Apostila_de_Matemática_N_

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O que você vai aprender nessas 
apostilas? 
Nessa apostila você vai aprender sobre as matérias mais importantes e 
que mais caem nos vestibulinhos de todo o país, e mais especificamente 
nas provas da ETEC, Colégio Embraer, Senai, Colégios da UNESP, Unicamp 
e USP, Colégios Militares e provas de bolsa. 
Resumi e organizei os principais assuntos que você precisa saber para 
garantir uma vaga nos melhores 
colégios e cursos técnicos do Brasil. 
Está fácil, está resumido e está 
divertido para você aprender tudo e 
mandar bem nas provas para o Ensino 
Médio. 
 
Essas apostilas que você tem em mãos 
vão te ajudar a se preparar para 
todas as provas! Por isso 
conto com seu esforço e 
entusiasmo para estudar 
bastante. 
Tudo o que você precisa 
está aqui, agora é com você. 
 
#BonsEstudos 
 
 3 
Quem sou eu? 
Meu nome é Diego William, e minha missão esse ano é fazer você passar 
em um vestibulinho de Ensino Médio! 
Sou Engenheiro de Materiais de formação e professor de coração... 
Sou de São José dos Campos/SP, vim de escola pública, nunca tive 
dinheiro pra pagar um colégio particular, por isso sempre lutei para passar 
em um vestibulinho e mudar minha vida. 
E deu certo! Passei em 6 vestibulinhos e em 8 vestibulares! 
 
Desde 2013 trabalho como professor e mentor para alunos que sonham 
em passar em um vestibulinho... 
Mas em 2018 resolvi fazer diferente: fundei o Guia do Vestibulinho, que já 
é o maior portal de vestibulinhos do Brasil e ajuda alunos a se 
prepararem para as provas de bolsa e vestibulinhos das maiores e 
melhores escolas do país. 
 
https://guiadovestibulinho.com.br/
 
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https://guiadovestibulinho.com.br/
 
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SUMÁRIO 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES .............................................................................................................. 7 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ................................................................................................................ 9 
REGRA DE TRÊS SIMPLES .................................................................................................................. 12 
CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................................................................. 16 
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU ...................................................................................................... 20 
PORCENTAGEM ................................................................................................................................. 24 
JUROS SIMPLES ................................................................................................................................. 27 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES .................................................................................................................. 31 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS ...................................................................................................................... 34 
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU ...................................................................................................... 38 
SISTEMAS DE MEDIDAS .................................................................................................................... 42 
GEOMETRIA PLANA .......................................................................................................................... 48 
RETAS ................................................................................................................................................ 50 
NOÇÕES DE ÂNGULOS ...................................................................................................................... 53 
TRIÂNGULOS ..................................................................................................................................... 56 
QUADRILÁTEROS............................................................................................................................... 58 
ÁREAS E PERÍMETROS ....................................................................................................................... 64 
POLIEDROS ........................................................................................................................................ 69 
PRISMAS ............................................................................................................................................ 73 
CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS ........................................................................................................ 76 
ESFERAS ............................................................................................................................................ 79 
VOLUME DE SÓLIDOS ....................................................................................................................... 81 
TEOREMA DE PITÁGORAS ................................................................................................................. 85 
TEOREMA DE TALES .......................................................................................................................... 88 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS ........................................................................................................ 92 
PLANO CARTESIANO ......................................................................................................................... 98 
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ...................................................................................................... 101 
RADICIAÇÃO .................................................................................................................................... 106 
RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES ...................................................................................................... 110 
JUROS COMPOSTOS ........................................................................................................................ 112 
INEQUAÇÕES ................................................................................................................................... 116 
 
 6 
EQUAÇÃO BIQUADRADA ................................................................................................................ 120 
POLINÔMIOS ................................................................................................................................... 124 
NOÇÕES DE FUNÇÕES ..................................................................................................................... 130 
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA ................................................................................................................ 135 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador por meio da 
divisão pelo máximo divisor comum aos dois números. 
Uma fração está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão 
totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. 
Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do denominador, mas seu valor 
matemático não é alterado, pois a fração, quando tem seus termos reduzidos, torna-se uma 
fração equivalente. 
A fração 
8
16
 possui as seguintes frações equivalentes: 
𝟖
𝟏𝟔
=
𝟒
𝟖
=
𝟐
𝟒
=
𝟏
𝟐
 
 
Elas são formadas por elementos diferentes, mas todas possuem o mesmo valor 
proporcional. Nesse exemplo, temos que a fração 
1
2
 é a fração irredutível de 
8
16
. 
Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo 
número. 
Você pode simplificar uma fração por partes.Veja: 
𝟐𝟒
𝟑𝟔
=
𝟐𝟒: 𝟐
𝟑𝟔: 𝟐
=
𝟏𝟐
𝟏𝟖
=
𝟏𝟐: 𝟐
𝟏𝟖: 𝟐
=
𝟔
𝟗
=
𝟔: 𝟑
𝟗: 𝟑
=
𝟐
𝟑
 
 
Você pode também simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve identificar o 
máximo divisor comum aos dois termos. Observe: 
𝟐𝟒
𝟑𝟔
=
𝟐
𝟑
 
 
 8 
 
O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é o 12, então, simplificamos da seguinte 
maneira: 
𝟐𝟒: 𝟏𝟐
𝟑𝟔: 𝟏𝟐
=
𝟐
𝟑
 
 
Observe mais alguns exemplos de simplificação: 
 
O MDC entre 32 e 40 é 8. 
𝟑𝟐
𝟒𝟎
=
𝟑𝟐: 𝟖
𝟒𝟎: 𝟖
=
𝟒
𝟓
 
 
O MDC entre 63 e 81 é 9. 
𝟔𝟑
𝟖𝟏
=
𝟔𝟑: 𝟗
𝟖𝟏: 𝟗
=
𝟕
𝟗
 
 
O MDC entre 90 e 120 é 30. 
𝟗𝟎
𝟏𝟐𝟎
=
𝟗𝟎: 𝟑𝟎
𝟏𝟐𝟎: 𝟑𝟎
=
𝟑
𝟒
 
 
O MDC entre 36 e 66 é 6. 
𝟑𝟔
𝟔𝟔
=
𝟑𝟔: 𝟔
𝟔𝟔: 𝟔
=
𝟔
𝟏𝟏
 
 
Portanto, para que uma fração torne-se irredutível, devemos dividir o numerador e o 
denominador pelo maior divisor comum ou realizar a simplificação por partes. 
 
 
 9 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Números Naturais 
Os números naturais são aqueles que usamos diariamente para contar objetos, números. 
Por exemplo: 1, 2, 55, 325 e assim por diante. Com os números naturais e possível realizar 
diversas operações matemáticas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja: 
24 + 50 = 74 
 
Você iguala as casas das dezenas e faz a conta, adicionando números. A ordem dos números 
na adição não influencia no resultado. 
89 – 70 = 19 
 
Na subtração, é preciso retirar de um número para o outro. Pode ser que dê negativo 
também, entretanto, na maioria das vezes é preciso verificar se deve“emprestar”do 
número esquerdo para realizar a operação corretamente. A ordem dos números influencia 
o resultado em uma expressão maior. 
5 x 100 = 500 
 
A multiplicação dos números naturais envolve adicionar novos números, dobrando, 
triplicando o valor. Logo, 5 vezes o número 100 é a mesma coisa que 100 + 100 + 100 + 100 
+ 100. A ordem não influencia o resultado. O número um é um elemento neutro, não 
alterando o resultado. 
𝟑𝟎
𝟐
= 𝟐 
 
 
 10 
Percebe-se que na divisão é possível descobrir qual o valor multiplicado leva ao primeiro 
número. Veja: 15 x 2 = 30. Essa divisão é exata. Há divisões que sobram o “resto”e há 
vírgulas, com números decimais também. 
 
Números fracionários 
Os números fracionários são aqueles representados por frações. No momento de realizar as 
operações, é preciso rever algumas dicas práticas. 
 
Adição e Subtração 
Se as frações tiverem o mesmo denominador, basta somar os numeradores. 
𝟐
𝟓
+
𝟏𝟎
𝟓
=
𝟏𝟐
𝟓
 
 
O mesmo vale para a subtração de denominadores iguais. Porém, se tiver o denominador 
diferente, é necessário descobrir o denominador comum. 
Veja: 
𝟐
𝟓
+
𝟓
𝟏𝟎
+
𝟗
𝟐
 
 
Faça o MMC (mínimo múltiplo comum) com os denominadores e veja com quantos 
números é possível chegar a um denominador comum. 
2, 5, 10 | 2 
1, 5, 5 | 5 
1, 1, 1 | 1 
2 x 5 = 10 é o denominador comum. 
 
