APOL GEOMETRIA EUCLIDIANA

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Questão 1/10 - Geometria Euclidiana 
Leia trecho de texto a seguir: 
“[...] consideremos um círculo com raio igual ao raio da Terra. Suponhamos ser possível cobrir toda a 
superfície deste círculo por uma outra superfície, modelável, ajustada a ele. Retiramos, em seguida, 
esta segunda superfície, aumentamos sua área de um metro quadrado, e a remodelamos, até se 
transformar novamente num círculo, com área, obviamente, um metro quadrado maior. Em seguida, 
justapomos as duas superfícies de modo a obter dois círculos concêntricos. Assim, haverá uma 
diferença x entre os raios dos dois círculos”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ABREU, José Faria. Geometria: Quando a intuição falha. Cap. 3, p. 123. 
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>. Acesso em 14 mar. 2017. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre 
um círculo de centro A e raio r, sendo r um número real maior que zero, assinale a alternativa correta. 
Nota: 0.0 
 
A O segmento de reta que liga um ponto A de dentro do círculo com um ponto D fora dele é sempre 
igual ao raio do círculo. 
 
B Se um ponto C tem distância de A menor do que r então dizemos que C é um ponto de dentro do 
círculo. 
Se um ponto C tem distância de A menor que o raio dizemos que C é um ponto de dentro do círculo. (livro 
base: página 48) 
 
C Se A e B são dois pontos de um círculo de raio r então a expressão a seguir sempre é 
verdadeira ¯¯̄̄̄̄̄̄AB−¯¯̄̄̄̄̄̄BA=r.AB¯−BA¯=r. 
 
D Se D é um ponto fora do círculo então podemos concluir que a distância de D ao centro é menor que r. 
 
E Se A e B são dois pontos de um retângulo então podemos dizer que apresentam extremos. 
 
Questão 2/10 - Geometria Euclidiana 
Analise o triângulo isósceles apresentado: 
 
 
 
Fonte: Imagem elaborada pelo autor desta questão. 
 
Considerando o triângulo apresentado, onde ¯¯̄̄̄̄̄̄AB=¯¯̄̄̄̄̄̄ACAB¯=AC¯ , e os conteúdos do livro-base 
Geometria Euclidiana sobre triângulos, é correto afirmar que: 
Nota: 10.0 
 
A ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a bissetriz relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯ , mas não corresponde à sua mediana e 
altura. 
 
B ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a altura relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯ , mas não corresponde à sua mediana e 
bissetriz. 
 
C ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a mediana e a altura relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯, mas não corresponde à sua 
bissetriz. 
 
D ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a mediana relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯, mas não corresponde à sua altura e 
bissetriz. 
 
E ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a mediana, a altura e a bissetriz relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯. 
Você acertou! 
Em um triângulo isósceles, a mediana relativamente à base é também a bissetriz e a 
mediana (livro-base, p. 75). 
 
Questão 3/10 - Geometria Euclidiana 
Observe trecho de texto que segue: 
“Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o teorema de Pitágoras, pois 
através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é 
uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo 
de 90°). [...] 
O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos. [...] Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura 
de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais)”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/o-teorema-pitagoras-aplicado-no-estudo-trigonometria.htm>. Acesso em 19 
abr. 2017. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre 
o teorema de Pitágoras, qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 
2m cada? 
Nota: 10.0 
 
A 2 
 
B 
2√ 2 2 
Você acertou! 
Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Assim, 
chamando a hipotenusa de a, temos: 
a2=22+22a2=4+4a=√8=2√ 2 a2=22+22a2=4+4a=8=22 
 
(livro-base, p. 146) 
 
C 2√323 
 
D 4 
 
E 6/76/7 
 
Questão 4/10 - Geometria Euclidiana 
Atente para a seguinte citação: 
“O estudo da área de um triângulo pode ser usado para diversas coisas, sendo o mais importante e 
mais simples polígono. Suas aplicações envolvem a segurança de estruturas em construções civis. Por 
exemplo, muitos telhados são construídos em forma triangular devido à segurança apresentada”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ESTUDO PRÁTICO. Área do triângulo.<http://www.estudopratico.com.br/area-do-triangulo-definicao-formulas-e-exemplos/>. 
Acesso em 18 mar. 2017. 
Considerando a citação apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre 
triângulos isósceles, é correto afirmar que um triângulo isósceles é definido pela seguinte assertiva: 
Nota: 10.0 
 
A Para ser equilátero, um triângulo tem que possuir um dos lados congruentes. Os dois lados não 
congruentes são chamados laterais e o terceiro lado é chamado base. 
 
