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67 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL Unidade III APLICAÇÕES Você deve estar curioso para saber o que podemos fazer com integrais. Como podemos aplicar esses conceitos? Nesta unidade, veremos algumas aplicações de integral definida. 5 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 5.1 Cálculo de áreas Temos três casos possíveis para calcular a área entre o gráfico da função e o eixo x no intervalo [a,b]: 1º caso: f(x) ≥ 0 no intervalo [a,b] y a A b x f(x) Figura 5 A f x dx a b = ∫ ( ) Exemplo: y x10 f(x) = x Figura 6 68 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 Determinar a área da região marcada. Neste caso, temos f(x) ≥ 0 A f x dx x dx x= = = = − =∫ ∫( )0 1 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 u.a. (unidades de área). 2º caso: f(x) ≤ 0 no intervalo [a,b] a b x f(x) y Figura 7 Neste caso, temos: A f x dx a b = −∫ ( ) Exemplo: 1) Determinar a área da região marcada. 0 y 2 A f(x) = - x x Figura 8 Como f(x) ≤ 0 na região marcada, temos que a área será dada pela expressão A f x dx= −∫ ( )0 2 . Assim: A f x dx x dx x dx x= − = − − = = = − =∫ ∫ ∫( )0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 u.a. (unidades de área). 69 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL 2) Determinar a área da região marcada y x f(x) = sen x 2 π 1 -1 A1 A2 Figura 9 Observe que a área a ser calculada está parte acima do eixo x (A1) e parte abaixo do eixo x (A2), e o gráfico corta o eixo x em 3 pontos: 0, π e 2 π. Assim temos f(x) ≥ 0 no intervalo [0, π] e f(x) ≤ 0 no intervalo [π, 2 π]. Para calcular a área total A = A1 + A2, devemos determinar cada uma das partes separadamente, conforme o 1º ou o 2º caso. A f x dx sen dx x1 0 0 0 0 1 1 2= = = − = − − = − − − = − −∫ ∫( ) cos (cos cos ) ( ) ( ) π π π π x A f x dx sen x dx x x2 2 2 2 2 2= − = − = − − = = −∫ ∫( ) cos cos (cos coπ π π π π π π π π ss ) ( )π = − − =1 1 2 Logo A = 2 + 2 = 4 u. a. Observação Sempre que a área a ser calculada tiver parte acima do eixo x e parte abaixo do eixo x, devemos dividir a área a ser calculada em partes, de modo que em cada parte a função tenha somente um sinal. 3º caso: A área a ser calculada é limitada por duas funções, f e g, contínuas em [a,b] e tais que f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a,b] y a b x g(x) f(x) y a b x g(x) f(x) (a) Figura 10 A A Figura 11 (b) 70 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 y a b x g(x) f(x) (c) Figura 12 A As funções que limitam a área podem ser só positivas no intervalo [a,b] (figura (a)), uma delas pode ser negativa no intervalo (figura (b)), ambas podem ser negativas. Em todos os casos, o cálculo da área entre as curvas será feito por meio da integral definida de a até b da função (f – g). A f x g x a b = − −∫ [ ( ) ( )] dx Lembrete No cálculo da área de uma região limitada por duas funções, faremos a integral da função de cima menos a função de baixo. Veremos agora alguns exemplos para tornar seu estudo mais proveitoso. 