Aulas Vibrações (1)

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Movimentos oscilatórios 
Vibrações Mecânicas 
Podemos dizer, de forma simples e clara, que 
ocorre um movimento oscilatório quando o corpo 
executa movimentos de ida e volta em uma mesma 
posição. Alguns exemplos de movimentos 
oscilatórios: 
 
Definição 
- Quando tocamos uma corda de violão; 
 
- Os movimentos do pêndulo de um relógio 
Oscilações 
X(t)= A cos (ω.t) 
1 
X(t0)= A 
Oscilações 
Oscilações 
Oscilações 
Oscilações 
Oscilações 
Oscilações 
10 
OSCILAÇÕES 
D
is
ci
p
lin
a:
 V
ib
ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
?
?
? 
ou 
ou 
11 
OSCILAÇÕES 
Deslocamento entre as funções 
X(t); V(t) e a(t). 
D
is
ci
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a:
 V
ib
ra
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es
 
P
ro
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 E
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it
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 B
ro
n
ze
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o
 N
et
o
 
Oscilações 
No instante t=0, uma partícula que descreve um MHS 
está na posição 
3
4
𝐴, então determine sua fase inicial 
representando o ponto dado projetado no ciclo 
trigonométrico e o seu respectivo ângulo: 
 
Vamos praticar? 
Arc Cos (0,75) = 0,72 rad 
Uma partícula em movimento harmônico simples, 
com amplitude 0,5m, tem velocidade angular 
igual 
π
8
 a e fase inicial 
π
2
 , qual sua posição, 
velocidade e aceleração após 2 segundos do 
início do movimento? 
Vamos praticar? 
Uma partícula em movimento harmônico simples, 
com amplitude 0,5m, tem velocidade angular 
igual 
π
8
 a e fase inicial 
π
2
 , qual sua posição, 
velocidade e aceleração após 2 segundos do 
início do movimento? 
Resolução 
16 
RESUMO DA AULA PASSADA 
D
is
ci
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a:
 V
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ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
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it
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 B
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n
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o
 N
et
o
 
Motivação; 
 
Principais fontes de vibração; 
 
Possíveis efeitos; 
 
Controle de vibrações. 
17 
CONCEITOS BÁSICOS DE VIBRAÇÕES 
D
is
ci
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a:
 V
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çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
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n
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o
 N
et
o
 
Classificação de vibrações 
 
• Vibração livre ou forçada; 
 
• Vibração não amortecida e amortecida; 
 
• Vibração linear e não linear; 
 
• Vibração determinística e não determinística. 
18 
CONCEITOS BÁSICOS DE VIBRAÇÕES 
Graus de liberdade de um sistema 
 
D
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a:
 V
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P
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 E
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it
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n
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o
 N
et
o
 
Sistemas com um grau de liberdade 
Sistemas com dois graus de liberdade 
Sistemas com três graus de liberdade 
19 
CONCEITOS BÁSICOS DE VIBRAÇÕES 
D
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a:
 V
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P
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f.:
 E
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 B
ro
n
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o
 N
et
o
 
Sistemas discretos e contínuos 
 
20 
MOLAS 
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a:
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es
 
P
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f.:
 E
p
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 B
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o
 N
et
o
 
Lei de Hooke 
F = K . x 
21 
ELEMENTOS DE MASSA OU INÉRCIA 
D
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a:
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P
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f.:
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o
 N
et
o
 
Equivalência para um sistema massa mola 
 
22 
ASSOCIAÇÃO DE ELEMENTOS DE MASSA 
D
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 E
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 B
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 N
et
o
 
23 
MOLAS 
D
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 N
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o
 
Lei de Hooke 
Associação de molas em paralelo 
 
 
Associação de molas em série 
24 
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES 
D
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ci
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a:
 V
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P
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 E
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 B
ro
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o
 N
et
o
 
Procedimento de análise de vibrações 
 
Etapa 1: Modelagem Física: 
 
