C02_Diferenciacao_D04_v00

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Profa. Dra. Karen Pontes
Diferenciação Numérica
Revisão: 21 de março de 2018
Departamento de Engenharia Química
ENG-D04: Métodos Matem. e Comp. Eng. II
Introdução
 Diferenciação é uma medida da taxa na qual uma grandeza varia
Movimento Transferência de calor Circuito elétrico
Abordagens para diferenciação numérica
 A função a ser diferenciada pode ser 
 uma expressão analítica cuja derivada analítica pode ser difícil ou impossível
 um conjunto de pontos discretos (dados tabulados)
Aproximação por diferenças finitas
Função de aproximação por uma 
expressão facilmente diferenciada
Ruído e dispersão nos dados
 A derivação amplifica o erro, logo tende a ser instável, ao contrário da 
integração
 Melhores resultados se
 Usar fórmulas de diferenças
finitas de ordem superior, 
que usem mais pontos
 Suavizar os dados antes
da diferenciação
Dados sem erros Dados com erros
Aproximação da derivada por diferenças finitas
 Inclinação da reta tangente em 
 Precisão aumenta à medida que  se aproxima 
do ponto 
 Na aproximação de derivadas usando diferenças 
finitas, valores da função em diferentes pontos 
na vizinhança do ponto  são usados na 
estimativa da inclinação
lim
→
Diferença para derivada de 1ª ordem
Progressiva Regressiva Central
lim
→
lim
→
lim
→
Exemplo
Considere o bloco em movimento. A distância em função do tempo é registrada na tabela. Pede‐
se:
 Determine a velocidade no tempo  5s e  6s usando a fórmula da diferença central
 Elabore um algoritmo que calcule a derivada para dados tabulados. As derivadas no primeiro 
e último pontos devem ser calculadas usando as fórmulas de diferenças finitas progressiva e 
regressiva, respectivamente. 
 Determine a velocidade e a aceleração do bloco e trace três gráficos, posição, velocidade e 
aceleração.
(s) 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0
(s) ‐5,87 ‐4,23 ‐2,55 ‐0,89 0,67 2,09 3,31 4,31 5,06 5,55 5,78
(s) 6,2 6,4 6,6 6,8 7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 8,0
(s) 5,77 5,52 5,08 4,46 3,72 2,88 2,00 1,10 0,23 ‐0,59
Fórmulas de diferenças finitas usando a série de Taylor
 Vantagem: fornece uma estimativa do erro de truncamento na aproximação
Fórmula de diferença finita progressiva com dois pontos para a 1ª derivada
2! 3! 4! ⋯
Aproximação da função no ponto  :
2! 							
Truncando na 1ª derivada:
2!
Isolando  :
2!
erro de truncamento
Fórmulas de diferenças finitas usando a série de Taylor
 Para uma predição mais acurada, podemos usar três pontos para a 1ª derivada:
2! 3!
2 2! 2 3! 2
Eq. (1)
Eq. (2)
Fazendo: 4 ⋅ 1 2 :
4 3 2
4
3! 3! 2
3 4
2
3 4
2
Progressiva com dois pontos  Progressiva com três pontos 
Fórmula de diferença finita progressiva com três pontos para a 1ª derivada
Fórmulas de diferenças finitas usando a série de Taylor
Fórmula de diferença finita progressiva com três pontos para a 2ª derivada
2! 3!