1) Determinar a área limitada pelas funções f(x) = 3 e g(x) = x 2 – 1e pela reta x = 0. Resolução: Inicialmente devemos representar graficamente a região, esboçando o gráfico das funções, determinando as abscissas (valores de x) das intersecções e as raízes das funções. Para determinar as intersecções, igualaremos as funções e resolveremos a equação. Logo x2 – 1 = 3, isto é, x2 = 4 e daí x = ±2 . Para esboçar os gráficos, observemos que f é uma função constante, portanto seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x passando em y = 3. A reta x = 0 é paralela ao eixo y. A função g é quadrática, logo tem como gráfico uma parábola. Devemos determinar as raízes de g, isto é, resolver a equação x2 – 1 = 0. Resolvendo a equação, encontramos x = ±1. Substituindo os dados encontrados, temos a figura a seguir: 71 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL y 3 g(x) f(x) x = 0 A x1 2 Figura 13 Observando a figura, vemos que a função de cima é f e a função de baixo é g, temos também que o intervalo é [0, 2], então para determinar a área A devemos calcular a integral [ ( ) ( )]f x g x dx−∫0 2 . Substituindo as expressões de f e g, temos: [ ( ) ( )] ( )f x g x dx x dx x dx x dx− = − − = − + = − +∫ ∫∫∫0 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2 3 1 3 1 4 Determinando a primitiva, vem F x x x( ) = − + 3 3 4 e daí temos: F( ) .0 0 3 4 0 0 3 = − + = F( ) .2 2 3 4 2 8 3 8 8 24 3 16 3 3 = − + = − + = − + = Substituindo na integral: 3 1 16 3 0 16 3 2 0 2 − − = − =∫ ( ) . .x dx u a 2) Determinar a área limitada pelas funções f(x) = x e g(x) = x2. Resolução: Inicialmente devemos representar graficamente a região, esboçando o gráfico das funções, determinando as abscissas (valores de x) das intersecções e as raízes das funções. Para determinar as intersecções, igualaremos as funções e resolveremos a equação. Logo x2 = x, isto é, x2 – x = 0. Colocando x em evidência, temos: x (x – 1) = 0 assim x = 0 ou x = 1. 72 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 Para esboçar os gráficos, observemos que f é uma função linear, portanto seu gráfico é uma reta. Para determinar pontos da reta, utilize tabela de pontos. A função g é quadrática, logo tem como gráfico uma parábola com concavidade para cima. Devemos determinar as raízes de g, isto é, resolver a equação x2 = 0. Resolvendo a equação, encontramos x = 0. Substituindo os dados encontrados, temos a figura a seguir: y A 0 1 x f(x) g(x) Figura 14 Observando a figura, vemos que a função de cima é f e a função de baixo é g, temos também que o intervalo é [0, 1], então para determinar a área A devemos calcular a integral [ ( ) ( )]f x g x dx−∫0 1 . Substituindo as expressões de f e g, temos: [ ( ) ( )] ( )f x g x dx x x dx x x dx x x− = − = − + = − + =∫ ∫ ∫0 1 2 0 1 2 0 1 3 2 0 1 3 2 1 6 3) Determinar a área da região indicada, sendo f(x) = x e g(x) = x3. A1 A2-1 1 f(x) g(x) Figura 15 73 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL Observe que no intervalo [0, 1], temos f(x) ≥ g(x), daí A2 = [ ( ) ( )]f x g x dx−∫0 1 E no intervalo [-1, 0] temos g(x) ≥ f(x), daí A1 = [ ( ) ( )]g x f x dx−−∫ 1 0 Assim: 1) A1 = [ ( ) ( )]g x f x dx−−∫ 1 0 [ ( ) ( )g x f x dx x x dx x x− = − = − = − − = − − −∫ ∫1 0 3 4 1 0 2 1 0 4 2 0 1 4 1 2 1 4 Logo A1 = 1 4 2) A2 = [ ( ) ( )]f x g x dx−∫0 1 [ ( ) ( ) ’ f x g x dx x x dx x x− = − = − = − − =∫ ∫−0 1 3 2 1 0 4 0 1 2 4 1 2 1 4 0 1 4 Logo A2 1 4 = Portanto A = + =1 4 1 4 1 2 5.2 Comprimento de arco Dada uma função contínua y = f(x) num intervalo [a, b], sua representação gráfica pode ser um segmento de reta ou uma curva qualquer. Chamamos de arco à parte da curva que vai do ponto (a, f(a)) ao ponto (b, f(b)). Para um segmento de reta, a fórmula para calcular o seu comprimento é: s b a f b f a= − + −( ) ( ( ) ( ))2 2 Para uma curva qualquer, a fórmula para calcular o comprimento de arco é: S dxy a b = + ( )∫ 1 2’ Exemplos: