calculo 3

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1. 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3 
 
 
3ª ordem e linear. 
2. 
 
 
"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e 
Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di Prima. Com relação às 
equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
 
 (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou 
diferencial da função incógnita. 
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da 
função incógnita que figura na equação. 
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem 
da função incógnita que figura na equação. 
 
 
(I), (II) e (III) 
 
3. 
 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
a) 4(y′)5+y′′−14(y′)5+y″−1 
b) ∂5y∂x5−(∂2y∂x2)3=0∂5y∂x5−(∂2y∂x2)3=0 
Em relação a ordem e grau das equações, podemos afirmar que: 
 
 
A primeira tem ordem 2 e a segunda tem grau 1. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são 
linearmente dependentes. 
 
 
 
 
0 
 
5. 
 
 
Resolva a seguinte EDO utilizando a técnica de Fator Integrante: 
y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0 
 
 
y5sen(x)+y4=ky5sen(x)+y4=k 
 
 
6. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
(y´´)2−3yy´+xy=0(y´´)2−3yy´+xy=0. 
 
 
Ordem 2 e grau 2. 
 
7. 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
t2y(2)+ty´+2y=sen(t)t2y(2)+ty´+2y=sen(t) 
 
 
2ª ordem e linear. 
8. 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
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t2s(2)−ts=1−sen(t)t2s(2)−ts=1−sen(t) 
 
 
Ordem 2 e grau 1. 
1. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial dy/y - (cos x)dx = 0, obtemos: 
 
 
 
ln y = sen x + C 
 
2. 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
 
(2,cos 2, 3) 
3. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial cosydy=dxxcosydy=dxx, obtemos: 
 
 
 
sen y - ln x = C 
4. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo: 
I - d2ydt2+dydt+ty2=0d2ydt2+dydt+ty2=0 
II - d2ydt2+tdydt+t3y=etd2ydt2+tdydt+t3y=et 
III - t3d3ydt3+tdydt+y=tt3d3ydt3+tdydt+y=t 
Assinale a alternativa verdadeira. 
 
 
Apenas a II e III são lineares. 
 
5. 
 
 
São grandezas vetoriais, exceto: 
 
 
 
Maria assistindo um filme do arquivo X. 
 
6. 
 
 
Dada a função s (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 
 
(2t , - sen t, 3t2) 
1. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo: 
I - t3d3ydt3+d2ydt2+dydt+ty2=0t3d3ydt3+d2ydt2+dydt+ty2=0 
II - d2ydt2+sen(t+y)y´+y=sen(t)d2ydt2+sen(t+y)y´+y=sen(t) 
III - (d2ydt2)2+tdydt+2y=t(d2ydt2)2+tdydt+2y=t 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
I, II e III são não lineares. 
 
 
Apenas a alternativa II é linear. 
 
 
Apenas a alternativa I é linear. 
 
 
I, II e III são lineares. 
 
 
 
Explicação: 
I, II e III são não lineares, porque: as alternativas I e III possuem termos quadráticos e a alternativa 
II apresenta a variável multiplicada pela sua derivada. 
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2. 
 
 
Seja a função F parametrizada por: 
 . 
Calcule F(2) 
 
 
(2,16) 
 
3. 
 
 
Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo: 
I - (y(IV))2+3xy′+2y=e2x(y(IV))2+3xy′+2y=e2x 
II - d2ydt2+tdydt+2y=sen(t)d2ydt2+tdydt+2y=sen(t) 
III - d2ydt2+dydt+ty2=0d2ydt2+dydt+ty2=0 
Assinale a alternativa verdadeira. 
 
 
Apenas a alternativa II é linear. 
 
4. 
 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
I) 4(y′)5+y′′=14(y′)5+y″=1 
II) ∂5y∂x5−∂2y∂x2=0∂5y∂x5−∂2y∂x2=0 
III) (y′′)3+(y′)5=x(y″)3+(y′)5=x 
De acordo com as alternativas, determine a alternativa correta. 
 
 
A primeira e a segunda são de graus iguais a 1. 
5. 
 
 
Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo: 
I - t3d3ydt3+tdydt+y=tt3d3ydt3+tdydt+y=t 
II - d2ydt2+tdydt+t2y=etd2ydt2+tdydt+t2y=et 
III - t2dydt+ty=sen(t)t2dydt+ty=sen(t) 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
I, II e III são lineares. 
 
