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Apostila_de_Matemática_N_ (1)(2)

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prisma oblíquo. 
 
Prisma reto 
As arestas laterais são perpendiculares à base. Como só existirão ângulos retos em suas 
faces laterais, elas serão sempre retângulos em um prisma reto. 
Observe que não adianta formar um único ângulo reto com a base, é preciso que a aresta 
lateral seja perpendicular a ela. 
 
Prisma oblíquo 
As arestas laterais não são perpendiculares à base. Além disso, um prisma que possui 
polígonos regulares nas suas bases é chamado de prisma regular. 
 
Paralelepípedos 
Quando as bases de um prisma são paralelogramos, esse prisma é chamado de 
paralelepípedo. Os paralelepípedos podem ser classificados em oblíquos ou retos, da 
mesma maneira que os prismas comuns. Esse último também é chamado de paralelepípedo 
reto-retângulo ou bloco. 
 
 
 76 
CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS 
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Embraer e Bolsas de Estudo. 
 
Circunferência e Círculo 
É muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. Embora utilizamos esses 
termos como sinônimos, eles apresentam diferença. 
Enquanto a circunferência representa a linha curva que limita o círculo (ou disco), este é 
uma figura limitada pela circunferência, ou seja, representa sua área interna. 
 
 
Raio e Diâmetro da Circunferência 
Lembre-se que o raio da circunferência é um segmento que liga o centro da figura a 
qualquer ponto localizado em sua extremidade. 
Já o diâmetro da circunferência é um segmento de reta que passa pelo centro da figura, 
dividindo-a em duas metades iguais. Por isso, o diâmetro equivale duas vezes o raio (2r). 
 
 77 
 
 
Perímetro da Circunferência 
No caso da circunferência, o perímetro é o tamanho da medida do contorno da figura, 
sendo representado pela expressão: 
 
 
Comprimento da Circunferência 
O comprimento da circunferência está intimamente relacionado com seu perímetro. Assim, 
quando maior o raio dessa figura, maior será seu comprimento. 
Para calcular o comprimento de uma circunferência utilizamos a mesma fórmula do 
perímetro: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝑹 
Onde, 
 
 78 
C: comprimento 
π: constante pi (3,14) 
r: raio 
 
Área da Circunferência 
A área de uma figura determina o tamanho da superfície dessa figura. No caso da 
circunferência, a fórmula da área é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESFERAS 
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Estudo. 
 
A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos 
considerar que a esfera é um sólido. 
 
 
Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica 
destacamos os seguintes elementos básicos: 
 Pólos 
 Equador 
 Paralelo 
 Meridiano 
 
 
 80 
Área de uma superfície esférica 
Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a: 
𝑨 = 𝟒𝝅𝑹² 
 
Volume da esfera 
Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela 
seguinte equação: 
𝑽 =
𝟒𝝅𝑹³
𝟑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VOLUME DE SÓLIDOS 
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Estudo. 
 
Podemos encontrar o volume de todos os sólidos geométricos. O volume corresponde à 
“capacidade” desse sólido. Tente imaginar alguns sólidos geométricos, é possível 
preenchê-lo com algum material, como a água? 
Se existe essa possibilidade, podemos realizar o cálculo do volume para cada objeto 
pensado. Se por acaso é impossível preencher a figura que você imaginou, é porque, 
provavelmente, ela é uma figura plana bidimensional, como um quadrado, um triângulo ou 
um círculo. 
 
Volume de um prisma qualquer 
 
Legenda: o volume de um prisma qualquer pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura 
 
Um prima é um poliedro que possui uma base inferior e uma base superior. Essas bases são 
paralelas e congruentes, isto é, possuem as mesmas formas e dimensões, e não se 
interceptam. Para determinarmos o volume de um prisma qualquer, nós calculamos a área 
de sua base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura. Sendo assim: 
V = área da base* altura 
 
 82 
Na imagem acima, a área do prisma de base retangular pode ser calculada por: 
𝑉 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 
 
Já a área do prisma de base triangular é dada por: 
𝑉 =
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐
2
 
Volume de um cilindro 
 
Legenda: o volume de um cilindro é calculado multiplicando-se a área da base pela altura 
 
Assim como ocorre com os prismas, para calcular o volume do cilindro, multiplicamos a área 
da base pela altura. Podemos definir novamente: 
V = área da base * altura 
 
Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como: 
𝑽 = 𝝅 ∗ 𝑹² ∗ 𝒂 
 
 
 
 83 
Volume de um cone 
 
Legenda: o volume de um cone é calculado multiplicando-se a área da base por um terço da altura 
 
O cone tem uma diferenciação das outras formas vistas até aqui. Ao calcularmos o volume 
do cone, nós multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. 
 
Podemos definir: 
V = (área da base) * 
𝟏
𝟑
 da altura 
 
Para o cilindro da figura acima, podemos calcular seu volume como: 
𝑽 =
𝝅𝑹² ∗ 𝒂
𝟑
 
 
 
 
 
 
 84 
Volume de uma pirâmide 
 
 
A pirâmide assemelha-se ao cone em relação ao cálculo do volume. Para calcular o volume 
da pirâmide, multiplicamos a área da base por um terço da sua altura. 
Definimos novamente: 
V = (área da base) * 
𝟏
𝟑
 da altura 
 
Para a pirâmide da figura acima, podemos calcular seu volume como: 
𝑽 =
𝒃 ∗ 𝒄
𝟐
∗
𝒂
𝟑
 
𝑽 =
𝒃 ∗ 𝒄 ∗ 𝒂
𝟔
 
 
 
 
 
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TEOREMA DE PITÁGORAS 
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O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática. Ele 
descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo 
retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. 
O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior 
segmento do triângulo e localiza-se opostamente ao ângulo reto. Observe: 
 
 
O Teorema de Pitágoras diz que: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa. 
𝒂² + 𝒃² = 𝒄² 
 
Exemplos: 
1) Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. 
 
 86 
 
 
𝒙² = 𝟗² + 𝟏𝟐² 
𝒙² = 𝟖𝟏 + 𝟏𝟒𝟒 
𝒙² = 𝟐𝟐𝟓 
𝒙 = √𝟐𝟐𝟓 
𝒙 = 𝟏𝟓 
 
2) Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo: 
 
 
𝒙² + 𝟐𝟎² = 𝟐𝟓² 
 
 87 
𝒙² + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟔𝟐𝟓 
𝒙² = 𝟔𝟐𝟓 − 𝟒𝟎𝟎 
𝒙² = 𝟐𝟐𝟓 
𝒙 = √𝟐𝟐𝟓 
𝒙 = 𝟏𝟓 
 
 
A descoberta dos números irracionais 
Foi por meio do Teorema de Pitágoras que os números irracionais começaram a ser 
introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu no cálculo 
da hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja: 
 
𝒙² = 𝟏² + 𝟏² 
𝒙² = 𝟏 + 𝟏 
𝒙² = 𝟐 
𝒙 = √𝟐 
√𝟐 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓𝟔𝟐𝟑𝟕𝟑 … 
 
 
 
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TEOREMA DE TALES 
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Teorema de Tales é como ficou conhecida a propriedade matemática que relaciona as 
medidas dos segmentos de

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