 
 
 11 
Em seguida divida o denominador comum pelos denominadores 
𝟏𝟎
𝟓
= 𝟐 ; 
𝟏𝟎
𝟏𝟎
= 𝟏 ; 
𝟏𝟎
𝟐
= 𝟓 
 
Agora basta multiplicar o quociente em cada divisão pelo numerador e encontrar o 
resultado (vale também para subtração): 
𝟐 ∗ 𝟐
𝟏𝟎
+ 
𝟏 ∗ 𝟓
𝟏𝟎
+ 
𝟓 ∗ 𝟗
𝟏𝟎
=
𝟓𝟒
𝟏𝟎
 𝒐𝒖 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟐:
𝟐𝟕
𝟓
 
 
Multiplicação 
Na multiplicação dos números fracionários, basta multiplicar denominador com 
denominador e numerador com numerador. Exemplo: 
𝟓
𝟖
∗
𝟗
𝟏𝟓
=
𝟒𝟓
𝟏𝟐𝟎
 
 
Com os números fracionários, você pode reduzi-los até uma fração mais simples, se ambos 
numerador e denominador conseguirem ser divididos pelo mesmo número. 
𝟒𝟓: 𝟏𝟓
𝟏𝟐𝟎: 𝟏𝟓
=
𝟑
𝟖
 
 
Divisão 
Na divisão é preciso multiplicar a primeira fração pela inversão da outra. Por exemplo: 
𝟖
𝟗
: 
𝟑
𝟐𝟒
=
𝟖 ∗ 𝟐𝟒
𝟗 ∗ 𝟑
=
𝟏𝟗𝟐
𝟐𝟕
 
 
Simplificando: 
𝟏𝟗𝟐: 𝟑
𝟐𝟕: 𝟑
=
𝟔𝟒
𝟗
 
 
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REGRA DE TRÊS SIMPLES 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma 
implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada, 
ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada. 
Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão. 
Veja o exemplo: 
 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na 
redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz a metade; quando 
triplicamos uma delas, a outra fica reduzida a terça parte, etc. 
 
 
 
 
 
 13 
Veja o exemplo: 
 
 
Razão: 
𝟏𝟐
𝟔
=
𝟐
𝟏
 
𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟎
=
𝟏
𝟐
 
 
Note que 
𝟏𝟐
𝟔
 e 
𝟔𝟎
𝟏𝟐𝟎
 possuem razões inversas, isto é, 
𝟐
𝟏
 é o inverso de 
𝟏
𝟐
. 
 
Regra de três simples 
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três valores de um problema e 
desconhecemos apenas um, poderemos chegar a sua solução utilizando os princípios da 
regra de três simples. Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos 
também entre si. 
 
 
 
 
 
 14 
Acompanhe: 
 
Exemplo: 
Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito 
para fazer 18 pães? Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela 
contendo os valores. 
 
 
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de farinha de trigo e número 
de pães são inversa ou diretamente proporcionais. 
- Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade de pães também duplicará. 
Se triplicarmos a farinha, os pães também serão triplicados, e assim por diante. Sendo 
assim, somos levados a concluir que essas duas grandezas são diretamente proporcionais; 
- Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de acordo com o quadro 
acima e partir para sua solução; 
- As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são diretamente proporcionais. 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. 
Eles nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período 
histórico. Veja quais são eles: 
 
Conjunto dos Números Naturais 
O conjunto dos Números Naturais foi o primeiro de que se teve notícia. 
Nasceu da simples necessidade de se fazer contagens, por isso, seus elementos são apenas 
os números inteiros e positivos. 
Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos: 
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...} 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Ele é 
formado pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos e o zero. 
Em outras palavras, o conjunto dos números inteiros, representado por Z, possui os 
seguintes elementos: 
Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Conjunto dos Números Racionais 
O conjunto dos números racionais nasceu da necessidade de dividir quantidades. Portanto, 
esse é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Representado 
porQ, o conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos: 
Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N} 
 
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A definição acima é lida da seguinte maneira: x pertence aos racionais, tal que x é igual a a 
dividido por b, com a pertencente aos inteiros e b pertencente aos naturais. 
Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, 
então é um número racional. 
Os números que podem ser escritos na forma de fração são: 
1 – Todos os números inteiros; 
2 – Decimais finitos; 
3 – Dízimas periódicas. 
Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. Observe: 
1,1 
2,32 
4,45 
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas 
decimais. Observe: 
2,333333... 
4,45454545... 
6,758975897589... 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
A definição de números irracionais depende da definição de números racionais. Portanto, 
pertencem ao conjunto dos números irracionais todos os números que não pertencem ao 
conjunto dos racionais. 
Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não existe possibilidade de um 
número pertencer a esses dois conjuntos simultaneamente. Dessa maneira, o conjunto dos 
números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo 
dos números reais. 
Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é a seguinte: Os números 
irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração. São eles: 
 
 18 
1 – Decimais infinitos 
2 – Raízes não exatas 
Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são 
dizimas periódicas. Por exemplo: 
0,12345678910111213... 
π 
√𝟐 
 
Conjunto dos Números Reais 
O conjunto dos números reais é formado por todos os números citados anteriormente. Sua 
definição é dada pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos 
números irracionais. Representado por R, esse conjunto pode ser escrito matematicamente 
da seguinte maneira: 
𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑰 = {𝑸 + 𝑰} 
I é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os números citados 
anteriormente são também números reais. 
 
Relação entre conjuntos numéricos 
Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. Algumas dessas relações foram 
evidenciadas no decorrer do texto, contudo, todas elas serão expostas a seguir: 
1. O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros; 
2. O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais; 
3. O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais; 
4. O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais; 
5. O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não 
possuem nenhum elemento em comum; 
6. O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos números complexos. 
Indiretamente, é possível estabelecer outras relações. É possível dizer, por exemplo, que o 
conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números complexos. 
 
 19 
Também é possível fazer a leitura contrária das relações citadas anteriormente e das 
relações indiretas que podem ser construídas. Para tanto, basta dizer, por exemplo, que o 
conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais. 
Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações podem ser escritas da seguinte 
maneira: 
 
Representação geográfica dos diversos conjuntos numéricos 
 
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EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi criada para ajudar as 
pessoas a encontrarem soluções para problemas nos quais um número não é conhecido. 
Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível 
encontrar esses dois números por meio de equações. 
Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o significado da definição 
dada acima. 
Expressões algébricas 
Expressões algébricas são um conjunto de operações matemáticas básicas aplicadas a 
números conhecidos e a números desconhecidos. Para representar esses números 
desconhecidos, são utilizadas letras. É mais comum utilizar as letras x e y, mas isso não 
significa que elas são as únicas. 
Em alguns casos, são utilizadas letras do alfabeto grego e até símbolos diversos. 
Observe os exemplos de expressões algébricas abaixo: 
𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒂𝒃 
𝒙 + 𝒚 
𝟒 + 𝟕𝒂 
 
Todas essas expressões possuem letras representando números e números sendo somados 
e multiplicados. 
 
Igualdade 
Toda expressão algébrica que possuir uma igualdade em sua composição será chamada de 
equação. Observe alguns exemplos: 
 
 21 
 
𝒙 + 𝟐 = 𝟕 
𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟒𝒂𝒃 = 𝟕 
𝟏
𝒙
= 𝟑 
 
A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma equação. É a igualdade que 
relaciona uma operação matemática aplicada em alguns números com o seu resultado. 
Portanto, a igualdade é peça fundamental ao procurar os resultados de uma equação. 
 
Por exemplo: Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x? 
Ora, sabemos que x é um número que, subtraído por 14, tem 8 como resultado. 
Observe que é possível pensar em um resultado“de cabeça”ou pensar em uma estratégia 
para resolver essa equação. A estratégia pode ser obtida da seguinte maneira: Se x é um 
número que, subtraído de 14, resulta em 8, então, para encontrar x, basta somar 14 com 8. 
Desse modo, podemos escrever a seguinte linha de raciocínio: 
𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟖 
𝒙 = 𝟖 + 𝟏𝟒 
𝒙 = 𝟐𝟐 
 
Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado. 
 
Grau de uma equação 
O grau de uma equação está relacionado com a quantidade de incógnitas que ela possui. 
Dizemos que uma equação é de grau 1 quando o maior expoente das suas incógnitas é 1. 
Uma equação possui grau 2 quando o maior expoente das suas incógnitas é 2 e assim por 
diante. 
 
 22 
O grau também pode ser dado pelo produto de incógnitas diferentes. Por exemplo: a 
equação xy + 2 = y é uma equação de grau 2 porque possui um produto entre duas 
incógnitas de expoente 1. 
O grau de uma equação determina quantas soluções a equação possui. Desse modo, uma 
equação de grau 1 possui apenas 1 resultado (um valor possível para a incógnita); uma 
equação de grau 2 possui dois resultados e assim sucessivamente. 
 
