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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Faculdade de Administração e Finanças - FAF
Aplicações de Métodos Quantitativos - Turma 1
Professor responsável: Celso Pieroni
Resolução da Primeira Lista de Exercícios
Fabiano Gonçalves
Lenon Reis de Lima
Outubro de 2018
Sumário
1 Primeira Lista de Exercícios - Questões & Resoluções 2
1
Capítulo 1
Primeira Lista de Exercícios - Questões &
Resoluções
6. Ache os pontos críticos de cada função abaixo e classi�que-os:
(a) f(x, y) = −x2 − y2 + 2x− 2y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = −2x+ 2 (1.1)
fy(x, y) = −2y − 2 (1.2)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 1 e y = −1.
Portanto, o ponto (1,−1) é um ponto crítico. A Hessiana de f(1,−1) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(1,−1) =
−2; fxy(1,−1) = 0; fyx(1,−1) = 0 e fyy(1,−1) = −2. Logo,
H(1,−1) =
∣∣∣∣fxx(1,−1) fxy(1,−1)fyx(1,−1) fyy(1,−1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 −2
∣∣∣∣ = 4 (1.3)
Como H(1,−1) > 0 e fxx(1,−1) < 0, temos que (1,−1) é o ponto de máximo de f(x, y)
(b) f(x, y) = x2 + y2 − xy − 3x− 4y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 2x− y − 3 (1.4)
fy(x, y) = 2y − x− 4 (1.5)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, originando o sistema abaixo cuja
resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos{
2x− y = 3
2y − x = 4
2
Implicando em x = 103 e y =
11
3 . Portanto, o ponto (
10
3 ,
11
3 ) é um ponto crítico. A Hessiana de
f(103 ,
11
3 ) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto
crítico. Temos que fxx(
10
3 ,
11
3 ) = 2; fxy(
10
3 ,
11
3 ) = −1; fyx(
10
3 ,
11
3 ) = −1 e fyy(
10
3 ,
11
3 ) = 2. Logo,
H(
10
3
,
11
3
) =
∣∣∣∣fxx(103 , 113 ) fxy(103 , 113 )fyx(103 , 113 ) fyy(103 , 113 )
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 −1−1 2
∣∣∣∣ = 3 (1.6)
Como H(103 ,
11
3 ) > 0 e fxx(
10
3 ,
11
3 ) > 0, temos que (
10
3 ,
11
3 ) é o ponto de mínimo de f(x, y)
(c) f(x, y) = 3 + 4xy
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 4y (1.7)
fy(x, y) = 4x (1.8)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 0 e y = 0.
Portanto, o ponto (0, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de f(0, 0) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(0, 0) =
0; fxy(0, 0) = 4; fyx(0, 0) = 4 e fyy(0, 0) = 0. Logo,
H(0, 0) =
∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fyx(0, 0) fyy(0, 0)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣0 44 0
∣∣∣∣ = −16 (1.9)
Como H(0, 0) < 0, temos que (0, 0) é o ponto de sela de f(x, y)
(d) f(x, y) = e3x+4y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 3e
3x+4y (1.10)
fy(x, y) = 4e
3x+4y (1.11)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0. Como a função exponencial
natural é sempre diferente de zero, independentemente do expoente, tem-se que ∀x fx(x, y) 6= 0 e
∀y fy(x, y) 6= 0. Portanto, não há pontos críticos em f(x, y).
(e) f(x, y) = x2 + 2xy + y2
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 2x+ 2y = 2(x+ y) (1.12)
fy(x, y) = 2x+ 2y = 2(x+ y) (1.13)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = x e y = −x.
Portanto, o ponto (x,−x) é um ponto crítico. A Hessiana de f(x,−x) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(x,−x) =
2; fxy(x,−x) = 2; fyx(x,−x) = 2 e fyy(x,−x) = 2. Logo,
3
H(x,−x) =
∣∣∣∣fxx(x,−x) fxy(x,−x)fyx(x,−x) fyy(x,−x)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 22 2
∣∣∣∣ = 0 (1.14)
Como H(1,−1) = 0, o teste é inconclusivo. A classi�cação do ponto (x,−x) demandará uma
análise mais detalhada. A análise consistirá na escolha de pontos arbitrários aplicados à função
f(x, y) e posterior observação do comportamento da função relativo ao ponto crítico. Os pon-
tos escolhidos são: (0, 0), (1,−1), (2,−2), (−1,−1), (−2,−2) e (2, 2). Portanto, f(0, 0) = 0,
f(1,−1) = 0, f(2,−2) = 0, f(−1,−1) = 4, f(−2,−2) = 16 e f(2, 2) = 16. Dado que
∀(x, y) 6= (x,−x), f(x, y) > f(x − x). Conclui-se então que (x,−x) é um ponto de mínimo
de f(x, y)
(f) f(x, y) = ex
2+y2
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 2xe
x2+y2 (1.15)
fy(x, y) = −2yex
2+y2 (1.16)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 0 e y = 0.
