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FIS0307 - FÍSICA DAS ROTAÇÕES E OSCILAÇÕES 
Prof. Andrea Regina Zeni 
Lista 1 - Rotações 
Questões 
 
1. O vetor que representa a velocidade angular de rotação de uma roda em torno de um eixo fixo tem de estar necessariamente 
sobre este eixo? 
 
2. Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. É possível que a aceleração angular deste 
corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual 
o equivalente linear desta situação? Ilustre ambas as situações com exemplos. 
 
3. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua borda. O ponto tem aceleração radial, quando a 
roda gira com velocidade angular constante? Tem aceleração tangencial? Quando ela gira com aceleração angular constante, o 
ponto tem aceleração radial? Tem aceleração tangencial? Os módulos dessas acelerações variam com o tempo? 
 
4. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de engrenagens acopladas, de raios diferentes? (Veja a figura 
abaixo.). 
 
Problemas 
 
1. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um eixo fixo e gira 
a 2,5 14rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 20 cm de comprimento através da 
roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. 
Suponha que tanto a flecha quanto os raios sejam muito finos; veja a figura ao lado. 
Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter? (b) A localização do ponto que 
você mira, entre o eixo e a borda da roda, tem importância? Em caso afirmativo, 
qual a melhor localização? Resp. (a) 0,05 s. (b) 4 m/s. 
 
 
 
md
srad
mr
20,0
/7,15
30,0
=
=
=
ω 
O ângulo entre os aros é rad
8
2πθ = , logo: 
st
t
a
05,0
7,15
8/2
)
===
=
π
ω
θ
θω
 
A flecha não pode levar mais do que 0,05 s para 
atravessar a roda, logo: 
sm
t
d
v /4
05,0
20,0== 
 
b) Não, pois a velocidade angular é a mesma para qualquer 
ponto entre o eixo e a borda. 
 
 
 
2. O volante de um motor está girando a 25 rad/s. Quando o motor é desligado, o volante desacelera a uma taxa 
constante até parar em 20 s. Calcule (a) a aceleração angular do volante (em rad/s), (b) o ângulo percorrido (em rad) até parar e 
(c) o número de revoluções completadas pelo volante até parar. Resp. (a)1,25 rad/s2. (b) 250 rad. (c) 39,80 revoluções. 
 
3. Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com aceleração angular constante até alcançar a rotação 
de 10 rev/s. Depois de completar 60 revoluções, sua velocidade angular é 15 rev/s. Calcule (a) a aceleração angular, (b) o 
tempo necessário para completar as 60 revoluções (c) o tempo necessário para alcançar a velocidade angular de 10 rev/s e (d) 
o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de 10 rev/s. Resp. (a) 1,04 rev/s2. (b) 4,8 s. (c) 9,6 s. (d) 48 rev. 
 
4. A turbina de um motor a vapor gira com uma velocidade angular constante de 150 o rev/min. Quando o vapor é 
desligado, o atrito nos mancais e a resistência do ar param a turbina em 2,2 h. (a) Qual a aceleração angular constante da 
turbina, em rev/min2, durante a parada? (b) Quantas revoluções realiza antes de parar? (c) Qual a componente tangencial da 
aceleração linear da partícula situada a 50 cm do eixo de rotação, quando a turbina está girando a 75 rev/min? (d) Em relação à 
partícula do ítem (c), qual o módulo da aceleração linear resultante? Resp. (a) -1,136 rev/min2. (b) 9.903rev. (c) 9,91X10-4 
m/s2. (d) 30,84 m/s2. 
 
(a) Podemos usar ω=ω0+αt, desde que a aceleração angular é constante. A aceleração angular é então 
 
α ω= = − = −∆
∆t
0 150
2 2
114
 rev / min
 h)(60 min /1h)
 rev / min2
( .
. . 
 
(b) t = 2.2 h = 132 min, o número de revoluções é 
 
( )( )22 2 30 1 1(150 rev/min)(132 min) 1.14 rev/min 132min 9.9 10 rev.2 2t tθ ω α= + = + − = × 
 
(c) Com r = 500 mm, e a aceleração tangencial (ou linear) é 
 
2
24
3
23
2
2
2
/99,0
/109,9
50,01099,1
/1099,1
)60(
min1
1
2
min
14,1
,
smma
sma
a
srad
srev
radrev
onde
ra
t
t
t
t
−=
×−=
××−=
×−=
××−=
=
−
−
−α
πα
α
 
d) O módulo da aceleração resultante é 22 rt aaa +=
�
 
 
2
2
2
/31
/85,7min/75
sma
sradrev
ra
r
r
=
==
=
ω
ω
 
 
que é muito maior que at. Consequentemente, o modulo da aceleração é: 
| | .
�
a a a ar t r= + ≈ =
2 2 31 m / s2 
 