6. 
 
 
Resolva a seguinte EDO utilizando a técnica de Fator Integrante: 
y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0y2cos(x)dx+(4+5y sen(x))dy=0 
 
 
y5sen(x)+y4=ky5sen(x)+y4=k 
 
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7. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
(y´´)2−3yy´+xy=0(y´´)2−3yy´+xy=0. 
 
 
Ordem 2 e grau 2. 
 
8. 
 
 
Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são 
linearmente dependentes. 
 
 
 
0 
1. 
 
 
"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e 
Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di Prima. Com relação às 
equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
 
 (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou 
diferencial da função incógnita. 
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da 
função incógnita que figura na equação. 
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta 
ordem da função incógnita que figura na equação. 
 
 
(I), (II) e (III) 
 
2. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
t2s(2)−ts=1−sen(t)t2s(2)−ts=1−sen(t) 
 
 
Ordem 2 e grau 1. 
 
3. 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
t2y(2)+ty´+2y=sen(t)t2y(2)+ty´+2y=sen(t) 
 
 
2ª ordem e linear. 
 
4. 
 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
a) 4(y′)5+y′′−14(y′)5+y″−1 
b) ∂5y∂x5−(∂2y∂x2)3=0∂5y∂x5−(∂2y∂x2)3=0 
Em relação a ordem e grau das equações, podemos afirmar que: 
 
 
A primeira tem ordem 2 e a segunda tem grau 1. 
 
 
5. 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3 
 
 
3ª ordem e linear. 
 
6. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial (x+1)y' = x + 6, encontramos: 
 
 
 
y = x + 5 ln | x + 1 | + C 
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7. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
(y(IV))3+3xy(3)+2y=e2x(y(IV))3+3xy(3)+2y=e2x. 
 
 
Ordem 4 e grau 3. 
 
8. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial (cos y)dy = (sen x)dx, obtemos: 
 
 
 
sen y + cos x = C 
 
7. 
 
 
Resolvendo a equaçãodiferencial dy/y = (cos x)dx, obtemos: 
 
 
 
ln y = sen x + C 
8. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis dx 
+ e3x dy. 
 
 
y = (e-3x/3) + k 
1. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
x4y(4)+xy3=exx4y(4)+xy3=ex 
 
 
Ordem 4 e grau 1. 
 
2. 
 
 
Determine o limite da função (t2 , cos t, t3) parametrizada quando t tende a zero. 
 
 
 
(0,1,0) 
 
 
3. 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
y(4)+y(3)+y(2)+y´+y=1y(4)+y(3)+y(2)+y´+y=1 
 
 
4ª ordem e linear. 
 
4. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial (cos y)dy - (sen x)dx = 0, obtemos: 
 
 
 
sen y + cos x = C 
 
 
 
 
5. 
 
 
Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da substituição: 
Função: yy = x416x416 
EDO:y′=x(y12)y′=x(y12) 
 
 
x34=x34x34=x34 são iguais, portanto resolve a EDO. 
 
 
6. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial dy/y - (cos x)dx = 0, obtemos: 
 
 
 
ln y = sen x + C 
 
7. 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
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(2,cos 2, 3) 
 
8. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial cosydy=dxxcosydy=dxx, obtemos: 
 
 
 
sen y - ln x = C 
1. 
 
 
Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2)(x+1).dydx=x.(1+y2). 
 
 
 
y=tg[x−ln|x+1|+C]y=tg[x-ln|x+1|+C] 
 
2. 
 
 
Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4yxy´=4y 
 
 
y=cx4y=cx4 
 
3. 
 
 
Considere a equação diferencial ordinária em que a função y depende exclusivamente da variável 
x, tal que dy - ex.dx = 0 e y(0) = 2. Determine a solução para as condições iniciais apresentadas. 
 
 
ex + 1 
 
4. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis 
1xdx+dy=01xdx+dy=0. 
 
 
y=−ln|x|+cy=−ln⁡|x|+c 
 
5. 
 
 
Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR: 
a) d²y/dx² = -2x(dy/dx) + 2y 
b) dx/dt = k(4-x).(1-x) 
encontramos: 
 
 
(a)linear (b)não linear 
 
6. 
 
 
Indique a solução correta da equação diferencial: `dy/dx = sqrt(7x³). 
 
 
 
`y = (2sqrt7)/(5)x^(5/2) + C 
 
7. 
 