Portanto, o ponto (0, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de f(0, 0) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(0, 0) =
2; fxy(0, 0) = 0; fyx(0, 0) = 0 e fyy(0, 0) = 2. Logo,
H(1,−1) =
∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fyx(0, 0) fyy(0, 0)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 2
∣∣∣∣ = 4 (1.17)
Como H(0, 0) > 0 e fxx(0, 0) > 0, temos que (0, 0) é o ponto de mínimo de f(x, y)
(g) f(x, y) = 13x
3 + 13y
3 − 2x2 − 3y2 + 3x+ 5y + 40
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = x
2 − 4x+ 3 = (x− 1)× (x− 3) = 0 (1.18)
fy(x, y) = y
2 − 6y + 5 = (y − 1)× (y − 5) = 0 (1.19)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em x = 1,
x = 3, y = 1, y = 5. Portanto, os pontos (1, 1), (1, 5), (3, 1) e (3, 5) são os pontos críticos. A
Hessiana de f(x, y) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas
ao ponto crítico. Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a
seguir:
• Analisando o ponto (1, 1)
Temos que fxx(1, 1) = −2; fxy(1, 1) = 0; fyx(1, 1) = 0 e fyy(1, 1) = −4. Logo,
H(1, 1) =
∣∣∣∣fxx(1, 1) fxy(1, 1)fyx(1, 1) fyy(1, 1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 −4
∣∣∣∣ = 8 (1.20)
Como H(1, 1) > 0 e fxx(1, 1) < 0, temos que (1, 1) é o ponto de máximo de f(x, y)
4
• Analisando o ponto (1, 5)
Temos que fxx(1, 5) = −2; fxy(1, 5) = 0; fyx(1, 5) = 0 e fyy(1, 5) = 4. Logo,
H(1, 5) =
∣∣∣∣fxx(1, 5) fxy(1, 5)fyx(1, 5) fyy(1, 5)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 4
∣∣∣∣ = −8 (1.21)
Como H(1, 5) < 0, temos que (1, 5) é um ponto de sela de f(x, y)
• Analisando o ponto (3, 1)
Temos que fxx(3, 1) = 2; fxy(3, 1) = 0; fyx(3, 1) = 0 e fyy(3, 1) = −4. Logo,
H(3, 1) =
∣∣∣∣fxx(3, 1) fxy(3, 1)fyx(3, 1) fyy(3, 1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 −4
∣∣∣∣ = −8 (1.22)
Como H(3, 1) < 0, temos que (3, 1) é um ponto de sela de f(x, y)
• Analisando o ponto (3, 5)
Temos que fxx(3, 5) = 2; fxy(3, 5) = 0; fyx(3, 5) = 0 e fyy(3, 5) = 4. Logo,
H(3, 5) =
∣∣∣∣fxx(3, 5) fxy(3, 5)fyx(3, 5) fyy(3, 5)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 00 4
∣∣∣∣ = 8 (1.23)
Como H(3, 5) > 0 e fxx(3, 5) > 0, temos que (3, 5) é o ponto de mínimo de f(x, y)
(h) f(x, y) = 13x
3 − 5x2 − y2 − 3y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = x
2 − 10x = x× (x− 10) = 0 (1.24)
fy(x, y) = −2y − 3 = 0 (1.25)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em x = 0,
x = 10, y = −32 . Portanto, os pontos (0,−
3
2), (10,−
3
2) são os pontos críticos. A Hessiana de
f(x, y) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto
crítico. Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a seguir:
• Analisando o ponto (0,−32)
Temos que fxx(0,−32) = −10; fxy(0,−
3
2) = 0; fyx(0,−
3
2) = 0 e fyy(0,−
3
2) = −2. Logo,
H(0,−3
2
) =
∣∣∣∣fxx(0,−32) fxy(0,−32)fyx(0,−32) fyy(0,−32)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−10 00 −2
∣∣∣∣ = 20 (1.26)
Como H(0,−32) > 0 e fxx(0,−
3
2) < 0, temos que (0,−
3
2) é o ponto de máximo de f(x, y)
5
• Analisando o ponto (10,−32)
Temos que fxx(10,−32) = 10; fxy(10,−
3
2) = 0; fyx(10,−
3
2) = 0 e fyy(10,−
3
2) = −2. Logo,
H(10,−3
2
) =
∣∣∣∣fxx(10,−32) fxy(10,−32)fyx(10,−32) fyy(10,−32)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣10 00 −2
∣∣∣∣ = −20 (1.27)
Como H(10,−32) < 0, temos que (10,−
3
2) é o ponto de sela def(x, y)
(i) f(x, y) = ex
2+3y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 2xe
x2+3y (1.28)
fy(x, y) = 3e
x2+3y (1.29)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0. Como a função expo-
nencial natural é sempre diferente de zero, independentemente do expoente, tem-se que x = 0 e
∀y fy(x, y) 6= 0. Portanto, não há pontos críticos em f(x, y).
