FolhasApoioEB1_Unidade1-2

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ESTRUTURAS DE BETÃO I 
 
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenação: José Noronha da Camara 
 
 
Ano Lectivo 2014/2015
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Estas folhas de apoio às aulas têm como objectivo facilitar o seu 
acompanhamento e correspondem, em geral, à sequência e organização da 
exposição incluindo, ainda, a resolução de problemas. São apontamentos de síntese 
que não dispensam a consulta de restantes apontamentos da disciplina e da 
bibliografia proposta, onde deve ser realçado o recente livro sobre Estruturas de Betão 
da autoria do Prof. Júlio Appleton. 
 
Estes apontamentos resultaram da experiência de ensino e de textos anteriores da 
disciplina para os quais contribuíram os docentes que têm vindo a leccionar o Betão 
Estrutural, sob a orientação do Prof. Júlio Appleton, que foi, nesta escola, nos últimos 
30 anos e até ao ano lectivo 2010/2011, o responsável por esta área da engenharia de 
estruturas. 
 
Durante o ano lectivo 2003/2004 o Prof. Júlio Appleton com a Engª Carla Marchão, 
organizaram a 1ª versão destas folhas de apoio às aulas. A estas foram sendo 
introduzidas várias contribuições, mais directamente, dos Profs. José Camara, António 
Costa, João Almeida e Sérgio Cruz. 
 
Deve-se realçar que o essencial do ensino do betão estrutural é a transmissão do 
conhecimento sobre as características do comportamento estrutural e 
fundamentação dos modelos de cálculo, aspectos que se repercutem depois, 
naturalmente, nas prescrições normativas, com algumas variações. 
 
Ao longo destes últimos anos têm sido referidas na disciplina, em geral, as normas 
europeias (Eurocódigos), já aprovados na versão definitiva (EN). Refira-se que, no 
entanto, não houve ainda uma aprovação formal, sendo possível utilizar, no âmbito 
profissional, em alternativa, a regulamentação nacional (REBAP – Regulamento de 
Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado) ou a regulamentação europeia 
(Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão). 
 
Refira-se que, sendo esta disciplina integrada na área da engenharia de estruturas, 
é fundamental que os alunos tenham uma boa percepção do comportamento das 
estruturas, em geral, e, de uma forma “quase imediata”, das estruturas isostáticas. As 
matérias tratadas na Resistência dos Materiais, referentes ao comportamento de 
peças lineares em tracção, flexão, esforço transverso, torção e em zonas onde a 
hipótese de Bernoulli não é válida (Princípio de Saint-Venant), por exemplo, junto dos 
apoios de vigas e/ou de zonas de actuação de cargas concentradas) são uma base 
 
 
 
 
 
fundamental. É também importante relembrar o comportamento elástico-plástico das 
estruturas, para se poder compreender a influência das características do 
comportamento não linear dos materiais na resposta das estruturas. Este aspecto é 
particularmente importante para os elementos de betão estrutural e, 
consequentemente para o estudo das Estruturas de Betão. 
 
Também os Teoremas Limite da Teoria da Plasticidade, Estático e Cinemático, que na 
versão curricular actual são apresentados na disciplina de Estruturas Metálicas, são 
fundamentais (principalmente o Estático) para a boa compreensão das metodologias 
de dimensionamento e verificação da segurança das estruturas e, em particular das 
Estruturas de Betão. 
 
Finalmente refira-se que no ano lectivo 2014/2015 os docentes que acompanharão a 
disciplina são: 
 
 José N. da Camara (Coordenador da disciplina) 
 Eduardo Júlio 
 João F. de Almeida 
 António Costa 
 Rui Rodrigues 
 
 IST, Setembro de 2014 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
1 INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO DO BETÃO ESTRUTURAL 1 
1.1. Elemento de betão sem inclusão de armaduras 1 
1.2. Elemento de betão armado 4 
1.2.1 Cálculo das tensões numa secção após fendilhação 5 
1.2.2 Cálculo do momento de cedência da secção 9 
1.3. Diferença do comportamento secção/estrutura 10 
2 CONCEITO DE SEGURANÇA NO DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS 12 
2.1 Objectivos de segurança na engenharia estrutural em geral 12 
2.2 Filosofia adoptada na verificação da segurança em relação aos Estados Limites Últimos 
 14 
2.3 Filosofia adoptada na verificação da segurança em relação aos Estados Limites de 
Utilização 16 
3 MATERIAIS 24 
3.1 Caracterização dos betões 24 
3.1.1 Tensões de rotura do betão 25 
3.1.2 Módulo de elasticidade do betão 25 
3.1.3 Valor característico da tensão de rotura do betão à compressão fc 25 
3.2 Caracterização das armaduras 26 
3.2.1 Classificação das armaduras para betão armado 26 
4 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA À ROTURA POR FLEXÃO 28 
4.1 Relações tensão-extensão dos materiais para verificação da segurança aos E.L. Últimos 
 28 
4.1.1 Betão 28 
4.1.2 AÇO 29 
4.2 Análise da secção. Método Geral 30 
4.3 Método do diagrama rectangular 31 
4.3.1 Cálculo de MRD 31 
4.4 Resistência à flexão simples com o aumento de armaduras 39 
4.5 Dimensionamento à Flexão Simples – Grandezas Adimensionais 41 
4.5.1 Método Geral 41 
4.5.1.1 Grandezas adimensionais 42 
4.5.2 Método do Diagrama Rectangular Simplificado 43 
4.5.2.1 Grandezas adimensionais 43 
4.5.3 Utilização de Tabelas 44 
4.5.3.1 Determinação da capacidade resistente (Análise) 44 
4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras 44 
4.6 Estimativa do Momento Resistente 46 
4.7 Parâmetros que influenciam o valor do Momento Resistente 48 
4.8 Dimensionamento de secções com outras formas 49 
 
 
 
 
 
4.8.1 Largura efectiva de uma secção em T 49 
4.8.1.1 Avaliação da largura efectiva 50 
4.8.2 Dimensionamento de secções em “T” por tabelas 51 
4.8.3 Simplificação de secções para efeitos de dimensionamento à flexão simples 53 
5 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS GERAIS 57 
5.1 Recobrimento das armaduras 58 
5.2 Distância livre entre armaduras (s) 58 
5.3 Agrupamentos de armaduras 59 
5.4 Dobragem de varões 60 
5.5 Posicionamento das armaduras 61 
5.6 Princípios a ter em atenção na pormenorização das armaduras 61 
5.7 Disposições construtivas em vigas – Armaduras longitudinais de flexão 62 
5.7.1 Quantidades mínima e máxima de armadura 62 
5.7.2 Armadura longitudinal superior nos apoios de extremidade 62 
6 INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO NÃO LINEAR DE ESTRUTURAS DE BETÃO 
 64 
6.1 Análise Elástica seguida de Redistribuição de Esforços 65 
6.2 Aplicação directa do cálculo plástico (Teorema estático) 68 
6.3 Exemplos de Aplicação Prática da Não Linearidade na Verificação da Segurança das 
Estruturas 69 
7 ESFORÇO TRANSVERSO E TORÇÃO 73 
7.1 Comportamento elástico e modelo de comportamento na rotura ao Esforço Transverso 73 
7.2 Possíveis modos de rotura e verificações de segurança correspondentes 81 
7.3 Influência do esforço transverso nas compressões e tracções da flexão 87 
7.3.1 Rotura por arrancamento da armadura longitudinal no apoio de extremidade 88 
7.3.2 Armadura longitudinal no vão 89 
7.3.3 Apoio de continuidade 90 
7.4 Disposições das armaduras transversais 91 
7.5 Espaçamento entre estribos e sua pormenorização 91 
7.6 Amarração de Armaduras 96 
7.6.1 Comprimento de amarração 96 
7.6.2 Comprimento de emenda 99 
7.7 Armadura de Ligação Banzo-Alma 111 
7.8 Armadura de suspensão 113 
7.8.1 Carga distribuída aplicada na parte inferior da viga 113 
7.8.2 Apoios indirectos 114 
7.9 Transmissão de Cargas concentradas próximas dos apoios 121 
7.10 Armadura Inclinada 125 
7.11 Secções com Largura Variável 126 
7.12 Forças de Desvio 126 
7.13 Torção 128 
 
 
 
 
 
7.13.1 Torção de equilíbrio 128 
7.13.2 Torção de compatibilidade 1297.13.3 Torção analisada como esforço transverso 130 
7.13.4 Dimensionamento das paredes sujeitas a um esforço transverso 133 
7.14 Efeito conjunto Torção / Esforço Transverso 137 
7.15 Disposições construtivas relativas a armaduras de torção 137 
7.15.1 Armadura transversal 137 
7.15.2 Armadura longitudinal 138 
7.16 Dimensionamento Conjunto da Secção 138 
8 DURABILIDADE DE ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇADO 143 
8.1 Introdução 143 
8.2 Mecanismos de Deterioração 144 
8.2.1 Deterioração por Corrosão das Armaduras 144 
8.3 Deterioração do betão 152 
8.4 Ambiente de Exposição 156 
8.5 Período de Iniciação e Período de Propagação 159 
8.6 - Metodologia para a Garantia da Durabilidade 161 
8.7 Outros aspectos importantes para a garantia da durabilidade das construções 165 
8.8 Manutenção, Inspecções e Eventuais Reforços 167 
9 VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO (ESTADOS LIMITES DE 
UTILIZAÇÃO – SLS) 169 
9.1 Introdução 169 
9.2 Verificação aos Estados Limites de Utilização 169 
9.3 Acções 169 
9.4 Materiais 170 
9.4.1 Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de 
utilização 170 
9.4.2 Efeitos diferidos no tempo do betão 172 
9.4.2.1 Fluência 173 
9.4.2.2 Retracção 175 
9.5 Estado Limite de Abertura de Fendas 177 
9.5.1 Mecanismo da fendilhação E ABERTURA DE FENDAS 177 
9.6 Cálculo de tensões com base na secção fendilhada e sua limitação 189 
9.6.1 Limitação das tensões em serviço 190 
9.7 Armadura mínima 194 
9.7.1 Tracção 194 
9.7.2 Flexão 196 
9.8 Limites admissíveis de fendilhação relativos ao aspecto e à durabilidade 205 
9.9 Controlo da fendilhação sem cálculo directo (EC2) 205 
9.10 Estado Limite de Deformação 208 
9.10.1 Limites de Deformação 208 
 
