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FIS0307 - FÍSICA DAS ROTAÇÕES E OSCILAÇÕES 
Prof. Andrea Regina Zeni 
Lista 1 - Rotações 
Questões 
 
1. O vetor que representa a velocidade angular de rotação de uma roda em torno de um eixo fixo tem de estar necessariamente 
sobre este eixo? 
 
2. Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. É possível que a aceleração angular deste 
corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual 
o equivalente linear desta situação? Ilustre ambas as situações com exemplos. 
 
3. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua borda. O ponto tem aceleração radial, quando a 
roda gira com velocidade angular constante? Tem aceleração tangencial? Quando ela gira com aceleração angular constante, o 
ponto tem aceleração radial? Tem aceleração tangencial? Os módulos dessas acelerações variam com o tempo? 
 
4. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de engrenagens acopladas, de raios diferentes? (Veja a figura 
abaixo.). 
 
Problemas 
 
1. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um eixo fixo e gira 
a 2,5 14rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 20 cm de comprimento através da 
roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. 
Suponha que tanto a flecha quanto os raios sejam muito finos; veja a figura ao lado. 
Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter? (b) A localização do ponto que 
você mira, entre o eixo e a borda da roda, tem importância? Em caso afirmativo, 
qual a melhor localização? Resp. (a) 0,05 s. (b) 4 m/s. 
 
 
 
md
srad
mr
20,0
/7,15
30,0
=
=
=
ω 
O ângulo entre os aros é rad
8
2πθ = , logo: 
st
t
a
05,0
7,15
8/2
)
===
=
π
ω
θ
θω
 
A flecha não pode levar mais do que 0,05 s para 
atravessar a roda, logo: 
sm
t
d
v /4
05,0
20,0== 
 
b) Não, pois a velocidade angular é a mesma para qualquer 
ponto entre o eixo e a borda. 
 
 
 
2. O volante de um motor está girando a 25 rad/s. Quando o motor é desligado, o volante desacelera a uma taxa 
constante até parar em 20 s. Calcule (a) a aceleração angular do volante (em rad/s), (b) o ângulo percorrido (em rad) até parar e 
(c) o número de revoluções completadas pelo volante até parar. Resp. (a)1,25 rad/s2. (b) 250 rad. (c) 39,80 revoluções. 
 
3. Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com aceleração angular constante até alcançar a rotação 
de 10 rev/s. Depois de completar 60 revoluções, sua velocidade angular é 15 rev/s. Calcule (a) a aceleração angular, (b) o 
tempo necessário para completar as 60 revoluções (c) o tempo necessário para alcançar a velocidade angular de 10 rev/s e (d) 
o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de 10 rev/s. Resp. (a) 1,04 rev/s2. (b) 4,8 s. (c) 9,6 s. (d) 48 rev. 
 
4. A turbina de um motor a vapor gira com uma velocidade angular constante de 150 o rev/min. Quando o vapor é 
desligado, o atrito nos mancais e a resistência do ar param a turbina em 2,2 h. (a) Qual a aceleração angular constante da 
turbina, em rev/min2, durante a parada? (b) Quantas revoluções realiza antes de parar? (c) Qual a componente tangencial da 
aceleração linear da partícula situada a 50 cm do eixo de rotação, quando a turbina está girando a 75 rev/min? (d) Em relação à 
partícula do ítem (c), qual o módulo da aceleração linear resultante? Resp. (a) -1,136 rev/min2. (b) 9.903rev. (c) 9,91X10-4 
m/s2. (d) 30,84 m/s2. 
 
(a) Podemos usar ω=ω0+αt, desde que a aceleração angular é constante. A aceleração angular é então 
 
α ω= = − = −∆
∆t
0 150
2 2
114
 rev / min
 h)(60 min /1h)
 rev / min2
( .
. . 
 
(b) t = 2.2 h = 132 min, o número de revoluções é 
 
( )( )22 2 30 1 1(150 rev/min)(132 min) 1.14 rev/min 132min 9.9 10 rev.2 2t tθ ω α= + = + − = × 
 
(c) Com r = 500 mm, e a aceleração tangencial (ou linear) é 
 
2
24
3
23
2
2
2
/99,0
/109,9
50,01099,1
/1099,1
)60(
min1
1
2
min
14,1
,
smma
sma
a
srad
srev
radrev
onde
ra
t
t
t
t
−=
×−=
××−=
×−=
××−=
=
−
−
−α
πα
α
 
d) O módulo da aceleração resultante é 22 rt aaa +=
�
 
 
2
2
2
/31
/85,7min/75
sma
sradrev
ra
r
r
=
==
=
ω
ω
 
 
que é muito maior que at. Consequentemente, o modulo da aceleração é: 
| | .
�
a a a ar t r= + ≈ =
2 2 31 m / s2 
 
 
5. Na figura ao lado, uma roda A de raio rA = 10 cm está acoplada por uma 
correia B a uma roda C de raio rC= 25 cm. A velocidade angular da roda A é aumentada 
a partir do repouso a uma taxa constante de 1,6 rad/s2. Encontre o tempo necessário para 
a roda C atingir uma velocidade angular de 100 rev/min, supondo que a correia não 
desliza. (Sugestão: se a correia não desliza, as velocidades lineares nas duas bordas 
devem ser iguais). Resp. 16 s. 
 