(j) f(x, y) = x3 + 2y2 − 3x− 4y
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 3x
2 − 3 = 3× (x− 1)× (x+ 1) = 0 (1.30)
fy(x, y) = 4y − 4 = 4× (y − 1) = 0 (1.31)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em x = 1,
x = −1, y = 1. Portanto, os pontos (1, 1), (−1, 1) são os pontos críticos. A Hessiana de f(x, y)
é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico.
Cada ponto será analisado separadamente e posteriormente classi�cado, como a seguir:
• Analisando o ponto (1, 1)
Temos que fxx(1, 1) = 6; fxy(1, 1) = 0; fyx(1, 1) = 0 e fyy(1, 1) = 4. Logo,
H(1, 1) =
∣∣∣∣fxx(1, 1) fxy(1, 1)fyx(1, 1) fyy(1, 1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣6 00 4
∣∣∣∣ = 24 (1.32)
Como H(1, 1) > 0 e fxx(1, 1) > 0, temos que (1, 1) é o ponto de mínimo de f(x, y)
• Analisando o ponto (−1, 1)
Temos que fxx(−1, 1) = −6; fxy(−1, 1) = 0; fyx(−1, 1) = 0 e fyy(−1, 1) = 4. Logo,
H(−1, 1) =
∣∣∣∣fxx(−1, 1) fxy(−1, 1)fyx(−1, 1) fyy(−1, 1)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−6 00 4
∣∣∣∣ = −24 (1.33)
Como H(−1, 1) < 0, temos que (−1, 1) é o ponto de sela de f(x, y)
6
(k) f(x, y) = −x2 − 4xy − 4
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = −2x− 4y (1.34)
fy(x, y) = −4x (1.35)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer fx = 0 e fy = 0, implicando em x = 0 e y = 0.
Portanto, o ponto (0, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de f(0, 0) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que fxx(0, 0) =
−2; fxy(0, 0) = −4; fyx(0, 0) = −4 e fyy(0, 0) = 0. Logo,
H(0, 0) =
∣∣∣∣fxx(0, 0) fxy(0, 0)fyx(0, 0) fyy(0, 0)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 −4−4 0
∣∣∣∣ = −16 (1.36)
Como H(0, 0) < 0, temos que (0, 0) é o ponto de sela de f(x, y)
(l) f(x, y) = x2y2
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de f(x, y) em cada uma das variáveis:
fx(x, y) = 2xy
2 (1.37)
fy(x, y) = 2x
2y (1.38)
Para determinar os pontos críticos devemos fazer fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, implicando em (0, y)
e (x, 0), respectivamente, como pontos críticos. A Hessiana de f(x, y) é dada pelo determinante
das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Cada ponto será analisado
separadamente e posteriormente classi�cado, como a seguir:
• Analisando o ponto (0, y)
Temos que fxx(0, y) = 2y
2; fxy(0, y) = 0; fyx(0, y) = 0 e fyy(0, y) = 0. Logo,
H(0, y) =
∣∣∣∣fxx(0, y) fxy(0, y)fyx(0, y) fyy(0, y)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2y2 00 0
∣∣∣∣ = 0 (1.39)
Como H(0, y) = 0, o teste é inconclusivo. A classi�cação do ponto (0, y) demandará uma
análise mais detalhada. A análise consistirá na escolha de pontos arbitrários aplicados à
função f(x, y) e posterior observação do comportamento da função relativo ao ponto crítico.
Os pontos escolhidos são: (0, y), (−1,−1) e (2, 2). Portanto, f(0, y) = 0, f(−1,−1) = 1 e
f(2, 2) = 16, . Observa-se que ∀(x, y) 6= (0, y), f(x, y) > f(0, y). Conclui-se então que (0, y)
é um ponto de mínimo de f(x, y)
• Analisando o ponto (x, 0)
Temos que fxx(x, 0) = 0; fxy(x, 0) = 0; fyx(x, 0) = 0 e fyy(x, 0) = 2x
2. Logo,
H(x, 0) =
∣∣∣∣fxx(x, 0) fxy(x, 0)fyx(x, 0) fyy(x, 0)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣0 00 2x2
∣∣∣∣ = 0 (1.40)
Como H(x, 0) = 0, o teste é inconclusivo. A classi�cação do ponto (x, 0) demandará uma
análise mais detalhada. A análise consistirá na escolha de pontos arbitrários aplicados à
7
função f(x, y) e posterior observação do comportamento da função relativo ao ponto crítico.