B Triângulo equilátero possui um dos lados congruentes, sendo que os dois lados não congruentes são 
chamados bases e o terceiro lado é chamado lateral. 
 
C Se um triângulo possui os três lados congruentes, então ele é dito equilátero, mas não equilátero. 
 
D Se um triângulo possui dois lados congruentes, então ele é dito isósceles. Os dois lados congruentes são 
chamados laterais e o terceiro lado é chamado base. 
Você acertou! 
Se um triângulo possui dois lados congruentes, então ele é dito isósceles. Os dois lados congruentes são 
chamados laterais e o terceiro lado é chamado base (livro-base, p. 73). 
 
E Um triângulo é dito isósceles quando possuir dois lados congruentes, os quais são chamados de bases e 
o terceiro lado é chamado de lateral. 
 
Questão 5/10 - Geometria Euclidiana 
Considere o trecho de texto que segue: 
 “Em qualquer triângulo ABC, temos as três desigualdades: AB < AC + BC , AC < AB + BC e BC < AB 
+ AC. A ideia por trás dessas desigualdades é que, em qualquer triângulo, nenhum lado pode ser maior 
que a soma dos outros dois lados”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: CHAGAS, Emiliano Augusto. Desigualdade triangular. <http://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/desigualdade_triangular-
1.pdf>. Acesso em 19 abr. 2017. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre 
desigualdade triangular, é possível construir um triângulo com as seguintes medidas: 
Nota: 10.0 
 
A 15, 20 e 37 
 
B 8, 9 e 10 
Você acertou! 
Observe que 8+9= 17 > 10 e, conforme vimos, “em todo triângulo, a soma dos comprimentos de dois 
lados quaisquer é sempre maior que o comprimento do terceiro lado” (livro-base, p. 95). 
 
C 12, 15 e 30 
 
D 6, 12 e 24 
 
E 4, 2 e 8 
 
Questão 6/10 - Geometria Euclidiana 
Analise o fragmento de texto que segue: 
“Triângulo é a figura plana formada pela união de três segmentos com extremidades em três pontos 
não-colineares. [...] Um triângulo, segundo seus ângulos, pode ser retângulo, se possuir um ângulo 
reto; obtusângulo, se possuir um ângulo obtuso, ou acutângulo, se possuir os três ângulos agudos”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: GONÇALVES JUNIOR, Oscar. Matemática por assunto: Geometria plana e espacial. MG: Scipione, 1988, p. 37 e 39. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre 
triângulos, é correto afirmar que, em todo triângulo: 
Nota: 10.0 
 
A há, pelo menos, dois ângulos internos agudos (menores que 90º). 
Você acertou! 
Em todo triângulo, há, pelo menos, dois ângulos internos agudos (menores que 90º). Demonstração: Se um 
triângulo possuísse dois ângulos internos não agudos, então a soma desses seria maior ou igual a 180º, 
contrariandoa proposição anterior que diz que a soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de 
um triângulo é menor que 180º (livro-base, p. 88). 
 
B há, pelo menos, dois ângulos internos obtusos (maiores que 90º). 
 
C há três ângulos internos obtusos (maiores que 90º). 
 
D há dois ângulos de 150º 
 
E há três ângulos retos (iguais a 90º). 
 
Questão 7/10 - Geometria Euclidiana 
Analise os triângulos que seguem: 
 
 
Fonte: Figuras elaboradas pelo autor desta questão. 
Considerando as imagens apresentadas e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre 
triângulos congruentes, é correto dizer que os dois triângulos são congruentes pelo caso: 
Nota: 10.0 
 
A ALA (ângulo-lado-ângulo) 
 
Você acertou! 
Os triângulos ilustram o segundo caso de congruência de triângulos: ângulo-lado-ângulo (ALA), ou seja, um 
lado e dois ângulos iguais (livro-base, p. 72). 
 