Solução de equações 
Uma das estratégias de resolução de uma equação faz uso do pensamento acima. Repare 
que, observando as duas equações (x – 14 = 8 e x = 8 + 14), é possível imaginar que o 
número 14 trocou de lado da igualdade com um efeito colateral: trocou o seu sinal de 
negativo para positivo. Essa é uma das regras para solução de equações que estão listadas a 
seguir: 
1. Do lado direito da igualdade, só permanecem números que não possuem 
incógnita; do lado esquerdo, apenas números que possuem; 
2. Para trocar números de lado, possuindo ou não incógnita, é necessário trocar o 
sinal deles; 
3. Feitos os passos 1 e 2, realize os cálculos que forem possíveis. Lembre-se de que 
os números que possuem incógnita podem ser somados se a incógnita for a 
mesma. Para isso, some apenas o número que as acompanha. 
4. Ao final, deve-se isolar a incógnita. Para isso, o número que a acompanha deverá 
ser passado para o lado direito da equação dividindo os seus componentes. 
5. Se for necessário trocar de lado um número que está no denominador de uma 
fração, ele deverá passar para o outro lado multiplicando. 
 
Exemplo 
1) Qual o valor de x na equação: 
𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟖 
Solução: Seguindo a primeira e segunda regras, obteremos a seguinte linha de raciocínio: 
𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟖 
𝟒𝒙 − 𝟐𝒙= −𝟖 − 𝟒 
 
 23 
 
Agora, realize a terceira regra para obter: 
𝟐𝒙 = −𝟏𝟐 
Por fim, realize a regra 4: 
𝟐𝒙 = −𝟏𝟐 
𝒙 =
−𝟏𝟐
𝟐
 
𝒙 = −𝟔 
Portanto, o valor de x é –6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PORCENTAGEM 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar 
empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, 
aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatística, possui participação ativa 
na apresentação de dados comparativos e organizacionais. 
Os números percentuais possuem representações na forma de fração centesimal 
(denominador igual a 100) e, quando escritos de maneira formal, devem aparecer na 
presença do símbolo de porcentagem (%). Também podem ser escritos na forma de número 
decimal. Observe os números a seguir, que serão demonstrados por meio das três formas 
possíveis: 
 
 
 25 
A melhor forma de assimilar os conteúdos inerentes à porcentagem é com a utilização de 
exemplos que envolvem situações cotidianas. Acompanhe os exemplos a seguir: 
 
Exemplos de aplicação da Porcentagem 
1) Uma mercadoria é vendida em, no máximo, três prestações mensais e iguais, totalizando 
o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida à vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o 
valor a prazo. Qual é o preço da mercadoria na compra à vista? 
Solução: 
Podemos utilizar a razão centesimal ou o número decimal correspondente: 
𝟏𝟐% =
𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟏𝟐 
 
Razão centesimal 
𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟎
∗ 𝟗𝟎𝟎 =
𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟎𝟖 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟕𝟗𝟐 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
Número decimal 
𝟎, 𝟏𝟐 ∗ 𝟗𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟖 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
𝟗𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟖 = 𝟕𝟗𝟐 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
A utilização de qualquer procedimento fica a critério próprio, pois os dois métodos chegam 
ao resultado de forma satisfatória e exata. No caso do exemplo 1, o desconto no 
pagamento à vista é de R$ 108,00, portanto, o preço é de R$ 792,00. 
 
2) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com 
carteira assinada, no qual o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na 
Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário bruto do funcionário. Esse dinheiro 
deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa causa. Determine 
 
 26 
o valor do depósito efetuado pelo empregador sabendo que o salário bruto do funcionário 
era R$ 1.200,00. 
Solução: 
𝟖% =
𝟖
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟖 
Razão centesimal 
𝟖
𝟏𝟎𝟎
∗ 𝟏𝟐𝟎𝟎 =
𝟗𝟔𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟗𝟔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
Número decimal 
𝟎, 𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟐𝟎𝟎 = 𝟗𝟔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 
 
O depósito efetuado foi de R$ 96,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
JUROS SIMPLES 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao 
atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. 
Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais 
lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo. Hoje não utilizamos 
a capitalização baseada no regime simples, mas, de qualquer forma, vamos entender como 
ele funciona. 
 
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no valor da dívida ou 
da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição 
da dívida. 
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a 
seguinte: 
J=C*i*t 
Onde, 
J = juros 
C = capital 
i = taxa de juros 
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) 
M = C + J 
M = montante final 
C = capital 
J = juros 
 
 28 
Exemplo 1 
Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1200,00, aplicado no regime de 
juros simples a uma taxa mensal de 2% durante 10 meses? 
Capital: 1200 
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) 
t = 10 meses 
 
J = C * i * t 
J = 1200 * 0,02 * 10 
J = 240 
 
M = C + j 
M = 1200 + 240 
 
O valor do montante é de R$1440,00. 
 
Exemplo 2 
Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taxa de 6%, rendeu 
juros de R$ 2688,00. 
J = C * i * t 
2688 = C * 0,06 * 14 
2688 = C * 0,84 
C = 2688 / 0,84 
C = 3200 
 
 
 29 
O valor do capital é de R$ 3200,00. 
 
Exemplo 3 
Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$3000,00 de juros em 
45 dias? 
J = 3000 
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015 
t = 45 dias = 45/30 = 1,5 
 
J = C * i * t 
3000 = C * 0,015 * 1,5 
3000 = C * 0,0225 
C = 3000 / 0,0225 
C = 133333,33 
 
O capital é de R$133333,33. 
 
Exemplo 4 
Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em 
um trimestre? 
J = C * i * t 
90 = C * 0,02 * 3 
90 = C * 0,06 
C = 90 / 0,06 
C = 1500 
 
 30 
 
O capital corresponde a R$ 1500,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
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CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por duas equações, 
onde cada equação possui duas variáveis x e y. Veja o exemplo: 
{
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
 
 
A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que satisfazem as equações 
do sistema. A solução de um sistema pode ser feita através de dois métodos resolutivos: 
adição e substituição. 
 
Método da Adição 
Consiste em somarmos as variáveis semelhantes das duas equações no intuito de obter 
resultado igual à zero. Veja a resolução do sistema a seguir: 
 
{
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕
𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏
 
{
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕
𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏
+
𝟐𝒙 − 𝟎𝒚 = 𝟔
 
Identificando o x 
𝟐𝒙 − 𝟎𝒚 = 𝟔 
𝟐𝒙 = 𝟔 
𝒙 =
𝟔
𝟐
 
𝒙 = 𝟑 
 
 32 
Substituindo o x e identificando o y 
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 
𝟑 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 
𝟐𝒚 = 𝟏𝟕 − 𝟑 
𝟐𝒚 = 𝟏𝟒 
𝒚 =
𝟏𝟒
𝟐
 
𝒚 = 𝟕 
Método da Substituição 
Consiste em isolar x ou y em qualquer uma das equações do sistema, e substituir o valor 
isolado na outra equação. Observe: 
{
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑𝟒
𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟐
 
Isolando o X 
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟑𝟒 
𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝒚 
Substituindo na 2 equação 
𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟐 
𝟐(𝟑𝟒 − 𝟑𝒚) − 𝒚 = −𝟐 
𝟔𝟖 − 𝟔𝒚 − 𝒚 = −𝟐 
−𝟔𝒚 − 𝒚 = −𝟐 − 𝟔𝟖 
−𝟕𝒚 = −𝟕𝟎 
(−𝟕𝒚 = −𝟕𝟎) ∗ (−𝟏) 
𝟕𝒚 = 𝟕𝟎 
𝒚 =
𝟕𝟎
𝟕
 
𝒚 = 𝟏𝟎 
 
 33 
Substituindo o y e identificando o x 
𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝒚 
𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑 ∗ 𝟏𝟎 
𝒙 = 𝟑𝟒 − 𝟑𝟎 
𝒙 = 𝟒 
 
Podemos observar através dos exemplos resolvidos que, de acordo com a configuração do 
sistema, podemos resolvê-lo utilizando o método da adição ou o método da substituição. 
A solução de um sistema consiste em um resultado que é chamado de par ordenado, o 
gráfico de uma equação do 1º grau é dado por uma reta. Um sistema de duas equações 
possui duas retas representadas no plano e a intersecção dessas retas é a solução 
geométrica do sistema. 
Concluímos que a solução de um sistema pode ser apresentada de duas formas 
matemáticas, uma algébrica outra geométrica (graficamente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
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CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
EmMatemática, a palavra “algébrico” é reservada para expressões e operações 
numéricas que possuem pelo menos um número desconhecido, chamado de incógnita. As 
expressões algébricas que possuem uma incógnita no denominador são chamadas de 
frações algébricas. 
Desse modo, qualquer expressão algébrica que, expressa na forma de fração, possua uma 
letra no denominador é uma fração algébrica. Como ela é formada por números (alguns 
conhecidos, outros não), valem as propriedades das operações de números reais para elas. 
 
