A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
56 pág.
SE2-05

Pré-visualização | Página 1 de 13

Teoria de Nós
Oziride Manzoli Neto
ICMC - USP
2o Colóquio da Região Sudeste
Janeiro de 2013
Sumário
1 História da Teoria de Nós 1
2 Pré-requisitos 5
2.1 Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 O básico de Categorias e Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 O básico de Anéis de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Topologia Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 O básico de Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 O básico de Homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 O básico de Topologia Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Teoria Clássica de Nós 21
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Número de enlaçamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Outras Teorias de Nós 37
4.1 Teoria Multidimensional de Nós . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 O caso especial de S2 em S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 O círculo no plano, na esfera, no espaço projetivo e no toro . . . . . . . . 41
4.4 O Cilindro e a Faixa de Möbius em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Mergulhos de Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 RP2 não mergulha em R3 47
Referências Bibliográficas 49
iii
Capítulo 1
História da Teoria de Nós
O estudo dos nós e enlaçamentos de forma razoavelmente formalizada começa com
Gauss em 1833, veja [Gauss]. Ele e alguns de seus alunos começam estudar o assunto,
focalizando enlaçamentos, pois o interesse era o número de enlaçamentos (linking
number) de um enlaçamento (link). Seus estudos tinham como objetivo aplicações
na eletrodinâmica.
Lord Kelvin, como muitos de sua época, acreditava que os nós eram a chave para o
entendimento das substâncias químicas, que seriam descritas pelas "formas dos nós".
Tabelando-se os nós ter-se-ia uma descrição das substâncias químicas. Começa então
uma corrida para se obter tabelas de nós, nós cada vez mais complexos, isto significava,
cada vez com mais cruzamentos.
A primeira tabela de nós foi feita por T. P. [Kirkman]. P. G. [Tait] também faz uma
tabela dos nós alternados de até dez cruzamentos.
E. Rutherford e D. Mendeleev põem fim a esta animação, Rutherford cria o
modelo dos átomos, que até hoje utilizamos e a ênfase na pesquisa dos elementos
químicos muda para a Tabela Periódica organizada por Mendeleev. Praticidade para os
químicos, frustração para os matemáticos, que continuam os estudos de nós, sem mais
a esperança de que os mesmos poderiam estar descrevendo os elementos químicos.
Estudar nós torna-se então trabalho "abstrato"de matemáticos.
C. N. Little pega no pesado durante seis anos e produz tabela de 43 nós de
dez cruzamentos. Sua tabela não foi contestada por muito tempo, em 1974, Perko
descobriu que dois nós da tabela de Little eram o mesmo [Perko]. Portanto na lista de
Little só havia 42 nós diferentes. Little também fez uma tabela de nós alternados de
onze cruzamentos, eventualmente se descobriu a falta de outros onze nós. Era preciso
um pouco de ordem neste trabalho!
A Topologia começou a ser reconhecida como área distinta da Matemática no
inicio do século vinte e seu grande desenvolvimento começou na década de 1930.
Tem sido uma área de muito desenvolvimento e tem influenciado muitas outras
áreas da matemática. Ela começa em resposta a certas necessidades dentro da
Análise. É uma espécie de "geometria rústica"cujo objetivo e salientar os aspectos
qualitativos dos objetos geométricos. As idéias da Topologia tem penetrado quase
todas as áreas da matemática e na maioria dessas aplicações ela fornece ferramentas
e conceitos para provar certas proposições básicas conhecidas genericamente como
"teoremas de existência". Os primórdios das idéias topológicas podem ser encontrados
no trabalho de K. Weierstrass na década de 1860 no qual ele estuda o conceito
1
2 Capítulo 1: História da Teoria de Nós
de limite de uma função. Ele desenvolve a construção do sistema de números
reais e revela algumas de suas propriedades importantes conhecidas agora como
propriedades topológicas. Depois vem G. Cantor (1874-1895) que desenvolveu a Teoria
dos Conjuntos, garantindo os fundamentos para a Topologia.