 
 
 
 
9.10.2 - Questões na Avaliação e na Limitação da deformação 209 
9.10.3 - Avaliação directa da deformação 214 
9.10.3.1 - Cálculo da curvatura em estado I 214 
9.10.3.2 - Cálculo da curvatura em estado II 215 
9.10.4 Cálculo das deformações 216 
9.10.4.1 Método Bilinear 217 
10 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE 
ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO DESPREZÁVEL 225 
10.1 Flexão Composta e Desviada 225 
10.2 Resistência à flexão composta 225 
10.2.1 Diagramas de deformações na rotura 225 
10.2.2 Determinação dos esforços resistentes 226 
10.3 Flexão Desviada 230 
10.3.1 Rotura convencional 231 
10.3.2 Determinação dos esforços resistentes 231 
10.4 Disposições construtivas de pilares 234 
10.4.1 Armadura longitudinal 234 
10.4.2 Armadura longitudinal 235 
10.4.3 Armadura transversal 235 
11 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE 
ÚLTIMOS 243 
11.1 Comportamento de elementos esbeltos 243 
11.2 Esbelteza 243 
11.3 Imperfeições geométricas 244 
11.3.1 Excentricidade inicial 245 
11.4 Importância dos Efeitos de 2ª ordem e tipos de rotura associados 246 
11.5 Consideração dos efeitos de 2ª ordem 248 
11.5.1 Métodos de análise simplificados 249 
11.5.2 Método da curvatura nominal 251 
11.5.3 Método da rigidez nominal 257 
11.6 Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura 258 
12 ESTRUTURAS EM PÓRTICO 268 
12.1 Classificação das estruturas 268 
12.2 Comprimento de encurvadura 269 
12.3 Efeitos das imperfeições geométricas em estruturas porticadas ou mistas 271 
12.4 Efeitos de segunda ordem em pórticos 271 
12.4.1 Verificação da segurança de pórticos contraventados 272 
12.4.2 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados 273 
Bibliografia de referência 281 
Estruturas de Betão I 
 1 
1 Introdução ao Comportamento do Betão Estrutural 
Nesta introdução ao comportamento do betão armado resume-se de uma forma 
simplificada, mas muito abrangente, as principais características do seu 
funcionamento em flexão. É importante que, desde logo, se compreenda o essencial 
das características da resposta do betão estrutural e se as enquadre na base do 
aprendido anteriormente no curso, em particular, na disciplina de Resistência de 
Materiais. 
Iremos começar por discutir o comportamento de uma peça de betão simples e, depois 
introduzir as armaduras em aço, que vêm dar conteúdo e eficiência a este material 
compósito que, durante o Seculo XX e até à actualidade, tem sido o responsável pelo 
desenvolvimento das infra-estruturas que sustentam todo o nosso modo de 
organização da sociedade. 
Comecemos por referir algumas notações correntes na engenharia de estruturas, em 
geral, e no betão estrutural, em particular, que são internacionalmente aceites. 
Notações: 
f – resistência do material 
fc – tensão de rotura do betão à compressão 
fck – tensão característica de rotura do betão à compressão 
fct – tensão de rotura do betão à tracção 
Ec – módulo de elasticidade do betão 
fy – tensão de cedência do aço 
fyk– tensão característica de cedência do aço 
fu – tensão de rotura do aço 
Es – módulo de elasticidade do aço 
1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS 
Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os 
diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a 
meio vão. 
Estruturas de Betão I 
 2 
(+)
DEV
DMF
P/2
(+)
(-)
5.00
P/2
P
0.50
0.20
P/2
P/2
PL/4
 
Como se sabe, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando, na hipótese de 
comportamento elástico, esta secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões 
normais: 
M
2
G
h/2
h/2
y 1
 
Tensões:  = 
 M  y 
 Ic 
 ; máx = 
 M 
 Wc 
 
em que Wc = 
 I 
 ymáx 
 (módulo de flexão) 
Para uma secção rectangular, Wc = 
 b h
3
 
 12 
  
 2 
 h 
 = 
 b h
2
 
 6 
 
Para um determinado nível de carga P ocorrerá uma fenda, com início na região mais 
traccionada da peça, ou seja na parte inferior da secção de meio vão (por ser a secção 
submetida a um momento flector maior) e, na sequência, a rotura da viga. De facto, a 
partir do início da formação da fenda deixa de ser possível existir uma distribuição de 
tensões na secção que equilibre o momento aplicado. 
 
Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e carga-
deslocamento que ilustram o comportamento desta viga, desde o início do 
carregamento até à rotura, verificando-se que esta é frágil. 
Estruturas de Betão I 
 3 
M
1/ R
EI (rigidez de flexão)
P

a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento
 
Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão: 


fc
fct (2 a 5 MPa)
(20 a 80 MPa)
3.5‰
Ec (30GPa)
 
 
Índice c – “concrete” 
 
fc – tensão de rotura do betão à compressão 
fct – tensão de rotura do betão à tracção 
Ec – módulo de elasticidade do betão 
Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um 
material que possui um bom comportamento e resistência à compressão, com uma 
resposta “quase linear” para níveis de tensões baixos a médios, e uma baixa 
resistência à tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão). Esta 
última característica é responsável pela rotura do betão simples, como ilustrado no 
exemplo anterior, e pela formação de fendas no betão armado, como se irá estudar na 
disciplina. 
Cálculo do momento de fendilhação 
Admita-se que: fct = 2.0 MPa 
E, como, 
 = 
 M 
 Wc
 = 
 M  v 
 Ic 
 e Wc = 
 bh2 
 6 
 (para uma secção rectangular) 
O momento de fendilhação pode ser avaliado pela expressão: 
Mcr = fctWc = 2  10
3 
 0.20  0.502 
 6 
 = 16.7 kNm 
A carga P, que está associada ao momentode fendilhação, pode ser estimada, para 
aquela estrutura e carregamento, através da seguinte relação: 
Mcr = 
 PL 
 4 
  P = 
 4Mcr 
 L 
 = 
 4  16.7 
 5 
 = 13.4 kN 
Estruturas de Betão I 
 4 
Conclusão: Uma viga de betão simples não explora, minimamente, a capacidade 
resistente do material em compressão, pois a máxima tensão que se 
pode mobilizar é igual, ou da mesma ordem de grandeza, da resistência à 
tracção. O comportamento fica, assim, associado a uma baixa 
capacidade de carga, condicionada pelo aparecimento de uma fenda, e, 
na sequência, uma rotura frágil. 
Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é 
necessário, ou seja, nas zonas traccionadas das peças. Ao se adoptar aí 
armaduras de aço explora-se muito melhor a capacidade resistente do 
elemento de betão, pois passa a haver a possibilidade de equilibrar 
compressões mais elevadas no betão através das tracções que passam a 
se poder mobilizar nas armaduras. Além disso, por via da ductilidade 
associada ao aço, temos também um comportamento dúctil na rotura. 
Tem-se, assim, o Betão Estrutural (betão + armaduras de aço). 
Esta análise realizada para um elemento de betão simples submetido à flexão 
pode, e deve, ser equacionada, pelos alunos, para a situação mais simples da 
Resistência dos Materiais que é a de um tirante (esforço axial simples). 
1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO 
Analisemos, então as principais características do comportamento do betão armado 
resultante da introdução das armaduras de aço nas peças de betão. 
O aço é um material dúctil com uma boa resistência à tracção, mas também à 
compressão (ver figura seguinte). Por outro lado, a sua disposição em varões permite 
um bom envolvimento pelo betão e, consequentemente, condições para uma boa 
aderência entre os materiais. 
2.5 a 10%
Es (200GPa)
(200 a 800 MPa)

fu

fy
fy
 
 
 
Índice y – “yeld” (cedência) 
 
fy
+ 
 fy
- 
Com a introdução destas armaduras no betão obtém-se um comportamento conjunto 
com boa ligação e extremamente eficiente em termos da resposta estrutural. De facto, 
Estruturas de Betão I 
 5 
com o aparecimento de fendas nalgumas secções de betão, as tracções passam, no 
essencial, para as armaduras, o que permite garantir o equilíbrio da secção para um 
nível de cargas muito superior. Este aspecto será, desde já, clarificado no parágrafo 
1.3. 
Entretanto, é importante desde já percepcionar as características globais da resposta, 
que é claramente não linear, de um elemento de betão armado. Nas figuras seguintes 
podem observar-se diagramas tipo, de momentos-curvaturas médias e carga-
deslocamento, respectivamente, para elementos e estruturas de betão armado, desde 
o início do carregamento até à rotura. Verifica-se que, com o início das fendas (1), há 
alguma perda de rigidez mas que a capacidade resistente máxima só se atinge para 
cargas superiores depois de verificada a cedência das armaduras (2) e explorada, 
depois, a ductilidade (3). A cedência da armadura corresponde a se atingir o 
momento de cedência da secção, sendo que, a partir daí, o momento na secção só 
pode aumentar devido a um incremento residual da tensão do aço entre o valor de 
cedência e o último, ou um ligeiro aumento do braço devido a uma acomodação das 
compressões mais junto às fibras extremas da secção. Entretanto o elemento de betão 
armado pode continuar a aumentar a curvatura, com um comportamento característico 
de um material dúctil. 
Ao longo desta disciplina analisar-se-ão estas características do comportamento e o 
seu enquadramento nas disposições regulamentares para assegurar os níveis de 
segurança e de qualidade de comportamento necessários. 
(1)
(2) (3)
b) Diagrama carga-deslocamentoa) Diagrama momento-curvatura

PM
R/1
I
II
(1)
(2) (3)
(1) - fendilhação do betão
(2) - cedência das armaduras
(3) - rotura
 
 
1.2.1 CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO 
Na sequência, analisa-se, primeiro, um conceito importante no betão estrutural que é o 
de que as quantidades de aço devem assegurar, pelo menos, a substituição das 
tracções que se libertam a quando da abertura de uma fenda, e depois, a avaliação 
de tensões numa secção fendilhada. Também nesta análise é importante que o 
aluno faça o paralelo com a situação equivalente da tracção simples. 
Estruturas de Betão I 
 6 
Para se compreender estes aspectos do comportamento comecemos por analisar a 
resposta à flexão de uma secção de betão armado, tomando-se o exemplo seguinte: 
0.20
0.50
d
 
