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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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nossa expressão conterá, ao invés do sinal de igual (=), outros sinais 
que determinarão uma relação de ordem entre os seus elementos. Geralmente, o conjunto 
solução de inequações será definido no conjunto dos números Reais. 
Abaixo as desigualdades e relações de ordem de números Reais: 
 
Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades: 
 
 
Exemplo 1) Tomemos agora x, y, z e w, quaisquer números Reais e vamos descobrir se há 
uma relação de ordem entre eles dados x≤y e z≤w. 
Pela compatibilidade com a adição podemos dizer que: 
𝒙 ≤ 𝒚 → 𝒙 + 𝒛 ≤ 𝒚 + 𝒛 
𝒛 ≤ 𝒘 → 𝒚 + 𝒛 ≤ 𝒚 + 𝒘 
 
 
 117 
Agora, pela propriedade transitiva temos: 
 
 
Concluindo: 
 
 
Exemplo 2) Vamos resolver a equação: 3x+4<x−8, inicialmente solucionamos como uma 
equação do primeiro grau comum, isolando as variáveis conservando a regra de sinais: 
 
𝟑𝒙 − 𝒙 < −𝟒 − 𝟖 
𝟐𝒙 < −𝟏𝟐 
𝒙 <
−𝟏𝟐
𝟐
 
𝒙 < −𝟔 
 
Sendo assim, o conjunto solução da equação será: 
 
𝑺 = {𝒙 ∈ 𝑹 ∶ 𝒙 < −𝟔} 
 
A solução também pode ser escrita na notação de intervalos reais ou representado na reta 
real como: 
 
 118 
 
 
Exemplo 3) Agora, note a solução da equação 3x+4≤7x−8: 
 
𝟑𝒙 − 𝟕𝒙 ≤ −𝟒 − 𝟖 
−𝟒𝒙 ≤ −𝟏𝟐 
 
Perceba que neste ponto, ambos os lados da desigualdade estão negativos. 
Convenientemente, podemos trocar o sinal de ambos os lados da igualdade multiplicando 
toda a expressão por (-1). 
Mas, numa desigualdade, quando invertemos o sinal de toda a expressão, também 
invertemos a desigualdade, o que nos leva a: 
 
𝟒𝒙 ≥ 𝟏𝟐 
𝒙 ≥
𝟏𝟐
𝟒
 
𝒙 ≥ 𝟑 
 
 
 
 
 
 
 119 
Escrevendo então o conjunto solução desta equação nas três possíveis representações 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 120 
EQUAÇÃO BIQUADRADA 
cai nos vestibulinhos: Colégios Militares e Bolsas de Estudo. 
 
Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: 
 
𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 
 
Para resolver (encontrarmos as suas raízes) é preciso transformá-las em uma equação do 
segundo grau. 
Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e 
como chegamos às raízes da equação biquadrada. 
 
𝒚𝟒 − 𝟏𝟎𝒚𝟐 + 𝟗 = 𝟎 → 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒃𝒊𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒂 
(𝒚𝟐)𝟐 − 𝟏𝟎(𝒚𝟐) + 𝟗 = 𝟎
→ 𝒕𝒂𝒎𝒃é𝒎 𝒑𝒐𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒕𝒂 𝒂𝒔𝒔𝒊𝒎 
 
Substituindo variáveis: y² = x, isso significa que onde for y² iremos colocar x. 
 
(𝒙)𝟐 − 𝟏𝟎(𝒙) + 𝟗 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 121 
Agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x' e x'' 
 
𝒂 = 𝟏 
𝒃 = −𝟏𝟎 
𝒄 = 𝟗 
 
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 
∆= (−𝟏𝟎)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟏 ∗ 𝟗 
∆= 𝟏𝟎𝟎 − 𝟑𝟔 
∆= 𝟔𝟒 
 
𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−𝟏𝟎) ± √𝟔𝟒
𝟐 ∗ 𝟏
 
𝒙 =
𝟏𝟎 ± 𝟖
𝟐
 
 
 
 
 122 
𝒙′ = 𝟗 
𝒙′′ = 𝟏 
 
Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação 
biquadrada devemos substituir os valores de x' e x'' em y² = x. 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝟗 
𝒚𝟐 = 𝒙 
𝒚𝟐 = 𝟗 
𝒚 = √𝟗 
𝒚 = 𝟑 𝒆 𝒚 = −𝟑 
 
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝟏 
𝒚𝟐 = 𝒙 
𝒚𝟐 = 𝟏 
𝒚 = √𝟏 
 
𝒚 = 𝟏 𝒆 𝒚 = −𝟏 
 
 
 
 123 
Portanto, a solução da equação biquadrada será: 
 
𝑺 = {−𝟑, −𝟏, 𝟏, 𝟑} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 124 
POLINÔMIOS 
cai nos vestibulinhos: Colégios Militares, ENCCEJA, CEFET e Bolsas de Estudo. 
 
Os polinômios são expressões algébricas formadas por números (coeficientes) e letras 
(partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da 
expressão. 
Exemplos 
 
𝟑𝒂𝒃 + 𝟓 
 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝒚 − 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 
 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟗𝒚² 
 
Monômio, Binômino e Trinômio 
Os polinômios são formados por termos. A única operação entre os elementos de um termo 
é a multiplicação. 
Quando um polinômio possui apenas um termo, ele é chamado de monômio. 
 