Calcular o comprimento do arco da curva dada por: 1) y = 3x + 1, -2 ≤ x ≤ 2 74 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 Como o gráfico de y = f(x) é uma reta, para determinar o comprimento do arco usaremos a fórmula: s b a f b f a= − + −( ) ( ( ) ( ))2 2 Do enunciado, temos: a = - 2 e f(a) = f(-2) = 3 . (-2) + 1 = -6 + 1 = -5 b = 2 f(a) = f(2) = 3 . (2) + 1 = 6 + 1 = 7 Substituindo na fórmula, temos: s b a f b f a = = - (-2) (7 - (-5)) = +2( ) ( ( ) ( )) ( ) (− + − +2 2 22 2 2 (7 + 5) = + 12 = 12,649u.c. (unidade de com 2 2 )2 24 + s pprimento) 2) y = 2 3 3 2x / , 0 ≤ x ≤ 1 Como é uma curva qualquer, usaremos a fórmula s y dx a b = +∫ 1 2( ’) . Temos a = 0, b = 1 e, derivando a função y, vem y‘= 2 3 3 2 1 2⋅ x / ou, simplificando, y‘ = x1/2, substituindo na fórmula: s y dx x dx x dx a b = + = + = +∫ ∫ ∫1 1 12 1 2 20 1 0 1 ( ’) ( )/ Resolvendo a integral por substituição, temos: ∫ (1 + x) 1/2 dx = ∫ u1/2 du = u u x 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 / / /( )= = + u = 1 + x du dx = 1, isto é, du = dx Substituindo na integral, vem: s y dx x dx x a b = + = + = + = − =∫ ∫1 1 2 3 1 2 3 2 1 12192 0 1 3 2 0 1 3 2 3 2( ’) ( ) ,/ / / Logo s = 1,219 u.c. 75 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL 5.3 Ampliando seu leque de exemplos 1) Determinar a área indicada na figura: a) y 1 4 x y=2 Figura 16 Como a região é um retângulo, podemos calcular sua área pela geometria elementar ou utilizando integrais. Pela geometria elementar, a área do retângulo é dada por base x altura. O retângulo tem base b = 4 -1 = 3 e altura 2. Assim, A = base x altura = 3 x 2 = 6 u.a. (unidades de área). Utilizando integrais, temos f(x) = 2, a = 1 e b = 4. A f x dx dx x u a= = = = − = − =∫ ∫( ) . . . .1 4 1 4 1 42 2 2 4 2 1 8 2 6 b) f(x)=x3y O 1 2 x A Figura 17 76 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 A área desta região não é uma forma geométrica elementar, vamos então calcular a área utilizando integrais. A função a ser integrada é f(x) = x3, e os intervalos de integração a = 1 e b = 2. A f x dx x dx x u a= = = = − = − =∫∫ ( ) . .31 2 1 2 4 1 2 4 4 4 2 4 1 4 16 4 1 4 15 4 c) y 10 2 x f(x) = - x2 + 4 x - 3 Figura 18 Devemos separar a região em duas partes e calcular separadamente, são dois intervalos de integração: [0, 1] e [1, 2]. Assim temos: A f x dx1 0 1 = −∫ ( ) e A f x dx2 1 2 = ∫ ( ) A f x dx x x dx x x x1 0 1 2 3 2 0 1 0 1 4 3 3 4 2 3= − = − − + − = − − + − =∫ ∫( ) = − − + − − − + − = − −1 3 4 1 2 3 1 0 3 4 0 2 3 0 1 3 3 2 3 2 . . ++ − − =2 3 0 4 3 A f x dx x x dx x x x2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 4 3 3 4 2 3= = − + − = − + − =∫ ∫( ) = − + − − − + = − + − 2 3 4 2 2 3 2 1 3 4 1 2 3 1 8 3 8 6 3 2 3 2 . . − − + − = − + =1 3 2 3 2 3 4 3 2 3 Logo, A u a= + = =4 3 2 3 6 3 2 . . 77 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL 2) Determinar o comprimento de arco da função f(x) = 2 x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2. Para determinar o comprimento de arco da função, vamos utilizar a fórmula A f x� �� 1 2 0 2 ( ’( )) Calculando a derivada da função f(x) = 2x, temos: y’ = f’ (x) = 2, logo, substituindo na fórmula, temos: A f x dx dx dx= + ( ) = + ( ) = +∫ ∫ ∫1 1 2 1 42 0 2 2 0 2 0 2 ’( ) . Calculando a integral: A f x= + ( ) = + ( ) = = ( ) =∫ ∫ ∫1 1 2 52 0 2 2 0 2 0 2 2 0 ’( ) dx dx dx 5 x 5 . 2 - 5 . 0 2 5 = uc. . 