Admita-se: 
As = 10.0 cm
2
 
d = 0.45 m (altura útil da armadura) 
Ec = 30 GPa 
Es = 200 GPa 
 
(i) Avaliação simplificada da quantidade de armadura mínima necessária para 
substituir o papel das tracções no betão quando se forma uma fenda (Análise em 
Estado não fendilhado - Estado I – desprezando as armaduras, como é 
razoável, em geral, em termos práticos) 
A força de tracção disponibilizada pelas armaduras deve ser superior à força de 
tracção no betão que se liberta quando se forma a fenda, tal que, de uma forma 
simplificada (admitindo fct = 2MPa e fy = 400 MPa): 

fct
h/2
b
Fct
Fc
 
(antes de fendilhar) 
 
Fs Fct As, min fy b  
h
2
  
1
2
 fct 
 As, min 0.2  
 0.5 
 4 
  210
3
 
1
 40010
3  10
4
 = 1.25 cm
2
 
 
(Refira-se que no exemplo apresentado a armadura admitida é 
superior a este valor, pois: As = 10cm
2
>> 1.25cm
2
) 
Vejamos, agora, a avaliação da distribuição de tensões numa secção fendilhada 
(denominada por Estado II) de acordo com as hipóteses usualmente admitidas. 
(ii) Cálculo do estado de tensão nas secções, após a fendilhação do betão 
Hipóteses consideradas para o denominado Estado II 
  O betão não resiste à tracção 
  As secções mantêm-se planas após a fendilhação 
Estruturas de Betão I 
 7 
c
LN
c
(-)
(+)
s s (Fs)
(Fc)
b
x
d
z Mcr
 
Cálculo da posição da linha neutra 
Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada, 
x = 
Ai xi 
 Ai
 = 
 bx  x/2 + As Es/Ec d 
 bx + As Es/Ec 
 x 



bx + As 
 Es 
 Ec 
 = bx  
 x 
 2 
 + As 
 Es 
 Ec 
  d  
 bx2 + As 
 Es 
 Ec 
  x = 
 bx2 
 2 
 + As 
 Es 
 Ec 
  d 
bx2
2
 = As 
 Es 
 Ec 
 (d - x) 
(equação que traduz a igualdade de momentos estáticos) 
Para a secção em estudo, 
 0.2x2 
 2 
 = 1010-4 x 
 200 
 30 
 (0.45 - x)  0.1x2 + 6.6710-3x - 0.03 = 0  x = 0.143 m 
z (braço das forças resultantes) = d - 
 x 
 3 
 = 0.45 - 
 0.143 
 3 
 = 0.40 m 
 
Avaliemos, agora para o momento de fendilhação, anteriormente estimado (parágrafo 
1.1) a distribuição de tensões na secção, após fendilhação: 
 
Cálculo da tensão no betão (c) 
Por equilíbrio: Mcr = Fs z = Fc z =16.7 kNm  Fc = 
 Mcr 
 z 
 = 
 16.7 
 0.40 
 = 41.8 kN 
Fc = 
 c x  b 
 2 
 c = 
 2Fc 
 bx 
 = 
 2  41.8 
 0.20  0.143 
 = 2923 kN/m2 2.9 MPa 
 
Cálculo da tensão nas armaduras (s) 
Fs = s Ass = 
 Fs 
 As 
 = 
 41.8 
 10  10-4 
 = 41800 kN/m2 = 41.8 MPa 
 
Estruturas de Betão I 
 8 
Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (c e s) 
 = E 



c = 
 c 
 Ec 
 = 
 2923 
 30106 
 = 0.09710-3 0.1‰
s = 
 s 
 Es 
 = 
 41800 
 200106 
 = 0.2‰ 
 
ou
 c 
 s 
 = 
 x 
 d - x 
 s = 
 d - x 
 x 
 c= 
 0.45 - 0.143 
 0.143 
  0.09710-3 = 0.2‰ 
M = 16.7 kNm
0.143
 [MPa]
-2.9s = 0.2‰
(+)
(-)
c = 0.1‰
LN

41.8
 
 
Verifica-se que, para a quantidade de armadura da secção (10 cm2), bastante superior 
à mínima estimada (1.25cm2), o nível de tensões nas armaduras (41.8 MPa), depois 
de se formar a fenda, é muito inferior ao da cedência característica (400MPa), ou seja, 
há, neste caso uma reserva muito grande até se atingir a cedência. 
Avaliemos agora, para este exemplo, as curvaturas das secções depois e antes da 
fendilhação. 
 
Cálculo da curvatura em Estado II 
 1 
 R 
 = 
c + s 
 d 
 = 
 0.110-3 + 0.210-3 
 0.45 
 = 6.6710-4 m-1 
 
Curvatura em Estado I, sem considerar as armaduras: 
M = 16.7 kNm
[MPa]
(+)
(-)
c
c

2.0
2.0
 
 
c = 
 c 
 Ec 
 = 
 2.0 
 30103 
 = 6.6710-5 
 
1
R
 = 
2  6.6710-5
 0.5 
 =2.6710-4 m-1 
Estruturas de Betão I 
 9 
Verifica-se, assim, que, para esta secção e com esta armadura, se verifica uma perda 
de rigidez considerável quando se perde a participação do betão traccionado, de: 
 1/RII 
 1/RI 
  2.5. Refira-se que este valor seria maior ou menor consoante a quantidade de 
armadura adoptada fosse, respectivamente, inferior ou superior aos 10 cm2 
considerados. 
Estas curvaturas podem ser directamente calculadas dividindo o momento pelas 
rigidezes homogeneizadas, se for o caso, nos referidos Estados I e II, tal que: 
Estado I sem considerar as armaduras: 
1
Rc
 = 
M
Ec Ic
 
Estado I com consideração das armaduras: 
1
R
 = 
M
Ec I
 
Estado II: 
1
R
 = 
M
Ec I
 
M
R/1
I
II
Ec I
Ec I
Ec I
 
Ic, I e I, são, respectivamente, a inércia de secção só de betão, de betão e armaduras 
homogeneizada no betão em situação não fendilhada (valor de I  Ic) e fendilhada (I) 
sem considerar o betão à tracção. 
1.2.2 CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO 
Em estado II (secção fendilhada sem participação de betão à tracção) a linha neutra e 
a rigidez da secção é única, como avaliada anteriormente. Assim, a um acréscimo do 
momento flector irá somente corresponder um aumento de curvatura com 
consequente aumento de tensões, i.e., com o braço entre as resultantes das forças de 
compressão e tracção a se manter constante. 
M
s1s
(+)
(-)
c1
LN
c
M1 M2 M1
c2
s2
 
Estruturas de Betão I 
 10 
A continuação da aplicação do momento M conduz, portanto, ao aumento das tensões 
nas fibras, proporcionalmente ao momento. No entanto, para níveis superiores de 
carga, pode o betão entrar numa região de comportamento com alguma não 
linearidade. 
M1z1
Fc
Fs1
c1
LN
M2z2
Fs2
Fc
c2
LN
M1  M2
 
A variação do braço é, no entanto, pouco significativa (z1  z2), pelo que a avaliação do 
momento de cedência se pode fazer tomando para a força F a força correspondente à 
cedência das armaduras, tal que: 
My  z  Fy com Fy = Asfsy 
Em que z é o braço atrás determinado. 
 
Cálculo do momento de cedência da secção 
s = fy = 400 MPa  Fy = 400  10
3  10  10-4 = 400 kN 
z = 0.40m  My = 0.4  400 = 160 kNm 
Verifica-se que, para esta secção, a diferença entre os momentos de fendilhação e de 
cedência é significativa, de 16.7 kNm para 160 kNm, o que mostra bem o papel das 
armaduras. 
1.3. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO/ESTRUTURA 
As estruturas são compostas por inúmeras secções sendo que só algumas fendilham. 
Nestas secções há uma perda brusca de rigidez (aumento de deformação 
significativo), como mostra o gráfico a), corresponde à passagem do Estado I ao II. No 
entanto, considerando o comportamento médio de um elemento estrutural (como o 
representado na direita da figura), vai-se verificar uma diminuição mais gradual da 
rigidez média (gráfico b)). A razão é simples: em termos médios teremos secções 
efectivamente fendilhadas, mas entre estas haverá outras com o betão traccionado, 
portanto menos deformáveis. 
Estruturas de Betão I 
 11 
a) Secção
II
I
b) Elemento
M
R/1
Mcr
I
II

My
(1)
(2) (3)
Mcr
My
(1)
(2) (3)
 
MM
R
 
Este efeito de atenuação da importância da perda de rigidez, a quando da fendilhação, 
é ainda mais notório, quando se analisa a resposta da estrutura no seu conjunto. De 
facto, ao nível da deformação global da estrutura, não se chega a notar um aumento 
pontual da deformação. Verifica-se, isso sim, uma diminuição da rigidez para cargas 
superiores ás do início do processo de formação de fendas (zona do diagrama carga-
deslocamento de (1) para (2)) – ver figura seguinte. Nesta relação, a perda de rigidez 
por abertura de fendas numa ou noutra secção, dilui-se em termos da resposta global, 
mas, mesmo assim, com implicações na deformação da viga. 
 

P
(1)
(2) (3)
 
Para níveis de carga superiores a zona da viga passível de ter fendas é aquela em 
que os esforços sejam superiores aos de início da fendilhação, como se mostra na 
figura seguinte. 
DMF
Mmáx
P
Região onde ocorre 
fendilhação para Pmáx
Mcr
 
Refira-se que, como referido anteriormente, à medida que se verifica o incremento de 
carga as tensões nos materiais aumentam até que se atinge, em princípio na secção 
mais esforçada, a cedência do aço, ou seja o momento de cedência - (ponto (2) dos 
Estruturas de Betão I 
 12 
diagramas). Este nível de carga corresponde, “grosso modo”, à capacidade máxima da 
secção, verificando-se, a partir daí, só um ligeiro aumento até ao momento último, 
associado a um grande aumento de deformações. É a zona de comportamento 
associada à exploração da capacidade última da secção à flexão, que se verifica, em 
geral, com desenvolvimento de uma resposta dúctil. Evidentemente que, em estruturas 
hiperstáticas, as zonas principais das estruturas não entram, em geral, 
simultaneamente em cedência. Assim, a partir do seu início numa determinada 
secção, há lugar, ainda, para incrementos de carga até se mobilizar a capacidade 
máxima da estrutura. 
 
