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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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Retas paralelas 
Duas ou mais retas são ditas paralelas quando não existe ponto de encontro entre elas. 
Assim, elas não formam ângulo nem se encontram em qualquer parte de sua extensão 
infinita. 
 
 
Retas coincidentes 
São retas que possuem pelo menos dois pontos em comum. Como reta alguma faz curva, se 
duas retas possuem dois pontos em comum, elas possuem todos os pontos em comum. O 
resultado disso é visto geometricamente como uma reta só. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NOÇÕES DE ÂNGULOS 
cai nos vestibulinhos: ETEC, FAETEC, Colégios Militares, ENCCEJA, Jovem Aprendiz, Cursos Técnicos do 
SENAI, Institutos Federais, CEFET, Colégios Universitários (COTUCA, COTIL, UNESP, etc...), Colégio 
Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As 
semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo. 
 
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é 
o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto (') e o segundo (''). 
Temos que 1º (grau) equivale a 60' (minutos) e 1' equivale a 60'' (segundos). 
O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser 
de "meia volta" (180º) ou volta inteira (360º). 
 
Classificação de ângulos 
 
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Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: 
 Agudo: ângulo com medida menor que 90º. 
 Reto: ângulo com medida igual a 90º. 
 Obtuso: ângulo com medida maior que 90º. 
 Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º. 
 
Bissetriz de um ângulo 
Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do 
ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Retas paralelas cortadas por uma transversal 
 
Ângulos correspondentes: a e e, d e h, b e f, c e g - Congruentes 
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g - Suplementares 
Ângulos colaterais internos: e e d, c e f - Suplementares 
Ângulos alternos externos: a e g, b e h - Congruentes 
Ângulos alternos internos: d e f, c e e - Congruentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRIÂNGULOS 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e 
não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. 
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os 
lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º. 
 
Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 
- A, B e C são os vértices. 
- Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de 
encontros): AB, BC AC segmentos de retas. 
 
Tipos de triângulos 
O triângulo pode ser classificado segundo a medida de seus lados. 
 
Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes. 
 
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Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. 
 
Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 
60º. 
 
Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º. 
 
 
 
 
 
 
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QUADRILÁTEROS 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Quadriláteros são figuras geométricas planas, poligonais e formadas por quatro lados. Em 
outras palavras, essa definição implica as seguintes características: 
Quadriláteros são figuras definidas em um plano, por isso, não existem pontos dessa figura 
fora do plano (no que chamamos de espaço); 
São formados por segmentos de reta que se encontram em suas extremidades, por isso, são 
figuras fechadas; 
Possuem três classificações básicas: 
 Outros: Não possuem lados paralelos; 
 Trapézios: Possuem um par de lados paralelos; 
 Paralelogramos: Possuem dois pares de lados paralelos. 
 
O paralelismo entre os lados de um quadrilátero é perceptível quando se observa seus lados 
opostos. Lados que possuem ponto em comum não podem ser paralelos justamente por 
possuírem ponto em comum. 
 
 
Paralelogramos 
Para ser paralelogramo, é necessário que o polígono seja um quadrilátero e que seus lados 
opostos sejam paralelos. Essa definição implica uma série de resultados, chamados aqui de 
propriedades. Elas são válidas para todo paralelogramo e serão discutidas a seguir: 
 
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1 – ângulos opostos são congruentes; 
2 – ângulos não opostos são suplementares; 
3 – Lados opostos são congruentes; 
4 – As diagonais do paralelogramo encontram-se no seu ponto médio. 
 
OBS.: Devemos ressaltar que, se um quadrilátero possui lados opostos paralelos e 
congruentes, então ele é um paralelogramo. 
 
Retângulos 
Os retângulos são quadriláteros cujos ângulos medem 90°. Um resultado direto disso é 
que seus lados opostos são paralelos. Para ver isso, basta considerar qualquer um de seus 
lados como uma reta transversal e observar que ela corta outros dois lados formando o 
mesmo ângulo: 90°. 
 
Todo retângulo, portanto, é também um paralelogramo. Entretanto, nem todo 
paralelogramo é um retângulo. Assim, para o retângulo, valem as quatro propriedades dos 
paralelogramos citadas acima, além da seguinte: 
Todo retângulo possui diagonais congruentes. 
 
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O resultado mais direto dessa propriedade é o seguinte: Se um paralelogramo possui 
diagonais congruentes, então ele é um retângulo. 
Losangos 
Os losangos são paralelogramos que possuem os quatro lados congruentes. 
Desse modo, todo losango é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um 
losango. 
 
Esse quadrilátero possui as mesmas propriedades dos paralelogramos, além da seguinte: As 
diagonais de um losango formam um ângulo reto. 
Assim, se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango. 
 
Quadrado 
Um quadrado é um paralelogramo que possui os quatro lados iguais e, além disso, possui 
ângulos retos. Dessa maneira, um quadrado é, ao mesmo tempo, um losango e um 
retângulo. Entretanto, nem todo losango é quadrado e nem todo retângulo é quadrado. 
 
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A propriedade específica do quadrado é a seguinte: 
As diagonais de um quadrado formam ângulos retos e são congruentes. 
Assim, se um paralelogramo possui diagonais que formam um ângulo reto e que são 
congruentes, então esse paralelogramo é um quadrado. 
Observe que o critério acima é exatamente uma junção dos discutidos para o losango e para 
o retângulo. 
 
Trapézios 
São os quadriláteros que possuem apenas um par de lados opostos paralelos. 
Esses lados são chamados de bases do trapézio. Os trapézios não são paralelogramos, por 
isso, as propriedades dos paralelogramos não são válidas para os trapézios. 
Existem três classes de trapézios: os trapézios quaisquer, os trapézios retângulos e os 
trapézios isósceles. 
 
Trapézios retângulos 
São trapézios que possuem dois ângulos internos com medida de 90°. 
 
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Trapézios isósceles 
São os trapézios em que os lados que não são paralelos possuem a mesma medida (são 
congruentes). 
 
É possível notar que um trapézio isósceles pode resultar do corte feito em um triângulo 
isósceles, desde que esse corte descreva uma reta paralela à base desse triângulo. Quando 
isso é feito, o resultado é outro triângulo isósceles semelhante ao primeiro e um trapézio 
isósceles. 
 
As propriedades específicas para o trapézio isósceles são as seguintes: 
 
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1 – Os ângulos da base maior do trapézio isósceles são iguais; 
2 – As diagonais do trapézio isósceles são congruentes. 
 
Trapézios

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