6 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Chamamos de sólido de revolução ao sólido obtido ao girarmos uma região plana em torno de uma reta. Esta reta é chamada reta de revolução. Exemplos: 1) Girando a reta em torno do eixo x, o sólido obtido é um cone. y x f(x) Figura 19 y x Figura 20 2) Girando o retângulo em torno do eixo x, o sólido obtido é um cilindro. y x Figura 22 y x Figura 21 78 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 6.1 Área de sólidos de revolução (rotação) Quando fazemos a rotação de uma região plana em torno de um eixo, geramos um sólido. Para calcular a área da superfície deste sólido temos: a) rotação em torno do eixo x S dxy y a b = + ( )∫2 1 2π ’ y = f(x) Figura 23 b) rotação em torno do eixo y Exemplo: S dy sendo x g y x dx dyc d = = + ∫2 1 2 π ( ) x = g(y) Figura 24 Calcular a área do sólido de revolução gerado pelo arco de circunferência ABC em torno do eixo Ox, conforme a figura (área da superficie esférica): B CA Figura 25 A equação da circunferência de raio R é x2 + y2 = R2, daí temos y R x= 2 2– , isto é, y = ( R2 – x2) ½. Calculando a derivada de y, temos: y R x x x R x ’ ( ) .( ) ( ) / / = − − = −1 2 22 2 1 2 2 2 1 2 79 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL Substituindo na fórmula, temos: S y y dx R x x R x dx R R R R = + = + =∫ ∫2 1 2 2 12 2 2 2 1 2 2 π π – – / ( ’) – – ( – ) = + = + =∫ ∫2 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2π πR x x R x dx R x R x x R x dx R R R R – – – – –– – = = =∫ ∫2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 π πR x R R x dx R x R R x dx R R R R – – – –– – = = = = + =∫ ∫2 2 2 2 4 2π π π π πR dx R dx R x R R R R R R R R R R – – – ( ) 6.2 Volume de sólidos de revolução (rotação) Seja y = f(x) uma função contínua em [a,b], seja R a região sob o gráfico de f de a até b. 1º caso: o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x é dado por V f x a b dx= ∫π [ ( ) ] 2 Exemplos: 1) Calcular o volume do sólido gerado pela revolução da região indicada na figura, em torno do eixo dos x, para 0 ≤ x ≤ 3. y x f(x) = x (a) Figura 26 y = f(x) y x (b) Figura 27 Observe que o sólido gerado pela região (figura (a)) é um cone (figura (b)). Para calcular o volume deste sólido devemos calcular a integral: V f x dx temos f x x a e b a b = = = =∫π [ ( )] , ( ) , . 2 0 3 80 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 Assim: V f x dx x dx x u v= = = = − =∫ ∫π π π π π π[ ( )] . .20 3 2 0 3 3 3 0 3 3 3 3 3 0 3 9 2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o gráfico de f(x) = cos x e o eixo dos x, de 0 até 3 2 π . Inicialmente vamos construir o gráfico de f e marcar a região R. y y 1 0 x x f(x) = cos x 3 2 π 2π Figura 28 1 f(x) = cos x 3 2 π 2π Figura 29 Para calcular o volume, temos: V f x dx f x x a e b a b = = = =∫π π[ ( )] , ( ) cos ,2 0 32 Assim: V f x dx x dx= =∫ ∫π π π π [ ( )] (cos ) / / ( )2 0 3 2 2 0 3 2 1 Inicialmente vamos fazer a substituição: cos cos( )x x( ) = +2 1 2 1 2 2 (cos ) cos( ) cos( )x dx x dx dx x dx2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2∫ ∫ ∫ ∫= + = + Resolvendo a integral por substituição, temos: 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 1 4 2cos( ) cos( ) cos cosx dx x dx u du u du sen x∫ ∫ ∫ ∫= = = = u = 2 x du dx =2 , isto é, du dx 2 = 81 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL Substituindo em (1), temos: V f x dx x dx x sen x= = = + ∫ ∫π π π π π π [ ( )] (cos ) / / / 2 0 3 2 2 0 3 2 0 31 2 1 4 2 22 = = + − + =π π π1 2 3 2 1 4 2 3 2 1 2 0 1 4 2 0. .sen sen = + + = + π π π π π3 4 1 4 3 0 1 4 0 3 4 1 4 0sen sen– . - + . 