2 Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estruturas 
O conceito de segurança a exigir às estruturas não é obviamente específico ao betão 
estrutural, sendo aplicado a estruturas construídas em qualquer material, em particular 
às estruturas metálicas e/ou mistas (betão/aço). Na sequência, apresenta-se um 
resumo dos princípios fundamentais das metodologias de verificação da segurança 
que reputamos essencial, nesta fase da aprendizagem dos alunos, para se 
compreender o enquadramento das preocupações dos engenheiros na concepção e 
projecto das Estruturas de Betão. 
2.1 OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL 
Há dois objectivos fundamentais a considerar pelos engenheiros de estruturas para 
assegurar, à sociedade em geral, um nível de segurança adequado às construções. 
Seguidamente referem-se esses dois objectivos gerais, particularizando-se, para cada 
um deles, o tipo de verificações em causa. 
1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situação de serviço, ou 
seja, na sua utilização corrente 
Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos 
Estados Limite de Utilização: 
 Limitar a deformação (Para as estruturas, em geral, e não só de betão) 
De acordo com as recomendações mais recentes, e para o caso de pisos de edifícios, 
a deformação final ou o incremento de deformação após a execução de paredes de 
alvenaria, deve ser limitada, para as acções com carácter de permanência, 
respectivamente, a: 
serviçoadmissível


 
L
250
 ou 
L
500
 
Estruturas de Betão I 
 13 
Trata-se no primeiro caso de uma questão de aspecto e funcionalidadee no segundo 
caso para evitar fendas nas alvenarias que não conseguem, a partir de um certo 
ponto, acompanhar a deformação da sua base de suporte sem fendilharem. 
 Limitar o nível de tensões máximas no betão e no aço 
Segundo as disposições regulamentares mais recentes o nível máximo das tensões no 
aço e no betão deve ser limitado, em serviço. Estes limites dependem do tipo e nível 
das acções, como se verificará no curso. 
 Controlar as aberturas de fendas (Aspecto claramente específico ás 
estruturas de betão armado): 
serviçoadmissível (0.2 a 0.4mm) 
Sendo a existência de fendas uma situação normal no Betão Armado, há que limitar a 
sua abertura, em geral, para um nível de acções com carácter de permanência. Esta 
necessidade advém, de razões de aceitabilidade estética e, em ambientes mais 
agressivos, para não serem veículo de um processo mais rápido de degradação do 
betão estrutural (questão de durabilidade, como se verá no curso). 
 Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral) 
Este aspecto da verificação do comportamento em serviço das estruturas, só será 
analisado na disciplina de uma forma indirecta, devendo ser aprofundado 
posteriormente no curso. No fundo trata-se de controlar as frequências próprias de 
vibração das estruturas, de tal forma a evitar situações de ressonância com a 
frequência das acções. 
Exemplo: Nas pontes de peões verificar que a frequência principal de vibração vertical 
da estrutura não se aproxima da frequência da excitação, neste caso, as cadências 
dos passos dos utilizadores. 
2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas 
situações de rotura (rotura local ou global da estrutura) 
Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos 
Estados Limite Últimos 
Para além de assegurar um comportamento adequado da estrutura nas condições da 
sua utilização, o engenheiro de estruturas tem de, com um nível de confiança 
muitíssimo superior, poder garantir que não há possibilidade de qualquer tipo de 
rotura, seja localizada, por falta de capacidade resistente, como numa peça linear, 
por: 
Estruturas de Betão I 
 14 
 Tracção ou Compressão 
 Flexão 
 Esforço Transverso 
 Torção 
 Qualquer combinação destas 
 Zonas particulares de apoios e/ou introdução de cargas 
Seja global, por perda de equilíbrio conjunto da estrutura, como o derrubamento 
de um muro de suporte. 
As características de comportamento do betão estrutural, próximo da rotura, e as 
hipóteses admitidas para avaliação das capacidades resistentes dos elementos 
estruturais, acima referidas, e das estruturas, no seu conjunto, serão analisadas nos 
Capítulos seguintes. 
2.2 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS 
LIMITES ÚLTIMOS 
Para garantir o objectivo acima enunciado, da não rotura, a regulamentação das 
estruturas, em geral, tem vindo a introduzir, a partir dos anos 60, uma filosofia de 
segurança que, tendo em conta a variabilidade das características dos materiais, do 
valor das acções e da avaliação da resposta estrutural, assegura uma probabilidade 
de rotura de 1 x 10-5, ou seja, quase nula. 
Este formato baseia-se, de uma forma simplificada, na avaliação de valores 
característicos para os materiais e acções, e ainda à adopção de coeficientes parciais 
de segurança adequadamente definidos. Vejamos, então, com algum pormenor, essa 
valoração. 
1) Definição de valores característicos para: 
 Valores das acções Ssk (95% de probabilidade de não serem excedidos) 
 Resistências dos materiais SRk (95% de probabilidade de serem superiores). 
2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que: 
 Majorem as cargas, consoante o tipo de acção:
 Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida 
 
g = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável) 
Estruturas de Betão I 
 15 
 Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga, 
vento, sismo, variação de temperatura, etc.) 
q = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável)
 Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a 
vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) a = 1.0 
 Minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais: 
 Armaduras (s = 1.15) 
 Betão (c = 1.5) 
Exemplo: fyd = 
 fyk 
 s 
 ; fcd = 
 fck 
 c 
 
3) Estabelecimento de combinações de acções, conforme especificado no RSA 
Exemplo: Ssd = gSg + q (Sq + 0iSqi) (0i  1 – coeficiente de combinação da 
acção variável i) 
Sq – acção variável de base 
Sqi – restantes acções variáveis 
4) A avaliação dos efeitos das acções na estrutura é usualmente realizada com base 
numa análise elástica linear da mesma, mas com as eventuais/necessárias 
adaptações para ter em conta, nas estruturas hiperstáticas, o efeito do comportamento 
não linear do betão estrutural (como constatado nos parágrafos anteriores). 
Com base nos modelos estruturais adoptados há, então, que avaliar os efeitos das 
acções. Tem-se, por exemplo, para a flexão, os denominados momentos de cálculo 
ou dimensionamento, que, para o caso de uma única carga variável, corresponde a: 
Msd = g Mg + qMq 
5) A avaliação das capacidades resistentes (forças ou esforços) depende da geometria 
do elemento, das características dos materiais e do tipo de esforço. 
Por exemplo para o momento resistente, como vimos anteriormente, teremos, de 
uma forma simplificada, : MRd = As  
fyk
1.15
 z. 
No Capítulo seguinte a avaliação deste valor será detalhadamente apresentada. 
6) Verificação da condição de segurança geral: SSd  SRd 
Exemplo para os momentos: Msd  MRd 
Estruturas de Betão I 
 16 
No caso do exemplo anterior, e considerando só a sobrecarga (q = 1.5), tem-se 
(tomando o braço de forças, z, avaliado para o comportamento elástico): 
M = 
 PL 
 4 
  Msd = 1.5  P  
 5 
 4 
  MRd = 10  10
-4  
 400 
 1.15 
  103  0.40 
Donde resulta, como valor de carga que pode ser aplicada à estrutura, com um nível 
de segurança adequado em relação à rotura por flexão (ou seja, verifica a segurança 
ao Estado Limite Último de Flexão): 
P  74.2 kN 
O procedimento de verificação da segurança acima resumido pode ser ilustrado com 
base nos diagramas de distribuição probabilística dos efeitos das acções e da 
avaliação das resistências, como indicado na figura seguinte. A partir de valores 
característicos, superiores e inferiores, respectivamente para as acções e materiais, 
majoram-se e minoram-se esses valores, com coeficientes parciais de segurança, 
para só depois estabelecer a condição de segurança. 
Percebe-se que a margem de segurança disponível que se obtém com este 
procedimento é muito grande. Repare-se na diferença entre os valores médios 
expectáveis das acções e das resistências. No entanto, a justificação da garantia da 
probabilidade de não rotura ser de 1 x 10-5,como acima referida, está fora do âmbito 
destas folhas, e desta disciplina. 
Ssm Ssk SRk SRmSsd SRd
Acções ou efeitos das acções Resistência 
 
2.3 FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS 
LIMITES DE UTILIZAÇÃO 
Para assegurar o comportamento adequado nas condições de serviço, pretende-se 
avaliar, agora, tão bem quanto possível, a resposta efectiva da estrutura quando em 
utilização. Com esse objectivo faz sentido tomar valores de acções que se esperam 
efectivamente actuem a estrutura (e não valores característicos superiores e/ou 
majorados) e valores médios para o comportamento dos materiais (certamente que 
não valores característicos inferiores e/ou minorados).Estruturas de Betão I 
 17 
Esta formulação conduz a que a probabilidade de serem excedidos os valores 
admissíveis seja da ordem de 1 x 10-1. 
Vejamos então, em termos práticos, com que bases se fazem estas verificações: 
1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura adoptando, por um lado, 
para os pesos próprios dos materiais estruturais e/ou de outros revestimentos 
utilizados densidades médias e, por outro lado, valores de sobrecargas com 
probabilidades reais de virem a actuar as estruturas (percentagens mais pequenas do 
valor característico têm mais probabilidade de ocorrerem). 
2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA: 
 Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração 
( 50% do tempo de vida da estrutura) Scqp = G + 2iQi 
 Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração ( 5% do 
tempo de vida da estrutura) Sfreq = G + 1 Q + 2iQi 
 Combinação característica: Estado limite de muito curta duração (algumas 
horas no período de vida da estrutura) Sraro = G + Q + 1iQi 
2 < 1 < 1.0) 
Q – acção variável de base 
Qi – restantes acções variáveis 
3) A avaliação dos efeitos das acções deve ser realizada considerando, em geral, as 
propriedades médias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsível. É 
importante referir que, para o efeito de cargas exteriores a hipótese de comportamento 
linear é razoável e usual, para a obtenção de esforços, mas já não é para avaliação 
das deformações, a menos que, convenientemente, corrigidas. Por outro lado, devido 
a deformações impostas à estrutura, a grandeza dos esforços depende fortemente da 
rigidez da estrutura, e, então, a rigidez elástica deve ser diminuída, logo na avaliação 
de esforços. 
É, portanto, necessário considerar, de uma forma simplificada, os efeitos da 
fendilhação (perda de rigidez) e da fluência do betão nas características da resposta e 
na forma de avaliar os efeitos das acções. Estes assuntos irão os alunos analisar ao 
longo do curso. 
4) Posteriormente há que fazer as verificações de segurança, atrás mencionadas, 
como a limitação da deformação, o controlo do nível de tensões nos materiais e o 
controlo das aberturas de fendas. Estas verificações são estabelecidas nos 
Estruturas de Betão I 
 18 
regulamentos, para certas combinações de acções. Refira-se que um certo limite é 
dependente da duração de tempo em que possa subsistir. 
Por exemplo, para o caso da deformação, é importante garantir a sua limitação para a 
situação quase-permanente, mas não para a eventualidade de, numa ou várias 
situações na vida da estrutura, se ter uma sobrecarga maior. Assim: 
combinação quase permanente  admissível 
Por outro lado, uma abertura de fendas máxima de 0.5 mm pode ser considerada 
aceitável para a combinação característica de acções, pois só acontece muito 
esporadicamente, mas não para uma situação com carácter de permanência, em que 
se aponta na regulamentação para um limite de 0.3 mm. 
Estruturas de Betão I 
 19 
 