Os pontos escolhidos são: (x, 0), (−1,−1) e (2, 2). Portanto, f(x, 0) = 0, f(−1,−1) = 2 e
f(2, 2) = 16, . Observa-se que ∀(x, y) 6= (x, 0), f(x, y) > f(x, 0). Conclui-se então que (x, 0)
é um ponto de mínimo de f(x, y)
7. O lucro que uma empresa obtém, vendendo dois produtos A e B é dado por:
L = 600− 2x2 − 4y2 − 3xy + 18x+ 18y (1.41)
sendo que, x e y são as quantidades vendidas. Obtenha os valores de x e y que maximizam o lucro.
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis:
Lx(x, y) = −4x− 3y + 18 (1.42)
Ly(x, y) = −8y − 3x+ 18 (1.43)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer Lx(x, y) = 0 e Ly(x, y) = 0, originando o sistema abaixo
cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos{
4x+ 3y = 18
8y + 3x = 18
Implicando em x = 9023 e y =
18
23 . Portanto, o ponto (
90
23 ,
18
23) é um ponto crítico. A Hessiana de L(
90
23 ,
18
23)
é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos
que Lxx(
90
23 ,
18
23) = −4;Lxy(
90
23 ,
18
23) = −3;Lyx(
90
23 ,
18
23) = −3 e Lyy(
90
23 ,
18
23) = −8. Logo,
H(
90
23
,
18
23
) =
∣∣∣∣Lxx(9023 , 1823) Lxy(9023 , 1823)Lyx(9023 , 1823) Lyy(9023 , 1823)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 −3−3 −8
∣∣∣∣ = 23 (1.44)
Como H(9023 ,
18
23) > 0 e Lxx(
90
23 ,
18
23) < 0, con�rma-se que (
90
23 ,
18
23) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo
assim, x = 9023 e y =
18
23 são os valores que maximizam o lucro.
8. Quando uma empresa usa x unidades de trabalho e y unidades de capital, sua produção mensal de
certo produto é dada por:
P = 32x+ 20y + 3xy − 2x2 − 2, 5y2 (1.45)
Obtenha os valores de x e y que maximizam a produção semanal.
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de P (x, y) em cada uma das variáveis:
Px(x, y) = 32 + 3y − 4x (1.46)
Py(x, y) = 20 + 3x− 5y (1.47)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer Px(x, y) = 0 e Py(x, y) = 0, originando o sistema abaixo
cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:
8
{
−3y + 4x = 32
−3x+ 5y = 20
Implicando em x = 20 e y = 16. Portanto, o ponto (20, 16) é um ponto crítico. A Hessiana de P (20, 16)
é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos
que Pxx(20, 16) = −4;Pxy(20, 16) = +3;Pyx(20, 16) = +3 e Pyy(20, 16) = −5. Logo,
H(20, 16) =
∣∣∣∣Pxx(20, 16) Pxy(20, 16)Pyx(20, 16) Pyy(20, 16)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 33 −5
∣∣∣∣ = 11 (1.48)
Como H(20, 16) > 0 e Pxx(20, 16) < 0, con�rma-se que (20, 16) é o ponto de máximo de P (x, y). Sendo
assim, x = 20 e y = 16 são os valores que maximizam a produção semanal.
9. Uma empresa fabrica um produto que é vendido em dois países estrangeiros. Sejam x e y as quantidades
vendidas nesses dois mercados. Sabe-se que as equações de demanda nos dois mercados são dadas por
p1 = 6.000 − 2x e p2 = 9.000 − 4y, sendo que p1 e p2 são os preços unitários em cada mercado. A
função custo da �rma é C = 60.000 + 500(x+ y).
(a) Obtenha os valores de x e y que maximizam o lucro, e ache o valor desse lucro.
