VIBRACOES_MECANICAS

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25/02/2019
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Professor Ernane Vinicius
2/2018
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
• Lei de Hooke:
Fk  kx
k
F
x
• Mola linear é um elo mecânico que 
desenvolve força quando hámovimento 
relativo entre suasextremidades;
Fk
x
Limite de 
proporcionalidade
Validade da 
lei deHooke
Elementos de mola
• Mola é um elemento que armazenaenergia 
na forma de energia potencial elástica:
– Mola detranslação:
– Mola torcional:
2
k
U 
1
kx2
2
k
U 
1 
k 2
*Mola é equivalente à um capacitor no caso de circuitos
elétricos
Elementos de mola
• Importante: nem sempre haverá uma mola 
propriamente dita em um sistemavibratório;
• Em alguns casos uma estrutura elástica fará o 
papel de umamola;
• Deve-se achar uma rigidez de mola equivalente 
para fazer aanálise.
Elementos de mola
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2
m m
m
x
keq
keq
x
m
x

Elementos de mola

• Barra (ou cabo) uniforme:
m
x
E 
A
l0
Módulo deYoung
Área da seçãotransversal
Comprimentoinicial
0
– Rigidezequivalente:
  E
F A  E(l l0 )
F  (EA l ) l
F  keq x
0
k
eq

EA
l
Elementos de mola
• Viga engastada de massa desprezível com massa 
na ponta:
– Rigidezequivalente:
m
x
3
0
3
0
) (3EI)

 (Wl
W  (3EI / l )
F  keq x 0
k
eq l 3

3EI
E 
A
l0
I
Módulo deYoung
Área da seção transversal
Comprimento inicial 
Momento de inércia daseção
Equação do deslocamento δ de viga engastada (flecha)
*W é opeso
Elementos de mola
W W
• Associação de molas
• Quando um sistema possui mais de uma mola/rigidezé
possívelassociá-las
• Associação em paralelo (igual resistor em série)
k1 x k2 x k3 x
k1 k2 kn
keq  k1  k2  . . .  kn
Elementos de mola
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• Associação em série (resistor em paralelo):
k1
k2
kn
W
..
1
keq

1

1
 . . . 
1
k1 k2 kn
Elementos de mola
W W
b
d
• Exemplo 1 – Rigidez equivalente de tambor 
para içamento
a
t
Elementos de mola
l
• Associação de molas geral:
– Nem sempre é possível associar diretamente as 
molas em série ou em paralelo;
– Em casos gerais a rigidez equivalente é achada 
somando termos de energia potencial elástica de 
cada “mola” e igualando à energia potencial 
elástica equivalente:
eqU1 U2  . . .U nU
2
eq eq
U 
1
k x2
21
2
eq eqk U 
Elementos de mola
• Exemplo 2 – Guindaste suspendendo carga W
2 2 2
A ,l , E
A1,l1,E1
 
W

k1
k2
W
keq
W
Elementos de mola
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Elementos de mola
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 ∗ cos 𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑐 ∗ cos𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ cos𝐶
Lei dos cossenosLei dos senos 
Elementos de massa 
Elementos de massa Elementos de amortecimento
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Elementos de amortecimento Elementos de amortecimento
Elementos de amortecimento
Um mecanismo came-seguidor, mostrado na figura é 
utilizado para converter movimento de rotação de um 
eixo no movimento alternativo de uma válvula. O 
sistema consiste de uma haste de massa 𝑚𝑝, um 
balancim de massa 𝑚𝑟 e momento de inercia 𝐽𝑟 em 
relação ao seu centro de gravidade C.G., uma válvula de 
massa 𝑚𝑣, e uma mola de massa desprezível. 
Determinar a massa equivalente 𝑚𝑒𝑞 deste sistema 
came-seguidor assumindo a localização de 𝑚𝑒𝑞 como 
(a) ponto A, (b) ponto B. O deslocamento linear da 
haste do comando de válvula é 𝑥𝑝 e da válvula é 𝑥𝑣 .
Exercício
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Exercício Algumas definições e terminologias 
Algumas definições e terminologias Algumas definições e terminologias 
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Algumas definições e terminologias Algumas definições e terminologias 
Álgebra de números complexos Álgebra de números complexos 
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Álgebra de números complexos Álgebra de números complexos 
PERGUNTAS?