EXERCÍCIO 1 
 
Considere a estrutura de um piso estrutural, que será tomado como referência nos 
capítulos seguintes, a construir com os materiais indicados e as acções previstas 
referidas, e que se representa na planta seguinte: 
 
4.00 4.00 4.004.00
10.00
3.00
S2
S1
 
Materiais: C25/30, A400 
 
Acções: 
Peso próprio 
Revestimento=2.0 kN/m
2
 
Sobrecarga = 3.0 kN/m
2
 
 
Coeficientes de majoração: 
G = Q = 1.5 
 
Coeficientes de combinação:
1 = 0.4 ;2 = 0.2 
 
Secção da viga: 0.300.85 m
2 
 
Espessura da laje: 0.15m 
 
a) Determinar, para as secções S1 e S2 da viga, os valores dos esforços, para a 
verificação da segurança à rotura. 
b) Calcular, para as mesmas secções, os esforços para as combinações em serviço, 
rara, frequente e quase-permanente. 
 
 
 
 
 
Estruturas de Betão I 
 20 
 
 
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 
 
No processo de verificação da segurança de uma estrutura é fundamental encontrar 
um modelo de análise da estrutura, que nunca deve ser confundido, com a própria 
estrutura. Trata-se, no essencial, de “um modelo da estrutura” que serve de base 
para a análise, dimensionamento e verificação de segurança, neste caso da viga 
central em causa. 
1. Modelo de cálculo: 
Modelo para o cálculo da viga 
10.00 3.00
S2 S1
g, q
 
Corte transversal à viga 
rev, q
0.30
0.15
0.70
4.00
 
Comentários ao modelo de cálculo, escolhido, com algumas simplificações: 
  Consideram-se as vigas sem continuidade na ligação aos pilares; 
  Considera-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais. 
2. Cálculo das acções na viga 
2.1. Carga permanente 
 Peso próprio 
pp = betão Área = [4  0.15 + (0.85 - 0.15)  0.30]  25 = 20.3kN/m 
 Revestimento 
rev = 2.0  4.0 = 8.0kN/m 
cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m 
2.2. Sobrecarga 
sc = 3.0  4.0 = 12.0kN/m 
Estruturas de Betão I 
 21 
 
3. Diagrama de esforços para uma carga unitária (poder-se-ia considerar logo à 
partida considerar o valor das cargas) 
S1S2
10.00 3.00
p=1 kN/m
RA RB
 
10.25
4.5
4.55
3.0
 DMF
[kNm]
(+)
(-)
DEV
[kN]
(+)
(-)
(+)
5.45
x
 
 
(i) Cálculo das reacções de apoio 
MA = 0  10  RB- 1.0  13 
 13 
 2 
 = 0  RB = 8.45kN 
F = 0  RA + RB = 13  RA = 13 - 8.45 = 4.55kN 
(ii) Cálculo do momento flector a ½ vão 
MB = - 1  3 
 3 
 2 
 = - 4.5kN/m 
M½vão = 1 
 102 
 8 
 - 
 4.5 
 2 
 = 10.25kNm 
L/2 L/2
pL /8
2
 
(iii) Cálculo do momento flector máximo 
4.55 + 5.45
4.55
 = 
10.0
x
 x = 4.55m 
Mmáx = 
4.55 4.55 
2
 = 10.35kNm 
M½vão Mmáx 
Estruturas de Betão I 
 22 
ALÍNEA A) 
 
Secção S1 Secção S2 
MS1
G
 = – 4.5  28.3 = - 127.35 kNm MS2
G
 = 10.25  28.3 = 290.1 kNm 
MS1
Q
 = – 4.5  12.0 = - 54 kNm MS2
Q
 = 10.25  12.0 = 123.0 kNm 
VS1
G
 = –5.45  28.3 = 154.2 kN 
VS1
Q
 = –5.45  12.0 = 65.4 kN 
 
Valores de cálculo dos esforços 
MS1
sd
 = 1.5 ( )MS1G + MS1Q = 1.5  (-127.35 - 54) = -272.0 kNm 
MS2
sd
 = 1.5 ( )MS2G + MS2Q = 1.5  (290.1 + 123) = 619.7 kNm 
VS1
Sd
 = 1.5 ( )VS1G + VS1Q = 1.5  (-154.2 - 65.4) = -329.4 kN 
 
Consideração de alternância de sobrecarga 
A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para 
cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável. 
Chama-se, desde já a atenção, para que na consola e sobre o apoio adjacente, os 
esforços só dependem das cargas na própria consola e, portanto, os valores máximos 
são os avaliados anteriormente. 
Por outro lado, se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado, 
o momento flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado 
considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculo anterior). 
Deste modo, 
g
q
 
MS2
Q
 = 
12  102
8
 = 150 kNm ; MS2
G
 = 10.25  28.3 = 290.1 kNm 
 MS2
sd
 = 1.5  (290.1 + 150) = 660.2kNm 
Estruturas de Betão I 
 23 
Refira-se que, sendo a viga isostática, a distribuição de esforços para uma qualquer 
combinação de acções é única. Ora isto é diferente do que acontece nas estruturas 
hiperstáticas onde são possíveis distribuições de esforços distintas que equilibram as 
mesmas acções... e que são compatíveis com o comportamento, efectivamente não 
linear, dos materiais. 
 
Alínea b) 
Secção S1 
Mc rara = MG + MQ = -127.35 - 54 = - 181.4kNm 
Mcfreq = MG + 1 MQ = -127.35 - 0.4  54 = -149.0kNm 
Mcqp = MG+ 2 MQ = -127.35 - 0.2  54 = – 138.2kNm 
 
Vc rara = VG + VQ = 154.2 + 65.4 = 219.6kN 
Vcfreq = VG + 1 VQ = 154.2 + 0.4  65.4 = 180.36kN 
Vcqp = VG + 2 VQ = 154.2 + 0.2  65.4 = 167.3kN 
 
Secção S2 
Mc rara = MG + MQ = 290.1 + 123.0 = 413.1kNm 
Mcfreq = MG + 1 MQ = 290.1 + 0.4  123 = 339.3kNm 
Mcqp = MG + 2 MQ = 290.1 + 0.2  123 = 314.7kNm 
 
Verifica-se também que o nível de esforços considerados para a verificação da 
segurança à rotura são significativamente superiores aos correspondentes das 
combinações de acções em serviço, e que estes últimos são tão menores, quão a 
probabilidade de ocorrência seja maior. 
 
 
 
Estruturas de Betão I 
 24 
 
3 Materiais 
3.1 CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES 
O betão tem como referido anteriormente, e os alunos certamente saberão nesta fase 
do curso, um comportamento não linear. Ou seja, tem uma relação tensão-extensão 
que não segue a lei de Hook, em particular para tensões mais elevadas. Como se verá 
na sequência, até certos níveis limitados de tensão, é razoável admitir o 
comportamento como linear. 
Os betões são, em termos regulamentares, classificados por classes de resistência, 
como certamente analisaram na disciplina de materiais. 
As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de 
tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou 
provetes cilíndricos, apesar destes últimos serem aqueles que se consideram como 
referência na avaliação da segurança estrutural. 
No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os 
valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (fck e fcd), bem 
como o valor médio da tensão de rotura à tracção (fctm) e módulo de elasticidade aos 
28 dias (Ec, 28). 
 
Classe 
B15 
C12/15 
B20 
C16/20 
B25 
C20/25 
B30 
C25/30 
B35 
C30/37 
B40 
C35/45 
B45 
C40/50 
B50 
C45/55 
B55 
C50/60 
cub. 
fck 
cil. 
[MPa] 
15 
 
12 
20 
 
16 
25 
 
20 
30 
 
25 
37 
 
30 
45 
 
35 
50 
 
40 
55 
 
45 
60 
 
50 
fcd 
[MPa] 
8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3 
fctm 
[MPa] 
1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 
Ec,28 
[GPa] 
27.0 29 30 31 33 34 35 36 37 
Estruturas de Betão I 
 25 
 
3.1.1 TENSÕES DE ROTURA DO BETÃO 
A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção, 
definem-se os valores denominados de dimensionamento ou de cálculo à rotura: 
fcd = 
fcil.
ck
c
 , fctd = 
 fctk 
 c 
 com c = 1.5 ( )fcil.ck  0.8 fcubosck 
O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção pode ser estimado pela 
expressão: 
fctm = 0.30 f
2/3
ck
 
Nota: o valor de fcd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são 
mais representativos da resistência do betão em peças longas. 
3.1.2 MÓDULO DE ELASTICIDADE DO BETÃO 
Na análise de estruturas é usual admitir um comportamento elástico, como atrás já 
referido, considerando-se, em geral, o módulo de elasticidade secante do betão aos 28 
dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica, 
encontra-se definido para c = 0 e c = 0.4 fck. Refira-se a propósito, que este tipo de 
hipótese é adoptada, na prática da engenharia, com muita frequência, considerando-
se, posteriormente, formas mais ou menos directas de ter em consideração o efectivo 
comportamento não linear do betão armado, quer em condições de serviço, quer, 
por maioria de razão, próximo da rotura. fcm
c
c
Ec
0.4 fck
 
