Polinômios - Operações multiplicação e divisão parte 3

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 (UFSM/2010) Leia o trecho da música "Goiabada Cascão", de Wilson 
Moreira/Nei Lopes, interpretada por Dudu Nobre. Ouvindo esse samba, um 
pequeno proprietário rural decide aproveitar a farta produção de goiabas 
de seu pomar e produzir goiabada cascão que será vendida em barras 
(paralelepípedos retangulares) de 800 cm³ cada. Para tanto, construirá 
uma forma a partir de uma folha metálica retangular medindo 28 cm por 
18 cm, cortando um pequeno quadrado de cada canto. Essa folha, 
devidamente dobrada, conforme ilustra a figura a seguir, servirá de molde 
para as barras de goiabada. Sendo x cm a medida dos lados do quadrado 
cortado da folha inicial, a incógnita (variável) x, para que o volume da 
barra obtida desse molde tenha os 800 cm3 desejados, deve satisfazer a 
que equação polinomial? 
 
POLINÔMIOS 
 Vamos calcular o volume da caixa. 
x 
28 – 2x 
18 – 2x 
V = AB . h 
V = (28 – 2x).(18 – 2x).x 
V = (504 – 56x – 36x + 4x2).x 
V = (504 – 92x + 4x2).x 
V = 800 
4x3 – 92x2 + 504x = 800 
4x3 – 92x2 + 504x – 800 = 0 (: 4) 
x3 – 23x2 + 126x – 200 = 0 
18 cm 
28 cm 
x 
x x 
x 
x 
x x 
x 
V = 504x – 92x2 + 4x3 
 A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo aix
i de A(x) 
por cada termo bjx
j de B(x), ou seja, aplicando a propriedade 
distributiva da multiplicação. 
 
 Por fim, reduzem-se os termos semelhantes (de mesmo grau). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  01
2
2
1
1 axaxaxaxaxA
n
n
n
n 

 
  01
2
2
1
1 bxbxbxbxbxB
n
n
n
n 

 
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 Sendo: 
 
 
 
 
A(x) . B(x) = 
 
 
(x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1) 
 
x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3 
 
x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3 
 Sendo A(x) = x3 + 2x2  3 e B(x) = x2 + x + 1, determine A(x) . B(x). 
EXEMPLO 
Um produto de potências de 
mesma base pode ser escrito na 
forma de uma única potência: 
conservamos a base e adicionamos 
os expoentes. 
am.an = am+n 
DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
 Dividir um polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é obter dois 
polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às seguintes condições: 
 P(x) ≡ D(x).Q(x) + R(x); 
 P(x) é o dividendo, D(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão; 
 É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os 
graus do dividendo e do divisor; 
 Em geral, se na divisão de P(x) por D(x) o resto é o polinômio nulo, dizemos 
que P(x) é divisível por D(x). 
 Grau de R(x) < grau de D(x) ou R(x) ≡ 0; 
 Esse método, também conhecido como método dos coeficientes 
a determinar, é aplicado da seguinte forma: 
 
 Determina-se os graus do quociente: Q(x), e do resto: r(x); 
 
 Constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos 
os seus coeficientes (usam-se letras); 
 
 Determinam-se os coeficientes impondo a igualdade 
Q(x).D(x) + r(x) = P(x). 
 
 
 
 
 
ALGORITMO DA DIVISÃO (MÉTODO DE DESCARTES) 
 Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1. 
EXEMPLO 
Aplicando a relação fundamental da divisão: 
       xPxrxDxQ 
      27231423 34223  xxxedxcxxxxbax
2723423423 34223234  xxxedxcxbbxbxbxaxaxaxax
33 a
1a
232  ba 024  cba
74  dab 2be
2312  b
03 b
0b
00214  c
4c
7104  d
8d
20e
2e
Logo: Q(x) = ax + b  Q(x) = x 
r(x) = cx2 + dx + e  r(x) = -4x2 + 8x + 2 
        2723424323 34234  xxxebxdbaxcbaxbaax
 Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém seguir os 
seguintes passos: 
 Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus 
expoentes e completá-los quando necessário, com termos de coeficiente 
zero; 
 Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o 
resultado será um termo do quociente; 
 Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto 
do dividendo; 
 Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o 
resto da divisão e a divisão termina aqui; 
 Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um 
novo dividendo. 
 