Multiplicação de fração algébrica 
A multiplicação de fração algébrica segue o mesmo padrão da multiplicação de frações: 
multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. 
De forma prática, multiplique primeiramente os coeficientes, coloque o resultado numérico 
e parta para a multiplicação das incógnitas. Elas devem ser multiplicadas por meio das 
propriedades de potência. 
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
∗
𝟖𝒙𝒛
𝟐𝒙𝒌
=
𝟑𝟐𝒙𝟐𝒚𝒛
𝟏𝟔𝒌𝟐𝒙
 
 
Observe que incógnitas diferentes, que aparecem apenas uma vez em um fator, não devem 
ser multiplicadas entre si, mas apenas repetidas. 
Observe também que existe uma multiplicação implícita entre números e incógnitas nas 
frações acima, portanto: 4xy = 4*x*y. 
 
 
 
 35 
Divisão de fração algébrica 
Essa operação é exatamente igual à divisão de frações. Portanto, para realizá-la, multiplique 
a primeira fração algébrica pelo inverso da segunda. 
Observe: 
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
:
𝟖𝒙𝒛
𝟐𝒙𝒌
=
𝟒𝒙𝒚
𝟖𝒌
∗
𝟐𝒙𝒌
𝟖𝒙𝒛
=
𝟖𝒙𝟐𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
 
 
Adição e subtração de fração algébrica 
De agora em diante utilizaremos apenas a palavra “adição” para representar as 
operações de soma e subtração, pois elas são realizadas da mesma maneira, levando em 
conta as regras de sinais para números inteiros, que também valem para os números reais. 
A adição de frações algébricas é dividida em dois casos e deve ser realizada do mesmo 
modo que a adição de frações numéricas. 
1º caso: Quando os denominadores são iguais Se os denominadores forem iguais, realize a 
operação indicada (soma ou subtração) apenas com os numeradores e repita o 
denominador no resultado: 
𝟕𝒙𝒚
𝒙
−
𝟒𝒙𝒚
𝒙
=
𝟕𝒙𝒚 − 𝟒𝒙𝒚
𝒙
=
𝟑𝒙𝒚
𝒙
 
 
2º caso: Quando os denominadores são diferentes 
Nesse caso, é necessário igualá-los antes. Para tanto, o procedimento é igual ao da soma de 
frações com denominadores diferentes: 
1 – Encontre o MMC dos denominadores. No caso das frações algébricas, eles podem ser 
monômios ou polinômios. Clique aqui para aprender a calcular o MMC dessas expressões; 
2 – Reescrever o mínimo múltiplo comum encontrado como denominador das frações e 
encontrar os respectivos numeradores da seguinte maneira: 
 
 36 
- Dividir o MMC pelo denominador da fração original e multiplicar o resultado por seu 
numerador; 
- Repetir o último procedimento para todas as frações. 
Observe o exemplo de adição de frações algébricas com denominadores diferentes a seguir 
𝟐𝒙𝟐
𝟑𝒚
−
𝟒𝒙
𝟐𝒚𝟐
 
O MMC entre 3y e 2y é 6y², logo: 
⋯
𝟔𝒚𝟐
−
⋯
𝟔𝒚𝟐
 
Para preencher as lacunas, basta dividir 6y2 pelo denominador da primeira fração e 
multiplicar o resultado pelo seu numerador. Isso dará o numerador para a primeira lacuna. 
Para a segunda, repita o procedimento com a segunda fração. 
𝟒𝒙²𝒚
𝟔𝒚𝟐
−
𝟏𝟐𝒙
𝟔𝒚𝟐
 
 
Simplificação de fração algébrica 
A simplificação de fração algébrica é feita pela eliminação de fatores iguais no numerador e 
no denominador. Muitas vezes, esses fatores não estão explícitos e precisam de algum 
cálculo para evidenciá-los. Observe o exemplo a seguir: 
𝟖𝒙²𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
 
 
Observe que os fatores x e k aparecem no numerador e no denominador. 
 
 37 
Entretanto, x está elevado ao quadrado (isso é o mesmo que x·x) e, no denominador, existe 
apenas um x. Pois bem, é possível simplificar apenas um x do numerador e um x do 
denominador. O mesmo ocorre com k, resultando em: 
𝟖𝒙²𝒚𝒌
𝟔𝟒𝒌𝒙𝒛
=
𝟖𝒙𝒚
𝟔𝟒𝒛
 
 
A parte das incógnitas já foi finalizada, entretanto, ainda podemos simplificar a fração 
formada apenas pelos coeficientes por 8. O resultado final será: 
𝟖𝒙𝒚
𝟔𝟒𝒛
=
𝒙𝒚
𝟖𝒛
 
 
Sempre que frações algébricas forem operadas (multiplicação, divisão, adição, subtração, 
potenciação e radiciação), será necessário simplificá-las, se for possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, 
coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo 
com o maior expoente de uma das incógnitas. 
Veja: 
𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 
O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º 
grau. 
𝟐𝒙³ + 𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎 
Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é 
classificada como do 2º grau. 
𝒙³ − 𝒙² + 𝟐𝒙 − 𝟒 = 𝟎 
Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente – no caso, expoente 3 – torna a 
equação como do 3º grau. 
 
O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau? 
Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Trabalharemos a forma de 
resolução de uma equação do 2º grau por meio do método de Bháskara. 
Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor 
ou os valores que satisfazem a equação. As raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0, 
por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois: 
 
Substituindo x = 4 na equação, temos: 
 
 39 
𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟒² − 𝟏𝟎 ∗ 𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟏𝟔 − 𝟒𝟎 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 
𝟎 = 𝟎 
Ou seja, é uma igualdade verdadeira para a raiz 4. 
 
Substituindo x = 6 na equação, temos: 
𝒙² − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟔² − 𝟏𝟎 ∗ 𝟔 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
𝟑𝟔 − 𝟔𝟎 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 + 𝟐𝟒 = 𝟎 
−𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 
𝟎 = 𝟎 
Ou seja, é uma igualdade verdadeira também para a raiz 6. 
 
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos 
determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? 
É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 40 
 
Método de Bháskara 
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bháskara os valores da seguinte equação do 
2º grau: x² – 2x – 3 = 0. 
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c 
são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c 
= –3. 
Na fórmula de Bháskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja: 
𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 
 
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (Δ) 
∆= 𝒃² − 𝟒𝒂𝒄 
∆= (−𝟐)𝟐 − 𝟒 ∗ 𝟏 ∗ (−𝟑) 
∆= 𝟒 + 𝟏𝟐 
∆= 𝟏𝟔 
 
2º passo: substituir na fórmula de Bháskara 
𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−𝟐) ± √𝟏𝟔
𝟐 ∗ 𝟏
 
𝒙 =
𝟐 ± 𝟒
𝟐
 
 
 41 
𝒙𝟏 =
𝟐 + 𝟒
𝟐
= 𝟑 
𝒙𝟐 =
𝟐 − 𝟒
𝟐
= −𝟏 
 
Os resultados são x1 = 3 e x2 = –1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
 
SISTEMAS DE MEDIDAS 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
As unidades de medida são representações das grandezas físicas utilizadas em diversas 
áreas do conhecimento com o intuito de quantificar uma matéria, uma sensação, o tempo 
ou o tamanho de algo, por exemplo. 
Em todo o mundo as unidades de medida seguem um padrão determinado pelo Sistema 
Internacional de Unidades (SI). A partir da unidade padrão estabelecida pelo SistemaInternacional, podemos ainda utilizar outras unidades derivadas dela, o que permite 
compararmos e ampliarmos a noção quantitativa da grandeza. 
O Sistema Internacional adota a unidade Kelvin, por exemplo, como padrão para a grandeza 
temperatura. Essa unidade é muito utilizada em experimentos laboratoriais, mas, no dia a 
dia, a maioria dos países utiliza a unidade graus Celsius, que é derivada da unidade Kevin. 
Na Química, as unidades de medida mais utilizadas são: 
 
Unidades de massa 
As unidades mais utilizadas para o trabalho com a massa de uma matéria são: 
 Tonelada (t); 
 Quilograma (kg): é a unidade de massa padrão segundo o Sistema 
 Internacional 
 Grama (g); 
 Miligrama (mg). 
Para converter uma unidade em outra, basta seguir estas relações: 
1t = 1000Kg 
1kg = 1000g 
 
 43 
1g = 1000mg 
 
Relação entre as unidades de massa 
Como podemos observar, uma unidade de massa é sempre 1000 vezes maior que a outra. 
Veja alguns exemplos: 
 
1) Transforme 2,5 kg em gramas 
Como 1 kg equivale a 1000 gramas, podemos montar a seguinte regra de três: 
1 kg --------- 1000g 
2,5Kg---------- x 
 
x * 1 = 2,5*1000 
x=2500g 
 
2) Transforme 4 mg em kg 
Como 1 kg equivale a 1000000 de mg (resultado da multiplicação 1000 x1000 da diferença 
entre a unidade kg e a mg), podemos montar a seguinte regra de três: 
1kg --------- 1000000mg 
x---------- 4mg 
 