 
Sabendo que s(t) = ( cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move 
em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 
V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 
8. 
 
 
 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a única resposta correta: 
ydx+(x+xy)dy=0ydx+(x+xy)dy=0 
 
 
lnxy+y=Clnxy+y=C 
1. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear: 
y´−3y=6y´−3y=6 
 
 
y=−2+ce3xy=−2+ce3x 
 
 
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2. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear: 
y´+6xy=0y´+6xy=0 
 
 
y=ce−6xy=ce−6x 
 
3. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial separável xdy = ydx, obtemos: 
 
 
 
ln y = ln x + C 
 
4. 
 
 
Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis: 
dydt=et−ydydt=et−y 
 
 
y=t+ky=t+k 
 
5. 
 
 
A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é 
 
 
 
y=C/x 
 
6. 
 
 
Determine a solução geral para a EDO de primeira ordem a seguir: 
dy/dx = 2ycosx 
 
 
y = c.e2senx 
 
7. 
 
 
Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2)(x+1).dydx=x.(1+y2). 
 
 
 
y=tg[x−ln|x+1|+C]y=tg[x-ln|x+1|+C] 
 
8. 
 
 
Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 4y = 32? 
 
 
 
8 
1. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial xdy - ydx = 0, obtemos: 
 
 
 
ln y = ln x + C 
 
2. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
 (y,,)2 - 3yy, + xy = 0 
 
 
ordem 2 grau 2 
 
3. 
 
 
A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias 
no instante t. após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 2500 
bactérias. Podemos afirmar que o número inicial de bactérias é: 
 
 
Aproximadamente 160 bactérias. 
 
4. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y')³ + ex = 0. 
 
 
 
Grau 3 e ordem 1. 
 
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5. 
 
 
Resolva a seguinte equação diferencial ordinária utilizando a técnica de variáveis separáveis: 
dx+e3xdy=0dx+e3xdy=0 
 
 
y=e−3x/3+cy=e−3x/3+c 
 
6. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis 
dydx=e−7xdydx=e−7x 
 
 
y=−e−7x7+Cy=−e−7x7+C 
 
7. 
 
 
 Resolva e indique a resposta correta: rsecψdr−2a2senψdψrsecψdr−2a2senψdψ, sendo aa uma 
constante real positiva. 
 
 
r2+2a2cos2ψ=Cr2+2a2cos2ψ=C 
 
8. 
 
 
Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 7y = 28? 
 
 
 
4 
1. 
 
 
Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. 
Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações. 
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
 
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a 
equação, isto é, que a transformem numa identidade. 
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida em 
um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, 
tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se 
converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b). 
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a 
equação, isto é, que a transformem numa identidade. 
 
 
(I), (II) e (III) 
 
2. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis 
y´=5yy´=5y 
 
 
y=ce5xy=ce5x 
 
3. 
 
 
Resolva a equação diferencial separável de primeira ordem e informe qual a resposta correta: 
2rcosθdr−tgθdθ=02rcosθdr−tgθdθ=0 
 
 
 
r2−secθ=Cr2−secθ=C 
4. 
 
 
Classificandoas seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR: 
a) d²y/dx² = -2x(dy/dx) + 2y 
b) dx/dt = k(4-x).(1-x) 
encontramos: 
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(a)linear (b)não linear 
 
5. 
 
 
Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4yxy´=4y 
 
 
y=cx4y=cx4 
 
 
6. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis 
1xdx+dy=01xdx+dy=0. 
 
 
y=−ln|x|+cy=−ln⁡|x|+c 
 
 
7. 
 
 
 Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a única resposta correta: 
ydx+(x+xy)dy=0ydx+(x+xy)dy=0 
 
 
lnxy+y=Clnxy+y=C 
 
8. 
 
 
Indique a solução correta da equação diferencial: `dy/dx = sqrt(7x³). 
 
 
`y = (2sqrt7)/(5)x^(5/2) + C 
 
1. 
 
 
Considere a equação diferencial ordinária em que a função y depende exclusivamente da 
variável x, tal que dy - ex.dx = 0 e y(0) = 2. Determine a solução para as condições iniciais 
apresentadas. 
 
 
ex + 1 
 
 
2. 
 
 
Sabendo que s(t) = ( cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move 
em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 
V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
 
 
 
3. 
 
