Aula 03 - 01 Apresenta

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CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
METÓDOS QUANTITATIVOS
Professor Hiran Sobreira Teles Filho
METÓDOS QUANTITATIVOS
Hiran Sobreira Teles Filho
Email: hiran.filho@estacio.br
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Ex17: A respeito da função f(x) = – 4x² + 100, assinale a alternativa que seja o resultado da soma entre as coordenadas x e y do vértice
a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250
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Portanto, a soma das coordenadas do vértice dessa função é: 0 + 100 = 100.
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Ex18: Das alternativas abaixo, assinale a única que é correta a respeito da função f(x) = – 2(x + 1)(2 – x).
a) A função é do primeiro grau e é decrescente, pois a = – 2.
b) A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo, pois a = – 2.
c) A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima, pois a = 2.
d) A função é do primeiro grau e é crescente, pois a = 2.
e) A função não é do primeiro nem do segundo grau.
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Ex18: Das alternativas abaixo, assinale a única que é correta a respeito da função f(x) = – 2(x + 1)(2 – x).
f(x) = – 2(x + 1)(2 – x)
f(x) = – 2(2x – x2 + 2 – x)
f(x) = – 2(x – x2 + 2)
f(x) = – 2x + 2x2 – 4
f(x) = 2x2 – 2x – 4
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Ex18: Das alternativas abaixo, assinale a única que é correta a respeito da função f(x) = – 2(x + 1)(2 – x).
a) A função é do primeiro grau e é decrescente, pois a = – 2.
b) A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para baixo, pois a = – 2.
c) A função é do segundo grau e possui concavidade voltada para cima, pois a = 2.
d) A função é do primeiro grau e é crescente, pois a = 2.
e) A função não é do primeiro nem do segundo grau.
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Ex19: (FGV-SP) O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é feito por uma única companhia em um único voo diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p relaciona-se com o número x de passageiros por dia pela relação p = 300 – 0,75x. Qual a receita máxima possível por viagem?
 R(x) = p * x
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 R(x) = (300 – 0,75x) * x
 R(x) = 300x – 0,75x²
 R(x) = – 0,75x² + 300x
O número de passageiros responsáveis pela receita máxima será dado pelo valor do Xv. 
xv = -b/2a
xv = -300/2*(-0,75)
xv = 200
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Ex19: (FGV-SP) O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é feito por uma única companhia em um único voo diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p relaciona-se com o número x de passageiros por dia pela relação p = 300 – 0,75x. Qual a receita máxima possível por viagem?
Sabendo que 200 passageiros maximiza a receita, contudo a capacidade da aeronave comporta 180 lugares:
R(180) = (300 – 0,75*180)*180
R(180) = 165*180
R(180) = 29.700
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Ex20: (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
f(x) = ax² + bx + c
f(0) = 3
3 = a*0² + b*0 + c
c = 3
a*(-1)² + b*(-1) + 3 = 0
a*(3)² + b*(3) + 3 = 0
Qual a equação da reta r?
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Ex20: (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
a*(-1)² + b*(-1) + 3 = 0
a*(3)² + b*(3) + 3 = 0
a – b = -3
9a + 3b = -3
a = b – 3
9a + 3b = -3
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Ex20: (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
a = b – 3
9a + 3b = -3
a = b – 3
9(b – 3) + 3b = -3
a = b – 3
9b – 27 + 3b = -3
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Ex20: (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
a = b – 3
9b – 27 + 3b = -3
a = b – 3
12b = 24
a = b – 3
b = 2
a = -1
b = 2
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Ex20: (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
a = -1
b = 2
c = 3
f(x) = -x² + 2x + 3
xv = (x1 + x2)/2
xv = (-1 + 3)/2
xv =2/2
xv = 1
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Ex20: (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
f(x) = -x² + 2x + 3
xv = 1
f(1) = -(1)² + 2*1 + 3
f(1) = -1 + 2 + 3
f(1) = 4
yv = 4
(1,4)
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Ex20: (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
r = ax + b
a*(-1) + b = 0
a*(1) + b = 4
(1,4)
-a + b = 0
a + b = 4
a = b 
a + b = 4
a = b = 2 
a + b = 4
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FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Ex20: (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