1000000*x = 4*1 
x = 4/1000000 
x = 0,000004Kg 
 
Unidades de volume 
 
 44 
Metro cúbico (m3): é a unidade de volume padrão segundo o Sistema Internacional; 
 Litro (L) ou decímetro cúbico (dm3); 
 Mililitro (mL) ou centímetro cúbico (cm3). 
Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações: 
1m³ = 1000L 
1L = 1dm³ 
1L = 1000mL 
1dm³ = 1000cm³ 
1cm³ = 1mL 
 
Como podemos acompanhar no esquema acima, uma unidade de volume é sempre 1000 
vezes maior que a outra. Quando comparamos a unidade maior (m³) com a unidade menor 
(mL ou cm³), a diferença é de 1000000 de vezes. 
Veja um exemplo: 
 
3) Transforme 4,5m³ em dm³ 
Como 1m³ equivale a 1000dm³, podemos montar a seguinte regra de três: 
1m³ --------- 1000dm³ 
4,5m3---------- x 
 
x*1 = 4,5*1000 
x = 4500dm³ 
 
Unidades de comprimento 
As unidades mais utilizadas para o trabalho com comprimento são: 
 Quilômetro (km); 
 
 45 
 Metro (m): é a unidade de comprimento padrão segundo o 
 Sistema Internacional; 
 Centímetro (cm); 
 Decímetro (dm); 
 Milímetro (mm). 
 
Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações: 
1 km = 1000 m 
1 m = 100 cm 
1 dm = 10 cm 
1 cm = 10 mm 
 
Veja alguns exemplos: 
 
4) Transforme 5km em dm 
Analisando o esquema, a diferença entre km e dm é da ordem de 100000, assim, basta 
montar a seguinte regra de três: 
1 Km --------- 100000dm 
5 Km ---------- x 
 
x*1 = 5*100000 
x = 500000dm 
 
5) Transforme 500mm em cm 
Como 1cm equivale a 10mm, basta utilizar a seguinte regra de três: 
1cm --------- 10mm 
 
 46 
x ---------- 500mm 
 
x*10 = 500*.1 
x = 500/10 
x = 50cm 
 
Unidades de tempo 
 Hora (h); 
 Minuto (min); 
Segundo (s): é a unidade padrão de tempo estabelecida pelo Sistema Internacional. 
Para converter uma unidade na outra, basta seguir estas relações: 
1h = 60 min 
1 min = 60 s 
 
Veja alguns exemplos: 
 
6) Transforme 6h em segundos 
Como 1 hora equivale a 3600 segundos (resultado da multiplicação 60x60 da diferença 
entre horas e segundos), basta montar a seguinte regra de três: 
1h --------- 3600s 
6h ---------- x 
 
x*1 = 6*3600 
x = 21600s 
 
 
 47 
7) Transforme 600s em minutos 
Como 1 minuto equivale a 60s, basta utilizar a seguinte regra de três: 
1min --------- 60s 
x ---------- 600s 
 
x*60 = 600 
x = 600/60 
x = 10m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
GEOMETRIA PLANA 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Ponto, reta e plano 
Ponto, reta, plano e espaço são as noções primitivas da Geometria. Esses objetos não 
possuem definição, mas precisam existir para dar base para as definições geométricas. 
Embora não seja possível definir esses objetos, é possível discutir suas características, 
propriedades e suas utilidades para a Geometria. 
 
Ponto 
O ponto não possui forma nem dimensão. Isso significa que o ponto é um objeto 
adimensional. Um dos usos mais importantes do ponto refere-se à localização geográfica. 
Os pontos são os objetos que melhor representam as localizações porque oferecem 
precisão. Se, no lugar de ponto, usássemos um quadrado, em que lugar do quadrado estaria 
a localização precisamente? 
 
Reta 
As retas são conjuntos de pontos que não fazem curvas. Elas são infinitas para as duas 
direções. Como esses pontos não estão no mesmo lugar, é possível medir a distância entre 
eles. Entretanto, como os pontos continuam não tendo dimensão ou forma, não é possível 
medir sua largura. Sendo assim, dizemos que a reta possui apenas uma dimensão ou que é 
unidimensional. 
A figura a seguir mostra a tentativa de desenhar um quadrado sobre uma reta. Note que a 
maior parte do quadrado“não cabe”na reta. Por essa razão, é necessário definir um novo 
local onde ele possa ser desenhado. 
 
 49 
 
Plano 
O plano é um conjunto de retas alinhadas e, portanto, também é um conjunto de pontos. O 
objeto formado por esse alinhamento de retas é uma superfície plana que não faz curva e 
infinita para todas as direções. 
 
 
Em um plano, é possível desenhar figuras que, além de comprimento, possuem largura. A 
figura abaixo mostra um cubo sobre um plano. Note que a base do cubo, que é um 
quadrado e possui duas dimensões, encaixa-se perfeitamente no plano. Todavia, a 
profundidade desse sólido não é contemplada. 
 
 
 
 
 
 
 50 
RETAS 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Na Geometria, as retas são definidas apenas como conjuntos de pontos. Sabemos, além 
disso, que as retas são linhas que não fazem curvas e que são ilimitadas e infinitas. Desse 
modo, as retas possuem infinitos pontos e nenhum espaço entre eles. 
As retas são objetos que possuem uma dimensão apenas, assim, só é possível tomar uma 
medida em qualquer objeto que esteja definido dentro de uma reta: o comprimento. 
As retas normalmente são representadas por uma linha finita que, às vezes, possui setas em 
suas pontas para indicar a sua direção. 
 
Semirretas 
As semirretas podem ser encontradas “dentro” de uma reta. Elas possuem um ponto 
inicial, mas não possuem ponto final. É como se, em algum ponto de sua extensão, a reta 
sofresse um corte. A notação usada para as semirretas é a SAB, em que A é o ponto inicial e 
B é a direção para onde a semirreta segue. 
 
É evidente que as semirretas também são unidimensionais e possuem infinitos pontos. 
 
 
 51 
Segmento de reta 
Um segmento de reta é a parte de uma reta que pode ser medida. Isso significa que, 
embora possua infinitos pontos, não é ilimitado. Assim, um segmento de reta é uma parte 
da reta que possui ponto inicial e ponto final. 
Supondo que esses pontos sejam A e B, o segmento de reta será representado 
geometricamente da seguinte maneira: 
 
Esses pontos são chamados de extremidades do segmento de reta, que é denotado apenas 
por AB. 
 
Classificação das retas 
 
Retas concorrentes 
Dizemos que duas retas são concorrentes quando elas possuem apenas um ponto em 
comum. Isso significa que existe um ângulo entre essas duas retas justamente no ponto de 
encontro entre elas. Quando esse ângulo é de 90°, essas retas também são chamadas de 
perpendiculares.52 
Retas paralelas 
Duas ou mais retas são ditas paralelas quando não existe ponto de encontro entre elas. 
Assim, elas não formam ângulo nem se encontram em qualquer parte de sua extensão 
infinita. 
 
 
Retas coincidentes 
São retas que possuem pelo menos dois pontos em comum. Como reta alguma faz curva, se 
duas retas possuem dois pontos em comum, elas possuem todos os pontos em comum. O 
resultado disso é visto geometricamente como uma reta só. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 53 
NOÇÕES DE ÂNGULOS 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As 
semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo. 
 
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é 
o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto (') e o segundo (''). 
Temos que 1º (grau) equivale a 60' (minutos) e 1' equivale a 60'' (segundos). 
O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser 
de "meia volta" (180º) ou volta inteira (360º). 
 
Classificação de ângulos 
 
 54 
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: 
 Agudo: ângulo com medida menor que 90º. 
 Reto: ângulo com medida igual a 90º. 
 Obtuso: ângulo com medida maior que 90º. 
 Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º. 
 
Bissetriz de um ângulo 
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do 
ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55 
 
Retas paralelas cortadas por uma transversal 
 
Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g - Congruentes 
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g - Suplementares 
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f - Suplementares 
Ângulos alternos externos: a e g, b e h - Congruentes 
Ângulos alternos internos: d e f, c e e - Congruentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
TRIÂNGULOS 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e 
não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. 
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os 
lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º. 
 
Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 
- A, B e C são os vértices. 
- Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de 
encontros): AB, BC AC segmentos de retas. 
 
Tipos de triângulos 
O triângulo pode ser classificado segundo a medida de seus lados. 
 
Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes. 
 
 57 
 
Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. 
 
Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 
60º. 
 
Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º. 
 