RESOLUÇÃO
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) =
RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 5.500x− 2x2 + 8.500y − 4y2 − 60.000 (1.49)
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis:
Lx(x, y) = 5.500− 4x (1.50)
Ly(x, y) = 8.500− 8y (1.51)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer Lx(x, y) = 0 e Ly(x, y) = 0, implicando em
x = 1.375 e y = 1.062, 5. Portanto, o ponto (1.375, 1.062, 5) é um ponto crítico. A Hessiana de
L(1.375, 1.062, 5) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao
ponto crítico. Temos que Lxx(1.375, 1.062, 5) = −4;Lxy(1.375, 1.062, 5) = 0;Lyx(1.375, 1.062, 5) =
0 e Lyy(1.375, 1.062, 5) = −8. Logo,
H(1.375, 1.062, 5) =
∣∣∣∣Lxx(1.375, 1.062, 5) Lxy(1.375, 1.062, 5)Lyx(1.375, 1.062, 5) Lyy(1.375, 1.062, 5)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 00 −8
∣∣∣∣ = 32 (1.52)
Como H(1.375,1.062, 5) > 0 e Lxx(1.375, 1.062, 5) < 0, con�rma-se que (1.375, 1.062, 5) é o ponto
de máximo de L(x, y). Sendo assim, x = 1.375 e y = 1.062, 5 são os valores que maximizam o
lucro. Aplicando o ponto (1.375,1.062,5) à função Lucro, obtém-se:
L(x, y) = 5.500(1.375)− 2(1.375)2 + 8.500(1.062, 5)− 4(1.062, 5)2 − 60.000 = $8.236.875 (1.53)
(b) Nas condições do item anterior, quais os preços cobrados em cada país?
RESOLUÇÃO
9
Aplicando o ponto (1.375, 1.062, 5) às funções que determinam os preços p1 e p2, tem-se:
p1 = 6.000− 2(1.375) = $3.250 (1.54)
p2 = 9.000− 4(1.062, 5) = $4.750 (1.55)
10. Uma �rma produz dois produtos A e B nas quantidades x e y. As equações de demanda de A e B são:
A: p1 = 20− x e B : p2 = 80− 2y.
A função custo é C = x2 + y2 + 4x + 4y. Obtenha os preços p1 e p2 que devem ser cobrados para
maximizar o lucro.
RESOLUÇÃO
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) =
RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 16x− 2x2 + 76y − 3y2 (1.56)
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis:
Lx(x, y) = 16− 4x (1.57)
Ly(x, y) = 76− 6y (1.58)
Para determinar o ponto crítico devemos fazer Lx(x, y) = 0 e Ly(x, y) = 0, implicando em x = 4
e y = 12.66. Portanto, o ponto (4, 12.66) é um ponto crítico. A Hessiana de L(4, 12.66) é dada
pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos que
Lxx(4, 12.66) = −4;Lxy(4, 12.66) = 0;Lyx(4, 12.66) = 0 e Lyy(4, 12.66) = −6. Logo,
H(4, 12.66) =
∣∣∣∣Lxx(4, 12.66) Lxy(4, 12.66)Lyx(4, 12.66) Lyy(4, 12.66)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 00 −6
∣∣∣∣ = 24 (1.59)
Como H(4, 12.66) > 0 e Lxx(4, 12.66) < 0, con�rma-se que (4, 12.66) é o ponto de máximo de L(x, y).
Sendo assim, x = 4 e y = 12.66 são os valores que maximizam o lucro. Aplicando (4, 12.66) às funções
que determinam os preços p1 e p2, obtém-se:
p1 = 20− 4 = $16 (1.60)
p2 = 80− 2(12.66) = $54.68 (1.61)
11. Resolva o exercício anterior considerando as seguintes funções de demanda: A: p1 = 10− x e B : p2 =
20− 2y e a função custo C = 12x
2 + 12y
2 + 2xy.
RESOLUÇÃO
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) =
RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 10x−
3
2
x2 + 20y − 5
2
y2 − 2xy (1.62)
10
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis:
Lx(x, y) = 10− 3x− 2y (1.63)
Ly(x, y) = 20− 5y − 2x (1.64)
originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:
{
3x+ 2y = 10
5y + 2x = 20
Implicando em x = 1011 e y =
40
11 . Portanto, o ponto (
10
11 ,
40
11) é um ponto crítico. A Hessiana de L(
10
11 ,
40
11)
é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos
que Lxx(
10
11 ,
40
11) = −3;Lxy(
10
11 ,
40
11) = −2;Lyx(
10
11 ,
40
11) = −2 e Lyy(
10
11 ,
40
11) = −5. Logo,
H(
10
11
,
40
11
) =
∣∣∣∣Lxx(1011 , 4011) Lxy(1011 , 4011)Lyx(1011 , 4011) Lyy(1011 , 4011)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−3 −2−2 −5
∣∣∣∣ = 11 (1.65)
Como H(1011 ,
40
11) > 0 e Lxx(
10
11 ,
40
11) < 0, con�rma-se que (
10
11 ,
40
11) é o ponto de máximo de L(x, y).
