Slide 4 Campo Elétrico 2 Sherdil Khan

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(FIS01182) 
Prof. Sherdil Khan 
sherdil@if.ufrgs.br 
Sala: L216 
 Electric Field 2 
2 
Revisando 
A região ao redor de uma carga onde a força elétrica pode ser 
sentida é chamada de campo elétrico 
[N/C] 
𝐸𝑟𝑒𝑠 = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + ⋯ + 𝐸𝑛 
Se uma carga é colocada em uma 
região do espaço onde existe um 
campo elétrico, ela sofre a ação de 
uma força eletrostática: 
𝑭 = 𝒒𝑬 
Força é exercida pelo campo EXTERNO. O campo gerado pela 
própria carga não pode exercer força sobre ela mesma. 
3 
 Tangente na linha de campo elétrico é a direção do 
vetor de campo elétrico 
 O campo elétrico tem uma direção única em cada ponto. 
 Elass não se cruzam 
Linhas de campo elétrico Revisando 
E

4 
Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico: 
Dipolo elétrico é um conjunto formado por duas cargas de 
mesmo módulo “q” e sinais opostos, separadas por uma 
distância d 
eixo do dipolo 
+q 
-q 
d 
Aula 02 
5 
Exemplo: campo elétrico produzido por um dipolo elétrico 
a) Em um ponto sobre o eixo do dipolo 
𝐸𝑟𝑒𝑠 = 𝐸(+𝑞) + 𝐸(−𝑞) 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞
𝑟(+)
2 ∙ 𝑟 (+) +
1
4𝜋𝜀0
∙
−𝑞
𝑟(−)
2 ∙ 𝑟 (−) 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞
𝑧 −
𝑑
2
2 ∙ 𝑘
 
+
1
4𝜋𝜀0
∙
−𝑞
𝑧 +
𝑑
2
2 ∙ 𝑘
 
Aula 02 
6 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
𝑞
4𝜋𝜀0(𝑧
2)
∙
1
1 −
𝑑
2𝑧
2 −
1
1 +
𝑑
2𝑧
2 ∙ 𝑘
 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
𝑞
4𝜋𝜀0(𝑧
2)
∙
1 +
𝑑
2𝑧
2
− 1 −
𝑑
2𝑧
2
1 +
𝑑
2𝑧
2
∙ 1 −
𝑑
2𝑧
2 ∙ 𝑘
 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
𝑞
4𝜋𝜀0(𝑧
2)
∙
2𝑑/𝑧
1 − (
𝑑
2𝑧
)
2
2 ∙ 𝑘
 
Aula 02 
7 
Na maioria dos casos, estaremos interessados nos efeitos 
elétricos de um dipolo numa região muito longe das cargas do 
dipolo, de forma que z >> d, o que nos leva a 𝑑2
𝑧2
≈ 0 
Portanto, usaremos a equação 𝐸 =
2𝑞𝑑
4𝜋𝜀0. 𝑧
3
 
Aula 02 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
2𝑞
4𝜋𝜀0(𝑧
3)
∙
𝑑
1 − (
𝑑
2𝑧
)
2
2 ∙ 𝑘
 
8 
A quantidade q.d na equação anterior recebe o nome especial de 
momento de dipolo 
𝑝 = 𝑞𝑑 ∙ 𝑟 Unidade: [C.m] 
O vetor momento de dipolo aponta na mesma direção do campo 
elétrico gerado pelo dipolo no seu exterior (aponta da carga 
negativa para a carga positiva) 
𝒑 
𝑬 
𝑬 
Aula 02 
9 
b) Em um ponto sobre um eixo perpendicular ao eixo do 
dipolo, passando pelo centro do dipolo 
+ 
- 
d 
eixo do dipolo 
eixo perpendicular 
ao do dipolo 
+q 
-q 
P 
x 
x 
𝑬− 𝑬+ 
Por simetria, as componentes horizontais dos campos elétricos 
gerados pela carga positiva e pela carga negativa do dipolo se 
anularão para qualquer ponto sobre o eixo x da figura 
𝑬− 
𝑬−𝒙 
𝑬+ 
𝑬+𝒙 
r+ 
r- 
𝑬−𝒛 𝑬+𝒛 
z 
a 
a 
Aula 02 
10 
𝐸𝑟𝑒𝑠 = 𝐸(+𝑞) + 𝐸(−𝑞) 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞
𝑟(+)
2 ∙ 𝑟 (+) +
1
4𝜋𝜀0
∙
−𝑞
𝑟(−)
2 ∙ 𝑟 (−) 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞
𝑥2 +
𝑑
2
2 ∙ cos 𝛼 𝑖 − sen 𝛼 𝑘
 
