QUESTIONÁRIO UNIDADE II Cálculo diferencial e integral de várias variáveis

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07/10/2019 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE II – 6150-...
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Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE II
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS 6150-80_15402_R_20192 CONTEÚDO
Usuário soliane.pereira @unipinterativa.edu.br
Curso CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Teste QUESTIONÁRIO UNIDADE II
Iniciado 07/10/19 22:29
Enviado 07/10/19 22:31
Status Completada
Resultado da tentativa 2,5 em 2,5 pontos  
Tempo decorrido 2 minutos
Resultados exibidos Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente
Pergunta 1
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da
resposta:
A derivada da função f(x,y) = x cos (x . y) é:
Alternativa: e)
 
Resolução: devemos inicialmente derivar em relação a y:  
  
Derivando agora em relação a x, temos: 
Pergunta 2
Resposta Selecionada: d. 
Respostas: a. 
A derivada da função f(x,y) = Ln (xy) + ex y2 é:
UNIP EAD BIBLIOTECAS MURAL DO ALUNO TUTORIAIS LABORATÓRIOSCONTEÚDOS ACADÊMICOS
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
soliane.pereira @unipinterativa.edu.br 3
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b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da
resposta:
Alternativa: 
Resolução: devemos derivar inicialmente em relação a x e o resultado em relação a x
novamente, assim: 
Pergunta 3
Resposta Selecionada: b. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da
resposta:
A derivada da função f(x,y) = Ln (xy) + ex y2 é:
Alternativa: 
Resolução: devemos derivar inicialmente em relação a x e o resultado em relação a y,
assim: 
Pergunta 4
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
A função f(x,y) = e2y – sen(x) tem ponto crítico em:
Não tem ponto crítico.
(0, 0)
(1, 0)
(0, 3)
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
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d. 
e. 
Feedback
da
resposta:
(-1, 1)
Não tem ponto crítico.
Alternativa: e) Não tem ponto crítico. 
Resolução: os pontos críticos de uma função são os pontos que anulam as derivadas parciais. Assim,
devemos calcular as derivadas de f em relação a x e a y, igualar a zero e determinar os valores. 
Assim, temos:
fx = - cos x
fy = 2. e2y 
Igualando a zero, temos:
-cos x = 0 
2 - e2y = 0 (não tem solução)
Logo, a função não tem ponto crítico.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: c. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback
da
resposta:
A função f(x,y) = x2 + 3 x y + y2 tem ponto crítico em:
Alternativa: c) (0,0)
Resolução: os pontos críticos de uma função são os pontos que anulam as derivadas parciais. Assim,
devemos calcular as derivadas de f em relação a x e a y, igualar a zero e determinar os valores.
 
Logo, o ponto crítico da função será (0,0).
Pergunta 6
Resposta Selecionada: c. 
Respostas: a. 
A função f(x,y) = x2 + y2 + 4y – 6x + 12 tem ponto crítico em:
(3, -2)
(-2, 0)
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
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b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback
da
resposta:
(2, 3)
(3, -2)
(2, -3)
(-1, 1)
Alternativa: c) (3, -2)
Resolução: os pontos críticos de uma função são os pontos que anulam as derivadas parciais. Assim,
devemos calcular as derivadas de f em relação a x e a y, igualar a zero e determinar os valores. 
Assim, temos:
fx = 2x - 6 
fy = 2y + 4 
Igualando a zero, temos:
2x - 6 = 0 → x = 3
2y + 4 = 0 → y = -2 
Logo, o ponto crítico da função será (3,-2).
Pergunta 7
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da resposta:
A função f(x,y) = x2 + y2 - 4 x – 4y + 4 tem:
Mínimo relativo em (2, 2).
Mínimo relativo em (2, 2).
Máximo relativo em (2, 2).
Ponto de sela em (2, 2).
Não tem ponto crítico.
Mínimo em (2,1).
Alternativa: a) Mínimo relativo em (2, 2) 
Resolução: devemos inicialmente derivar a função em relação a x e a y e igualar a zero:
fx = 2x - 4
fy = 2 y - 4 
Igualando a zero, temos:
2x – 4 = 0 → x = 2
2 y – 4 = 0 → y = 2 
Devemos calcular as derivadas de 2a ordem de f(x,y) = x2 + y2 - 4 x – 4y + 4.  
Assim:
fxx = 2
fxy = 0
 