Sendo assim, x = 1011 e y =
40
11 são os valores que maximizam o lucro. Aplicando (
10
11 ,
40
11) às funções que
determinam os preços p1 e p2, obtém-se:
p1 = 10−
10
11
= $
100
11
(1.66)
p2 = 20− 2×
40
11
= $
140
11
(1.67)
12. Uma empresa fabrica dois produtos I e II cujos preços de venda são respectivamente $10, 00 e $6, 00. A
função custo é C = 2x2 + y2 + xy, onde x e y são as quantidades produzidas de I e II respectivamente.
Obtenha os valores de x e y que proporcionam lucro máximo.
RESOLUÇÃO
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) =
RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 10x+ 6y − 2x2 − y2 − xy (1.68)
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis:
Lx(x, y) = 10− 4x− y (1.69)
Ly(x, y) = 6− 2y − x (1.70)
originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:
{
4x+ y = 10
2y + x = 6
11
Implicando em x = 2 e y = 2. Portanto, o ponto (2, 2) é um ponto crítico. A Hessiana de L(2, 2) é
dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico. Temos
que Lxx(2, 2) = −4;Lxy(2, 2) = −1;Lyx(2, 2) = −1 e Lyy(2, 2) = −2. Logo,
H(2, 2) =
∣∣∣∣Lxx(2, 2) Lxy(2, 2)Lyx(2, 2) Lyy(2, 2)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 −1−1 −2
∣∣∣∣ = 7 (1.71)
Como H(2, 2) > 0 e Lxx(2, 2) < 0, con�rma-se que (2, 2) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo assim,
x = 2 e y = 2 são os valores que maximizam o lucro.
13. Uma empresa fabrica dois produtos P e Q, o primeiro vendido a $4, 00 a unidade e o segundo a $2, 00 a
unidade. A função custo mensal é C = 5+x2+y2+xy, sendo que x e y são as quantidades produzidas.
(a) Quais as quantidades x e y que maximizam o lucro?
RESOLUÇÃO
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) =
RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(x, y) = p1 × x+ p2 × y − C(x, y)⇔ L(x, y) = 4x+ 2y − x2 − y2 − xy − 5 (1.72)
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis:
Lx(x, y) = 4− 2x− y (1.73)
Ly(x, y) = 2− 2y − x (1.74)
originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:{
2x+ y = 4
2y + x = 2
Implicando em x = 2 e y = 0. Portanto, o ponto (2, 0) é um ponto crítico. A Hessiana de L(2, 0)
é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto crítico.
Temos que Lxx(2, 0) = −2;Lxy(2, 0) = −1;Lyx(2, 0) = −1 e Lyy(2, 0) = −2. Logo,
H(2, 0) =
∣∣∣∣Lxx(2, 0) Lxy(2, 0)Lyx(2, 0) Lyy(2, 0)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 −1−1 −2
∣∣∣∣ = 3 (1.75)
Como H(2, 0) > 0 e Lxx(2, 0) < 0, con�rma-se que (2, 0) é o ponto de máximo de L(x, y). Sendo
assim, x = 2 e y = 0 são os valores que maximizam o lucro.
(b) Qual o lucro máximo?
RESOLUÇÃO
A função Lucro é de�nida por L(x, y) = 4x+ 2y − x2 − y2 − xy − 5. Aplicando os valores de �x�
e �y� que maximizam o lucro:
L(p, q) = 4× (2) + 2× (0)− (2)2 − (0)2 − (2)× (0)− 5 = −$1 (1.76)
Logo, L(x, y) = −$1
12
14. Uma empresa produz dois bens substitutos, cujas equações de demanda são dadas por:
x = 500− 2p+ q (1.77)
y = 900 + p− 3q (1.78)
em que x e y são as quantidades produzidas, p e q são seus preços unitários, respectivamente. Se a
função custo para fabricar esses bens for:
C = 10.000 + 200x+ 100y (1.79)
Obtenha os valores de p e q que maximizam o lucro e ache o valor desse lucro.
