exercicio resolvido integrais de linha de um Campo Vetorial
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Instituto Superior Te´cnico
Departamento de Matema´tica
Secc¸a\u2dco de A´lgebra e Ana´lise
Exerc´\u131cios Resolvidos
Integral de Linha de um Campo Vectorial
Exerc´\u131cio 1 Considere o campo vectorial
F (x, y, z) =
(
\u2212 2x
(x2 \u2212 y2)2 ,
2y
(x2 \u2212 y2)2 , z
2
)
.
Calcule o integral de linha
\u222b
C
F onde C e´ a curva descrita pelo caminho
g(t) = (et, sen t, t) , 0 \u2264 t \u2264 pi
2
.
Resoluc¸a\u2dco: O dom\u131´nio do campo F e´ o conjunto
R
3 \ ({(x, y, z) \u2208 R3 : x = y} \u222a {(x, y, z) \u2208 R3 : x = \u2212y})
que e´ a unia\u2dco de 4 conjuntos em estrela, limitados pelos planos x = y e x = \u2212y, tal como se
mostra na Figura 1, em que na\u2dco se apresenta a depende\u2c6ncia em z.
Sendo et > | sen t| , t > 0, enta\u2dco a curva C esta´ contida no conjunto em estrela
S = {(x, y, z) \u2208 R3 : x > |y|}.
PSfrag replacements
x
y
x = y
x = \u2212y
Figura 1: Esboc¸o do dom\u131´nio do campo F
Sendo F um campo fechado, ja´ que
\u2202
\u2202y
(
\u2212 2x(x2\u2212y2)2
)
= \u2212 8xy(x2\u2212y2)3 = \u2202\u2202x
(
2y
(x2\u2212y2)2
)
\u2202
\u2202z
(
\u2212 2x(x2\u2212y2)2
)
= 0 = \u2202\u2202x
(
z2
)
\u2202
\u2202z
(
2y
(x2\u2212y2)2
)
= 0 = \u2202\u2202y
(
z2
)
,
e sendo S um conjunto em estrela, concluimos que F e´ um campo gradiante em S.
Portanto, pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, temos\u222b
C
F = V (g(
pi
2
))\u2212 V (g(0)),
em que V designa um potencial escalar para F em S.
1
Para determinar um potencial V (x, y, z) deveremos resolver a equac¸a\u2dco \u2207V = F, ou seja,\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u2202V
\u2202x = \u2212 2x(x2\u2212y2)2
\u2202V
\u2202y =
2y
(x2\u2212y2)2
\u2202V
\u2202z = z
2.
Da primeira equac¸a\u2dco obtemos,
V (x, y, z) =
1
x2 \u2212 y2 + k1(y, z).
Da segunda,
\u2202k1
\u2202y
(y, z) = 0 \u21d4 k1(y, z) = k2(z).
Finalmente, da terceira equac¸a\u2dco obtemos
k\u20322(z) = z
2 \u21d4 k2(z) = z
3
3
+ k3.
Portanto o potencial tem a forma
V (x, y, z) =
1
x2 \u2212 y2 +
z3
3
+ k3
onde k3 e´ uma constante.
Enta\u2dco, \u222b
C
F = V (g(
pi
2
))\u2212 V (g(0))
= V (e
pi
2 , 0,
pi
2
)\u2212 V (1, 0, 0)
= e\u2212pi +
pi3
24
\u2212 1
Exerc´\u131cio 2 Considere o campo definido em R2 \ {(0, 0)} por
F (x, y) =
(
y
x2 + 4y2
, \u2212 x
x2 + 4y2
)
.
Calcule o integral de linha de F ao longo da circunfere\u2c6ncia de raio 1 centrada na origem e per-
corrida no sentido directo.
Resoluc¸a\u2dco: Se tentarmos calcular o integral de linha pela definic¸a\u2dco verificaremos imediatamente
que na\u2dco e´ uma tarefa fa´cil. Como alternativa podemos utilizar o Teorema de Green.
Note-se que o campo F e´ fechado. De facto, temos
\u2202
\u2202y
(
y
x2 + 4y2
)
=
x2 \u2212 4y2
(x2 + 4y2)2
=
\u2202
\u2202x
(
\u2212 x
x2 + 4y2
)
.