 
Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2)(x+1).dydx=x.(1+y2). 
 
 
 
y=tg[x−ln|x+1|+C]y=tg[x-ln|x+1|+C] 
4. 
 
 
Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis: 
dydt=et−ydydt=et−y 
 
 
y=t+ky=t+k 
 
5. 
 
 
A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é 
 
 
 
y=C/x 
 
6. 
 
 
Resolvendo a equação diferencial separável xdy = ydx, obtemos: 
 
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ln y = ln x + C 
 
7. 
 
 
Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2)(x+1).dydx=x.(1+y2). 
 
 
 
y=tg[x−ln|x+1|+C]y=tg[x-ln|x+1|+C] 
8. 
 
 
Determine a solução geral para a EDO de primeira ordem a seguir: 
dy/dx = 2ycosx 
 
 
y = c.e2senx 
 
 
 
 
1. 
 
 
Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata. 
 
 
 
É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0(δMδy)=(δNδx)=0 
 
 
 
2. 
 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, 
primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a 
classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 
 
equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear 
 
3. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDOs homogêneas. 
I - dydx=x2+2y2xydydx=x2+2y2xy 
II - dydx=x2+y22xydydx=x2+y22xy 
III - dydx=2xyx2−2y2dydx=2xyx2−2y2 
 
 
Todas são homogêneas. 
 
4. 
 
 
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos 
respectivamente: 
 
 
1 e 1 
 
 
5. 
 
 
Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyxf(x,y)=x3+xy2eyx é homogênea e, se for, qual é o grau e 
indique a resposta correta. 
 
 
Homogênea de grau 3. 
 
6. 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando
 f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2f(x,y)=5x4+x2y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e 
indique a resposta correta. 
 
 
É função homogênea de grau 4. 
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7. 
 
 
Dadas as funções abaixo, determine quais são homogêneas. 
I - f(x,y)=5x4+x2y2f(x,y)=5x4+x2y2 
II - f(x,y)=xy+y2f(x,y)=xy+y2 
III - f(x,y)=x+ysen(yx)f(x,y)=x+ysen(yx) 
 
 
Todas são homogêneas. 
 
8. 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 
y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
1. 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). 
Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 
( -sent, cos t) 
2. 
 
 
Classifique a equação diferencial x^3 y" + xy' + (x^2 - 4)y = 0 de acordo com o tipo, a ordem e a 
linearidade: 
 
 
equação diferencial ordinária de segunda ordem e linear; 
 
3. 
 
 
Sabendo que s(t) = ( 5 + cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se 
move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. 
 
 
V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
4. 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y) é dita homogênea de grau de homogeneidade n 
quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). Verifique se a função f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x2+xy+y2 é 
homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 
É função homogênea de grau 2. 
 
5. 
 
 
Dada uma função de modo que f(5,6)=7 e seu grau é igual a 1, podemos afirmar que f(20,24) é: 
 
 
 
28 
6. 
 
 
Dadas as funções, determine quais são homogêneas. 
I - f(x,y)=4x3+3y3f(x,y)=4x3+3y3 
II - f(x,y)=x+xyf(x,y)=x+xy 
III - f(x,y)=2x+x2f(x,y)=2x+x2 
 
 
Apenas a I. 
 
7. 
 
 
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE 
correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias 
quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da 
solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é 
possível encontrar uma solução particular para uma equação diferencial. 
 
 
Todas são corretas. 
8. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y''')² + 3y' + 2y = ex. 
 
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Ordem 3 e grau 2. 
 
1. 
 
 
Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular ypyp: 
 
 
 
y(x)=e(2x)+ky(x)=e(2x)+k 
 
2. 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando
 f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2f(x,y)=7x3+2xy2 é homogênea e, se for, qual é o grau e 
indique a resposta correta. 
 
 
É homogênea de grau 3. 
 
 
3. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDO homogênea. 
I- dydx=y−xxdydx=y−xx 
II - dydx=2y+xxdydx=2y+xx 
III - dydx=x2+2y2xydydx=x2+2y2xy 
 
 
Todas são homogêneas. 
 
4. 
 
 
Identificando a ordem e o grau da equação diferencialy´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos 
respectivamente: 
 
 
1 e 1 
 
5. 
 
 
Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyxf(x,y)=x3+xy2eyx é homogênea e, se for, qual é o grau e 
indique a resposta correta. 
 