RESOLUÇÃO
Primeiramente, é necessário reescrever a função Custo (C(x, y)) da forma C(p, q). Portanto,
C(p, q) = 10.000+200×(500−2p+q)+100×(900+p−3q)⇔ C(p, q) = 200.000−300p−100q (1.80)
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(p, q) =
RT (p, q)− CT (p, q). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(p, q) = p× x+ q × y − C(p, q)⇔ L(p, q) = −200.000 + 800p+ 1.000q − 2p2 − 3q2 + 2pq (1.81)
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(p, q) em cada uma das variáveis:
Lp(p, q) = 800− 4p+ 2q (1.82)
Lq(p, q) = 1.000− 6q + 2p (1.83)
originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:{
4p− 2q = 800
6q − 2p = 1.000
Implicando em p = 340 e q = 280. Portanto, o ponto (340, 280) é um ponto crítico. A Hessiana de
L(340, 280) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto
crítico. Temos que Lpp(340, 280) = −4;Lpq(340, 280) = +2;Lqp(340, 280) = +2 e Lqq(340, 280) = −6.
Logo,
H(340, 280) =
∣∣∣∣Lpp(340, 280) Lpq(340, 280)Lqp(340, 280) Lqq(340, 280)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 +2+2 −6
∣∣∣∣ = 20 (1.84)
ComoH(340, 280) > 0 e Lpp(340, 280) < 0, con�rma-se que (340, 280) é o ponto de máximo de L(p, q).
Sendo assim, p = 340 e q = 280 são os valores que maximizam o lucro.
15. Em relação ao exercício anterior, qual o lucro máximo?
RESOLUÇÃO
13
De acordo com o exercício anterior, a função Lucro é de�nida por L(p, q) = −200.000+800p+1.000q−
2p2 − 3q2 + 2pq. Aplicando os valores de �p� e �q� que maximizam o lucro:
L(p, q) = −200.000+800× (340)+1.000× (280)−2× (340)2−3× (280)2+2× (340)× (280) = $76.000
(1.85)
Logo, L(p, q) = $76.000
16. Um duopólio é tal que as funções custo para as �rmas são
C(x) = 3x (1.86)
C(y) =
1
2
y2 (1.87)
Sendo que x é a quantidade produzida pela primeira �rma e y a da segunda. A equação da demanda
do produto é, em que p é o preço unitário:
p = 100− 2(x+ y) (1.88)
(a) Qual a equação do lucro do duopólio, em função de x e y?
RESOLUÇÃO
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x, y) =
RT (x, y)− CT (x, y). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(x, y) = (100− 2x− 2y)× (x+ y)− 3x− y
2
2
⇔ L(x, y) = 97x+100y− 2x2− 4xy− 5
2
y2 (1.89)
(b) Quais os valores de x e y que maximizam esse lucro?
RESOLUÇÃO
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x, y) em cada uma das variáveis:
Lx(x, y) = 97− 4x− 4y (1.90)
Ly(x, y) = 100− 4x− 5y (1.91)
originando o sistema abaixo cuja resolução fornece as coordenadas dos pontos críticos:{
4x+ 4y = 97
4x+ 5y = 100
Implicando em x = 21.25 e y = 3. Portanto, o ponto (21.25, 3) é um ponto crítico. A Hessiana de
L(21.25, 3) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto
crítico. Temos que Lxx(21.25, 3) = −4;Lxy(21.25, 3) = −4;Lyx(21.25, 3) = −4 e Lyy(21.25, 3) =
−5. Logo,
H(21.25, 3) =
∣∣∣∣Lxx(21.25, 3) Lxy(21.25, 3)Lyx(21.25, 3) Lyy(21.25, 3)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−4 −4−4 −5
∣∣∣∣ = 4 (1.92)
Como H(21.25, 3) > 0 e Lxx(21.25, 3) < 0, con�rma-se que (21.25, 3) é o ponto de máximo de
L(x, y). Sendo assim, x = 21.25 e y = 3 são os valores que maximizam o lucro.
14
17. Um monopolista produz e vende um produto em dois mercados, cada qual com a seguinte equação de
demanda:
p1 = 40− 3x1 (1.93)
p2 = 90− 2x2 (1.94)
em que p1 e p2 são os preços unitários em cada mercado, x1 e x2 as respectivas quantidades demandadas.
A função custo é C = 200 + 10(x1 + x2).
(a) Obtenha os preços p1 e p2 que maximizam o lucro.
RESOLUÇÃO
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x1, x2) =
RT (x1, x2)− CT (x1, x2). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(x1, x2) = p1 × x1 + p2 × x2 − C(x1, x2)⇔ L(x1, x2) = 30x1 − 3x21 + 80x2 − 2x22 − 200 (1.95)
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x1, x2) em cada uma das variáveis:
Lx1(x1, x2) = 30− 6x1 (1.96)
Lx2(x1, x2) = 80− 4x2 (1.97)
Implicando em x1 = 5 e x2 = 20. Portanto, o ponto (5, 20) é um ponto crítico. A Hessiana de
L(5, 20) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto
crítico. Temos que Lx1x1(5, 20) = −6;Lx1x2(5, 20) = 0;Lx2x1(5, 20) = 0 e Lx2x2(5, 20) = −4.