 
 
 
 
 
 58 
QUADRILÁTEROS 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Quadriláteros são figuras geométricas planas, poligonais e formadas por quatro lados. Em 
outras palavras, essa definição implica as seguintes características: 
Quadriláteros são figuras definidas em um plano, por isso, não existem pontos dessa figura 
fora do plano (no que chamamos de espaço); 
São formados por segmentos de reta que se encontram em suas extremidades, por isso, são 
figuras fechadas; 
Possuem três classificações básicas: 
 Outros: Não possuem lados paralelos; 
 Trapézios: Possuem um par de lados paralelos; 
 Paralelogramos: Possuem dois pares de lados paralelos. 
 
O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é perceptível quando se observa seus lados 
opostos. Lados que possuem ponto em comum não podem ser paralelos justamente por 
possuírem ponto em comum. 
 
 
Paralelogramos 
Para ser paralelogramo, é necessário que o polígono seja um quadrilátero e que seus lados 
opostos sejam paralelos. Essa definição implica uma série de resultados, chamados aqui de 
propriedades. Elas são válidas para todo paralelogramo e serão discutidas a seguir: 
 
 59 
1 – ângulos opostos são congruentes; 
2 – ângulos não opostos são suplementares; 
3 – Lados opostos são congruentes; 
4 – As diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto médio. 
 
OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui lados opostos paralelos e 
congruentes, então ele é um paralelogramo. 
 
Retângulos 
Os retângulos são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um resultado direto disso é 
que seus lados opostos são paralelos. Para ver isso, basta considerar qualquer um de seus 
lados como uma reta transversal e observar que ela corta outros dois lados formando o 
mesmo ângulo: 90°. 
 
Todo retângulo, portanto, é também um paralelogramo. Entretanto, nem todo 
paralelogramo é um retângulo. Assim, para o retângulo, valem as quatro propriedades dos 
paralelogramos citadas acima, além da seguinte: 
Todo retângulo possui diagonais congruentes. 
 
 60 
O resultado mais direto dessa propriedade é o seguinte: Se um paralelogramo possui 
diagonais congruentes, então ele é um retângulo. 
Losangos 
Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. 
Desse modo, todo losango é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um 
losango. 
 
Esse quadrilátero possui as mesmas propriedades dos paralelogramos, além da seguinte: As 
diagonais de um losango formam um ângulo reto. 
Assim, se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango. 
 
Quadrado 
Um quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados iguais e, além disso, possui 
ângulos retos. Dessa maneira, um quadrado é, ao mesmo tempo, um losango e um 
retângulo. Entretanto, nem todo losango é quadrado e nem todo retângulo é quadrado. 
 
 61 
 
A propriedade específica do quadrado é a seguinte: 
As diagonais de um quadrado formam ângulos retos e são congruentes. 
Assim, se um paralelogramo possui diagonais que formam um ângulo reto e que são 
congruentes, então esse paralelogramo é um quadrado. 
Observe que o critério acima é exatamente uma junção dos discutidos para o losango e para 
o retângulo. 
 
Trapézios 
São os quadriláteros que possuem apenas um par de lados opostos paralelos. 
Esses lados são chamados de bases do trapézio. Os trapézios não são paralelogramos, por 
isso, as propriedades dos paralelogramos não são válidas para os trapézios. 
Existem três classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os trapézios retângulos e os 
trapézios isósceles. 
 
Trapézios retângulos 
São trapézios que possuem dois ângulos internos com medida de 90°. 
 
 62 
 
Trapézios isósceles 
São os trapézios em que os lados que não são paralelos possuem a mesma medida (são 
congruentes). 
 
É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do corte feito em um triângulo 
isósceles, desde que esse corte descreva uma reta paralela à base desse triângulo. Quando 
isso é feito, o resultado é outro triângulo isósceles semelhante ao primeiro e um trapézio 
isósceles. 
 
As propriedades específicas para o trapézio isósceles são as seguintes: 
 
 63 
1 – Os ângulos da base maior do trapézio isósceles são iguais; 
2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes. 
 
Trapéziosquaisquer 
São trapézios que não seguem quaisquer regras e não possuem semelhança entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtube.com/c/guiadovestibulinho
 
 64 
ÁREAS E PERÍMETROS 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Na geometria, os conceitos de área e perímetro são utilizados para determinar as medidas 
de alguma figura. 
 
Área: equivale a medida da superfície de uma figura geométrica. 
Perímetro: soma das medidas de todos lados de uma figura. 
 
Geralmente, para encontrar a área de uma figura basta multiplicar a base (b) pela altura (h). 
Já o perímetro é a soma dos segmentos de retas que formam a figura, chamados de lados 
(l). 
Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Assim, se vamos 
encontrar o perímetro de um triângulo, somamos as medidas dos três lados. Se a figura for 
um quadrado somamos as medidas dos quatro lados. 
 
Quadrado 
O perímetro do quadrado corresponde a soma dos quatro lados dessa figura plana. 
Lembre-se que o quadrado é um quadrilátero regular que apresenta lados com as mesmas 
medidas (congruentes). Assim, essa figura é composta por quatro ângulos retos (90°). 
 
 65 
 
 
O perímetro do quadrado é calculado utilizando a fórmula: 
𝑷 = 𝑳 + 𝑳 + 𝑳 + 𝑳 
ou 
𝑷 = 𝟒𝑳 
 
Diferente do perímetro, a área é a medida da superfície da figura. Assim, a área do 
quadrado é calculada pela fórmula: 
𝑨 = 𝑳² = 𝑳 ∗ 𝑳 
 
Retângulo 
Muito comum haver confusão entre os conceitos de área e perímetro. No entanto, eles 
apresentam diferenças: 
 
Área: valor da superfície retangular, sendo calculado pela multiplicação entre 
a altura (h) e a base (b) do retângulo. É expresso pela formula: A=b.h. 
 
 66 
 
Perímetro: valor encontrado quando se soma os quatro lados da figura. É expresso pela 
fórmula: 2(b + h). Assim, ele corresponde a soma de duas vezes a base e a altura (2b + 2h). 
 
 
Triângulo 
A área de um triângulo corresponde a metade do produto da medida de sua altura pela 
medida de sua base. É representada pela fórmula: 
 
 
 67 
 
Onde, 
A: área do triângulo 
b: base 
h: altura 
 
O perímetro do triângulo corresponde a soma de todos os lados dessa figura plana. Lembre-
se que o triângulo é um polígono (figura plana e fechada) que possui três lados. Assim, para 
calcular o perímetro do triângulo basta somar as medidas de seus lados. 
 
Losango 
Para calcular a área do losango é necessário traçar duas diagonais. Dessa forma tem-se 4 
triângulos retângulos (com ângulo reto de 90º) iguais. 
Assim, podemos encontrar a área do losango a partir da área de 4 triângulos retângulos ou 
2 retângulos. 
Assim, a fórmula para encontrar a área do losango é representada da seguinte maneira: 
𝑨 =
𝑫𝟏 + 𝑫𝟐
𝟐
 
 
 
 
 68 
Sendo A, a área do losango, D1 a diagonal maior e D2 a diagonal maior. 
E nesse caso, o perímetro de um losango será a soma de seus lados. Se for um losango 
regular, ou seja, que possui todos os lados iguais, a fórmula será: 
P = 4*l 
 
Paralelogramo 
Para calcular a medida da área do paralelogramo multiplica-se o valor do lado (a) pelo lado 
(b). Logo, a fórmula é: 
A = a*b 
 
O perímetro de uma figura plana, diferente de sua área, corresponde a soma de todas as 
medidas dos lados. Portanto, no caso do paralelogramo o perímetro é dado pela fórmula: 
P = 2 (a+b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 69 
POLIEDROS 
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Estudo. 
 
As figuras geométricas espaciais também recebem o nome de sólidos geométricos, que são 
divididos em: poliedros e corpos redondos. Vamos abordar as definições e propriedades dos 
poliedros. 
Poliedros são sólidos geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e 
faces. Um poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e 
congruentes. 
 
 
Relação de Euler 
A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na 
determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e de 
alguns não convexos. Dessa forma, essa relação permite que os cálculos sejam realizados no 
intuito de indicar onúmero de elementos de um poliedro. 
A fórmula criada por Euler é a seguinte: 
V – A + F = 2 
 
 70 
 
Nessa fórmula, V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces. 
 
Exemplo 
Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices. 
 
Resolução: 
V – A + F = 2 
6 – 10 + F = 2 
–4 + F = 2 
F = 4 + 2 
F = 6 
 
O sólido possui, portanto, 6 faces. 
 
2) Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir: 
 
 
 71 
Visivelmente, podemos afirmar que a pirâmide apresenta 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. 
Vamos, agora, demonstrar que a relação de Euler é válida para determinar esses elementos 
da pirâmide de base quadrangular. 
 
Resolução: 
Vértices 
V – A + F = 2 
V – 8 + 5 = 2 
V = 2 + 3 
V = 5 
 
Arestas 
V – A + F = 2 
5 – A + 5 = 2 
–A = 2 – 10 
–A = –8 x(–1) 
A = 8 
 
Poliedros de Platão 
Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas 
as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o 
mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. 
Os Poliedros considerados de Platão são: 
 
 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 73 
PRISMAS 
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SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...) e Bolsas de 
Estudo. 
 