+
1
4𝜋𝜀0
∙
−𝑞
𝑥2 +
𝑑
2
2 ∙ cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑘
 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞
𝑥2 +
𝑑
2
2 ∙ cos 𝛼 𝑖 − sen 𝛼 𝑘
 −cos 𝛼 𝑖 − sen 𝛼 𝑘 
Aula 02 
11 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞
𝑥2 +
𝑑
2
2 ∙ −2 sen 𝛼 𝑘
 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
−2𝑞
𝑥2 +
𝑑
2
2 ∙
𝑑
2 
𝑥2 +
𝑑
2
2
𝑘 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
−𝑞𝑑
𝑥2 +
𝑑
2
2
3
2 
∙ 𝑘 
Aula 02 
O campo elétrico gerado por um dipolo decai com a distância ao 
cubo para qualquer ponto no espaço longe do dipolo 12 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
𝑞𝑑
4𝜋𝜀0𝑥
3
∙ −𝑘 
Na maioria dos casos, estaremos interessados nos efeitos 
elétricos de um dipolo numa região muito longe das cargas do 
dipolo, de forma que x >> d, de forma que podemos desprezar 𝑑2
2𝑧
 
E o módulo do campo elétrico é dado por 𝐸 =
𝑞𝑑
4𝜋𝜀0𝑥
3
 
Aula 02 
𝐸𝑟𝑒𝑠 =
1
4𝜋𝜀0
∙
−𝑞𝑑
𝑥3 1 +
𝑑
2𝑧
2
3
2 
∙ 𝑘 
13 
Tarefa de Aula 
Podemos calcular o campo elétrico gerado pelo dipolo através do 
princípio da superposição. A seguir, faremos tanto um cálculo 
numérico quanto a derivação de duas fórmulas para direções 
especiais. 
Exemplo: vetor campo elétrico de um dipolo elétrico 
A distância entre duas cargas 
puntiformes q1 = +12 nC e q2 = -12 nC 
é igual a 10 cm. 
Determine o campo elétrico produzido 
pelo dipolo 
 (a) no ponto a 
 (b) no ponto b 
 (c) no ponto c 
𝐸𝑟𝑒𝑠 = 𝐸𝑞1 + 𝐸𝑞2 Aula 02 
𝐸𝑎 = 9,7 × 10
4𝑖 N/C 
𝐸𝑏 = −6,2 × 10
4𝑖 N/C 
𝐸𝑐 = 4,9 × 10
3𝑖 N/C 
14 
𝐸𝑎 = 𝐸𝑞1𝑎 + 𝐸𝑞2𝑎 𝐸𝑎 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞1
𝑟𝑎1
2 ∙ 𝑟 𝑎1 +
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞2
𝑟𝑎2
2 ∙ 𝑟 𝑎2 
𝐸𝑎 = 8,99 × 10
9 ∙
12 × 10−9
6,0 × 10−2 2
∙ 𝑖 + 8,99 × 109 ∙
−12 × 10−9
4,0 × 10−2 2
∙ −𝑖 
𝐸𝑎 = 3,0 × 10
4𝑖 + 6,7 × 104𝑖 𝐸𝑎 = 9,7 × 10
4𝑖 N/C 
𝐸𝑏 = 𝐸𝑞1𝑏 + 𝐸𝑞2𝑏 𝐸𝑏 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞1
𝑟𝑏1
2 ∙ 𝑟 𝑏1 +
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞2
𝑟𝑏2
2 ∙ 𝑟 2𝑏2 
𝐸𝑏 = 8,99 × 10
9 ∙
12 × 10−9
4,0 × 10−2 2
∙ −𝑖 + 8,99 × 109 ∙
−12 × 10−9
1,4 × 10−1 2
∙ −𝑖 
Aula 02 
15 
𝐸𝑏 = −6,7 × 10
4𝑖 + 5,5 × 103𝑖 𝐸𝑏 = −6,2 × 10
4𝑖 N/C 
𝐸𝑐 = 𝐸𝑞1𝑐 + 𝐸𝑞2𝑐 𝐸𝑐 =
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞1
𝑟𝑐1
2 ∙ 𝑟 𝑐1 +
1
4𝜋𝜀0
∙
𝑞2
𝑟𝑐2
2 ∙ 𝑟 𝑐2 
𝐸𝑐 = 8,99 × 10
9 ∙
12 × 10−9
1,3 × 10−1 2
∙ cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑗 
+ 8,99 × 109 ∙
−12 × 10−9
1,3 × 10−1 2
∙ − cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑗 
𝐸𝑐 = 6,4 × 10
3 ∙ cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑗 + −6,4 × 103 ∙ − cos 𝛼 𝑖 + sen 𝛼 𝑗 
𝐸𝑐 = 6,4 × 10
3 ∙ 2 cos 𝛼 𝑖 𝐸𝑐 = 4,9 × 10
3𝑖 N/C 
Aula 02 
Pergunta! qEF


