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Construção de Gráficos de Função de Duas Variáveis

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema Construção de Gráficos de Função de Duas Variáveis Unidade 2 
Disciplina (s) Cálculo Aplicado – Várias Variáveis Data da última atualização 03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conceito de função de várias variáveis e curvas de nível. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Utilize o material de apoio (E-book unidade 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Computador 1 
Geogebra 3D 1 
III. Introdução 
 
O gráfico e as curvas de níveis são duas formas de visualizar o comportamento de uma função. Se f é uma função 
de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R3 tais que z = f 
(x, y) com (x, y) ∈ D. 
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f (x, y) = k, em que k é uma 
constante (na imagem de f). 
As curvas de nível são largamente usadas na agricultura e na construção de mapas topográficos, pois são uma 
maneira muito eficiente de representar graficamente as irregularidades ou o relevo de um terreno. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Reconhecer funções de várias variáveis como ferramenta matemática para estudo de problemas aplicados. 
 Determinar e esboçar domínio e imagem de funções de várias variáveis. 
 Descrever e esboçar curvas de nível de uma função de duas variáveis. 
 Esboçar gráficos de funções de duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V. Experimento 
 
Escolha uma das funções abaixo e desenvolva todos os experimentos com a mesma função - atividade individual. 
 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 +
𝑦
4
 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 + 4𝑥 + 16𝑦 
 𝑥 + 𝑦 = 3𝑧 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥 − 𝑦 
 2𝑥 + 4𝑦 = 4𝑧 
 𝑧 = 1 − 𝑥 
 
 
 
1. Determine: 
 
1.1 O domínio da função e esboce essa região no espaço indicado a seguir. 
 
 
 
 O gráfico completo D={(x,y):R²}, pois a função abrange o 
 Plano (x,y) por inteiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Interseção com os eixos coordenados: 𝑂𝑥 (𝑦 = 0 e 𝑧 = 0), 𝑂𝑦 (𝑥 = 0 e 𝑧 = 0) e 𝑂𝑧 (𝑥 = 0 e 𝑦 = 0). 
 
 
 
𝑂𝑥: 0² = 4 + 4 X² + 16. 0² X =√−1 ∄ 
 
𝑂𝑦: 0² = 4 + 4 . 0² + 16. y² −4
16
 ∄ 
 
𝑂𝑧: Z=√4 + 4.0 + 16. 𝑦² = 2 
Oz = (2,0,0) Único ponto que intercepta 
 
 
 
 
1.3 Interseção com planos coordenados: 𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0), 𝑥𝑂𝑧 (𝑦 = 0) e 𝑦𝑂𝑧 (𝑥 = 0). 
 
 
 𝑥𝑂𝑦: 0²= 4 + 4 X² + 16y² 
 4x² = 4 + 16 y² = -4 
 
 
 𝑥𝑂𝑧: z² = 4 + 4x² 
 z² - 4x² = 4 
 
𝑦𝑂𝑧: z² = 4 + 16y² 
 z² - 16y² = 4 
 
 
 
 
1.4 Represente as curvas determinadas acima nos planos a seguir. 
 
 
 
Gráfico do plano XOZ plotado em conjunto com o gráfico da função f(x,y). O geogebra não foi capaz de tirar a 
intersecção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico do plano XOY plotado em conjunto com o gráfico da função f(x,y). 
 
 
 
 
Gráfico do plano YOZ plotado em conjunto com o gráfico da função f(x,y). 
 
 
 
1.5 Curvas de nível (𝑧 = 𝑘). Para isso, atribua 3 valores convenientes para 𝑘. Trace as curvas encontradas. 
 
 
Curva de nível com z=k, com k=3. Ou seja: z=3. 
 
 
 
 
 
Curva de nível com z=k, com k=4. Ou seja: z=4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva de nível com z=k, com k=10. Ou seja: z=10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 Esboce, no espaço abaixo, o gráfico da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
 
 
Gráfico da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
 
 
 
 
 
 
1. Esboce o gráfico da superfície no Geogebra 3D. 
 
 
 
 
 
 - Superfície projetada no plano XY 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Superfície projetada no plano XZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Superfície projetada no plano YZ 
 
 
VII. Referências 
STEWART, James. Cálculo. 6. ed. v. 1. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2009. 
HOWARD A., Anton; Irl Bivens, Stephen Davis. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 ed. v.1. Porto Alegre, RS: Bookman, 
2007. 
ARGOLLO, Roberto Max; FERREIRA, Clemiro; SAKAI, Tereza; Teoria dos Erros; 1. ed. Salvador, BA; UFBA, 1998.