 
5. Na figura ao lado, uma roda A de raio rA = 10 cm está acoplada por uma 
correia B a uma roda C de raio rC= 25 cm. A velocidade angular da roda A é aumentada 
a partir do repouso a uma taxa constante de 1,6 rad/s2. Encontre o tempo necessário para 
a roda C atingir uma velocidade angular de 100 rev/min, supondo que a correia não 
desliza. (Sugestão: se a correia não desliza, as velocidades lineares nas duas bordas 
devem ser iguais). Resp. 16 s. 
 
 
 
6. No sistema de engrenagens, duas delas, A e B, têm raios iguais a R e 
as outra duas, C e D, raios 3R. A engrenagem A é ligada a um motor e gira 
com uma velocidade angular de 180 rpm. Determine a velocidade angular das 
engrenagens B, C e D. Resp. ωB = ωC = 60 rpm, ωD = 20 rpm. 
 
 
7. Quatro partículas de massas iguais estão ligadas por 
meio de hastes muito leves e formam um retângulo de lados 
2a e 2b. O sistema gira em torno de um eixo no plano da 
figura, passando pelo centro (Figura 1). 
(a) Calcular o momento de inércia em torno deste eixo. 
(b) Calcular I quando o eixo de rotação é paralelo ao 
primeiro mas passa por duas das massas.(Figura 2) 
Resp. (a) 4ma2. (b) 8ma2. 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
Nos dois casos podemos considerar uma distribuição discreta de massas. Neste caso, o 
momento de inércia é dado por: 
∑=
i
iirmI
2
, onde ir é a distância da massa im ao eixo de rotação. 
a) 
22222 4mamamamamaI =+++= 
222 2
2
1 ωω maIEc == 
 
b) 
222 8)2()2( maamamI =+= 
 
 
 
8. As partículas da figura ao lado estão ligados por barrotes 
muito leves cujos momentos de inércia podem ser desprezados. O 
sistema gira em torno do eixo dos y com velocidade angular de 2 
rad/s. 
(a) Determinar a velocidade linear de cada corpo e usá-la para 
calcular a energia cinética do sistema diretamente a partir de Σ mi 
v2i/2. (R = v1=v4= 80 cm/s; v2= v3= 40 cm/s; 1,12J) 
(b) Determinar o momento de inércia em torno do eixo dos y e 
calcular a energia cinética a partir de Iω2/2. (R =1,12J) 
 
 
9. Um engenheiro está projetando uma parte de uma certa 
máquina que consiste em três conectores pesados ligados por suportes 
leves. Os conectores podem ser considerados como partículas pesadas 
conectadas por hastes com massas desprezíveis. (a) Qual é o momento 
de inércia desse corpo em relação a um eixo perpendicular ao plano do 
desenho e passando no ponto A? (b) Qual é o momento de inércia em 
torno de um eixo que coincide com a haste BC? (c) Se o corpo gira em 
torno de um eixo perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com 
velocidade angular ω = 4,0 rad/s, qual é a sua energia cinética? (R. (a) 
0,057 kg.m2, (b) 0,048 kg.m2, (c) 0,46 J) 
 
 
iirmI Σ= 
 
a) 222 .057,040,020,050,010,0 mkgI =×+×= 
 
b) 22 .048,040,030,0 mkgI =×= 
 
c) 
JIE
srad
c 456,00,4057,02
1
2
1
/0,4
22 =×=
=
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcule o momento de inércia de um bastão de um metro, graduado em cm, com massa 0,56 kg, em torno de um eixo 
perpendicular ao bastão e localizado na marca de 20 cm. (Trate o bastão como uma haste fina.) Resp. 9,7X10-2 kg.m2. 
 
11. Na figura ao lado, duas partículas, cada uma com massa m = 0,85 kg, 
estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação em O, por duas hastes finas, 
cada uma com comprimento d = 5,6 cm e massa M = 1,2 kg. O conjunto gira em 
torno do eixo de rotação com velocidade angular ω = 0,30 rad/s. Medidos em 
torno de O, quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) sua energia 
cinética? Resp. (a) 0,023 kg.m2. (b) 1,03X10-3 J 
 
 
12. O bloco sólido e uniforme da figura ao lado tem massa 0,172 kg e lado 
a = 3,5 cm, b = 8,4 cm e c = 1,4 cm. Calcule seu momento de inércia em torno 
de um eixo que passa por um canto e é perpendicular às faces

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