+ 
?F

E

E
_ 
Esquerda 
Direita 
zero 
Esquerda 
Direita 
zero 
?F

Qual o módulo da força resultante que o campo 
exerce sobre o dipolo? 
a. F = E q 
b. F = 2 E q 
c. F = 4 E q 
d. F = zero 
Pergunta! 
18 
Dipolo elétrico colocado em campos elétricos gerados por 
outras cargas/objetos: 
Exemplo: molécula de água 
- 
+ 
d 
-q 
+q 
𝒑 
𝒑 = 𝒒𝒅 
Na presença de um campo 
elétrico externo: 
𝑬 
+ 
- 
𝒑 𝜽 
𝑭+ 
𝑭− 
𝐹 𝑟𝑒𝑠 = 𝐹 + + 𝐹 − = +𝑞𝐸 − 𝑞𝐸 
𝐹 𝑟𝑒𝑠 = 0 !! Aula 03 
19 
Apesar da FORÇA RESULTANTE sobre o dipolo ser zero, o 
campo produz um TORQUE sobre o dipolo: 
𝑬 
+ 
- 
𝜽 
𝑭+ 
𝑭− 
c.m. 
Lembram da física 1C?? 
𝝉 = 𝒓 × 𝑭 
𝒓+ 
𝒓− 
Torque se calcula por: módulo: 𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝝋 
𝝉+ = 𝒓+ ∙ 𝑭+ ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 d 
x 
𝝉+ = (𝒅 − 𝒙) ∙ 𝒒𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 
𝝉+ = −(𝒅 − 𝒙) ∙ 𝒒𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 
negativo por ser horário 
perpendicular ao 
plano da figura 
Aula 03 
20 
𝝉− = 𝒓− ∙ 𝑭− ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 d 
x 
𝝉− = 𝒙 ∙ 𝒒𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 
𝝉− = −𝒙 ∙ 𝒒𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 
negativo por ser horário 
perpendicular ao plano da figura 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = − 𝒅 − 𝒙 ∙ 𝒒𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 − 𝒙 ∙ 𝒒𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = −𝒅𝒒𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝝉𝒓𝒆𝒔 = −𝒑𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝒑 × 𝑬 
O TORQUE RESULTANTE sobre o dipolo é igual ao produto 
vetorial entre os vetores momento de dipolo e campo elétrico. 
Esse torque tende a alinhar o eixo do dipolo com o campo 
elétrico, fazendo com que o dipolo gire em torno do ponto do seu 
centro de massa. 
Aula 03 
Aula 01 21 
Casos especiais 
𝑬 
𝒑 
𝜽 = 𝟗𝟎° 
𝑬 
𝒑 
𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° 
𝑬 
𝒑 
𝜽 = 𝟎° 
Estável Instável 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝒑 × 𝑬 
22 
Podemos fazer uma analogia entre o movimento do dipolo em um 
campo elétrico e o movimento de um pêndulo simples no campo 
gravitacional; em ambos os casos, o campo age sobre o sistema 
tendendo a restaurá-lo para a posição de equilíbrio = posição de 
menor energia (direção alinhada com a direção do campo). 
𝑮 
𝑬 
+ 
- 
𝒑 𝜽 
𝜽 
Assim como há variação de energia potencial gravitacional 
quando o pêndulo oscila, também podemos considerar que há 
variação de energia potencial do dipolo quando ele gira em torno 
do seu centro de massa Aula 03 
23 
Então a energia potencial do dipolo será zero 
quando ele está alinhado com o campo! 
Mínima ≠ zero!!. 
Como é a variação da energia potencial que é o mais importante, 
o valor zero de energia potencial pode ser arbitrariamente 
definido em uma posição conveniente 
𝑬 𝒑 
𝑬 
𝒑 
𝜽 Definimos U = 0 
quando q = 90° 
Aula 03 
24 
O trabalho realizado pelo campo sobre o dipolo ao fazê-lo girar da 
posição de energia potencial zero para outra posição é dado por 
(física1C): 
𝑾 = 𝝉𝒅𝜽
𝜽
𝟗𝟎°
= −𝒑𝑬 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝜽 ∙ 𝒅𝜽
𝜽
𝟗𝟎°
= −𝒑𝑬 − 𝐜𝐨𝐬 𝜽 
𝟗𝟎°
𝜽
 