Exemplos 
 
𝟑𝒙 
𝟓𝒂𝒃𝒄 
𝒙𝟐𝒚³𝒛𝟒 
 
 
 
 125 
Os chamados binômios são polinômios que possuem somente dois monômios (dois 
termos), separados por uma operação de soma ou subtração. 
Exemplos 
 
𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 
𝟑𝒙 + 𝒚 
𝟓𝒂𝒃 + 𝟑𝒄𝒅² 
 
Já os trinômios são polinômios que possuem três monômios (três termos), separados por 
operações de soma ou subtração. 
 
Exemplos 
 
𝒙³ + 𝟑𝒙 + 𝟕 
𝟑𝒂𝒃 − 𝟒𝒙𝒚 − 𝟏𝟎𝒚 
𝒎𝟑𝒏 + 𝒎𝟐 + 𝒏𝟒 
 
Grau dos Polinômios 
O grau de um polinômio é dado pelos expoentes da parte literal. 
Para encontrar o grau de um polinômio devemos somar os expoentes das letras que 
compõem cada termo. A maior soma será o grau do polinômio. 
 
 
 
 
 
 126 
Exemplos 
 
𝟐𝒙𝟑 + 𝒚 
 
O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o grau do 
polinômio é 3. 
 
𝟒𝒙𝟐𝒚 + 𝟖𝒙𝟑𝒚𝟑 − 𝒙𝒚𝟒 
 
Vamos somar os expoentes de cada termo: 
 
𝟒𝒙𝟐𝒚 → 𝟐 + 𝟏 = 𝟑 
𝟖𝒙𝟑𝒚𝟑 → 𝟑 + 𝟑 = 𝟔 
𝒙𝒚𝟒 → 𝟏 + 𝟒 = 𝟓 
 
Como a maior soma é 6, o grau do polinômio é 6 
 
Obs: o polinômio nulo é aquele que possui todos os coeficientes iguais a zero. Quando isso 
ocorre, o grau do polinômio não é definido. 
 
 
 
 
 
 
 
 127 
Operações com Polinômios 
Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios: 
 
Adição de Polinômios 
Fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes (mesma parte 
literal). 
 
(−𝟕𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐𝒚 − 𝒙𝒚 + 𝟒𝒚) + (−𝟐𝒙²𝒚 + 𝟖𝒙𝒚 − 𝟕𝒚) 
−𝟕𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐𝒚 − 𝟐𝒙𝟐𝒚 − 𝒙𝒚 + 𝟖𝒙𝒚 + 𝟒𝒚 − 𝟕𝒚 
−𝟕𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟕𝒙𝒚 − 𝟑𝒚 
 
Subtração de Polinômios 
O sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses. Após 
eliminar os parênteses, devemos juntar os termos semelhantes. 
 
(𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝒌 + 𝟔𝒌) − (𝟑𝒙𝒌 − 𝟖𝒌) 
𝟒𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝒌 + 𝟔𝒌 − 𝟑𝒙𝒌 + 𝟖𝒌 
𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝒌 + 𝟏𝟒𝒌 
 
 
 
 
 
 
Digite a equação aqui. 
 
 128 
Multiplicação de Polinômios 
Na multiplicação devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras iguais, 
repete-se e soma-se os expoentes. 
 
(𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟖) ∗ (−𝟐𝒙 + 𝟏) 
−𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟖 
−𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 + 𝟖 
 
 
Divisão de Polinômios 
 
Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a 
divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. 
Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes. 
 
 
 
 129 
Fatoração de Polinômios 
Para realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos: 
 
Fator Comum em Evidência 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 = 𝒙(𝒂 + 𝒃) 
 
Exemplo 
 
𝟒𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟒(𝒙 + 𝟓) 
 
Agrupamento 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚 = 𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒚(𝒂 + 𝒃)
= (𝒙 + 𝒚) ∗ (𝒂 + 𝒃) 
 
Exemplo 
 
𝟖𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝟖𝒂𝒚 + 𝒃𝒚
= 𝒙(𝟖𝒂 + 𝒃) + 𝒚(𝟖𝒂 + 𝒃)
= (𝒙 + 𝒚) ∗ (𝟖𝒂 + 𝒃) 
 
 
 
 130 
NOÇÕES DE FUNÇÕES 
cai nos vestibulinhos: ETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Cursos Técnicos do SENAI, CEFET e Bolsas de 
Estudo. 
 
Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma associação entre 
cada elemento de A com um único de B através de uma lei de formação é considerada uma 
função. 
Observe o exemplo: 
 
 
O estudo das funções se apresenta em vários segmentos, de acordo com a relação entre os 
conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação. Dentre os estudos das funções temos: 
função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função modular, função 
trigonométrica, função logarítmica, função polinomial. 
Cada função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As funções 
possuem representações geométricas no plano cartesiano, as relações entre pares 
ordenados (x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de funções, pois a 
análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos problemas propostos com 
o uso de relações de dependência, especificadamente, as funções. 
As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de imagem da 
função, no plano cartesiano o eixo x representa o domínio

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