r = ax + b
(1,4)
a = b = 2 
r = 2x + 2
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no expoente de um número real, sendo que esse número precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal condição usando a seguinte definição geral: 
Ex21. f(x) = 2x
Ex22. f(x) = (1/5)x
Ex23. f(x) = 0,5x
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GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
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CRESCIMENTO EXPONENCIAL
“Os impactos ambientais aumentaram muito a partir do séc. XVIII, como consequencia da revolução industrial e do avanço das tecnologias de exploração e transformação da natureza. Além disso, houve um crescimento exponencial da população do planeta, composto de pobres em sua maioria”
Sene, Eustáquio de. Espaço geográfico mundial e globalizado, 8º série pág. 184. São Paulo: Scipione, 2000. 
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CRESCIMENTO EXPONENCIAL
2X
2 1 2
4 44
6 9 8
8 16 16
10 25 32
12 36 64
14 49 128
16 64 256
18 81 512
20 100 1024
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CRESCIMENTO EXPONENCIAL
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Num depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo tempo é dado pela fórmula
C = D * (1 + i)t, 
onde C representa o capital acumulado, D o valor do depósito, i a taxa de juros ao mês e t o tempo de meses em que o dinheiro está aplicado.
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro, sendo portanto o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. 
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: C =D.(1 + i)
105 =100*.(1 + 5%)
2º mês: C =D.(1 + i) (1 + i)
110,25 =100.(1 + 5%).(1 + 5%)
3º mês: C =D.(1 + i) (1 + i) (1 + i)
115,76 =100.(1 + 5%).(1 + 5%).(1 + 5%)
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro, sendo portanto o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. 
Após três meses de capitalização, temos:
3º mês: C =D.(1 + i) (1 + i) (1 + i)
115,76 =100.(1 + 5%).(1 + 5%).(1 + 5%)
C = D * (1 + i)t
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Ex24. Para um depósito de R$ 1 000,00, com taxa de 2% ao mês, qual o capital acumulado ao fim de 6 meses? E de 1 ano? 
6 meses:
 C = D * (1 + i)t
 C = 1000 * (1 + 0,02)6
 C = 1000 * (1,02)6
 C = 1000 * 1,12616
 C = 1 126,16
1 ano = 12 meses
 C = D * (1 + i)t
 C = 1000 * (1 + 0,02)12
 C = 1000 * (1,02)12
 C = 1000 * 1,26824
 C = 1 268,24 
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Ex25. Para um depósito de R$ 5 000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual o capital acumulado durante 4 meses? 
4 meses:
 C = D * (1 + i)t
 C = 5000 * (1 + 0,05)4
 C = 5000 * (1,05)4
 C = 5000 * 1,21550625 
 C = 6 077,53 
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Ex26. Em uma determinada loja, uma máquina fotográfica é vendida à vista por R$270,00, ou por R$326,70 com o pagamento para dois meses. Qual é a taxa de juros que a loja está operando?
 C = D * (1 + i)t
 326,70 = 270 (1 + i)2
326,70 : 270 = (1 + i)2
 1,21 = (1 + i)2
 √1,21 = 1 + i
 1,1 – 1 = i
i = 0,1 ou 0,1 . 100 = 10%
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Ex27. Um aparelho de som é vendido à vista por R$248,00 ou 3x de R$100,00 sem entrada. Se o cliente conseguir aplicar o seu dinheiro a 2,8% ao mês, Qual das duas opções de pagamento é mais vantajosa.
R$100,00 daqui a 1 mês 100 = x (1 + 0,028)1 x = 97,28
R$100,00 daqui a 2 meses 100 = y (1 + 0,028)2 y = 94,70
R$100,00 daqui a 3 meses 100 = z (1 + 0,028)3 z = 92,09
97,28 + 94,63 + 92,05 = 283,96
Como 283,96 é maior que 248,00, concluímos que mais uma vez o pagamento à vista é mais vantajoso
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Ex28. O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1 800 . (1,03)t .
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,
s(2) = 1800. (1,03)²
s(2) = 1800 . 1,0609 
s(2) = 1.909,62 
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Ex29. (Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:
f(x) = g(x)
2 x² – 4 = 4 x² – 2x
2 x² – 4 = (2²) x² – 2x
2 x² – 4 = 22x² – 4x
 x² – 4 = 2x² – 4x
 x² – 4 – 2x² + 4x = 0
– x² + 4x – 4 = 0
 
 
 
 
 
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
Ex30. Na função exponencial a seguir, calcule o valor de k. Considere uma função crescente. g(x) = (3k + 16)x
3k + 16 > 1
 3k > 1 – 16
 3k > – 15
 k > – 15
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 k> – 5
Então a função g(x) = (3k + 16)x é crescente para k > – 5.
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