MÉTODO DA CHAVE 
EXEMPLO 1 
 Efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3. 
+ 11 –10x 
+ 12 – 8x 4x2 
– 1 – 2x – 4x2 
– 3x + 2x2 – x3 
– 1 + x – 6x2 x3 
 2x2 
 x2 – 2x + 3 
+ x – 4 – 6x2 + 4x3 –2x4 
 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1 
EXEMPLO 2 
 Dividir A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2. 
0 
– 6 + 3x 
+ 6 – 3x 
x 
 x – 2 
– 3 + 2x –x2 
 x2 – 5x + 6 
Nesse caso, o resto é polinômio 
nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, 
que A(x) é divisível por B(x). 
EXEMPLO 3 
 Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por b(x) = x2 + x – 2. 
Calcular a e b. 
(a+4)x 
+ 2x 2x2 
+ (a+2)x – 2x2 
x 
 x2 + x – 2 
– 2 – x2 –x3 
 x3 – x2 + ax + b 
+ 2x 
+ b 
 – 4 
+ b – 4 
 a + 4 = 0 
 b – 4 = 0 
⇒ a = – 4 
⇒ b = 4 
 Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é um 
polinômio P(x), em que gr(P)  1, e o divisor é um polinômio do 1º grau 
(de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do termo de grau 1) 
igual a 1. 
 Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de grau 1, então 
resto será de grau zero, e portanto, independente de x (o resto será um 
número real). 
 Vamos estudar: 
 
DIVISÃO POR BINÔMIOS DO 1º GRAU 
Teorema do Resto 
Teorema de D’Alembert 
Algoritmo de Briot-Ruffini 
Divisão pelo binômio (ax + b) 
Divisão pelo produto (x – a).(x – b) 
Divisões Sucessivas 
 Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x – a), 
observamos que o resto, se não for nulo, será sempre um número 
real. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DO RESTO 
   ( ).P x x a Q x r  
( )x a( )P x
( )Q x r
 Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão. 
Verificamos assim que o resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a). 
   ( ).P x x a Q x r  
   ( ).P a a a Q a r  
   0.P a Q a r 
 P a rLogo: 
Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos: 
 Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2. 
 
       
4 3 2
2 2 2 2 3 2 6r P          
 2 16 16 12 6r P     
6r 
EXEMPLO 1 
EXEMPLO 2 
 O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. 
Calcular o valor de k. 
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5. 
R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10 
⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10 
⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2 
(: 5) 
⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2 
⇒ 10 – k = 2 ⇒ k = 8 ⇒ – k = 2 – 10 
⇒ R = p(5) = 10 
 Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio do 
tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = 
0. 
 
 
 
TEOREMA DE D’ALEMBERT 
P(x) é divisível por (x – a)  P(a) = 0 
 
Se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter: 
 Determine k para que o polinômio P(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja 
divisível por (x + 3). 
 
 3 0P  
     
3 2
3 2 3 4 3 2 0k          
4
27
k 
EXEMPLO 1 
EXEMPLO 2 
 Determinar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) = 9x2 
+ mx – m + 3 é divisível por 3x – 1. 
O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de 
D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0. 
9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0 
⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0 
⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0 
⇒ m/3 – m = – 4 (x 3) 
⇒ m – 3m = –12 ⇒ – 2m = –12 ⇒ m = 6 
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI 
 O Dispositivo de Briot-Ruffini nos permite encontrar o quociente e 
o r resto de uma divisão de um polinômio P(x) de grau n (n≥1) por 
um binômio x – a, sendo (n – 1) o grau do quociente. 
a2 
Resto a0 -b/a 
a4 a3 a1 a0 
+ + + + 
x 
x 
x 
x 
p(x) = a0x
4 + a1x
3 + a2x
2 +a3x + a4 (Dividendo) 
s(x) = ax+ b (Divisor) 
Dados 
Coeficientes do Dividendo 
Raiz do 
Divisor 
EXEMPLO 1 
 Efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 –5x2 + 4x + 9 por x – 2, 
utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. 
Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a raiz 
do divisor, no caso, a raiz é 2. 
– 1 
– 5 
13 = Resto 2 2 3 2 
9 4 – 4 3 
+ + + + 
x 
x 
x 
x 
q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13 
EXEMPLO 2 
 Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4. 
Calcular k e o quociente da divisão. 
Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini. 
–2 
– 1 
k – 2 2 1 1 –1 
k 0 2 1 
+ + + + 
x 
x 
x 
x 
q(x) = x3 + x2 – 2x + 2 e R = k – 2 = 4 ⇒ k = 6 
EXEMPLO 3 
 Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter as 
outras duas raízes. 
Suponhamos p(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e 
p(x) é divisível por x – 3. 
1 
1 
0 0 1 3 
– 3 – 3 1 
q(x) = x2 + 1 ⇒ x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = – 1 ⇒ x = i ou x = – i 
Logo, as raízes da equação são 3, i e –i. 
 Se um polinômio P(x) é divisível separadamente por (x − a) e (x−b), 
com a ≠ b, então P(x) é divisível por (x − a)(x − b). 
 
