído no computador, de modo 
que possuísse um ângulo reto e outro de 30º, representado pela letra grega θ. As medidas 
obtidas foram: 
 
 103 
 
Calculando o seno de 30°, teremos: 
𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎° = 
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
=
𝟐, 𝟑𝟏
𝟒, 𝟔𝟐
=
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓 
 
O valor 0,5 é o seno de 30° para qualquer triângulo. Isso acontece porque todos os 
triângulos que possuem dois ângulos congruentes são proporcionais. 
Nesse exemplo, 0,5 é justamente a razão de proporção encontrada nos triângulos 
retângulos que possuem um ângulo de 30°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 104 
Tabela trigonométrica 
Os cálculos acima podem ser feitos para todos os ângulos "inteiros" - um ângulo também 
pode ser fracionado. As frações "decimais" são chamadas de minutos e as "centesimais" 
são chamadas de segundos. Utilizando as razões seno, cosseno e tangente, seria possível 
construir a seguinte tabela de valores: 
 
 
Aplicações práticas 
Por meio das razões trigonométricas, é possível relacionar os ângulos de um triângulo 
retângulo com os valores de seus lados. Logo, é possível descobrir a medida de um lado de 
um triângulo retângulo dispondo apenas das medidas de um de seus ângulos agudos e de 
um de seus lados. 
Observe o exemplo: Calcule o valor do lado de comprimento a no triângulo seguinte: 
 
 105 
 
 
Nesse triângulo, queremos descobrir o valor do cateto oposto ao ângulo de 60° a partir do 
valor de seu cateto adjacente. Observando as razões trigonométricas definidas acima, 
observamos que a única que relaciona o cateto oposto ao cateto adjacente é a tangente. 
Portanto, utilizaremos essa razão para descobrir o valor de “a”. Procurando a tangente 
de 60° na tabela anterior, encontramos o valor: 1,732. Observe os cálculos utilizados para 
descobrir a medida do lado a: 
𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟎° = 
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝟔𝟎°
𝑪𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝟔𝟎°
=
𝒂
𝟐
 
𝐭𝐚𝐧 𝟔𝟎° =
𝒂
𝟐
 
𝟏, 𝟕𝟑𝟐 =
𝒂
𝟐
 
 
𝒂 = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐 ∗ 𝟐 
𝒂 = 𝟑, 𝟒𝟔𝟒 
 
 
 
 106 
RADICIAÇÃO 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Radiciação é a operação matemática inversa à potenciação. Enquanto a potenciação é uma 
multiplicação na qual todos os fatores são iguais, a radiciação procura descobrir que fatores 
são esses, dando o resultado dessa multiplicação. 
Exemplo: 
1) Dada a potência: 
𝟐² = 𝟐 ∗ 𝟐 = 𝟒 
 
Dizemos que a raiz quadrada (raiz com índice 2) de 16 é igual a 4. 
 
2) Dada a potência: 
𝟐𝟔 = 𝟔𝟒 
 
Dizemos que a raiz sexta de 64 é igual a 2. Note que, ao dizer raiz sexta, estamos deixando 
claro que procuramos um número que foi multiplicado por ele mesmo 6 vezes e cujo

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