Consideremos uma regia\u2dco S, limitada pela circunfere\u2c6ncia C, de raio 1, centrada na origem e
percorrida no sentido directo e por outra linha L regular, fechada e percorrida no sentido directo,
tal como se ilustra na Figura 2.
2
Sendo F um campo fechado, aplicando o Teorema de Green a` regia\u2dco S, obtemos
0 =
\u222b
S
(
\u2202F2
\u2202x
\u2212 \u2202F1
\u2202y
)dxdy =
\u222e
L
F \u2212
\u222e
C
F,
ou seja, \u222e
C
F =
\u222e
L
F.
Portanto, em vez de calcular o integral de F em C podemos calcular o integral de F em L.
Assim, deveremos escolher L de tal forma que o ca´lculo do integral
\u222e
L
F seja simples.
PSfrag replacements
x1
2
4
y
C
L
Figura 2: Esboc¸o da regia\u2dco S limitada por C e por L
A expressa\u2dco do campo sugere que consideremos curvas onde x2 + 4y2 seja constante, isto e´,
elipses. Consideremos, por exemplo, o caminho
h(t) = (4 cos t, 2 sen t), 0 \u2264 t \u2264 2pi
que descreve a elipse x2 + 4y2 = 16, uma vez no sentido directo, tal como se mostra na Figura 2.
Portanto, o integral de linha de F ao longo de L sera´ dado por
\u222e
L
F.dh =
\u222b 2pi
0
(
2 sen t
16
,\u22124 cos t
16
)
.(\u22124 sen t, 2 cos t)dt =
\u222b 2pi
0
\u22121
2
dt = \u2212pi.
Exerc´\u131cio 3 Considere o campo vectorial f : R3 7\u2192 R3 definido por
f(x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz).
a) Sabendo que f define uma forc¸a conservativa, encontre um potencial \u3c6 para f.
b) Calcule o trabalho de f ao longo da espiral descrita pelo caminho
g(t) = (5 cos t , 5 sen t, t2) , t \u2208
[
0,
pi
4
]
.
Resoluc¸a\u2dco:
a) O potencial \u3c6 satisfaz a condic¸a\u2dco \u2207\u3c6 = f, ou seja, verifica as equac¸o\u2dces
\u2202\u3c6
\u2202x
= yzexyz ,
\u2202\u3c6
\u2202y
= xzexyz ,
\u2202\u3c6
\u2202z
= xyexyz.
3
Integrando a primeira equac¸a\u2dco, obtemos
\u3c6(x, y, z) = exyz + g(y, z).
Substituindo na segunda e terceira equac¸o\u2dces, concluimos que
\u2202g
\u2202y
=
\u2202g
\u2202z
= 0
e, portanto, g = k e´ uma constante.
Assim, podemos tomar \u3c6(x, y, z) = exyz + k, em que k e´ uma constante.
Tambe´m e´ poss´\u131vel determinar \u3c6 recorrendo ao Teorema Fundamental do Ca´lculo para in-
tegrais de linha, segundo o qual, sendo f conservativa e escolhendo-se um ponto base p0, se
tem
\u3c6(p) =
\u222b
L
f,
onde o integral e´ calculado ao longo de um caminho diferencia´vel L qualquer que ligue p0
a um ponto gene´rico p = (x, y, z). No nosso caso podemos escolher p0 = 0 e o caminho
como sendo o segmento de recta entre p0 e p, definido por h(t) = (tx, ty, tz), com t \u2208 [0, 1] .
Obtemos enta\u2dco,
\u3c6(x, y, z) =
\u222b 1
0
f(h(t)) · h\u2032(t)dt =
=
\u222b 1
0
(t2yzet
3xyz, t2xzet
3xyz, xyt2et
3xyz) · (x, y, z)dt =
=
\u222b 1
0
3xyzt2et
3xyzdt =
= exyz \u2212 1
que, a menos de uma constante, e´ o resultado obtido acima.
b) Para calcular o trabalho de f ao longo da espiral vamos utilizar o Teorema Fundamental do
Ca´lculo,
W =
\u222b
fdg =
\u222b
\u2207\u3c6 = \u3c6(g(pi
4
))\u2212 \u3c6(g(0)) =
= \u3c6(5
\u221a
2
2
, 5
\u221a
2
2
,
pi2
16
)\u2212 \u3c6(5, 0, 0) =
= e
25pi
2
32 \u2212 1.