fyy = 2
fyx = 0
Substituindo em D, temos:
D = fxx . fyy – (fxy)2 = 2 . 2 – 0 . 0 = 4 > 0 
fxx = 2 > 0 , logo (2, 2) é ponto de mínimo relativo.
Pergunta 8
Resposta Selecionada: b. 
A função f(x,y) = x2 + y2 - 4 x – 4y + 4, no retângulo 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3, tem:
Mínimo absoluto em (2, 2).
0,25 em 0,25 pontos
0,25 em 0,25 pontos
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Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da resposta:
Máximo relativo em (2, 2).
Mínimo absoluto em (2, 2).
Ponto de sela em (1, 1).
Não tem ponto crítico.
Mínimo em (2, -1).
Alternativa: b) Mínimo absoluto em (2, 2) 
Resolução: devemos inicialmente derivar a função em relação a x e a y e igualar a zero.
fx = 2x - 4
fy = 2y - 4
 Igualando a zero, temos:
2x – 4 = 0 → x = 2
2 y – 4 = 0 → y = 2
Devemos calcular as derivadas de 2a ordem de f(x,y) = x2 + y2 - 4 x – 4y + 4.  
Assim:
fxx = 2
fxy = 0
 fyy = 2
fyx = 0
 
Substituindo em D, temos:
D = fxx . fyy – (fxy)2 = 2 . 2 – 0 . 0 = 4 > 0 
fxx = 2 > 0 ; logo, (2, 2) é ponto de mínimo relativo.
f(2,2) = 22 + 22 – 4 . 2 – 4 . 2 + 4 = 4 + 4 – 8 – 8 + 4 = - 4 (valor mínimo)
 Calculando os pontos da fronteira, temos:
 
L1: x = 0 e 0 ≤ y ≤ 3 
f(0,y) = 02 + y2 – 4 . 0 – 4 . y + 4 = y2 – 4 .y + 4 (parábola - ramo decrescente)
f(0,0) = 4 (máximo).
f(0,3) = 32 – 4. 3 + 4 = 1 (mínimo)
 L2: y = 0 e 0 ≤ x ≤ 2 
f(x,0) = x2 – 4 . x – 4 . 0 + 4 = x2 – 4 .x + 4 (parábola - ramo decrescente)
f(0,0) = 4 (máximo)
f(2,0) = 22 – 4. 2 + 4 = 0 (mínimo)
 
L3: x = 2 e 0 ≤ y ≤ 3 
f(2,y) = 22 + y2 – 4 . 2 – 4 . y + 4 = y2 – 4 .y (parábola - ramo crescente)
f(2,0) = 0 (máximo)
f(2,3) = 32 – 4. 3 = - 3 (mínimo)
 
L4: y = 3 e 0 ≤ x ≤ 2 
f(x,3) = 32 + x2 – 4 . 3 – 4 . x + 4 = x2 – 4 .x + 1 (parábola - ramo decrescente)
f(0,3) = 1 (máximo)
f(2,3) = 22 – 4. 2 + 4 = - 3 (mínimo)
 Comparando os valores na fronteira com o valor da função no ponto crítico, temos:
Máximo absoluto: f(0,0) = 4 
Mínimo absoluto: f(2,2) = - 4
Pergunta 9
Resposta Selecionada: d. 
O gradiente da função f(x,y) = y2 + cos (x) no ponto é:
(-1, 4)
0,25 em 0,25 pontos
07/10/2019 Revisar envio do teste: QUESTIONÁRIO UNIDADE II – 6150-...
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Segunda-feira, 7 de Outubro de 2019 22h31min41s BRT
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da resposta:
(1, 4)
(1, -4)
(-1,-4)
(-1, 4)
(1, 2)
Alternativa: d) (-1, 4) 
Resolução: devemos inicialmente calcular as derivadas parciais de f: 
Pergunta 10
Resposta Selecionada: c. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Feedback da resposta:
Sendo f(x,y) = x2 + 2xy – y2 o valor de Δ, o determinante formado pelas derivadas de 2a ordem de f é igual a:
- 8
4
2
- 8
8
- 4
Alternativa: c) – 8
Resolução: devemos calcular as derivadas de 2a ordem de f(x,y) = x2 + 2xy – y2. 
 
Assim:
fx = 2 x + 2y
fxx = 2
fxy = 2
 
fy = - 2 y + 2x
fyy = - 2
fyx = 2
Substituindo em D, temos:
D = fxx . fyy – (fxy)2 = 2 . (-2) – 22 = - 4 – 4 = - 8
← OK
0,25 em 0,25 pontos
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