Prisma é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional. Para sua definição, são 
necessários um plano, um polígono paralelo ao plano e uma reta r concorrente a ele. O 
conjunto de segmentos de reta paralelos a r que tem como extremidades o polígono e o 
plano forma o sólido que conhecemos como prisma. 
 
Elementos do prisma 
Observe a figura a seguir, na qual são destacados os elementos de um prisma. Observe que 
o polígono é a figura ABDG. 
 
 
Bases 
A figura formada no plano é congruente ao polígono ABDG. Essas duas figuras são 
chamadas de bases do prisma. 
 
 74 
Faces laterais 
As faces laterais de um prisma são os polígonos que não são bases. Um exemplo na imagem 
acima é o polígono ABCE. Note que as faces laterais de um prisma sempre são 
quadriláteros. Note também que, em razão de os segmentos de reta que partem de ABDG 
até o plano � serem paralelos e pelo fato de o próprio polígono ser paralelo ao plano, as 
faces laterais do prisma são paralelogramos. 
 
Faces 
São os polígonos que limitam o prisma: as bases e as faces laterais. 
 
Arestas 
São os segmentos de reta formados pelo encontro entre duas faces. No prisma da imagem 
acima, são exemplos de arestas os segmentos AB, AD, DF etc. 
 
Vértices 
São os pontos de encontro entre duas arestas. Na figura acima, os pontos A, B, … G, H. 
 
Diagonal 
É o segmento de reta cujas extremidades são dois vértices, mas que não pertence a uma 
face. Por exemplo: AF, BF e DE. 
 
Classificação dos prismas 
Um prisma pode ser classificado quanto ao número de lados de suas bases. Assim, se a base 
de um prisma for um triângulo, ele será chamado de prisma triangular. Se a sua base for um 
quadrilátero, ele será chamado de prisma quadrangular. Se a sua base for um pentágono, 
prisma pentagonal e assim por diante. 
Um prisma também pode ser classificado a partir da inclinação de suas arestas 
 
 
 75 
 
 
À esquerda, um exemplo de prisma reto; à direita, um exemplo deprisma oblíquo. 
 
Prisma reto 
As arestas laterais são perpendiculares à base. Como só existirão ângulos retos em suas 
faces laterais, elas serão sempre retângulos em um prisma reto. 
Observe que não adianta formar um único ângulo reto com a base, é preciso que a aresta 
lateral seja perpendicular a ela. 
 
Prisma oblíquo 
As arestas laterais não são perpendiculares à base. Além disso, um prisma que possui 
polígonos regulares nas suas bases é chamado de prisma regular. 
 
Paralelepípedos 
Quando as bases de um prisma são paralelogramos, esse prisma é chamado de 
paralelepípedo. Os paralelepípedos podem ser classificados em oblíquos ou retos, da 
mesma maneira que os prismas comuns. Esse último também é chamado de paralelepípedo 
reto-retângulo ou bloco. 
 
 
 76 
CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Circunferência e Círculo 
É muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. Embora utilizamos esses 
termos como sinônimos, eles apresentam diferença. 
Enquanto a circunferência representa a linha curva que limita o círculo (ou disco), este é 
uma figura limitada pela circunferência, ou seja, representa sua área interna. 
 
 
Raio e Diâmetro da Circunferência 
Lembre-se que o raio da circunferência é um segmento que liga o centro da figura a 
qualquer ponto localizado em sua extremidade. 
Já o diâmetro da circunferência é um segmento de reta que passa pelo centro da figura, 
dividindo-a em duas metades iguais. Por isso, o diâmetro equivale duas vezes o raio (2r). 
 
 77 
 
 
Perímetro da Circunferência 
No caso da circunferência, o perímetro é o tamanho da medida do contorno da figura, 
sendo representado pela expressão: 
 
 
Comprimento da Circunferência 
O comprimento da circunferência está intimamente relacionado com seu perímetro. Assim, 
quando maior o raio dessa figura, maior será seu comprimento. 
Para calcular o comprimento de uma circunferência utilizamos a mesma fórmula do 
perímetro: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝑹 
Onde, 
 
 78 
C: comprimento 
π: constante pi (3,14) 
r: raio 
 
Área da Circunferência 
A área de uma figura determina o tamanho da superfície dessa figura. No caso da 
circunferência, a fórmula da área é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 79 
ESFERAS 
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Estudo. 
 
A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos 
considerar que a esfera é um sólido. 
 
 
Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica 
destacamos os seguintes elementos básicos: 
 Pólos 
 Equador 
 Paralelo 
 Meridiano 
 
 
 80 
Área de uma superfície esférica 
Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a: 
𝑨 = 𝟒𝝅𝑹² 
 
Volume da esfera 
Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela 
seguinte equação: 
𝑽 =
𝟒𝝅𝑹³
𝟑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 81 
VOLUME DE SÓLIDOS 
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Estudo. 
 
Podemos encontrar o volume de todos os sólidos geométricos. O volume corresponde à 
“capacidade” desse sólido. Tente imaginar alguns sólidos geométricos, é possível 
preenchê-lo com algum material, como a água? 
Se existe essa possibilidade, podemos realizar o cálculo do volume para cada objeto 
pensado. Se por acaso é impossível preencher a figura que você imaginou, é porque, 
provavelmente, ela é uma figura plana bidimensional, como um quadrado, um triângulo ou 
um círculo. 
 
Volume de um prisma qualquer 
 
Legenda: o volume de um prisma qualquer pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura 
 
Um prima é um poliedro que possui uma base inferior e uma base superior. Essas bases são 
paralelas e congruentes, isto é, possuem as mesmas formas e dimensões, e não se 
interceptam. Para determinarmos o volume de um prisma qualquer, nós calculamos a área 
de sua base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura. Sendo assim: 
V = área da base* altura 
 
 82 
Na imagem acima, a área do prisma de base retangular pode ser calculada por: 
𝑉 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 
 
Já a área do prisma de base triangular é dada por: 
𝑉 =
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
2
 
Volume de um cilindro 
 
Legenda: o volume de um cilindro é calculado multiplicando-se a área da base pela altura 
 
Assim como ocorre com os prismas, para calcular o volume do cilindro, multiplicamos a área 
da base pela altura. Podemos definir novamente: 
V = área da base * altura 
 
Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como: 
𝑽 = 𝝅 ∗ 𝑹² ∗ 𝒂 
 
 
 
 83 
Volume de um cone 
 
Legenda: o volume de um cone é calculado multiplicando-se a área da base por um terço da altura 
 
O cone tem uma diferenciação das outras formas vistas até aqui. Ao calcularmos o volume 
do cone, nós multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. 
 
Podemos definir: 
V = (área da base) * 
𝟏
𝟑
 da altura 
 
Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como: 
𝑽 =
𝝅𝑹² ∗ 𝒂
𝟑
 
 
 
 
 
 
 84 
Volume de uma pirâmide 
 
 
A pirâmide assemelha-se ao cone em relação ao cálculo do volume. Para calcular o volume 
da pirâmide, multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. 
Definimos novamente: 
V = (área da base) * 
𝟏
𝟑
 da altura 
 
Para a pirâmide da figura acima, podemos calcular seu volume como: 
𝑽 =
𝒃 ∗ 𝒄
𝟐
∗
𝒂
𝟑
 
𝑽 =
𝒃 ∗ 𝒄 ∗ 𝒂
𝟔
 
 
 
 
 
 85 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
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O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática. Ele 
descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo 
retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. 
O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior 
segmento do triângulo e localiza-se opostamente ao ângulo reto. Observe: 
 
 
O Teorema de Pitágoras diz que: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa. 
𝒂² + 𝒃² = 𝒄² 
 
Exemplos: 
1) Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. 
 