Etapa 2: Modelagem Matemática: 
 
Etapa 3: Resolução das Equações: 
 
Etapa 4: Interpretação dos resultados: 
 
25 
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES 
D
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ci
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a:
 V
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P
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 N
et
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Procedimento de análise de vibrações 
 
26 
ELEMENTOS DE MASSA OU INÉRCIA 
D
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a:
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ib
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P
ro
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 E
p
it
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io
 B
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n
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o
 N
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o
 
Equivalência para um sistema massa mola 
 
27 
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES 
D
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a:
 V
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P
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o
 N
et
o
 
Procedimento de análise de vibrações 
 
28 
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES 
D
is
ci
p
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a:
 V
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ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
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o
 N
et
o
 
Procedimento de análise de vibrações 
 
29 
ANÁLISE DE VIBRAÇÕES 
D
is
ci
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a:
 V
ib
ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
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o
 N
et
o
 
Procedimento de análise de vibrações 
 
Dimensionamento de mola 
 
30 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
is
ci
p
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a:
 V
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ra
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es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
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 B
ro
n
ze
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o
 N
et
o
 
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, 
então uma relação de igualdade (que não se reduz a 
uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é 
chamada uma equação diferencial de ordem n. 
Equação diferencial é uma equação que apresenta 
derivadas ou diferenciais de uma função 
desconhecida (a incógnita da equação). 
31 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
is
ci
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a:
 V
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ra
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es
 
P
ro
f.:
 E
p
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 B
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n
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ad
o
 N
et
o
 
• Equação Diferencial Ordinária (EDO): Envolve 
derivadas de uma função de uma só variável 
independente. 
 
• Equação Diferencial Parcial (EDP): Envolve 
derivadas parciais de uma função de mais de uma 
variável independente 
Classificação 
32 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
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ci
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a:
 V
ib
ra
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es
 
P
ro
f.:
 E
p
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io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
• Ordem: é a derivada de mais alta ordem da função 
incógnita que figura na equação, como por 
exemplo: (y")³+3y'+6y=tan(x). 
 
 
• Grau: é o valor do expoente para a derivada mais 
alta da equação, como por exemplo: 
Ay(3)+By(2)+Cy(1)=0. 
33 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
is
ci
p
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a:
 V
ib
ra
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es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
y"+3y'+6y=sen(x) 
 
(y")³+3y'+6y=tan(x) 
 
y"+3yy'=exp(x) 
 
y'=f(x,y) 
 
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 
Exemplos: 
tem ordem 2 e grau 1 
 
tem ordem 2 e grau 3 
 
tem ordem 2 e grau 1 
 
tem ordem 1 e grau 1 
 
tem ordem 1 e grau 1 
34 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
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a:
 V
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P
ro
f.:
 E
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n
ze
ad
o
 N
et
o
 
A solução de uma equação diferencial é uma função 
que não contém derivadas nem diferenciais e que 
satisfaz a equação dada. 
 
Em outras palavras é a função que, substituída na 
equação dada, a transforma em uma identidade. 
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária 
35 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
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ci
p
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a:
 V
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ra
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P
ro
f.:
 E
p
it
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io
 B
ro
n
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o
 N
et
o
 
Solução geral - apresenta n constantes independentes 
entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de 
acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, 
C2, lnC. 
 
Solução particular - Obtida da geral, mediante 
condições dadas (chamadas condições iniciais ou 
condições de contorno). 
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária 
36 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
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ci
p
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a:
 V
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ra
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es
 
P
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f.:
 E
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it
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 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
Ex: Equação diferencial : dy/dx = 3x2 - 4x + 1 
 
dy = (3x2 - 4x + 1) dx 
 
ʃdy = 3 ʃx2dx - 4 ʃxdx + ʃdx + C 
 
y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral) 
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária 
37 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
is
ci
p
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a:
 V
ib
ra
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es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
Uma solução particular pode ser obtida através da 
solução geral, por exemplo, da condição y(-1) = 3 
(condição inicial) 
 
y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral) 
 