Eq. (1)
Eq. (2) 2 2! 2 3! 2
2
Fazendo: 2 ⋅ 1 2 :
Fórmulas de diferenças finitas
Fórmulas de diferenças finitas
Fórmulas de diferenças finitas
Diferenciação usando polinômios de Lagrange
 Considere um polinômio de Lagrange que passa por três pontos 
, , , , ,
 Derivando:
 Substituindo‐se o valor de  por  , ,
′
2 2 2
′
2
′
2
′
2
Não é necessário que os pontos sejam igualmente espaçados
Diferenciação usando ajuste de curvas
 Aproximar os pontos discretos por uma função analítica de fácil 
diferenciação
 Se não há ruído, pode‐se usar funções de interpolação como splines
 Na presença de ruídos, pode‐se ajustar uma função para suavizar os ruídos
Exemplo
 Cálculo da DPM completa em polímeros (Pontes et al., 2008)
, ⋅ ⋅ 					 ∈ , , … ,
∑ ⋅ ⋅
∑ ⋅ ⋅
,
,
,
Distribuição cumulativa Distribuição diferencial
splines polyder
Diferenciação no Matlab
 Não há função residente que realize a diferenciação numérica de uma 
função arbitrária ou de dados discretos
 O comando diff calcula a diferença entre os elementos adjacentes de 
um vetor
 Dado um conjunto discreto de  pontos  , , , , … , ,
d=diff(x) x é um vetor:  , , , … ,
d é um vetor com as diferenças entre os elementos de x
, , … ,
, , …
fd=diff(y)/h
Se os pontos são uniformemente espaçados
Erro na diferenciação numérica
 Se a função é dada por um conjunto de pontos discretos, não é possível 
reduzir o passo, deve‐se usar fórmulas com erro de truncamento de 
ordem mais elevada
 Se a função é dada por uma expressão matemática, não basta reduzir o 
passo arbitrariamente até um número muito pequeno pois há erro de 
arredondamento, que pode até crescer com a redução do passo
Exemplo
Considere a função  . Escreva uma expressão para a derivada 
primeira em  0 usando a fórmula de diferença central com dois pontos. 
Investigue o efeito que o espaçamento  entre os pontos tem nos erros de 
truncamento e arredondamento.
Solução:
Diferença finita central com dois pontos:
Seja  e  erros de arredondamento:
2 2 3!
2 2 3!
2 2 3!
erro de truncamentoerro de arredondamento
2 2 2 3!
Exercício ‐ algoritmo
Escreva um função no Matlab que determine a derivada primeira e a 
derivada segunda de uma função descrita por um conjunto de pontos 
igualmente espaçados. No primeiro e no último ponto, use as fórmulas de 
diferenças finitas progressiva e regressiva, respectivamente e, nos pontos 
internos, use a fórmula de diferenças finitas central. Utilize fórmulas com 
erro de truncamento de  .
Exercício – momento fletor em uma viga
Uma viga com 1 m de comprimento é suportada por ambas as extremidades 
e submetida a uma carga. A deflexão da viga é dada pela equação diferencial
onde  é a deflexão,  é a coordenada medida ao longo do comprimento da 
viga,  é o momento fletor e  1,2.10 N.m2 é a rigidez flexural da 
viga. Os dados a seguir são obtidos a partir da medição da deflexão da viga 
versus posição. Determine o momento fletor em cada posição a partir desses 
dados.
(m) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
(cm) 0 7,78 10,68 8,38 3,97 0
Diferenciação parcial numérica
 Funções de muitas variáveis independentes, por exemplo, distribuição de 
temperatura em um objeto:  , , ou  , , ,
 A derivada parcial em relação a uma variável representa a taxa de variação da 
função em relação a essa variável, sendo as demais mantidas constantes. Seja 
, :
 A fórmula da diferença progressiva com
dois pontos é dada por:
,
lim
→
, ,
,
lim
→
, ,
	, ,
	, ,
Diferenciação parcial numérica
 Aproximação da derivada de 1ª ordem com dois pontos:
Progressiva Regressiva Central
	, , 	, , 	, ,
2
	, , 	, , 	, ,
2
Diferenciação parcial numérica
 Aproximação da derivada central de 2ª ordem com três pontos:
 Derivada parcial de 2ª ordem mista usando a fórmula da diferença central 
com quatro pontos:
	, 2 , ,
	, 2 , ,
	, , 	, ,
2 ⋅ 2
	, ,
2
Lembrando:
Exercício – diferenciação parcial numérica
1. Use a aproximação de diferença central, calcule 
⁄ , ⁄ , ⁄ e  ⁄ no ponto (2,2)
2. Use a aproximação de diferença progressiva com três pontos, calcule 
⁄ no ponto (2,2)
3. Use a aproximação de diferença progressiva com três pontos, calcule 
⁄ no ponto (2,1)
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
1,0 163 205 250 298 349
2,0 228 291 361 437 517
3,0 265 350 448 557 676