Note-se que seria muito mais dif´\u131cil efectuar este ca´lculo directamente, utilizando a definic¸a\u2dco
de trabalho.
Exerc´\u131cio 4 Considere o campo vectorial F : R2 \ {(0, 0), (0, 1)} \u2192 R2 definido por
F (x, y) =
(
\u2212 y
x2 + y2
\u2212 y \u2212 1
x2 + (y \u2212 1)2 ,
x
x2 + y2
+
x
x2 + (y \u2212 1)2
)
.
Determine o integral de linha do campo F ao longo do caminho que descreve a fronteira do
quadrado com ve´rtices nos pontos (2, 2), (\u22122, 2), (\u22122,\u22122), (2,\u22122), no sentido directo.
4
Resoluc¸a\u2dco: Designemos por \u3b3 o caminho que descreve a fronteira \u393 do quadrado e sejam
g1 : [0, 2pi] \u2192 R2 e g2 : [0, 2pi] \u2192 R2 os caminhos definidos por
g1(t) = (
1
4
cos t,
1
4
sen t)
g2(t) = (
1
4
cos t,
1
4
(sen t + 1))
ou seja, g1 descreve a circunfere\u2c6ncia C1 de raio 1/4 e centro na origem no sentido positivo e g2
descreve a circunfere\u2c6ncia C2 de raio 1/4 e centro no ponto (0, 1) no sentido positivo, tal como
se ilustra na Figura 3.
PSfrag replacements x
y
\u393
C1
C2
Figura 3: As linhas \u393, C1, C2
O campo F pode ser decomposto na soma de dois campos F = F1 + F2, em que
F1(x, y) =
(
\u2212 y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
,
F2(x, y) =
(
\u2212 y \u2212 1
x2 + (y \u2212 1)2 ,
x
x2 + (y \u2212 1)2
)
.
Facilmente se verifica que os campos F1 e F2 sa\u2dco fechados, ou seja, o campo F e´ fechado.
Portanto, aplicando o Teorema de Green a` regia\u2dco limitada pelas circunfere\u2c6ncias C1 e C2 e pela
fronteira \u393 do quadrado, obtemos
0 =
\u222b
\u393
F · d\u3b3 \u2212
\u222b
C1
F · dg1 \u2212
\u222b
C2
F · dg2,
ou seja, \u222b
\u393
F · d\u3b3 =
\u222b
C1
(F1 + F2) · dg1 +
\u222b
C2
(F1 + F2) · dg2.
Por outro lado, o c´\u131rculo limitado pela circunfere\u2c6ncia C2 na\u2dco conte´m a origem, pelo que\u222b
C2
F1 · dg2 = 0.
Do mesmo modo, o c´\u131rculo limitado pela cicunfere\u2c6ncia C1 na\u2dco conte´m o ponto (0, 1) e, por-
tanto, concluimos que \u222b
C1
F2 · dg1 = 0.
5
Assim, temos \u222b
\u393
F · d\u3b3 =
\u222b
C1
F1 · dg1 +
\u222b
C2
F2 · dg2.
Da definic¸a\u2dco de integral de linha de um campo vectorial obtemos
\u222b
C1
F1 · dg1 =
\u222b 2pi
0
(\u2212 sen t, cos t) · (\u2212 sen t, cos t)dt = 2pi
\u222b
C2
F2 · dg2 =
\u222b 2pi
0
(\u2212 sen t, cos t) · (\u2212 sen t, cos t)dt = 2pi.
Logo, \u222b
\u393
F · d\u3b3 = 2pi + 2pi = 4pi.
Exerc´\u131cio 5 Considere o campo vectorial
f(x, y) =
( \u2212y
(x + 1)2 + y2
+
3(x\u2212 1)