 
3.1.3 VALOR CARACTERÍSTICO DA TENSÃO DE ROTURA DO BETÃO À COMPRESSÃO FC 
A partir de um certo número de resultados de ensaios, é possível avaliar o valor 
característico do betão. 
Estruturas de Betão I 
 26 
Assim: 
fck = fcm -  Sn , Sn – desvio padrão das resistências das amostras 
  – parâmetro que depende do número de ensaios 
 
n 6 10 15 
 1.87 1.62 1.48 
 
3.2 CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS 
As armaduras a utilizar no betão estrutural podem dividir-se em: 
 armaduras para betão armado 
 armaduras de pré-esforço 
As primeiras são também denominadas de armaduras passivas, pois só são 
solicitadas em resposta a acções exteriores. 
As armaduras de pré-esforço são compostas por aços com capacidade resistente da 
ordem de 3 a 4 vezes superiores às passivas e são chamadas de activas, pois são 
traccionadas antes da actuação das solicitações exteriores. 
Nestes elementos referem-se unicamente as primeiras pois o pré-esforço é introduzido 
na disciplina de Estruturas de Betão II. 
3.2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ARMADURAS PARA BETÃO ARMADO 
Os aços são classificados tendo em consideração o processo de fabrico, a rugosidade 
da superfície e a sua capacidade resistente. Assim temos: 
 processo de fabrico 
 aço natural (laminado a quente) (N) 
 aço endurecido a frio (E) 
 aderência 
 alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R) 
 aderência normal (superfície lisa) (L) 
 resistência 
 (A235), A400, A500 
Estruturas de Betão I 
 27 
O aço A235 foi utilizado na construção em Portugal, em geral com varões lisos, mas já 
não é produzido actualmente. 
As armaduras designam-se, assim, com a seguinte simbologia base: 
Designação das armaduras: A500 N R SD 
 
 fyk aderência 
 processo de fabrico ductilidade especial 
Os aços de dureza natural A400 NR e A500 NR produzidos em Portugal, 
apresentam apenas duas famílias de nervuras – ver figura abaixo. Nos aços A400 
todas as nervuras de uma família são paralelas ao passo que no A500 as nervuras 
têm alternadamente inclinações diferentes, pelo menos de um dos lados. 
A diferenciação, entre aços com ductilidade especial (SD), recomendados em zonas 
sísmicas, e os correntes, é ilustrada na figura, sendo que, no essencial, os SD tem as 
mesmas nervuras nas duas faces. 
 
 
Tipo A400NR Tipo A500NR 
 
Tipo A400NR SD Tipo A500NR SD 
 
 Identificação do tipo de aço 
 
Os aços endurecidos a frio (E) são produzidos por laminagem com impressão de um 
perfil nervurado, constituído por três famílias de nervuras dispostas em 3 planos. 
 
Estruturas de Betão I 
 28 
 
4 Verificações de Segurança à Rotura por Flexão 
Para a avaliação das capacidades resistentes das secções de betão à flexão, no 
âmbito da filosofia de segurança em relação à rotura, começa-se por mostrar como se 
caracterizam os comportamentos dos materiais a adoptar naquela avaliação. 
Posteriormente, e a partir de hipóteses admitidas para a deformação da secção na 
rotura, mostra-se como se avaliam os esforços resistentes de flexão. 
4.1 RELAÇÕES TENSÃO-EXTENSÃO DOS MATERIAIS PARA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA 
AOS E.L. ÚLTIMOS 
4.1.1 BETÃO 
A partir da relação tensão-extensão característica do betão, referida anteriormente, é 
definida uma relação simplificada, com base numa parábola e num rectângulo com um 
valor máximo de resistência, o qual é obtido do valor característico, pela aplicação do 
correspondente coeficiente parcial de segurança de 1.5. 
c
c
fcd
c2
fck
cu2
 
(Diagrama parábola rectângulo) 
fcd = 
 fck 
 c 
 , c = 1.5 0.8    1.0 
 para 0  c  c2 
c = fcd para c2  c  cu2 
Para as classes de resistência até C50/60, 
c2[‰] cu2[‰] 
2.0 3.5 
 
Para uma definição analítica detalhada destas curvas pode ser consultada bibliografia 
referida para a disciplina. 
Na avaliação do valorde fcd, para além do coeficiente parcial de segurança, aparece o 
coeficiente . Este parâmetro tem em consideração a diminuição da tensão de rotura 
do betão quando sujeito a tensões elevadas prolongadas. De facto, se o betão for 
solicitado com constância, durante um certo período de tempo, a uma tensão um 
pouco inferior à máxima (entre 85% a 100% de fc) acaba por atingir a rotura. De 
acordo, por exemplo, com o REBAP, a tensão máxima no betão está limitada a 0.85 
fcd, ou seja considerando  = 0.85. No entanto, o EC-2 propõe, para casos correntes, 
Estruturas de Betão I 
 29 
1.0 fcd, pois nas condições de carregamento com persistência o betão estará, em 
geral, solicitado a níveis de tensões bem inferiores às acima referidas, tendo-se 
considerado demasiado penalizante tomar esse efeito na verificação da segurança à 
rotura. Na disciplina, e na prática da engenharia em geral no futuro, tenderá a utilizar-
se a hipótese proposta no EC2. No entanto, e para já, o mais importante é perceber a 
razão do sentido físico deste coeficiente. 
4.1.2 AÇO 
Para a verificação da segurança aos E.L. Últimos pode ser considerada uma das duas 
relações constitutivas indicadas pelo EC-2, e presentes na figura seguinte, i.e., 
considerando ou não (hipótese muitas vezes admitida como simplificação) algum 
incremento de resistência a partir da cedência, quantificado pelo coeficiente k. 
k fyk
f yd
1
ukyd
ykf
E =200 GPas
2
s
sud
k fyd
 
fyd = 
 fyk 
 s 
 , s = 1.15 
ud = 0.9 uk 
Classe 
fyk 
[MPa] 
fyd 
[MPa] 
yd 
[10
-3
] 
A235 
A400 
A500 
235 
400 
500 
205 
348 
435 
1.025 
1.74 
2.175 
 
O valor da extensão máxima convencional do aço, ud (igual a 90% do valor 
característico uk), a considerar depende da classe de ductilidade das armaduras. No 
quadro seguinte são indicados os valores característicos das extensões últimas, para 
as diferentes classes de ductilidade, que são da ordem dos 25 a 75‰, portanto, muito 
superiores aos do betão de 3.5 ‰. 
 
Classe de 
ductilidade 
A B C 
k 1.05 1.08 
1.15 
<1.35 
uk [%] 2.5 5.0 7.5 
 
Refira-se que o REBAP limita a 10‰ a extensão última convencional de 
dimensionamento, ud, valor claramente inferior aos acima referidos. No entanto, uma 
vez que para este valor de extensão, o aço se encontra bem na cedência, as 
Estruturas de Betão I 
 30 
repercursões em termos da avaliação das capacidades resistentes à flexão, são 
praticamente nulas, como se verá no sub-capítulo seguinte. 
Em Portugal os aços são denominados por NR, ER ou NR SD, como referido em 
3.2.1, onde é explicada a simbologia e a forma como se pode proceder à sua 
identificação superficial. Para a construção corrente é normal utilizarem-se ferros NR, 
sendo em zonas de maior sismicidade, a utilização de aços SD fundamental. Estas 
classificações actuais dos aços em Portugal, correspondem às características de 
ductilidade das classes B (NR) e C (NR SD) definidas no EC2 e acima mencionadas. 
4.2 ANÁLISE DA SECÇÃO. MÉTODO GERAL 
Definidas as características dos materiais, a capacidade resistente à flexão simples, 
mas também à tracção e compressão isoladas e/ou estas em sobreposição com a 
flexão, resultam do estabelecimento das condições de equilíbrio e do estabelecimento 
das condições de deformação da secção e das condições limite. No que se segue vai 
se analisar a situação de flexão simples mas é importante que os alunos estabeleçam, 
por si, as situações de tracção e compressão simples. A flexão composta será tratada 
posteriormente no curso. 
Hipóteses adoptadas na rotura convencional de dimensionamento 
1- Apesar da complexidade do estado de deformação do betão armado, próximo da 
rotura, a Hipótese de Bernoulli é considerada. 
2- A situação última limite é atingida, quando se verifica uma das extensões últimas 
seguintes: 
- -c = 3.5‰ (Deformação máxima de encurtamento no betão) 
- s = ud (Deformação máxima de alongamento nas armaduras) 
3- A participação do betão à tracção não é considerada: 
- c = 0 se c> 0 o betão à tracção tem tensão nula 
LN
Fs
z MRd
Fc
x
(+)
(-)
c 3.5‰
s ud
 
Estruturas de Betão I 
 31 
Com base nas relações constitutivas dos materiais e das hipóteses anteriores, 
estabelecem-se as equações de equilíbrio na secção. Assim, se as expressarmos em 
função das resultantes das tensões de tracção e compressão, tem-se: 
 
Equações de Equilíbrio (sendo Fs e Fc as resultantes das tensões de tracção e 
compressão, respectivamente.): 
 Equilíbrio axial (Esforço axial nulo): Fs = Fc 
 Equilíbrio de momentos: MRd = Fs  z 
4.3 MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR 
Neste método simplifica-se a forma de distribuição das compressões no betão e 
despreza-se a participação do aço à compressão, o que permite resolver as equações 
anteriores, de forma simples. 
0.8x
x 
fcdfcdc
(-)
 
 
 fcd
c
3.5‰ c0.7‰

 
Deste modo, 
s
c
Fs
z = d - 0.4x
x
(-)
(+)
Fc
LN
d
fcd
0.8x
0.4x

 
4.3.1 CÁLCULO DE MRD 
Se forem conhecidos a geometria da secção, a quantidade de armadura e as 
resistências dos materiais, a avaliação da capacidade resistente segue os seguintes 
passos (trata-se um problema dito de análise pois a secção e armaduras estão 
totalmente definidas): 
i) Admitir que s = fyd (s  yd), ou seja, que as armaduras estão em cedência 
ii) Determinar posição da linha neutra 
Por equilíbrio axial, Fc = Fs  fcd Ac (x) = As fyd  x = ? 
Estruturas de Betão I 
 32 
iii) Calcular o momento resistente 
Por equilíbrio de momentos, MRd = As fyd (d - 0.4x) 
iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: s  yd 
Rotura convencional: c = 3.5‰ ou s = ud 
A partir da posição da linha neutra anteriormente calculada, se 
admitirmos que a rotura se dá pelo betão, obtém-se a 
extensão ao nível da armadura. 
c = 3.5‰
(+)
(-)
s
x
 