 
Homogênea de grau 3. 
6. 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando
 f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2f(x,y)=5x4+x2y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e 
indique a resposta correta. 
 
 
É função homogênea de grau 4. 
7. 
 
 
Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata. 
 
 
 
É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0(δMδy)=(δNδx)=0 
 
8. 
 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, 
primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a 
classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 
 
equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear 
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1. 
 
 
Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir: 
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1y(0)=1 e y'(0)=0y′(0)=0 
 
 
y(t)=43e−t − 13e−(4t)y(t)=43e-t - 13e-(4t) 
 
 
2. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDOs homogêneas. 
I - dydx=x2+2y2xydydx=x2+2y2xy 
II - dydx=x2+y22xydydx=x2+y22xy 
III - dydx=2xyx2−2y2dydx=2xyx2−2y2 
 
 
Todas são homogêneas. 
 
3. 
 
 
Dadas as funções abaixo, determine quais são homogêneas. 
I - f(x,y)=5x4+x2y2f(x,y)=5x4+x2y2 
II - f(x,y)=xy+y2f(x,y)=xy+y2 
III - f(x,y)=x+ysen(yx)f(x,y)=x+ysen(yx) 
 
 
Todas são homogêneas. 
 
4. 
 
 
Classifique a equação diferencial x^3 y" + xy' + (x^2 - 4)y = 0 de acordo com o tipo, a ordem e a 
linearidade: 
 
 
equação diferencial ordinária de segunda ordem e linear; 
5. 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y) é dita homogênea de grau de homogeneidade n 
quando f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). Verifique se a função f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x2+xy+y2 é 
homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 
É função homogênea de grau 2. 
6. 
 
 
Dada uma função de modo que f(5,6)=7 e seu grau é igual a 1, podemos afirmar que f(20,24) é: 
 
 
 
28 
7. 
 
 
Seja →F(t)=(cost,sent)F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)→F(t+h)−→F(t)hlim(h→0)F→(t+h)-
F→(t)h 
 
 
( -sent, cos t) 
 
8. 
 
 
Dadas as funções, determine quais são homogêneas. 
I - f(x,y)=4x3+3y3f(x,y)=4x3+3y3 
II - f(x,y)=x+xyf(x,y)=x+xy 
III - f(x,y)=2x+x2f(x,y)=2x+x2 
 
 
Apenas a I. 
1. 
 
Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de 
soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que 
contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da 
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equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral 
atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição 
inicial é possível encontrar uma solução particular para uma equação 
diferencial. 
 
 
Todas são corretas. 
2. 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y''')² + 3y' + 2y = ex. 
 
 
 
Ordem 3 e grau 2. 
 
3. 
 
 
Sabendo que s(t) = ( 5 + cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se 
move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. 
 
 
V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
4. 
 
 
Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata. 
 
 
 
É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0(δMδy)=(δNδx)=0 
 
5. 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando
 f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2f(x,y)=7x3+2xy2 é homogênea e, se for, qual é o grau e 
indique a resposta correta. 
 
 
É homogênea de grau 3. 
 
 
6. 
 
 
Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular ypyp: 
 
 
 
y(x)=e(2x)+ky(x)=e(2x)+k 
 
7. 
 
 
Uma função f(x,y)f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando
 f(tx,ty)=tnf(x,y)f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2f(x,y)=5x4+x2y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e 
indique a resposta correta. 
 
 
É função homogênea de grau 4. 
 
8. 
 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, 
primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a 
classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 
 
equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear 
 
1. 
 
Calcule C1C1 e C2C2 de modo que y(x)=C1senx+C2cosxy(x)=C1senx+C2cosx satisfaça as 
condições dadas: 
y(0)=2y(0)=2; `y '(0) = 1. 
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Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de 
Contorno. Marque a única resposta correta. 
 
 
C1=1C1=1; C2=2C2=2 
PVI 
 
2. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - ydx+xdy=0ydx+xdy=0 
II - (x−2y)dx+(x+y)dy=0(x−2y)dx+(x+y)dy=0 
III - (2x2−y)dx+(x+y)dy=0(2x2−y)dx+(x+y)dy=0 
 
 
Apenas a I. 
 
 
3. 
 