3 = -1 - 2 - 1 + C, onde C = 7 
 
y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular) 
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária 
38 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
is
ci
p
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a:
 V
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ra
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es
 
P
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f.:
 E
p
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ác
io
 B
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n
ze
ad
o
 N
et
o
 
Dica: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser 
feita derivando a solução e, com isso, voltando à 
equação dada. 
y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral) 
 
y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular) 
 
Confirmação: 3x2 - 4x + 1 
 
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária39 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
is
ci
p
lin
a:
 V
ib
ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
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io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
FORMA : y'' + a1y' + a0y = 0 (a0, a1 constantes) 
 
 
Equações lineares homogêneas, 2ª ordem 
40 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
is
ci
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a:
 V
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ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
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io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
Equações lineares homogêneas, 2ª ordem 
41 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
D
is
ci
p
lin
a:
 V
ib
ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
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io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
Equações lineares homogêneas, 2ª ordem 
Ex: y'' - 2y' - 15y = 0 
 
Equação característica: λ2- λ 2 - 15 = 0 
 
cujas raízes são: λ 1 = 5, λ 2= -3 
 
Solução geral para números reais e distintos: 
y = C1𝑒λ1𝑥 + C2 𝑒λ2𝑥 
 
Solução Geral: y = C1𝑒5𝑥 + C2𝑒−3𝑥 
42 
VIBRAÇÕES 
D
is
ci
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a:
 V
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es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
Caracterização do Movimento Vibratório 
Equação do Movimento 
Ec + Ep = Constante 
𝑑(𝐸𝑐+𝐸𝑝)
𝑑𝑦
 = 0 
 
43 
VIBRAÇÕES 
D
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P
ro
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 B
ro
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o
 N
et
o
 
Caracterização do Movimento Vibratório 
Massa 
Coeficiente de Amortecimento 
Coeficiente de Rigidez 
f(x) na direção do mov. 
X = X(t) é o deslocamento da massa m na direção do 
movimento; 
𝑋 = 𝑋 (t) é a velocidade da massa m na direção do 
movimento; 
𝑋 = 𝑋 (t) é a aceleração da massa m na direção do 
movimento. 
 
44 
VIBRAÇÕES 
D
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ci
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a:
 V
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P
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f.:
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o
 N
et
o
 
Caracterização do Movimento Vibratório 
45 
VIBRAÇÕES 
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 V
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P
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io
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n
ze
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o
 N
et
o
 
Caracterização do Movimento Vibratório 
mλ2 + K = 0 
 
0 0 
λ2 = - 
𝐾
𝑚
 
 
λ = −
𝐾
𝑚
 
 
λ = iω, onde i= −1 
 
ω = 
𝐾
𝑚
 
 
46 
VIBRAÇÕES 
D
is
ci
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a:
 V
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ra
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P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
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o
 N
et
o
 
Determinação dos coeficientes constantes 
X(t) = C1 sem(ωt) + C2 cos(ωt); 
 
47 
VIBRAÇÕES 
D
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 V
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P
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 E
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o
 N
et
o
 
Determinação dos coeficientes constantes 
48 
VIBRAÇÕES 
D
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a:
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P
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 E
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 B
ro
n
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o
 N
et
o
 
Determinação dos coeficientes constantes 
X(t) = C1 sem(ωt) + C2 cos(ωt); 
 
49 
VIBRAÇÕES 
D
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a:
 V
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ra
çõ
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P
ro
f.:
 E
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io
 B
ro
n
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ad
o
 N
et
o
 
Determinação dos coeficientes constantes 
Tem-se que: 
50 
VIBRAÇÕES 
D
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ci
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a:
 V
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ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
Determinação dos coeficientes constantes 
51 
VIBRAÇÕES 
D
is
ci
p
lin
a:
 V
ib
ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
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io
 B
ro
n
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o
 N
et
o
 
