respostas ATIVIDADE 4

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LUCIANO 
ALVES 
DA 
SILVA
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Minha Área
)AIM1832 CALCULO APLICADO VARIAS VARIAVEIS EAD - 202010.112856.05	Unidade 4
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4)
Revisar envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4)
	
Pergunta 1	1 em 1 pontos
Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de um capacitor com capacitância de e um resistor com uma resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: , onde é a carga, medida em coulombs.
Dado que , assinale a alternativa correta.
Resposta Selecionada:	A função corrente é expressa por .
Resposta Correta:	A função corrente é expressa por .
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. A função corrente é a
da	derivada da função carga, isto é,	. A EDO	é
resposta:
uma equação linear de primeira ordem cuja solução pode ser expressa por	. Dada a EDO
, temos que	e .
Portanto, sua solução geral é
. Como	, segue que		e, assim, a função carga é expressa por		. Por fim, concluímos que a função
corrente é	.
 (
13/04/2020
) (
Revisar 
envio do teste: ATIVIDADE 4 (A4) – AIM1832 ...
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https://uniritter.blackboard.com/webapps/assessment/review/review.jsp?attempt_id=_31650591_1&course_id=_582120_1&content_id=_1269896… 
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/7
)
	
	
Pergunta 2	1 em 1 pontos
Leia o excerto a seguir:
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537).
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Considerando uma resistência de , uma indutância de e uma voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito quando o interruptor é ligado em .
Resposta Selecionada:	.
Resposta Correta:	.
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da equação
da	diferencial fornecida no enunciado,	, e dos valores
resposta:
fornecidos,	e , temos que
. Arrumando a expressão da equação diferencial,
temos
.
Tomando temos	.
Para	, temos que
, portanto a
expressão da corrente é .
	
Pergunta 3	1 em 1 pontos
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial: , onde é uma função do tempo que indica a posição da massa e é a constante elástica.
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
Resposta	 Selecionada:
	A posição da massa em qualquer momento é expressa por
Resposta	
Correta:	A posição da massa em qualquer momento é expressa por
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as da	seguintes condições:	(a mola no tempo	está esticada resposta:	em 0,8 m sendo seu comprimento natural de 0,5 m; portanto, está
deformada em 0,3 m) e (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica é:
. Tomando e na
EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o
PVI: , e temos que a solução geral da EDO é , portanto, a solução do PVI é . Portanto,
	
Pergunta 4	1 em 1 pontos
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial .
Resposta Selecionada:	.
Resposta Correta:	.
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada da	é uma equação separável. Separando as variáveis	e , podemos resposta:
reescrever a equação como	. Integrando
ambos os lados da igualdade, temos
.
	
Pergunta 5	1 em 1 pontos
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial	reduzida em 0,043% após 15
anos.
	
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
É correto o que se afirma em:
Resposta Selecionada: I e II, apenas.
Resposta Correta:	 I e II, apenas.
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação da	diferencial separável	, temos que as afirmativas I e II estão resposta:
corretas, pois
, onde .
Para , concluímos que e, para concluímos . Portanto, a função que representa o problema descrito é .
	
Pergunta 6	1 em 1 pontos
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor e uma força eletromotriz (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: .
Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de , uma indutância de e uma voltagem constante de .
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
Resposta Selecionada:	.
Resposta Correta:	.
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma da	EDO linear de primeira ordem	é expresso por resposta:
. Dada a EDO	,
temos que	e, portanto, o fator integrante é
.
	
Pergunta 7	1 em 1 pontos
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C.
	
Assinale a alternativa correta.
Resposta Selecionada: 20 minutos.
Resposta Correta:	 20 minutos.
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento
da	do bolo pode ser descrita pela equação diferencial
resposta:
onde e são fornecidas as seguintes informações: e . Nosso problema consiste em determinar o tempo , em minutos, tal que . Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde	. Das
condições e vamos determinar as constantes e . De temos . De , temos	. Portanto, a função temperatura do bolo é
. Vamos determinar agora o tempo para o qual
a temperatura é 30ºC. De , temos .
	
Pergunta 8	0 em 1 pontos
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) .
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias , 2003. Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019.
Assinale a alternativaque apresenta a solução do PVI: ,	.
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta:	.
Feedback Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Primeiramente, da	vamos separar as variáveis	e	na equação diferencial para poder resposta:	exibi-la na forma separável. Em seguida, vamos integrar ambos os
membros da igualdade para obter sua solução geral e, por fim, vamos usar a condição inicial para obter o valor da constante de integração e a solução do PVI. Então,
.
Como e obtemos: . Portanto, a solução do PVI é .
	
Pergunta 9	1 em 1 pontos
	A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual pode ser descrito pela equação , onde é uma função do tempo que indica a posição da massa, é a massa da mola e é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após segundos?
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
Resposta Selecionada:	.
Resposta Correta:	.
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as da	seguintes condições:	(a mola no tempo	está resposta:	esticada em 1,1 m sendo seu comprimento natural de 0,75 m; portanto,
está deformada em 0,35 m) e (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica é:
. Tomando e 
na EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o PVI:	,	e	, temos
que a solução geral da EDO é	e,
portanto, a solução do PVI é 
	
Pergunta 10	1 em 1 pontos
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da seguinte forma: , onde e são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau.
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
I. ( ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas.
II. ( ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. ( ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem
 é expressa por .
IV. ( ) A equação auxiliar de raízes complexas e apresenta como solução a função .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta Selecionada: V, F, F, F.
Resposta Correta:	 V, F, F, F.
Feedback Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das
da	equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, temos
resposta:	que, entre as afirmativas apresentadas, apenas a afirmativa I é verdadeira, sendo todas as outras falsas. Portanto, a sequência correta é V, F, F, F.