 
 
6. No sistema de engrenagens, duas delas, A e B, têm raios iguais a R e 
as outra duas, C e D, raios 3R. A engrenagem A é ligada a um motor e gira 
com uma velocidade angular de 180 rpm. Determine a velocidade angular das 
engrenagens B, C e D. Resp. ωB = ωC = 60 rpm, ωD = 20 rpm. 
 
 
7. Quatro partículas de massas iguais estão ligadas por 
meio de hastes muito leves e formam um retângulo de lados 
2a e 2b. O sistema gira em torno de um eixo no plano da 
figura, passando pelo centro (Figura 1). 
(a) Calcular o momento de inércia em torno deste eixo. 
(b) Calcular I quando o eixo de rotação é paralelo ao 
primeiro mas passa por duas das massas.(Figura 2) 
Resp. (a) 4ma2. (b) 8ma2. 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
Nos dois casos podemos considerar uma distribuição discreta de massas. Neste caso, o 
momento de inércia é dado por: 
∑=
i
iirmI
2
, onde ir é a distância da massa im ao eixo de rotação. 
a) 
22222 4mamamamamaI =+++= 
222 2
2
1 ωω maIEc == 
 
b) 
222 8)2()2( maamamI =+= 
 
 
 
8. As partículas da figura ao lado estão ligados por barrotes 
muito leves cujos momentos de inércia podem ser desprezados. O 
sistema gira em torno do eixo dos y com velocidade angular de 2 
rad/s. 
(a) Determinar a velocidade linear de cada corpo e usá-la para 
calcular a energia cinética do sistema diretamente a partir de Σ mi 
v2i/2. (R = v1=v4= 80 cm/s; v2= v3= 40 cm/s; 1,12J) 
(b) Determinar o momento de inércia em torno do eixo dos y e 
calcular a energia cinética a partir de Iω2/2. (R =1,12J) 
 
 
9. Um engenheiro está projetando uma parte de uma certa 
máquina que consiste em três conectores pesados ligados por suportes 
leves. Os conectores podem ser considerados como partículas pesadas 
conectadas por hastes com massas desprezíveis. (a) Qual é o momento 
de inércia desse corpo em relação a um eixo perpendicular ao plano do 
desenho e passando no ponto A? (b) Qual é o momento de inércia em 
torno de um eixo que coincide com a haste BC? (c) Se o corpo gira em 
torno de um eixo perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com 
velocidade angular ω = 4,0 rad/s, qual é a sua energia cinética? (R. (a) 
0,057 kg.m2, (b) 0,048 kg.m2, (c) 0,46 J) 
 
 
iirmI Σ= 
 
a) 222 .057,040,020,050,010,0 mkgI =×+×= 
 
b) 22 .048,040,030,0 mkgI =×= 
 
c) 
JIE
srad
c 456,00,4057,02
1
2
1
/0,4
22 =×=
=
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcule o momento de inércia de um bastão de um metro, graduado em cm, com massa 0,56 kg, em torno de um eixo 
perpendicular ao bastão e localizado na marca de 20 cm. (Trate o bastão como uma haste fina.) Resp. 9,7X10-2 kg.m2. 
 
11. Na figura ao lado, duas partículas, cada uma com massa m = 0,85 kg, 
estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação em O, por duas hastes finas, 
cada uma com comprimento d = 5,6 cm e massa M = 1,2 kg. O conjunto gira em 
torno do eixo de rotação com velocidade angular ω = 0,30 rad/s. Medidos em 
torno de O, quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) sua energia 
cinética? Resp. (a) 0,023 kg.m2. (b) 1,03X10-3 J 
 
 
12. O bloco sólido e uniforme da figura ao lado tem massa 0,172 kg e lado 
a = 3,5 cm, b = 8,4 cm e c = 1,4 cm. Calcule seu momento de inércia em torno 
de um eixo que passa por um canto e é perpendicular às facesmaiores. Resp. 
4,7X10-4 kg.m2. 
 