Vamos Praticar! 
52 
VIBRAÇÕES 
D
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P
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o
 N
et
o
 
53 
AMORTECIMENTO 
D
is
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 V
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P
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f.:
 E
p
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io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
Em casos práticos, uma parcela da energia de vibração 
é convertida ou dissipada na forma de calor ou som. 
Devido a redução da energia, a resposta do sistema, 
diminui com o amortecimento tendendo a zero. 
54 
D
is
ci
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a:
 V
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P
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 E
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 B
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ze
ad
o
 N
et
o
 
TIPOS DE AMORTECIMENTO EM SISTEMAS 
MECÂNICOS 
 
 
Amortecimento de Coulomb: É o amortecimento de 
atrito seco. Surge quando a perda de energia é gerada 
pelo contato seco entre dois corpos. 
Amortecimento por Histerese: É o amortecimento 
causado pelo atrito entre os planos internos de uma 
estrutura, que escorregam à medida que o material se 
deforma. 
Amortecimento Viscoso: Ocorre quando sistemas 
mecânicos vibram em meio fluido como ar, água, gás 
ou óleo, onde a resistência oferecida faz com que a 
energia seja dissipada. 
 
55 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
D
is
ci
p
lin
a:
 V
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ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
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 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
A Lei de Coulomb para o atrito seco estabelece que 
quando dois corpos estão em contato, a força 
requerida para produzir deslizamento é proporcional 
à força normal atuante no plano do contato. 
56 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
D
is
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p
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a:
 V
ib
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çõ
es
 
P
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f.:
 E
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it
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 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
A força de atrito seco é uma força reativa, ou seja, 
surge em sentido contrário ao movimento de um 
objeto. 
57 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
D
is
ci
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a:
 V
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çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
A força de atrito deve-se à existência de rugosidades 
na superfície de contato entre objetos contrária ao 
movimento. 
58 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
D
is
ci
p
lin
a:
 V
ib
ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
O amortecimento de Coulomb é, algumas vezes, 
chamado de amortecimento constante, uma vez que 
a força de amortecimento é independente do 
deslocamento e da velocidade, dependendo somente 
da força normal atuante entre as superfícies em 
deslizamento. 
 
59 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
D
is
ci
p
lin
a:
 V
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es
 
P
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f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
 
A força de atrito F é dada por: 
 F = μN 
Onde: 
 N é a força normal 
 μ é o coeficiente de atrito. 
60 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
D
is
ci
p
lin
a:
 V
ib
ra
çõ
es
 
P
ro
f.:
 E
p
it
ác
io
 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
A figura abaixo mostra um sistema de um grau de 
liberdade com amortecimento de Coulomb 
1 
2 
61 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
D
is
ci
p
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a:
 V
ib
ra
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es
 
P
ro
f.:
 E
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ác
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 B
ro
n
ze
ad
o
 N
et
o
 
 
Primeira fase do movimento: Quando a velocidade 
tiver sentido positivo (segundo o referencial 
adotado), a força de atrito será negativa e a Segunda 
Lei de Newton aplicada resultará em: 
62 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
D
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ci
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 N
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o
 
É uma equação diferencial; linear; de segunda ordem; 
 coeficientes constantes; não homogênea. 
 
A solução geral desta equação compõe-se de duas 
partes, uma chamada homogênea, e a outra 
chamada particular, que inclui o termo do lado 
direito da equação no resultado 
 
63 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
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Solução: 
 
64 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
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Segunda fase do movimento: Quando a velocidade 
troca de sinal, a força de atrito também muda de sinal 
resultando na equação 
65 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
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Tem-se a solução análoga a anterior, apenas com o 
sinal da solução particular invertido 
66 
VIBRAÇÃO LIVRE COM 
AMORTECIMENTO DE COULOMB 
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1) Dado a equação do movimento abaixo, encontre as 
constantes A3 e A4 no instante t=0 partindo do 
repouso.