Ativ 2 - Calculo aplicado - várias variáveis

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28/03/2020 Blackboard Learn
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Pergunta 1
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resposta:
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de
função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis,
temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável
dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e 
 e .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis intermediárias.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos que a variável depende
das variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das
variáveis e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável.
Dessa forma, concluímos que é a variável dependente, e são as variáveis
intermediárias e e são as variáveis independentes.
Pergunta 2
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resposta:
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a inclinação da reta
tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas as direções que correspondem a
cada um desses eixos. No entanto, é possível, também, determinar a derivada da função com
relação a qualquer direção diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa
direção seja fornecida por um vetor unitário. 
 
Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser expressa por
 . Assinale a alternativa que corresponde à derivada direcional da função
 no ponto na direção do vetor .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são: 
 e , que implicam que o vetor gradiente seja .
Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que . Para calcular a
derivada direcional, necessitamos de um vetor unitário, assim, tome 
. Logo, a derivada direcional procurada é 
.
Pergunta 3
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável ,
isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da
regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que
precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das
derivadas das funções e com relação à variável . 
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A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
 com relação à variável , sabendo que e . 
 
 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Utilizando a regra da cadeia,
precisamos calcular as derivadas as quais são expressas por 
, , e . Dessa forma,
. Trocando as expressões de e , temos
.
Pergunta 4
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio
é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis ,
precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir.
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III. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir.
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
 
 
I, II, IV, apenas.
I, apenas.
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Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Verificando as restrições para a
função, temos que são falsas as afirmativas II, III e IV, pois: 
Afirmativa II: Incorreta. A função tem a seguinte restrição 
. Portanto, o seu domínio é o conjunto ,
que deveria corresponder a uma região em formato de parábola. 
Afirmativa III: Incorreta. A função tem a seguinte restrição
. Portanto, o seu domínio é o conjunto
, que deveria corresponder a uma
circunferência. 
Afirmativa IV: Incorreta. A função tem a seguinte restrição 
. Portanto, o seu domínio é o conjunto 
, que deveria corresponder a uma região limitada
entre as retas e .
Pergunta 5
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resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento.
Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de
temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
Direção e taxa mínima de .
Direção e taxa mínima de .
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. O vetor gradiente é dado por
. Considerando o ponto , temos que o vetor 
 indica a direção e o sentido de maior crescimento da temperatura.
Logo, a direção de maior decrescimento da temperatura é . Por
fim, a taxa de variação da temperatura é mínima em 
.
Pergunta 6
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resposta:
A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a direção no plano no
qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de maior crescimento corresponde à direção
do vetor gradiente em sua forma unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção
de maior decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função 
 no ponto P(1,2).
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior crescimento é 
. Precisamos então determinar o vetor gradiente. O vetor gradiente é o vetor
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formado pelas derivadas parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
- 
- 
- 
 
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
Assim, a direção de maior crescimento é .
Pergunta 7
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resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três variáveis. Nesse caso, a
mudança no cálculo se dá pela quantidade de componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a
direção apresentam, nesse caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte
situação: O potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional é expresso pela função 
 . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a maior taxa de variação
do potencial elétrico no ponto .
 
 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. A maior taxa de variação do
potencial elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P.
Temos que as derivadas parciais e o vetor gradiente da função potencial elétrico são:
, , 
 e
. O vetor gradiente no
ponto P(2,2,-1) é . Calculando a norma desse vetor,
temos . Logo, o vetor unitário é
.
Pergunta 8
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Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normala ele e um ponto
pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa
por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos
conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode
ser escrita como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à
função no ponto P(1,-1).
 
 
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Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Pela equação do plano,
precisamos determinar as derivadas parciais da função e seus valores funcionais no
ponto considerado. Então, as derivadas parciais da função são: e 
, donde segue que e . Além disso, temos
que . Logo, a equação do plano é 
.
Pergunta 9
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resposta:
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, 
 e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de 
 com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em
relação a , isto é, , para quando .
 
 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Tomando as derivadas parciais
de em relação a e , temos e . Já as derivadas de e em
relação a são e . Pela regra da cadeia ,
temos . Dado que concluímos que .
Pergunta 10
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resposta:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso
às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar
geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
 
 
As curvas de nível representam cortes verticais feitos no gráfico da função.
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Chama-se de curva de nível o
conjunto de todos os pares ordenados tais que , onde é uma
constante real. As curvas de nível têm como característica representar cortes horizontais
no gráfico da função, o que implica que todos os pontos localizados em uma curva de
nível possuem a mesma altura. Além disso, o conjunto formado por várias curvas de
nível é denominado mapa de contorno
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