𝑾 = 𝒑𝑬 𝐜𝐨𝐬 𝜽 
Lembrando de mais um conceito de física 1C, se a força não é 
dissipativa temos: 
𝑾 = −∆𝑼 
𝑾 = − 𝑼𝒇 − 𝑼𝟎 −𝑾 = 𝑼𝒇 − 𝟎 𝑼𝒇 = −𝒑𝑬 𝐜𝐨𝐬 𝜽 
Mesmo formato de um produto escalar! Aula 03 
 𝒅𝒘 = 𝝉𝒅𝜽 
Como torque está na direção de diminuir 𝜽 , devemos escreva o torque 
como 
25 
Escrevemos então: 𝑼 = −𝒑 ∙ 𝑬 
U é mínima para q = 0° (equilíbrio estável) 
 
U é máxima para q = 180° (equilíbrio instável) 
Dipolos (moléculas) em um campo elétrico variável: 
Aula 03 
Para qual valor de q a energia 
potencial do dipolo é máxima? 
1. q  2p 
2. q  zero 
3. q  p/2 
4. q  p 
5. q  3p/2 
27 
A figura mostra quatro orientações de um dipolo elétrico em 
um campo elétrico externo . Coloque as orientações na 
ordem, o maior primeiro. 
 
(a)o módulo do torque em o dipolo 
 
 
(b) a energia potencial do dipolo 
(a) Todos Empatados 
 
(b) 1 = 3 > 2 = 4 
𝑼 = −𝒑 ∙ 𝑬 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝒑 × 𝑬 
 
28 
Phet Micro Waves 
29 
Exemplo: elétron se movendo em um campo elétrico uniforme 
Um elétron, inicialmente se movendo com velocidade constante 
de 1,00x106 m/s î, adentra em um campo elétrico uniforme de 
-2000 N/C ĵ. 
(a) Calcule a deflexão sofrida pelo elétron após ele ter viajado 
1,00 cm na direção X, no interior do campo. 
(b) Calcule o módulo e a direção do vetor velocidade do elétron 
após ele ter viajado 1,00 cm na direção X, no interior do 
campo. 
- 
𝑣 0 
𝐸 
Aula 03 
Carga do elétron = −1,6 × 10−19C 
Massa do elétron = 9,11 × 10−31 kg 
30 
Como a massa do elétron é extremamente pequena, podemos 
desprezar a força gravitacional nesse caso (lembra da razão 
entre as forças gravitacional e eletrostática para partículas? Está 
no exemplo 1.6) 
Na direção Y  campo uniforme  força constante  aceleração constante 
𝐹 = 𝑞𝐸 𝐹 = −1,6 × 10−19 ∙ −2000𝑗 𝐹 = 3,20 × 10−16 N 𝑗 
𝐹 = 𝑚𝑎 3,20 × 10−16 𝑗 = 9,11 × 10−31 ∙ 𝑎 
𝑎 = 3,51 × 1014 m/s2 𝑗 
Na direção X 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑥 ∙ 𝑡 𝑡 =
1,00 × 10−2
1,00 × 106
 𝑡 = 1,00 × 10
−8 s 
(a) 
Aula 03 
31 
∆𝑦 = 𝑣0𝑦 ∙ 𝑡 +
𝑎𝑦 ∙ 𝑡
2
2
 ∆𝑦 =
3,51 × 1014 ∙ 1,00 × 10−16
2
 
∆𝑦 = 1,76 × 10−2 m = 1,76 cm 
(b) 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑡 𝑣𝑦 = 3,51 × 10
14 ∙ 1,00 × 10−8 
𝑣𝑦 = 3,51 × 10
6 m/s 
3,51 × 106 
1,00 × 106 
v 
q 
𝑣 = 1,00 × 106 2 + 3,51 × 106 2 
𝑣 = 3,65 × 106 m/s Módulo 
tan 𝜃 =
3,51 × 106
1,00 × 106
 𝜃 = 74,1° Direção 
Aula 03