 Se s  yd  a hipótese considerada inicialmente, de admitir o aço em cedência 
está correcta. 
 Se s < yd  Fs < As fyd, trata-se de uma situação não desejável pois nem se 
estaria a tirar partido da resistência máxima do aço. 
A posição da Linha Neutra para essa situação limite pode ser avaliada para os aços 
A400 e A500 por: 
Posição da LN para c = 3.5 ‰ e s = yd (início da cedência do aço) 
d
x
s=yd
(+)
(-)
c = 3.5‰
 
A400: yd = 1.74 ‰ 
x
3.5
 = 
d
3.5 + 1.74
  x = 0.67 d 
A500: yd = 2.175 ‰ 
 x 
 3.5 
 = 
 d 
 3.5 + 2.175 
  x = 0.62 d 
Deste modo, se x  0.67 d no caso de se utilizar aço A400, ou se x  0.62 d no caso 
de se utilizar aço A500, pode se concluir, desde logo, que o aço está em cedência. 
Por outro lado, conhecida a posição da Linha Neutra, é possível confirmar se a rotura 
convencional se dá pelo betão. Exemplifica-se, seguidamente, para aços das classes 
B (NR) e C (NR SD). 
 Para um aço de Classe C: Posição da LN para c = 3.5‰ e ud = 0.9  75‰ = 67.5‰ 
x
c = 3.5‰
(-)
(+)
ud
d
 
 x 
 3.5 
 = 
 d 
71
 x = 0.05 d 
Estruturas de Betão I 
 33 
Deste modo, 
se x < 0.05 d (situação pouco corrente)  


c< 3.5‰
s = ud
 (rotura pela armadura) 
se x > 0.05 d 


c = 3.5‰
s < ud
 (rotura pelo betão) 
Se tratasse de um aço de Classe B ter-se-ia para este limite x = 0.072 d 
Constata-se, assim, que, para uma grande gama de possíveis posições da Linha 
Neutra, a rotura convencional dá-se pelo betão e o aço está em cedência. Esta 
diferenciação (rotura convencional pelo aço ou betão), nem é importante pois de 
qualquermaneira a capacidade máxima resistente do aço é explorada. 
No entanto, é importante no dimensionamento das secções de betão armado controlar 
melhor a posição da Linha Neutra por uma razão essencial: Um elemento de betão 
armado deve apresentar ductilidade em situação de rotura, i.e., deve poder 
evidenciar deformações apreciáveis por cedência das armaduras, sem perda de 
capacidade resistente. Esta característica é fundamental nas estruturas e, para tal, é 
importante assegurar valores x/d limitados, pois verifica-se, experimentalmente, que 
aquele é um parâmetro que influencia directamente a ductilidade do elemento. 
A Ductilidade ou Capacidade de Deformação Plástica das Secções é medida pela 
relação (1/R)u/(1/R)y, i.e., a relação entre as curvaturas última e de cedência, como 
ilustrado na figura seguinte. 
As2 As3 As4< < <
c 3.5‰) ou
c  ud)
As1
MRd
y( )R/1
(1) As1 (x1;s1;maior ductilidade)
As2 (x2;s2)
u
1/R( ) ( )R/1
As3 (x3;s3)
As4 (x4;s4;menor ductilidade)
s=syd
(2)
(1)
(2) Rotura da secção por esmagamento do betão comprimido
menos correntemente, por deformação de armaduras 
(+)
(-)
x
cx = -3.5‰
sAs
1
R
 
 1 
 R 
 = - 
cx 
 x
 
Para garantir um nível mínimo de ductilidade disponível deve procurar garantir-se 
que, pelo menos, x  0.4 a 0.5 d, portanto com x/d claramente na zona de cedência do 
aço. 
Estruturas de Betão I 
 34 
É importante referir que no dimensionamento à rotura dos elementos estruturais se 
deve sempre avaliar as vertentes de resistência e de ductilidade. 
A situação mais corrente com que o engenheiro se defronta na prática, depois de ter 
feita a análise estrutural, ter avaliado a distribuição de esforços actuantes, ter definido 
uma geometria para a secção e escolhido os materiais, é a de querer avaliar a 
quantidade de armadura a considerar para verificar a segurança (trata-se um problema 
dito de dimensionamento). 
Dimensionamento das armaduras: 
Dados: geometria da secção, fcd, fyd, Msd 
0.8x
fcd
d
LN
Fc
x
z
Fs
Msd
As
b
 
i) Admitir que s = fyd (s  yd), ou seja, que as armaduras estão em cedência 
ii) Determinar posição da linha neutra 
Por equilíbrio de momentos, Msd = Fc  z = fcd b 0.8 x (d - 0.4x)  x = ...  Fc = ... 
iii) Calcular a área de armadura necessária 
Por equilíbrio axial, Fc = Fs  fcd b 0.8x = As fyd  As= ? 
iv) Verificar hipótese inicialmente admitida: s  y 
Estruturas de Betão I 
 35 
 
Exercício 2 
Considere a viga representada na figura seguinte e adopte G = Q = 1.5 
 
q
5.00
0.55
0.30
320
 
Materiais: C25/30 (fcd = 16.7MPa) 
 A400 (fyd = 348MPa) 
Calcule a máxima sobrecarga q que pode actuar com segurança sobre a viga. 
 
Resolução 
Método do diagrama rectangular simplificado 
0.4x
0.8x
0.85 fcd
d
LN
Fc
x
z
Fs
MRd
 
1. Cálculo do MRd 
 Equações de equilíbrio (flexão simples) 
F = 0  Fc = Fs (1) 
M = 0  MRd = Fs  z = Fs  (d - 0.4x) (2) 
(Este exercício está resolvido com  = 0.85) 
Fc = 0.8x  b  0.85 fcd = 0.8x  0.30  0.85  16.7  10
3 = 3406.8x 
Fs = As  fyd = 9.42  10
-4  348  103 = 327.8kN (As(320) = 9.42cm
2) 
(1) Fc = Fs x = 
327.8
3406.8
 = 0.096m  z = d – 0.4x = 0.55 – 0.4  0.096 = 0.51m 
Estruturas de Betão I 
 36 
(2) MRd = Fs  z = 327.8  0.51 = 167.2kNm 
 Verificação da hipótese de cedência do aço (s  yd) 0.454
s
(+)
(-)
c = 3.5‰
0.096
0.55
 
 s 
 0.454 
 = 
 3.5‰ 
 0.096 
 s = 16.6‰>>yd 
yd = 
 fyd 
 s 
 = 
 348 
 200103 
 = 1.74‰ 
x
d
 = 
0.096
0.55
 = 0.175 
Ductilidade da secção (como critério mínimo é desejável que x/d ~ (0.4 a 0.5) ou, 
equivalentemente, s >
~
 4‰ a 5‰, 
 
3. Cálculo da sobrecarga máxima (Msd  MRd) 
Msd = 
 psd L
2 
 8 
  167.7kNm  psd  
 8  167.7 
 52 
 = 53.7kN/m 
psd = 1.5 (g + q) q = 
 53.7 
 1.5 
 - 0.30  0.60  25 = 31.3kN/m 
 
Estruturas de Betão I 
 37 
 
Exercício 3 (mesma base do exercício 1) 
Considere a mesma estrutura de piso e considere os cálculos já realizados: 
4.00 4.00 4.004.00
10.00
3.00
S2
S1
 
Materiais: C25/30, A400 
 
Acções: 
Peso próprio 
Revestimento = 2.0kN/m2 
Sobrecarga = 3.0kN/m2 
 
Coeficientes de majoração: 
G = Q = 1.5 
Coeficientes de combinação:
1 = 0.4 ;2 = 0.2 
Secção da viga: 0.30  0.85m2 
Espessura da laje: 0.15m 
 
a) Determine as armaduras necessárias para garantir o Estado Limite Último de flexão 
da viga (Secções S1 e S2) 
a.1) utilizando o método do diagrama rectangular simplificado 
a.2) Fs  z 
a.3) com recurso a tabelas 
a.4) pormenorize as armaduras de flexão 
Estruturas de Betão I 
 38 
RESOLUÇÃO DA ALÍNEA A): 
1. Modelo de cálculo: 
10.00 3.00
S2 S1
g, q
 
0.85
0.30
 
2. Envolvente do diagrama de esforços 
660.2
(+)
 DMF
[kNm]
(-)
272.0
S2
S1
 
ALÍNEA A.1) 
 Secção S2 (M +sd = 660.2 kNm) 
0.30
As
Msd
Fs
z
Fc
0.85 fcd
0.8x
LN
x
0.80
 
Resolução com  = 0.85: 
Fc = 0.85 fcd  0.8x  b = 0.85  16.7  10
3  0.8x  0.3 = 3406.8x 
Fs = As  fyd = As  348  10
3 
Equilíbrio de momentos: 
MAS = Msd  3406.8x  (0.8 - 0.4x) = 660.2  x = 0.282m 
Fc = 3406.8  0.282 = 960.7kN 
Equilíbrio de forças: 
Fs = Fc  As  348  10
3 = 960.7  As = 
960.7
348  103
  104 = 27.6 cm2 
Verificação da hipótese de cedência do aço 
Estruturas de Betão I 
 39 
0.282
0.518
s
c = 3.5‰
(-)
(+)
 
Admitindo que c = 3.5‰ 
c = 3.5‰
s
 = 
0.282
0.518
 s = 6.43‰ > yd = 1.74‰ 
x
d
 = 0.35 
 A armadura está em cedência e a secção tem um nível de ductilidade aceitável. 
 Secção S1 (M -
sd
 = 272.0 kNm) 
Msd
0.8x
Fc
FsAs
0.30
0.80
x
LN
0.85 fcd
z
 
Equilíbrio de momentos: 
MAS = Msd  3406.8x  (0.8 - 0.4x) = 272.0  x = 0.105m  Fc = 357.7kN 
Então x/d = 0.13  Bom em termos de ductilidade disponível 
Equilíbrio de forças 
Fs = Fc  As  348  10
3 = 357.7  As = 
357.7
348103
  104 = 10.28cm2 
Verificação da hipótese de cedência do aço 
Admitindo que c = 3.5‰ tem-se: 
s
3.5‰
 = 
0.695
0.105
  s = 23.2‰ >>yd 
4.4 RESISTÊNCIA À FLEXÃO SIMPLES COM O AUMENTO DE ARMADURAS 
Na figura seguinte apresentam-se os diagramas de deformação de uma secção de 
betão armado, para quatro áreas de armadura distintas (área de armadura crescente). 
Estruturas de Betão I 
 40 
x1
MRd
As s
(+)
(-)
c
MRd,1
(As muito pequeno) (As maior)
x2
MRd,2
c
(-)
(+)
s
 