 
13. Conforme mostra a figura ao lado, duas forças são aplicadas a um 
corpo que está fixado a um eixo no ponto O. Sendo r1 = 1,30 m, r2 = 2,15 m, F1 
= 4,20 N, F2 = 4,90 N, θ1 = 75,0
o, θ2 = 60,0
o, qual o torque resultante em 
relação ao eixo? (Resp. -3,8 N.m). 
 
14. A figura ao lado mostra as partículas 1 e 2, cada uma com massa m, 
presas nas extremidades de uma haste rígida de massa desprezível e 
comprimento L1+L2, com L1 = 20 cm e L2 = 80 cm. A haste é mantida 
horizontalmente no suporte e então liberada. Quais são os módulos das 
acelerações iniciais (a) da partícula 1 e (b) da partícula 2? (Resp. (a) 1,7 m/s2, 
(b) 6,9 m/s2). 
 
 
 
 
 
A força peso relacionada à massa 1 provoca um torque, dado por: 
 
)90( 011 senmgL=τ 
 
e a força peso relacionada à massa 2 provoca um torque, dado por: 
 
)90( 022 senmgL−=τ 
 
O Torque resultante é: 
 
2121 mgLmgLres −=+= τττ (1) 
 
Mas para um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo temo: 
 
ατ Ires = 
 
O momento de inércia do sistema é a soma dos momentos de inércia de cada uma das massas: 
 
)( 22
2
1 mLmLI += 
 
logo: 
 
αατ )( 22
2
1 mLmLIres +== (2) 
 
juntando (1) e (2): 
 
α)( 22
2
121 mLmLmgLmgL +=− 
 
Isolando α chega-se ao resultado. 
 
15. A Figura ao lado mostra uma polia uniforme de massa M = 2,5 kg e raio R = 20 cm, 
fixada por um eixo horizontal. Um bloco de massa m= 1,2 kg está suspenso por uma corda, de 
massa desprezível, enrolada em volta da polia. Determine a aceleração de queda do bloco 
(supondo que cai), a aceleração angular da polia e a tensão na corda. A corda não desliza e não 
há atrito no eixo da polia. (Resp. -4,8 m/s2; -24 rad/s2; 6,0 N). 
 
 
16. Um cilindro com massa de 2,0 kg pode girar em torno de seu 
eixo central através do ponto O. As forças mostradas têm os seguintes 
módulos: F1 = 6,0 N, F2 = 4,0 N, F3 = 2,0 N e F4 = 5,0 N. As 
distâncias radiais são r = 5,0 cm e R = 12 cm. Encontre (a) o módulo e 
(b) o sentido da aceleração angular do cilindro. (Durante a rotação, as 
forças mantêm seus ângulos em relação ao cilindro.) (Resp. (a) 9,7 
rad/s2, (b) anti-horário.) 
 
17. 16. Na figura, uma roda de 0,20 m de raio é montada sobre 
um eixo horizontal sem atrito. Uma corda de massa desprezível está 
enrolada em torno da roda e presa a uma caixa de 2,0 kg que escorrega 
sobre a superfície sem atrito de um plano inclinado de θ = 20º em 
relação à horizontal. A caixa escorrega para baixo a 2,0 m/s2. Qual é o 
momento de inércia da roda em torno do eixo? (Resp. 0,054 kg.m2.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima estão indicadas as forças que atuam na massa e na roda. 
 
Vamos considerar positivo os sentidos do movimento da massa e da rotação da polia. A massa possui 
movimento de translação e a polia movimento de rotação. Para a massa temos: 
 
mamgsenT
maTmgsen
maF xres
−=
=−
=
θ
θ
,
 (1) 
 
Para a polia: 
 
T T 
mgsen(θ) 
mg 
N 
2
0)90(
R
a
IT
R
a
ITRsen
Ires
=
=
= ατ
 (2) 
 
Substituindo o valor da tensão obtida acima em (1) obtém-se o momento de inércia da roda. 
 
 
 
18. Um dispositivo em forma de ioiô montado sobre um eixo horizontal sem 
atrito é usado para levantar uma caixa de 30 kg. O raio externo R do dispositivo é 
0,50 m, e o raio r do cilindro central é 0,20 m. Quando uma força horizontal Fapl 
constante de módulo igual a 140 N é aplicada a uma corda enrolada na borda do 
cilindro maior, a caixa, que está pendurada por uma corda enrolada no cilindro 
central, tem uma aceleração para cima de módulo igual a 0,80 m/s2. Qual é o 
momento de inércia do dispositivo em torno de seu eixo de rotação? (Resp. 1,6 
kg.m2). 
 