 86 
 
 
𝒙² = 𝟗² + 𝟏𝟐² 
𝒙² = 𝟖𝟏 + 𝟏𝟒𝟒 
𝒙² = 𝟐𝟐𝟓 
𝒙 = √𝟐𝟐𝟓 
𝒙 = 𝟏𝟓 
 
2) Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo: 
 
 
𝒙² + 𝟐𝟎² = 𝟐𝟓² 
 
 87 
𝒙² + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟔𝟐𝟓 
𝒙² = 𝟔𝟐𝟓 − 𝟒𝟎𝟎 
𝒙² = 𝟐𝟐𝟓 
𝒙 = √𝟐𝟐𝟓 
𝒙 = 𝟏𝟓 
 
 
A descoberta dos números irracionais 
Foi por meio do Teorema de Pitágoras que os números irracionais começaram a ser 
introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu no cálculo 
da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja: 
 
𝒙² = 𝟏² + 𝟏² 
𝒙² = 𝟏 + 𝟏 
𝒙² = 𝟐 
𝒙 = √𝟐 
√𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓𝟔𝟐𝟑𝟕𝟑 … 
 
 
 
 88 
TEOREMA DE TALES 
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Teorema de Tales é como ficou conhecida a propriedade matemática que relaciona as 
medidas dos segmentos dereta formados por um feixe de retas paralelas cortado por retas 
transversais. Antes de falar do teorema em si, é bom lembrar o conceito de feixe de retas 
paralelas, retas transversais e uma de suas propriedades: 
Duas ou mais retas são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum. 
Quando destacamos três ou mais retas paralelas em um plano, dizemos que elas formam 
um feixe de retas paralelas. As retas transversais são aquelas que “cortam” as retas 
paralelas. 
Suponha que um feixe de retas paralelas forme segmentos de reta congruentes sobre uma 
reta transversal qualquer. Nessa hipótese, ele também forma segmentos congruentes em 
qualquer outra reta transversal. 
A imagem a seguir mostra um feixe de retas paralelas, duas retas transversais e as medidas 
dos segmentos de reta formados por elas. 
 
 
Teorema de Tales 
Os segmentos de reta formados sobre retas transversais a um feixe de retas paralelas são 
proporcionais. 
 
 89 
Isso significa que é possível que as divisões entre os comprimentos de alguns segmentos 
formados nessas circunstâncias tenham o mesmo resultado. 
Para compreender melhor o teorema enunciado, observe a imagem a seguir: 
 
 
O que o teorema de Tales garante a respeito dos segmentos formados sobre as retas 
transversais é a seguinte igualdade: 
𝑱𝑲
𝑲𝑳
=
𝑶𝑵
𝑵𝑴
 
Note que a divisão foi feita, nesse caso, de cima para baixo. Os segmentos superiores nas 
retas transversais aparecem no numerador. O teorema também garante outras 
possibilidades. Veja: 
𝑲𝑳
𝑱𝑲
=
𝑵𝑴
𝑶𝑵
 
Outras variações podem ser obtidas pela troca das razões de membro ou pela aplicação da 
propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos). 
Outras possibilidades de proporcionalidade pelo teorema de tales são: 
𝑱𝑲
𝑶𝑵
=
𝑲𝑳
𝑵𝑴
 
𝑶𝑵
𝑱𝑲
=
𝑵𝑴
𝑲𝑳
 
𝑱𝑲
𝑱𝑳
=
𝑶𝑵
𝑶𝑴
 
 
 90 
𝑲𝑳
𝑱𝑳
=
𝑵𝑴
𝑶𝑴
 
 
Tanto esse teorema quanto essa propriedade são usados para descobrir a medida de um 
dos segmentos quando se conhece a medida dos outros três ou quando se conhece a razão 
de proporcionalidade entre dois segmentos. 
O mais importante para resolver exercícios que envolvem o teorema de Tales é respeitar a 
ordem em que os segmentos de reta são colocados nas frações. 
 
Exemplo 
No feixe de retas paralelas a seguir, vamos determinar a medida do segmento NM. 
 
 
Solução: 
Seja x o comprimento do segmento NM, vamos mostrar a proporcionalidade entre os 
segmentos e utilizar a propriedade fundamental das proporções para resolver a equação: 
𝟐
𝟖
=
𝟒
𝒙
 
𝟐𝒙 = 𝟑𝟐 
𝒙 =
𝟑𝟐
𝟐
 
𝒙 = 𝟏𝟔𝒄𝒎 
 
 
 91 
Note que qualquer uma das razões expostas acima poderia ter sido utilizada para resolver 
esse problema e o resultado seria o mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 92 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Quando comparamos duas figuras geralmente queremos saber quais as semelhanças 
existentes entre elas. Algumas vezes elas são iguais, algumas vezes são apenas parecidas e 
também existem os casos em que as figuras comparadas são completamente diferentes. Na 
matemática, frequentemente as figuras geométricas são comparadas e os resultados 
possíveis são: Figuras congruentes, figuras semelhantes e figuras diferentes. A seguir, 
discutiremos a semelhança entre polígonos e os casos de semelhança entre triângulos. 
Dois polígonos são semelhantes quando existe proporcionalidade entre seus lados e seus 
ângulos correspondentes são todos iguais. Existir uma razão de proporcionalidade quer 
dizer que se dividirmos a medida de um lado da primeira figura pelo valor de um lado da 
segunda figura e o resultado for, por exemplo, o número 3, então todas as divisões entre 
medidas de lados da primeira figura por medidas dos lados da segunda figura terão 3 como 
resultado. 
 
 
Isso ocorre no caso dos hexágonos da imagem acima. Repare que a divisão de qualquer lado 
do primeiro hexágono por qualquer lado do segundo tem 3 como resultado. 
 
 93 
Para que dois polígonos sejam semelhantes, deve existir proporcionalidade entre seus lados 
correspondentes, além de ângulos correspondentes congruentes. 
Voltando ao exemplo dos hexágonos acima, observe que a razão entre lados 
correspondentes é sempre 3: 
𝑨𝑩
𝑮𝑯
=
𝑩𝑪
𝑯𝑰
=
𝑪𝑫
𝑰𝑱
=
𝑫𝑬
𝑱𝑲
=
𝑬𝑭
𝑲𝑳
=
𝑭𝑨
𝑳𝑮
= 𝟑 
 
Para mostrar que eles são semelhantes, falta apenas mostrar que seus ângulos 
correspondentes são congruentes. Nesse caso são, por terem sido construídos como 
polígonos regulares. 
Para os triângulos a regra é a mesma. Dois triângulos são semelhantes caso três ângulos 
correspondentes sejam congruentes e 3 lados correspondentes possuam a mesma razão de 
proporcionalidade. 
-- 
Porém, é possível verificar a semelhança nos triângulos de uma forma mais simples. Basta 
observar se eles se enquadram em um dos casos de semelhança de triângulos a seguir: 
Caso Ângulo Ângulo (AA): Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos 
correspondentes congruentes. 
 
 
 
 94 
Não é necessário verificar o terceiro ângulo e nenhuma proporcionalidade entre os lados. 
Basta que dois ângulos sejam congruentes e os dois triângulos já podem ser declarados 
semelhantes.: 
Caso Lado Lado Lado (LLL): Se dois triângulos possuem três lados proporcionais, então 
esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não é necessário verificar os ângulos. 
 
 
Na imagem acima, observe que as razões entre lados correspondentes têm o mesmo 
resultado: 
𝑨𝑩
𝑫𝑬
=
𝑩𝑪
𝑬𝑭
=
𝑪𝑨
𝑭𝑫
= 𝟏 
 
Então, pelo segundo caso de semelhança, esses triângulos são semelhantes. 
 
Caso Lado Ângulo Lado (LAL): Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e o 
ângulo entre eles congruente são semelhantes. 
Observe este caso de semelhança no exemplo: 
 
 95 
 
 
𝑨𝑩
𝑫𝑬
=
𝑪𝑨
𝑭𝑫
=
𝟏
𝟐
 
 
Nesse exemplo, o ângulo de 90 graus fica entre os lados proporcionais. Configurando assim 
o caso LAL. 
 
Exercício resolvido 
Observe a figura abaixo 
 
 
 96 
Um prédio projeta no solo uma sombra de 30 m de extensão no mesmo instante em que 
uma pessoa de 1,80 m projeta uma sombra de 2,0 m. 
Pode-se afirmar que a altura do prédio vale 
a) 27 m 
b) 30 m 
c) 33 m 
d) 36 m 
e) 40 m 
 
Resolução 
Podemos considerar que o prédio, sua sombra projetada e o raio solar formam um 
triângulo. Da mesma forma, temos também um triângulo formado pela pessoa, sua sombra 
e o raio solar. 
Considerando que os raios solares são paralelos e que o ângulo entre o prédio e o solo e a 
pessoa e o solo é igual a 90º, os triângulos, indicados na figura abaixo, são semelhantes 
(dois ângulos iguais). 
 
 
 
 
 97 
Sendo os triângulos semelhantes, podemos escrever a seguinte proporção: 
𝑯
𝟑𝟎
=
𝟏, 𝟖
𝟐
 
𝟐𝑯 = 𝟏, 𝟖 ∗ 𝟑𝟎 
𝑯 =
𝟓𝟒
𝟐
= 𝟐𝟕𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 98 
PLANO CARTESIANO 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
O plano cartesiano é um objeto matemático plano e composto por duas retas numéricas 
perpendiculares, ou seja, retas que possuem apenas um ponto em comum, formando um 
ângulo de 90°. Esse ponto comum é conhecido como origem e é nele que é marcado o 
número zero de ambas as retas. O plano cartesiano recebeu esse nome por ter sido 
idealizado por René Descartes e é usado fundamentalmente para sistematizar técnicas de 
localização no plano. 
 
Retas numéricas: abcissa e ordenada 
As duas retas que dão origem