Um segundo aspecto da Topologia, chamado combinatorial ou algébrico, foi
iniciado nos anos 1890 por H. Poincaré estudando calculo integral em dimensões
altas. O primeiro aspecto, normalmente chamado Topologia Conjuntista (point
set topology), foi fundamentada por F. Hausdorff e outros no período 1900-1910.
A compatibilização dos dois aspectos, conjuntista e combinatória, foi estabelecida
primeiro por L. E. J. Brouwer, quando o mesmo desenvolveu o conceito de dimensão
e depois, definitivamente, por J. W. Alexander, P. L. Alexandrov e S. Lefschetz no
período 1915-1930. Até este período, Topologia era conhecida por "Analisys Situs".
Foi S. Lefschetz quem primeiro a usar o nome Topologia.
Fruto do desenvolvimento da matemática em geral e da topologia em
particular, surgem os primeiros trabalhos apresentados de forma sistemático sobre
Teoria dos Nós, Teoria de Enlaçamentos e sobre os Grupos de Tranças. Veja
as referências [Dehn(1910)], [Dehn(1914)], [Alexander(1923)], [Alexander(1928)],
[Reidemeister(1926)], [Reidemeister(1926’)] e [Artin(1926)].
No inicio desta era, M. G. Haseman, listou os nós não equivalentes aos seus
espelhados (aquirais?) com doze cruzamentos [Haseman].
J. Alexander (1927) estabelece lista dos nós até oito cruzamentos, K. Reidemeister
(1932) até nove cruzamentos. J. Alexander e G.B. Briggs, usando uma forma de
apresentar os nós criada por W. Wirtinger, estabelece um procedimento muito eficiente
de distinguir nós, a idéia era calcular o que ficou chamado Polinômio de Alexander
de um nó. Polinômios diferentes, nós não equivalentes! Só em 1984 é que se criaram
outros tipos de polinômios com o mesmo objetivo.
C.D. Papakyriakopoulos e J. Conway desenvolvem métodos mais simplificados de
se calcular os Polinômios de Alexander.
Começa também o estudo de nós em dimensão mais alta, isto é, o estudo dos
mergulhos das esferas de dimensão n ≥ 2 em esferas de dimensão maior que n, veja
[Artin(1926)].
J. Conway [Conway] desenvolve nova notação para nós e com isso determina os
nós primos de até onze cruzamentos. A. Caudron(1978) repara alguns erros na lista de
Conway.
C. H. Dowker inventa uma nova forma de representar nós, baseado em idéias de
Tait. Um algoritmo é feito e implementado em computador por M. B. Thistlethwaite.
Assim obtém-se em 1981 lista de nós primos de até doze cruzamentos e em 1982 de
treze cruzamentos.
C. Ernest e D. W. Sumners, em 1987, usando resultados de L. H. Kauffman, K.
Murasugi e de Thistlethwaite avaliam que o número de nós de n cruzamentos é maior
ou igual a (2n − 2 − 1)/3. Em 1990, D. J. A. Welsh avalia que o número de nós de n
cruzamentos é menor que uma certa função de n.
Na década de 1980 bioquímicos descobriram enodamentos nas moléculas de DNA!
Surgem questões como: "Seria possível criar moléculas enodadas?"; "Enodamentos
poderiam determinar algumas das propriedades das substâncias? "Moléculas
enodadas que não são topológicamente equivalentes às espelhadas dão origem à
substâncias diferentes?".
3
Na Teoria Clássica dos Nós e Enlaçamentos surgem muitos outros invariantes com
o objetivo de distinguir suas classes, particularmente vários outros polinômios como
acima citado, veja [Kauffman(1988), Kauffman(1989)].
Trabalhos recentes mostram que este estudo tem produzido conhecimento
matemático valioso, relacionando a Teoria de Nós e Enlaçamentos com outras áreas
de conhecimento como: Teoria Topológica de Campos e Mecânica Estatística na
Física, o estudo do DNA na Biologia e o estudo