19. Este problema descreve um método experimental para determinar o 
momento de inércia de um corpo com forma irregular tal como a carga útil para um 
satélite. A Figura abaixo mostra um cilindro de massa m suspensa por uma corda que 
está enrolada ao redor de um carretel de raio r, formando parte de uma plataforma 
giratória apoiando o corpo. Quando o cilindro é solto do repouso, ele desce a uma 
distância h, adquirindo uma velocidade v. Mostre que o momento de inércia do 
equipamento (incluindo plataforma giratória) é )1/2( 22 −vghmr . 
 
 
20. Na figura (a), uma placa de plástico irregular com espessura e densidade 
(massa por unidade de volume) uniformes deve girar em torno de um eixo 
perpendicular à face da placa através do ponto O. O momento de inércia da placa 
em torno deste eixo é medido com o seguinte método: Um disco circular de massa 
0,500 kg e raio 2,0 cm é colado na placa, com seu centro alinhado com O (figura 
(b)). Um cordão é enrolado em torno da borda do disco da mesma forma que um 
cordão é enrolado em um pião. O cordão é então puxado por 5,00 s. Como 
resultado, o disco e a placa são girados por uma força constante de 0,400 N, 
aplicada pelo cordão tangencialmente na borda do disco. A velocidade angular 
resultante (ao final dos 5,00 s) é 114 rad/s. Qual é o momento de inércia da placa 
em torno do eixo? 
 
 
(Resp. 2.51 × 10-4 kg.m2) 
O sistema é a placa + o disco. O sistema tem um momento de inércia, em relação a um eixo passando 
pelo ponto O dado por: 
I = Iplaca + Idisco 
onde Idisco = ½ MR
2 = 1,0X10-4 kg.m2 
 
Quando o cordão é puxado, o sistema adquire uma aceleração angular constante (pois a força aplicada é 
constante). Usando: ω=ω0+αt , onde ω0=0, α=22,8 rad/s2. 
 
Mas se existe uma aceleração angular, é porque existe um torque resultante diferente de zero: 
 τres = I α 
F r sen(90º) = I α 
Substituindo os valores de F, r e α, encontramos: I = 3,51X10-4 kg.m2. 
 
 
21. Um conjunto de teste usado para estudar os efeitos da frenagem rápida em 
rodas metálicas de locomotiva é mostrado na figura abaixo. Durante o teste, o 
conjunto, constituído por uma roda de locomotiva A presa a um volante maciço B, 
é levado a uma velocidade angular ω0. Então, cada uma das duas sapatas de freio S 
é pressionada com a força N contra o aro da roda da locomotiva até que o conjunto 
volte ao repouso. O momento de inércia combinado do conjunto em relação ao eixo 
de rotação é I. Num conjunto de teste típico, I = 2,44 X 103 kg.m2, ω0 = 100 rad/s, 
µ = 0,10, N = 89 X 103 e r = 0,46 m. µ é o coeficiente de atrito, suposto constante. 
Determine o tempo necessário para levar a roda ao repouso. 
 
 
22. Na figura, um bloco tem massa M = 500 g, o outro tem massa m = 460 g, e a polia, que é 
montada em um eixo horizontal sem atrito, tem raio de 5,00 cm. Quando o sistema é abandonado a 
partir do repouso, o bloco de massa maior cai 75,0 cm em 5,0 s (sem que a corda deslize na borda da 
polia). (a) Qual o módulo da aceleração dos blocos? Qual a tensão na corda no trecho que suporta (b) 
o bloco de massa maior e (c) o bloco de massa menor? (d) Qual é o módulo da aceleração angular da 
polia? (e) Qual é o seu momento de inércia? (R. (a) 6,00X10-2 m/s2, (b) 4,87 N, (c) 4,54 N, (d) 1,20 
rad/s2, (e) 1,38X10-2 kg.m2. 
 
 
 
 
(a) Como a aceleração é constante, podemos usar a equação da cinemática: y at= 12
2 , então: 
a
y
t
= = = × −2 2 0 750
500
6 00 102 2
2 2( . )
( . )
. .
m
s
m / s 
 
(b) A 2a lei de Newton para o bloco mais pesado é: 
 
NagMT
MaMgT
M
M
87,4)( =−=
−=−
 
 
(c) A 2a lei de Newton para o bloco mais leve é: 
 
NagmT
mamgT
m
m
54,4)( =+=
=−
 
 
(d) O módulo da aceleração angular é: 
α = = ×
×
=
−
−
a
R
6 00 10
500 10
120
2 2
2
2.
.
. .
m / s
m
rad / s 
Note que a polia gira no sentido horário, e portanto a aceleração angular é negativa. 
 
(ε) O torque externo resultante é τext = (Tm – TM)R. Como τ=Iα: 
 
 22
2
.1038,1
2,1
1000,5)87,454,4(
mkgI ext −
−
×=
−
×−==
α
τ