 
Uma equação diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é chamada 
de exata se: 
 
 
δM(x,y)δy=δN(x,y)δxδM(x,y)δy=δN(x,y)δx 
 
 
4. 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
(y−x2)dx−(y2−x)dy=0(y−x2)dx−(y2−x)dy=0 
 
 
yx−x33−y33=kyx−x33−y33=k 
 
5. 
 
 
Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taxa aproximada 
de 1.500t−121.500t-12 pessoas por ano, sendo t o número de anos transcorridos após 1990. Em 
1999, a população deste lugar era de 39.000 pessoas.Qual era a população, em 1990? 
 
 
30000 
 
6. 
 
 
Várias equações diferenciais de 1ª ordem que podem se apresentar com o formato: M(x,y)dx + 
N(x,y)dy = 0. Para que tenhamos uma uma equação diferencial exata é necessário que: 
 
 
A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de N em relação à x. 
 
7. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
(y")³+3y'+6y=tan(x) 
 
 
ordem 2 grau 3 
 
8. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy 
II - (ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0(ysen(x)+xycos(x))dx+(xsen(x)+1)dy=0 
III - (x−y)dx+(x+y)dy=0(x−y)dx+(x+y)dy=0 
 
 
 
Apenas I e II. 
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Qual é a solução da seguinte equação diferencial com a condição inicial dada ? 
 
 
 
2x + exy - y2 = A, onde A é uma constante 
 
 
 
2. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0. 
 
 
 
y = C1e-t + C2e-t 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y=sen(x) 
 
 
ordem 2 grau 1 
 
4. 
 
 
São grandezas escalares, exceto: 
 
 
 
João empurrando um carrinho de mão, cheio de livros. 
5. 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
y′=5y−2x−5x+3y2y′=5y−2x−5x+3y2 
 
 
−5xy+y3+x2=k−5xy+y3+x2=k 
 
6. 
 
 
Uma solução da equação diferencial y´=y é a função: 
 
 
 
y = ex 
 
7. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - (xy+x2)dx+(−5)dy=0(xy+x2)dx+(−5)dy=0 
II - xexydx+yexydy=0xexydx+yexydy=0 
III - yexydx+xexydy=0yexydx+xexydy=0 
 
 
Apenas a III. 
 
8. 
 
 
Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent. 
 
 
 
1 
1. 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - 2xydx+(1+x2)dy2xydx+(1+x2)dy 
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II - (x+sen(y))dx+(xcos(y)−2y)dy=0(x+sen(y))dx+(xcos(y)−2y)dy=0 
III - (2xy+x)dx+(x2+y)dy=0(2xy+x)dx+(x2+y)dy=0 
 
 
I, II e III são exatas 
 
2. 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - ydx+xdy=0ydx+xdy=0 
II - (x−2y)dx+(x+y)dy=0(x−2y)dx+(x+y)dy=0 
III - (2x2−y)dx+(x+y)dy=0(2x2−y)dx+(x+y)dy=0 
 
 
Apenas a I. 
 
3. 
 
 
Uma equação diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é chamada 
de exata se: 
 
 
δM(x,y)δy=δN(x,y)δxδM(x,y)δy=δN(x,y)δx 
 
4. 
 
 
Resolva a seguinte EDO EXATA: 
(y−x2)dx−(y2−x)dy=0(y−x2)dx−(y2−x)dy=0 
 
 
yx−x33−y33=kyx−x33−y33=k 
 
5. 
 
 
Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taxa aproximada 
de 1.500t−121.500t-12 pessoas por ano, sendo t o número de anos transcorridos após 1990. Em 
1999, a população deste lugar era de 39.000 pessoas.Qual era a população, em 1990? 
 
 
30000 
 
6. 
 
 
Várias equações diferenciais de 1ª ordem que podem se apresentar com o formato: M(x,y)dx + 
N(x,y)dy = 0. Para que tenhamos uma uma equação diferencial exata é necessário que: 
 
 
A derivada de M em relação à y seja igual à derivada de N em relação à x. 
 
7. 
 
 
Calcule C1C1 e C2C2 de modo que y(x)=C1senx+C2cosxy(x)=C1senx+C2cosx satisfaça as condições 
dadas: 
y(0)=2y(0)=2; `y '(0) = 1. 
Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. 
Marque a única resposta correta. 
 
 
C1=1C1=1; C2=2C2=2 
PVI 
 
8. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
(y")³+3y'+6y=tan(x) 
 
 
ordem 2 grau 3 
 
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