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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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Matemática, a palavra “algébrico” é reservada para expressões e operações 
numéricas que possuem pelo menos um número desconhecido, chamado de incógnita. As 
expressões algébricas que possuem uma incógnita no denominador são chamadas de 
frações algébricas. 
Desse modo, qualquer expressão algébrica que, expressa na forma de fração, possua uma 
letra no denominador é uma fração algébrica. Como ela é formada por números (alguns 
conhecidos, outros não), valem as propriedades das operações de números reais para elas. 
 
Multiplicação de fração algébrica 
A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da multiplicação de frações: 
multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. 
De forma prática, multiplique primeiramente os coeficientes, coloque o resultado numérico 
e parta para a multiplicação das incógnitas. Elas devem ser multiplicadas por meio das 
propriedades de potência. 
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
∗
𝟖𝒙𝒛
𝟐𝒙𝒌
=
𝟑𝟐𝒙𝟐𝒚𝒛
𝟏𝟔𝒌𝟐𝒙
 
 
Observe que incógnitas diferentes, que aparecem apenas uma vez em um fator, não devem 
ser multiplicadas entre si, mas apenas repetidas. 
Observe também que existe uma multiplicação implícita entre números e incógnitas nas 
frações acima, portanto: 4xy = 4*x*y. 
 
 
 
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Divisão de fração algébrica 
Essa operação é exatamente igual à divisão de frações. Portanto, para realizá-la, multiplique 
a primeira fração algébrica pelo inverso da segunda. 
Observe: 
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
:
𝟖𝒙𝒛
𝟐𝒙𝒌
=
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
∗
𝟐𝒙𝒌
𝟖𝒙𝒛
=
𝟖𝒙𝟐𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
 
 
Adição e subtração de fração algébrica 
De agora em diante utilizaremos apenas a palavra “adição” para representar as 
operações de soma e subtração, pois elas são realizadas da mesma maneira, levando em 
conta as regras de sinais para números inteiros, que também valem para os números reais. 
A adição de frações algébricas é dividida em dois casos e deve ser realizada do mesmo 
modo que a adição de frações numéricas. 
1º caso: Quando os denominadores são iguais Se os denominadores forem iguais, realize a 
operação indicada (soma ou subtração) apenas com os numeradores e repita o 
denominador no resultado: 
𝟕𝒙𝒚
𝒙
−
𝟒𝒙𝒚
𝒙
=
𝟕𝒙𝒚 − 𝟒𝒙𝒚
𝒙
=
𝟑𝒙𝒚
𝒙
 
 
2º caso: Quando os denominadores são diferentes 
Nesse caso, é necessário igualá-los antes. Para tanto, o procedimento é igual ao da soma de 
frações com denominadores diferentes: 
1 – Encontre o MMC dos denominadores. No caso das frações algébricas, eles podem ser 
monômios ou polinômios. Clique aqui para aprender a calcular o MMC dessas expressões; 
2 – Reescrever o mínimo múltiplo comum encontrado como denominador das frações e 
encontrar os respectivos numeradores da seguinte maneira: 
 
 36 
- Dividir o MMC pelo denominador da fração original e multiplicar o resultado por seu 
numerador; 
- Repetir o último procedimento para todas as frações. 
Observe o exemplo de adição de frações algébricas com denominadores diferentes a seguir 
𝟐𝒙𝟐
𝟑𝒚
−
𝟒𝒙
𝟐𝒚𝟐
 
O MMC entre 3y e 2y é 6y², logo: 
⋯
𝟔𝒚𝟐
−
⋯
𝟔𝒚𝟐
 
Para preencher as lacunas, basta dividir 6y2 pelo denominador da primeira fração e 
multiplicar o resultado pelo seu numerador. Isso dará o numerador para a primeira lacuna. 
Para a segunda, repita o procedimento com a segunda fração. 
𝟒𝒙²𝒚
𝟔𝒚𝟐
−
𝟏𝟐𝒙
𝟔𝒚𝟐
 
 
Simplificação de fração algébrica 
A simplificação de fração algébrica é feita pela eliminação de fatores iguais no numerador e 
no denominador. Muitas vezes, esses fatores não estão explícitos e precisam de algum 
cálculo para evidenciá-los. Observe o exemplo a seguir: 
𝟖𝒙²𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
 
 
Observe que os fatores x e k aparecem no numerador e no denominador. 
 
 37 
Entretanto, x está elevado ao quadrado (isso é o mesmo que x·x) e, no denominador, existe 
apenas um x. Pois bem, é possível simplificar apenas um x do numerador e um x do 
denominador. O mesmo ocorre com k, resultando em: 
𝟖𝒙²𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
=
𝟖𝒙𝒚
𝟔𝟒𝒛
 
 
A parte das incógnitas já foi finalizada, entretanto, ainda podemos simplificar a fração 
formada apenas pelos coeficientes por 8. O resultado final será: 
𝟖𝒙𝒚
𝟔𝟒𝒛
=
𝒙𝒚
𝟖𝒛
 
 
Sempre que frações algébricas forem operadas (multiplicação, divisão, adição, subtração, 
potenciação e radiciação), será necessário simplificá-las, se for possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, 
coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo 
com o maior expoente de uma das incógnitas. 
Veja: 
𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º 
grau. 
𝟐𝒙³ + 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é 
classificada como do 2º grau. 
𝒙³ − 𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟒 = 𝟎 
Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a 
equação como do 3º grau. 
 
O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau? 
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de 
resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de Bháskara. 
Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor 
ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, 
por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois: 
 
Substituindo x = 4 na equação, temos: 
 
 39 
𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟒² − 𝟏𝟎 ∗ 𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟏𝟔 − 𝟒𝟎 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 
𝟎 = 𝟎 
Ou seja, é uma igualdade verdadeira para a raiz 4. 
 
Substituindo x = 6 na equação, temos: 
𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟔² − 𝟏𝟎 ∗ 𝟔 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟑𝟔 − 𝟔𝟎 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 
𝟎 = 𝟎 
Ou seja, é uma igualdade verdadeira também para a raiz 6. 
 
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos 
determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? 
É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 40 
 
Método de Bháskara 
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bháskara os valores da seguinte equação do 
2º grau: x² – 2x – 3 = 0. 
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c 
são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c 
= –3. 
Na fórmula de Bháskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja: 
𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 
 
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (Δ) 
∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 
∆= (−𝟐)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟏 ∗ (−𝟑) 
∆= 𝟒 + 𝟏𝟐 
∆= 𝟏𝟔 
 
2º passo: substituir na fórmula de Bháskara 
𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−𝟐) ± √𝟏𝟔
𝟐 ∗ 𝟏
 
𝒙 =
𝟐 ± 𝟒
𝟐
 
 
 41 
𝒙𝟏 =
𝟐 + 𝟒
𝟐
= 𝟑 
𝒙𝟐 =
𝟐 − 𝟒
𝟐
= −𝟏 
 
Os resultados são x1 = 3 e x2 = –1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
 
SISTEMAS DE MEDIDAS 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
As unidades de medida são representações das grandezas físicas utilizadas em diversas 
áreas do conhecimento com o intuito de quantificar uma matéria, uma sensação, o tempo 
ou o tamanho de algo, por exemplo. 
Em todo o mundo as unidades de medida seguem um padrão determinado pelo Sistema 
Internacional de Unidades (SI). A partir da unidade padrão estabelecida pelo Sistema

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