00 1 4 = � � � � � � � � � � � � � �� � �3 4 0 3 4 2 – . .u v 2º caso: o volume do sólido gerado pela rotação de uma região R que está entre os gráficos de duas funções, f e g, em torno do eixo dos x é dado por: V f x g x a b dx= ∫π [ ( ) ] - [ ( ) ]2 2 Exemplo: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas funções f(x) = x e g(x) = x2, no intervalo [0, 1]. Substituindo os dados na fórmula, temos: g(x) f(x) A 10 Figura 30 V f x g x dx x x dx x x dx a b � � � � � �� � �� � �[ ( )] [ ( )] [ ] [ ]2 2 2 2 20 1 24 0 1 82 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 v x x= − = − − − π π 3 5 0 1 3 5 3 5 3 5 1 3 1 5 0 3 0 5 ⋅ =π 2 15 u v. . 3º caso: o volume do sólido gerado pela rotação de uma região R, em torno de uma reta paralela ao eixo x. O eixo de rotação é a reta y = L, então: V f x L a b dx= ∫π [ ( ) - ] 2 Exemplo: Determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 3, da região R limitada por y x = 1 , y = 3 e x = 4. Para determinar a região R, devemos esboçar o gráfico da função y x = 1 , representar as retas y = 3, x = 4 e encontrar o valor da abscissa de intersecção entre y x = 1 e y = 3. Igualando y x = 1 e y = 3 temos 1 3 x = e daí x = 1 3 . Graficamente, temos: x y 4 R 1/3 y = 3 y = 1/x Figura 31 V f x L dx x dx x xa b = − = − = − + ∫ ∫π π π[ ( ) ] / / 2 2 1 3 4 21 3 41 3 1 6 1 9∫∫ =dx V x Lnx x� � ��� � �� – / –1 1 3 4 6 9 83 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL V Ln Ln� � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 4 6 4 9 4 1 3 6 1 3 9 1 3 1 1 – – – . – – . 665 34, . .u v Saiba mais Saiba mais sobre outras aplicações das integrais lendo o capítulo 6 de: STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira-Thomson Learning, 2001. Veremos agora mais alguns exemplos para auxiliar em seus estudos. 6.3 Ampliando seu leque de exemplos 1) Determinar a área da região entre os gráficos das funções f(x) = -x2 +4 e g(x) = x2 + 2. A região é dada pela integral da função f(x) – g(x) no intervalo [0, 1], isto é, devemos calcular a integral: f x g x dx x x dx x dx( ) - ( ) (- ) - ( ) - 0 1 2 2 0 1 24 2 2 2∫ ∫= + + = + 00 1 ∫ Vamos inicialmente resolver a integral indefinida: -2 2 2 3 22 3 x dx x x c+ = − + +∫ Substituindo na integral: -2 2 2 3 22 0 1 3 1 0 x dx x x+ = − + ∫ Substituindo os extremos de integração, vem: - . .2 2 2 1 3 2 1 2 0 3 2 0 2 3 2 0 1 3 3 x dx+ = − + − − + = − +∫ 22 0 43− = ua. . 2) Determinar a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = ex, pelas retas x = 0, x = 2 e o eixo x. Inicialmente, vamos fazer a representação gráfica da região da qual queremos determinar a área: 84 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 f(x) = ex 1 0 2 Figura 32 Lembrete Observe o desenho e faça a integral da função “de cima” menos a função “de baixo”. Assim devemos calcular: e dxx –0 0 2 ∫ . Essa é uma integral imediata, logo: e dx e e e e uax x– . .0 1 0 2 2 0 2 0 2∫ = ( ) = −( ) = − 3) Calcular a área da região limitada pelo gráfico das funções f(x) = x2 + 2 e g(x) = - x + 8 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 . A região da qual queremos a área é representada pela figura a seguir: 8 0 2 8 f(x) = - x + 8 2 f(x) = x2 + 2 Figura 33 85 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL A integral a ser calculada é: − +( ) +( )∫ x x dx8 22 0 2 - . Utilizando a propriedade distributiva, conseguimos uma forma mais simples para a integral: − +( ) +( ) = +∫ ∫x x dx x x dx8 2 62 0 2 2 0 2 - - - . Calculando