(...)
x3
MRd,3
s
(+)
(-)
c
(...)
MRd,4
x4
c
(-)
(+)
s

1 2 3 4
 
Apresentam-se, em seguida, as relações constitutivas do aço e do betão, com 
indicação qualitativa da evolução das tensões e extensões dos dois materiais, com a 
variação da armadura. 
 fcd
c
syd ud s
s
fsyd
2‰ 3.5‰ c
43 e2
1
e1 23
4
 
Conforme se pode observar na figura seguinte, para baixos níveis de armadura, existe 
proporcionalidade entre a área de armadura e o momento resistente da secção. À 
medida que a quantidade de armadura aumenta, esta relação deixa de ser linear, ou 
seja, o aumento da armadura traduz-se em acréscimos menores de momento 
resistente. Este comportamento deve-se à sucessiva diminuição do braço do binário 
(z) com o aumento da área de armadura, até que a armadura deixa de poder estar em 
cedência (caso 4) e, portanto, o aumento de armadura perde toda a eficiência.321
MRd
As
4
M1
M2
M3
M4
Estruturas de Betão I 
 41 
 
4.5 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES – GRANDEZAS ADIMENSIONAIS 
4.5.1 MÉTODO GERAL 
s1
c
(-)
(+)
x
Fc
M
Fs1
LN
s2
As1
As2d2
d
Fs2 x
b
c
 
Fc = fcd b x 
Fs2 = s2 As2 
Fs1 = s1 As1 
 fcd = 

Ac
 c dA
bx
 ; x = 
 c y dA
 c dA
 
– coeficiente que define a relação da resultante das tensões de compressão no 
betão pela força de uma compressão uniforme com fcd, em toda a zona comprimida. 
 – coeficiente que define a posição da resultante das tensões de compressão no 
betão, função de x. 
 Equações de Equilíbrio 
 Equilíbrio axial: Fc = Fsfcd bx + s2 As2 = s1 As1 (1) 
 Equilíbrio de momentos: MAs = M M =  fcd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2) (2) 
(Equações não lineares) 
 Cálculo por iterações 
i) Fixar c = 3.5‰ e um valor de x (por exemplo, tal que, 
x
d
 = 0.5) 
ii) Calcular as forças axiais F 
 Se |Fc + Fs2| > Fs1  
a LN tem de subir para diminuir FC, tendo uma das 
extensões, c ou s, o valor máximo e, a outra, um 
valor igual ou inferior ao limite. 
sud
d
x
c  3.5‰
(-)
(+)
 
 É necessário diminuir o valor de x até que F = 0 
Estruturas de Betão I 
 42 
 Se |Fc + Fs2| < Fs1 
 
(a LN tem de baixar para aumentar Fc) 
 
x
s
c  3.5‰
(+)
(-)
 
É necessário aumentar o valor de x até que F = 0. 
ii) Calcular MRd 
Definida a posição da LN e o diagrama de extensão, calculam-se as tensões e o 
valor de MRd 
Nota: Este é um processo de cálculo moroso. Na prática recorre-se a programas de 
cálculo automático ou a tabelas de cálculo. 
Para elaborar tabelas é necessário trabalhar com grandezas adimensionais, 
por forma a que sejam aplicáveis a secções com qualquer geometria. 
4.5.1.1 Grandezas adimensionais 
 Equações de Equilíbrio 
 fcd
bx = s1 As1 - s2 As2 (1) 
 M = 
fcd b x (d - x) + s2 As2 (d - d2) (2) 
Substituindo (1) em (2), 
M = s1 As1 (d - x) - s2 As2 (d - x) + s2 As2 (d - d2) 
 = s1 As1 (d - x) + s2 As2 (x - d2) (3) 
Considerando As2 =  As1 e s = fyd, a equação (3) toma a forma 
M = As1fyd d 


1 -  
 x 
 d 
 +  As1fyd d 


 
 x 
 d 
 - 
 d2 
 d 
 
Transformando esta equação numa forma adimensional (dividindo todos os termos por 
b d2fcd), resulta 
 M 
 b d2 fcd 
 = 
 As1 fyd 
 b d fcd 
 



1 -  
 x 
 d 
 +  
 As1 fyd 
 b d fcd 
 



 
 x 
 d 
 - 
 d2 
 d 
 
     =  (1 – k) + 



 k - 
 d2 
 d 
 
Estruturas de Betão I 
 43 
Definem-se, assim, os parâmetros , w e k, de uso corrente na concepção e 
dimensionamento de estruturas de betão: 
 = 
 M 
 b d2 fcd 
 (Momento flector reduzido); 
 = 
 As1 fyd 
 b d fcd 
 (Percentagem mecânica de armadura) 
k = 
 x 
 d 
 (Posição da L. Neutra adimensional) 
4.5.2 MÉTODO DO DIAGRAMA RECTANGULAR SIMPLIFICADO 
4.5.2.1 Grandezas adimensionais 

b
Fc
MRd
Fs
x
(+)
(-)
c
s
d
As
LN
0.4x
z
0.8x
 
MRd = Fs  z = Fs (d - 0.4x) 
Admitindo que o aço está na cedência, MRd = As  fyd (d - 0.4x) 
Transformando a equação anterior numa forma adimensional, resulta 
MRd
b d2 fcd
 = 
As fyd
b d fcd
 



1 - 0.4 
x
d
 = 
As
b d 
 
fyd
fcd
 



1 - 0.4 
x
d
Rd =  (1 - 0.4k) 
Rd = 
 MRd 
 b d2 fcd 
 (momento flector reduzido); k = 
 x 
 d 
 
 = 
 As 
 b d 
 
 fyd 
 fcd 
 (percentagem mecânica de armadura) 
Fc = Fs0.8  (kd)  bfcd=Asfydk = 1.47 
As
 b d
 
fyd
fcd
 = 1.47 ( =0.85)085).85) 
Visto que Rd =  (1 - 0.4k) e substituindo o resultado anterior, obtém-se a seguinte 
expressão para cálculo do momento flector reduzido em função da percentagem 
mecânica de armadura: 
Rd =  (1 - 0.588  ) 
Estruturas de Betão I 
 44 
4.5.3 UTILIZAÇÃO DE TABELAS 
As tabelas podem ser utilizadas para: 
i) Determinar o momento resistente de uma secção, dadas as armaduras; 
ii) Determinar as armaduras, dado o momento solicitante 
4.5.3.1 Determinação da capacidade resistente (Análise) 
Dado As1 e As2 determina-se  e 
Tabelas
 
()
   MRd =  b d
2fcd 
4.5.3.2 Dimensionamento de armaduras 
Dado Msd determina-se =
Msd
b d2 fcd
Tabelas
 
()
 1  As1 = 1 bd 
fcd
fyd
  As2 =  As1 
Refira-se que as tabelas da disciplina foram desenvolvidas para  = 0.85 
Notas: 
(i) No dimensionamento de uma secção, a posição da L.N. deve ser controlada por 
forma a que se tenha a garantia de um nível de ductilidade adequado. 
Caso isso não aconteça, será conveniente dispor de armaduras de compressão 
específicas ou modificar a secção da viga (aumentar a altura é mais eficiente que 
adaptar a largura, no entanto, na prática do projecto, a altura está muitas vezes mais 
condicionada). 
(ii) Numa viga, existe, de qualquer forma, sempre armadura de compressão, por 
razões construtivas, em geral, com um nível não inferior a  = 0.1. 
Directamente através dos valores adimensionais do momento (), e não considerando 
o papel da armadura de compressão, é possível ter, para uma dada secção, uma 
noção do nível de esforço actuante e da potencial ductilidade. 
 Momento elevado  k próximo de 0.668 (A400)  s próximo de yd 
  0.30 (secção pouco dúctil) 
 Momento médio  k < 0.5 (secção dúctil, dimensionamento adequado) 
  0.10 a 0.25 
 Momento pequeno    0.10 (situação aceitável, a secção estará “folgada”) 
IMPORTANTE: Estes valores devem ser tomados como referência para um 
dimensionamento adequado e não como imposições regulamentares ou outras. Por 
Estruturas de Betão I 
 45 
exemplo, é possível ter valores de  mais elevados e ter-se, ainda, um nível de 
ductilidade adequado, com utilização de armadura de compressão.
No quadro seguinte, e para a flexão simples, apresentam-se as relações de 
dimensionamento  -  relativas à aplicação do REBAP ( = 0.85) e do EC2 ( = 1) 
com relações constitutivas dos aços de acordo com as Classes A, B e C. 
 
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45


EC2 - k=1,00
EC2 - Classe A - k=1,05
EC2 - Classe B - k=1,08
EC2 - Classe C - k=1,15
EC2 - Classe C - k=1,35
REBAP
 
 
Verifica-se que as diferenças nos valores resistentes são pouco significativas, sendo a 
maior entre o REBAP (linha inferior) e o EC2, tomando a classe de aço C com k = 1.35 
(linha superior). 
As diferenças mais importantes são devidas à consideração do aumento da resistência 
do aço para além da cedência (coeficiente k). Refira-se que na prática seria sempre 
desajustado tomar para o aço C um valor superior a k = 1.15 pois, havendo a 
possibilidade deste variar entre 1.15 e 1.35, ter-se-ia que tomar, sempre, o menor. 
O facto de se adoptar para o betão o coeficiente  0,85 (em vez do 1), só tem 
influência relevante para esforços elevados, pois aí começa a ter alguma influência a 
diminuição do braço das forças, devido ao aumento da zona das compressões. 
 
Estruturas de Betão I 
 46 
4.6 ESTIMATIVA DO MOMENTO RESISTENTE 
d
Fc
Mz
Fs
As
 
Para momentos de ordem de grandeza pequena a média verifica-se que, para 
secções rectangulares, é razoável admitir, de umas forma simplificada: z  0.9 d. 
M = Fsz Asfyd 0.9 d  As = 
M
0.9 d fyd
 
De facto, pela observação das tabelas de flexão simples (pág. 9), com  = 0, verifica-
se que: 
 para  = 0.15, z  (1