B LAL (lado-ângulo-lado) 
 
C LLL (lado-lado-lado) 
 
 
D AAA (ângulo-ângulo-ângulo) 
 
 
E todas as alternativas estão corretas 
 
Questão 8/10 - Geometria Euclidiana 
Analise o fragmento de texto que segue: 
“Sabemos que os elementos básicos de um triângulo são: os vértices, os lados e os ângulos, mas não 
são os únicos. Em um triângulo identificamos outros elementos, como mediana, bissetriz e altura”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: NOÉ, Marcos. Mediana, bissetriz e altura de um triângulo. <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/mediana-bissetriz-altura-
um-triangulo.htm>. Acesso em 18 mar. 2017. 
Considerando o fragmento de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana 
sobre triângulos, enumere, na ordem sequencial, as explicações que se relacionam a cada um dos 
elementos a seguir: 
1. Mediana 
2. Bissetriz 
3. Altura 
( ) é um segmento de reta que possui origem em um dos vértices e é perpendicular ao lado oposto a 
este vértice. 
( ) é um segmento de reta que possui origem em um dos vértices e divide o lado oposto em duas partes 
iguais. 
( ) é um segmento que possui origem em um dos vértices e extremidade no lado oposto a esse vértice, 
dividindo o ângulo formado nesse vértice em duas partes iguais. 
Agora, marque a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 
A 1 – 2 – 3 
 
 
B 3 – 2 – 1 
 
C 3 – 1 – 2 
 
Sejam ABC um triângulo qualquer e D um ponto da reta que contém B e C. Dizemos que o segmento AD é 
a mediana do triângulo relativamente ao lado BC, se D for o ponto médio de BC. O 
segmento AD será bissetriz do ângulo  se a semirreta SAD dividir o ângulo BÂC em dois ângulos congruentes, ou 
seja, CÂD = DÂB. O segmento AD chama-se altura do triângulo relativa ao lado BC se AD for perpendicular à 
reta que contém B e C (livro-base, p. 74,75). 
 
 
D 2 – 1 – 3 
 
E 2– 3 – 1 
 
Questão 9/10 - Geometria Euclidiana 
Considere a citação a seguir: 
“A noção de altura da edificação está associada à noção de ‘invólucro da edificação’, isto é, ao volume 
total definido pelos paramentos exteriores do edifício, incluindo a cobertura. É este ‘invólucro da 
edificação’ que interessa definir nos instrumentos de planeamento territorial, dado que é ele que 
estabelece a quantidade de construção que é realizada ou pode ser realizada numa dada porção do 
território”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: <https://www.engenhariacivil.com/dicionario/altura-da-edificacao>. Acesso em 22 mar. 2017. 
Considerando a citação apresentada e os conteúdos do livro-base Geometria Euclidiana sobre 
triângulos, qual deve ser a altura mínima de uma escada a ser encostada no topo de um prédio que 
possui 30m30m de altura, sabendo que o pé da escada deve distar 8,5m8,5m da base do prédio? 
Nota: 10.0 
 
A 980m980m 
 
B 972,25m972,25m 
 
C 72,25m72,25m 
 
D 12,7m12,7m 
 
E 31,18m31,18m 
Você acertou! 
Conforme o livro-base (p. 146-152), podemos visualizar a situação com a seguinte representação: 
 
 
 
Como o prédio forma um ângulo reto com o chão, visualizamos um triângulo retângulo cuja 
hipotenusa é o comprimento mínimo da escada e os catetos são a altura do 
prédio (30m)(30m) e a distância entre o prédio e o pé da escada (8,5m)(8,5m). Aplicando o 
teorema de Pitágoras podemos encontrar a terceira medida (x): 
x2=302+8,52x2=900+72,25x2=972,25x=√ 972,25 x≅31,18mx2=302+8,52x2=
900+72,25x2=972,25x=972,25x≅31,18m 
 
Questão 10/10 - Geometria Euclidiana 
Analise o triângulo apresentado: 
 
 
 
Fonte: Imagem elaborada pelo autor desta questão. 
 
Considerando o triângulo apresentado, onde ¯¯̄̄̄̄̄̄AB=¯¯̄̄̄̄̄̄ACAB¯=AC¯ , e os conteúdos do livro-base 
Geometria Euclidiana sobre triângulos, é correto afirmar que: 
Nota: 10.0 
 
A ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a bissetriz relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯ , mas não corresponde à sua mediana e altura. 
 
B ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a altura relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯ , mas não corresponde à sua mediana e bissetriz. 
 
C ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a reta e a altura relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯, mas não corresponde à sua bissetriz. 
 
D ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a reta relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯, mas não corresponde à sua altura e bissetriz. 
 
E ¯¯̄̄̄̄̄̄̄ADAD¯ é a mediana, a altura e a bissetriz relativamente à base ¯¯̄̄̄̄̄̄BCBC¯. 
Você acertou! 
Em um triângulo isósceles, a mediana relativamente à base é também a bissetriz e a 
mediana (livro-base, p. 75).