a integral imediata: − − + = − − +∫ x x dx x x x2 3 2 6 3 2 6 Substituindo os extremos de integração, temos: – – –x x dx x x x�� � �� � � � �� � �� � � ��� 8 2 3 2 6 2 0 2 0 2 3 2 � �� � �� � � � � �� � �� � � �� � � � �� x x dx8 2 2 3 2 2 6 2 0 3 0 2 62 0 2 3 2 3 2 - ( ) (( ) . .0 22 3 � � �� � � �� � ua 4) Calcular a área da região marcada f(x) = x2 - 9 -9 3 4 Figura 34 Devemos calcular a integral: − − + −∫ ∫x dx x dx2 0 3 2 3 4 9 9 86 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 Observação A região que está abaixo do eixo x deve ser precedida do sinal de “menos”. Calculando as integrais: - .x dx x dx x x x2 0 3 2 3 4 3 3 0 3 9 9 3 9 3 + + − = − + +∫ ∫ −− 9 4 3 x . Substituindo os extremos de integração: - . . -x dx x dx2 0 3 2 3 4 3 9 9 27 3 9 3 4 3 9 4 3+ + − = − + + −∫ ∫ 33 3 9 3+ = . = + + − − + =- . .9 27 64 3 36 9 27 64 3 ua 5) Calcular a área da região limitada pela função f(x) = sen x no intervalo 0 ≤ x ≤ π/2. A região a ser calculada é representada pela figura: 1 0 π/2 Figura 35 Devemos então calcular a integral: sen x dx 0 2π/ ∫ Calculando a integral imediata e substituindo os extremos de integração: sen x dx x 0 2 2 0 2 0 0 1 π π π/ / cos cos cos∫ = −( ) = − + = + = 11 87 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL 6) Determinar o comprimento de arco da função f(x) = 2 x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2. Para determinar o comprimento de arco da função, vamos utilizar a fórmula: A f x= + ( )∫ 1 2 0 2 ’( ) Inicialmente você deve determinar a derivada da função f(x) = 2x y = f(x) = 2x y’ = f’(x) = 2 Substituindo na fórmula: A f x dx dx= + ( ) = + ( )∫ ∫1 1 22 0 2 2 0 2 ’( ) . Efetuando a potência: A f x dx dx dx dx= + ( ) = + ( ) = + =∫ ∫ ∫ ∫1 1 2 1 4 52 0 2 2 0 2 0 2 0 2 ’( ) Calculando a integral e substituindo os extremos de integração A f x dx x uc= + ( ) = ( ) = =∫ 1 5 5 2 5 0 2 52 0 2 2 0 ’( ) . - . . . 7) Utilizando a fórmula S dxy y a b = + ( )∫2 1 2π ’ , determinar a área da superfície de revolução em torno do eixo x, da curva dada por f(x) = 2x no intervalo [0,2] . Devemos inicialmente calcular a derivada de f: f(x) = 2x f‘(x) = 2 Substituindo na fórmula: S dx dxy y x a b = =+ ( ) + ( )∫ ∫2 21 2 1 22 20 2 π π ’ 88 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 Você deve efetuar a potência e deixar a função a ser integrada da forma mais simples possível: S dx dxy y x a b = =+ ( )∫ ∫2 2 51 22 0 2 π π ’ Resolvendo a integral e substituindo os extremos de integração: S dx xy y a b = = = − =+ ( ) ( )∫2 2 5 2 2 5 2 0 81 2 2 0 2π π π ’ ( ) ( ) 5 π u a. . 8) Utilizando a fórmula S dyx dx dyc d = + ∫2 1 2 π , determinar a área da superfície de revolução em torno do eixo y, da curva dada por f(x) = 4x no intervalo 1 ≤ x ≤ 2. Devemos inicialmente isolar x: y x x y= ⇒ =4 4 Agora devemos calcular a derivada de x, assim: dx dy = 1 4 Como mudamos a variável, devemos agora recalcular o intervalo de integração utilizando a relação x y= 4 , o novo intervalo será: 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ 4 ≤ y ≤ 8 Substituindo na fórmula, temos: S dy dy y dx dy y c d = =+ + ∫ ∫2 24 1 4 1 1 4 2 2 4 8 π π Arrumando a função a ser integrada, temos: S dy d y dx dy y c d = =+ ∫ ∫2 2 17 164 1 1 4 2 4 8 π π yy Resolvendo a integral e substituindo os extremos de integração: S dy yy dx dyc d = =+ =∫2 17 8 2 1 4 1 2 2 8 4 π π π 77 8 8 2 4 2 2 2 =- 89 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL = − =( )π π 17 8 32 8 3 17 u a. . Resumo