Consequência: 
 
 Dividindo-se P(x) por (x − a), e depois dividindo-se os quocientes 
que forem sendo obtidos por (x − a), ao fim de r divisões 
sucessivas, se todos os restos forem nulos, P(x) será divisível por (x 
− a)'. 
DIVISÃO PELO PRODUTO (X – A).(X – B) 
EXEMPLO 1 
 Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 6 é 
divisível por (x + 2).(x – 3). 
Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente obtido 
q(x) por x – 3. 
–3 
– 7 
0 –2 1 –2 
6 0 1 
Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é divisível 
por (x + 2).(x – 3). 
0 1 1 3 
 Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja divisível por (x -
1) e por (x - 2). 
3a b  
Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0. 
  3 21 1 2 1 1P a b     
0 1 2 a b   
2 16a b  
  3 22 2 2 2 2P a b     
0 8 8 2a b   
EXEMPLO 2 
Agora, vamos resolver o sistema obtido. 
3
2 16
a b
a b
  

  
13a  
10b 
3
10
a b
b
  

  
2
 Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido 
por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo 
produto (x - 1).(x - 2)? 
Observe que: 
 
1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1) = 2 e 
P(2) = 1. 
2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio do tipo 
R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá 
grau 1. 
EXEMPLO 3 
      1 2P x x x Q x ax b     
Então: 
A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos: 
      1 2P x x x Q x ax b     
2a b 
      1 1 1 1 2 1 1P Q a b      
2 a b 
2 1a b 
      2 2 1 2 2 2 2P Q a b      
1 2a b 
Resolvendo o sistema: 
2
2 1
a b
a b
 

 
2
Encontramos: 
1a   3b 
Assim: 
  3R x x  
 Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente nesta divisão é 
divisível por (x – 2), concluímos que P(x) é divisível por (x – 1) · (x – 
2). 
 No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas permitem 
verificar se P(x) é divisível por (x – a)2, (x – a)3, etc. 
DIVISÕES SUCESSIVAS 
 Calcular a e b para que P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por 
(x – 1)2. 
EXEMPLO 1 
1 1 0 1 a
1 1 2 2a1
1 2 4
b
2a b 
6a
Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então, 
6 0
2 0
a
a b
 

  
6 4a e b  
 Para que o polinômio P(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 
1)(x - 2), o produto m.n deve ser igual a: 
Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por (x + 1), 
e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer que, 
7m n 
 1 0P    2 0P 
       
3
1 1 8 1 1P m n         
0 1 8 m n    
       
3
2 2 8 2 2P m n     
0 8 16 2m n   
2 8m n 
EXEMPLO 1 
Resolvendo o sistema: 
5m  2n 
7
2 8
m n
m n
 

 
Obtemos, 
Agora, podemos responder a proposição inicial do problema, 
10m n 
 Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá 
resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da 
forma ax + b. Obter o valor numérico da expressão a + b. 
Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6, então, 
EXEMPLO 2 
 1 3P    2 6P 
Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x 
- 2) é da forma ax + b, então, 
      1 2P x x x Q x ax b    
 daí, 
  1 2x x ( )P x
( )Q x ax b
 1 3 3P a b    
 2 6 2 6P a b   
1a 
4b 
5a b 