Logo,
H(5, 20) =
∣∣∣∣Lx1x1(5, 20) Lx1x2(5, 20)Lx2x1(5, 20) Lx2x2(5, 20)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−6 00 −4
∣∣∣∣ = 24 (1.98)
Como H(5, 20) > 0 e Lx1x1(5, 20) < 0, con�rma-se que (5, 20) é o ponto de máximo de L(x1x2).
Sendo assim, x1 = 5 e x2 = 20 são os valores que maximizam o lucro.
(b) Se não puder haver discriminação de preços (ou seja, se p1 e p2 tiverem que ser iguais), qual o
preço que maximiza o lucro?
RESOLUÇÃO
Reorganizando as equações de p1 e p2, tem-se:
x1 =
40
3
− p1
3
(1.99)
x2 = 45−
p2
2
(1.100)
Somando as duas equações acima e fazendo p1 = p2 = p,
x1 + x2 =
175
3
− 5p
6
(1.101)
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(p) =
RT (p)− CT (p). Aplicando os dados do enunciado e da equação acima, tem-se:
15
L(p) = p× (40
3
− p
3
)+p× (45− p
2
)−200−10× (175
3
− 5p
6
)⇔ L(p) = 400p
6
− 5p
2
6
− 2350
6
(1.102)
Tomando a derivada de primeira ordem de L(p) em �p� e igualando a zero:
Lp(p) =
400
6
− 10p
6
= 0 (1.103)
Implicando em p = 40. Fazendo Lpp = −106 < 0 con�rma-se que p = 40 é preço que maximiza o
lucro.
18. Resolva o exercício anterior considerando as seguintes equações de demanda:
p1 = 200− x1 (1.104)
p2 = 300− 0, 5x2 (1.105)
e a função custo C = 10.000 + 80(x1 + x2).
RESOLUÇÃO
De�ne-se Lucro como a diferença entre Receita Total (RT ) e Custo Total (CT ), logo L(x1, x2) =
RT (x1, x2)− CT (x1, x2). Aplicando os dados do enunciado e reagrupando as variáveis, tem-se:
L(x1, x2) = p1 × x1 + p2 × x2 − C(x1, x2)⇔ L(x1, x2) = 120x1 − x21 + 220x2 − x22 − 10.000 (1.106)
Inicialmente, tomamos as derivadas de primeira ordem de L(x1, x2) em cada uma das variáveis e igua-
lando o resultado a zero:
Lx1(x1, x2) = 120− 2x1 = 0 (1.107)
Lx2(x1, x2) = 220− x2 = 0 (1.108)
Implicando em x1 = 60 e x2 = 220. Portanto, o ponto (60, 220) é um ponto crítico. A Hessiana
de L(60, 220) é dada pelo determinante das derivadas parciais em segunda ordem aplicadas ao ponto
crítico. Temos que Lx1x1(60, 220) = −2;Lx1x2(60, 220) = 0;Lx2x1(60, 220) = 0 e Lx2x2(60, 220) = −1.
Logo,
H(60, 220) =
∣∣∣∣Lx1x1(60, 220) Lx1x2(60, 220)Lx2x1(60, 220) Lx2x2(60, 220)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣−2 00 −1
∣∣∣∣ = 2 (1.109)
Como H(60, 220) > 0 e Lx1x1(60, 220) < 0, con�rma-se que (60, 220) é o ponto de máximo de L(x1x2).
Sendo assim, x1 = 60 e x2 = 220 são os valores que maximizam o lucro. O cálculo de p1 e p2 é efetuado
considerando as equações do enunciado, logo:
p1(x1, x2) = 200− x1 = 200− 60 = $140 (1.110)
p2(x1, x2) = 300−
x2
2
= 300− 110 = $190 (1.111)
Caso p1 = p2 = p, reorganizando x1 e x2 e somando as equações, tem-se:
x1 = 200− p1 (1.112)
16
x2 = 600− 2p2 (1.113)
x1 + x2 = 800− 3p (1.114)
Aplicando as equações acima na função Lucro, tem-se:
L(p) = p×(200−p)+p×(600−2p)−10.000−80×(800−3p)⇔ L(p) = 1.040p−3p2−74.000 (1.115)
Tomando a derivada de primeira ordem de L(p) em �p� e igualando a zero:
Lp(p) = 1.040− 6p = 0 (1.116)
Implicando em p = 5203 . Fazendo Lpp = −6 < 0 con�rma-se que p =
520
3 é preço que maximiza o lucro.
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