Nesta unidade, estudamos algumas aplicações da integral definida, como cálculo de áreas, comprimento de arco, área e volume de sólidos de revolução. Cálculo de áreas 1º caso: f(x) ≥ 0 no intervalo [a,b] y a A b x f(x) A f x dx a b = ∫ ( ) 2º caso: f(x) ≤ 0 no intervalo[a,b] a b x f(x) y A Neste caso, temos: A f x dx a b = ∫– ( ) 90 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 3º caso: a área limitada por duas funções, f e g, contínuas em [a,b] e tais que f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] y a b x g(x) f(x) (a) A y a b x g(x) f(x) A (b) y a b x g(x) f(x) (c) A A dxf x g x a b = ∫ [ ( ) - ( ) ] Comprimento de arco S dxy a b = + ( )∫ 1 2’ Sólidos de revolução - sólido obtido ao girarmos uma região plana em torno de uma reta. Área de sólidos de revolução a) rotação em torno do eixo x S dxy y a b = + ( )∫2 1 2π ’ y = f(x) 91 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL b) rotação em torno do eixo y S dy sendo x g y x dx dyc d = = + ∫2 1 2 π ( ) x = g(y) Volume de sólidos de revolução (rotação) 1º caso: volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x: V dxf x a b = ∫π [ ( ) ] 2 2º caso: volume do sólido gerado pela rotação de uma região R que está entre os gráficos de duas funções f e g, em torno do eixo dos x: V dxf x g x a b = ∫π [ ( ) ] - [ ( ) ]2 2 3º caso: volume do sólido gerado pela rotação de uma região R, em torno de uma reta paralela ao eixo x, reta y = L: V dxf x L a b = ∫π [ ( ) - ]2 Exercícios Questão 1. O valor absoluto da área superficial de uma placa é igual ao valor da área da região delimitada pelas retas y = 0, y = x e y = - x + 5. Então, a área da placa vale, em unidades de área (u.A.): A. 5 2 B. 25 2 C. 5 4 D. 25 4 E. 25 8 Resposta correta: alternativa (D). Análise das alternativas: Representando-se as retas dadas no plano cartesiano, teremos: 92 Unidade III Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 y P y = x 3 2 2 3 4 5 x y = 0 y = - x + 5 1 1 0 0-1 Para encontrarmos as coordenadas do ponto P. devemos ter x = - x + 5, ou seja, x = 5 2 e assim, y = 5 2 . Integrando-se na variável x, teremos a área da região delimitada pelas três retas A(Rx): A R xdx x dx A R x x xx x( ) ( ) ( ) / / / = + − + ⇒ = + − +∫ ∫ 0 5 2 5 2 5 2 0 5 2 25 1 2 1 2 5 ⇒ 5 2 5 / A R A Rx x( ) ( )= − + − − + ⇒ =25 8 25 2 25 25 8 25 2 25 4 Logo, a área da região delimitada pelas três retas, ou seja, a área superficial da placa, é de 25 4 u.A. (unidades de área). Então: (A) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com os cálculos. (B) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com os cálculos. (C) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com os cálculos. 93 Re vi sã o: E la in e Fa re s - Di ag ra m aç ão : L éo - 0 3/ 02 /2 01 2 CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL (D) Alternativa correta. Justificativa: de acordo com os cálculos. (E) Alternativa incorreta. Justificativa: de acordo com os cálculos. Questão 2. Considere a região delimitada por y a x= −2 2 , pelo eixo x e pelas retas x=-a e x=a sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado e o volume do sólido originado são respectivamente: A) Uma esfera de raio a e volume V a= 4 3 3π B) Uma esfera de raio a de volume V a= 32 3 3π C) Um cubo de aresta a e volume V = a3 D) Um cubo de aresta 2a e volume V = 8a3 E) Um cilindro de raio a e volume V a= 32 3 3π Resolução desta questão na Plataforma.
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