Cálculo Aplicado - Atividade 2

Prévia do material em texto

09/04/2020 Minha Disciplina
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 1/5
Usuário ALEXIA FERNANDA BISERRA QUESADA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS ENGCI201 - 202010.ead-
29770693.06
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
Iniciado 01/03/20 15:03
Enviado 08/04/20 17:25
Status Completada
Resultado da
tentativa
9 em 10 pontos 
Tempo decorrido 914 horas, 21 minutos
Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Feedback
da
resposta:
A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e
volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função , onde é uma
constante dada, considere um gás com o volume de sob uma pressão de . O
volume está aumentando a uma taxa de e a pressão está decrescendo a uma taxa de 
 por segundo.
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações
anteriores. (Use ). 
 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases ideais ,
onde , temos . Pelas informações do enunciado, temos 
, , e . Derivando a função com relação
ao tempo , pela regra da cadeia, temos: , onde e 
. Assim, .
Portanto, a temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no instante
dado.
Pergunta 2
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada etapa. Esse tipo de
função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. No caso de funções de duas variáveis,
temos que observar quais são as variáveis independentes, as variáveis intermediárias e a variável
dependente. Sabemos que podemos escrever . Se e 
 e .
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/04/2020 Minha Disciplina
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 2/5
Feedback
da
resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das
variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das variáveis 
 e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável. Dessa
forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes.
Pergunta 3
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Suponha que seja uma função diferenciável de e , tal que . No entanto, 
 e são funções de expressas por e . Para se obter a derivada de 
 com relação a variável devemos fazer uso da regra da cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à derivada de em
relação a , isto é, , para quando .
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que
, onde . Assim,
. Dado que , temos
.
Pergunta 4
Resposta
Selecionada:
 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento ou decrescimento
da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere, então, a seguinte situação: A
temperatura em cada ponto de uma placa retangular é determinada por meio da função 
 . 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do
vetor .
 
 
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu vetor
gradiente são: , e . Assim, dado o
ponto (3,4), temos . O vetor é unitário, então a derivada
direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada:
.
Pergunta 5
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável
(ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/04/2020 Minha Disciplina
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 3/5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback da
resposta:
corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de
funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto 
 .
II - O domínio da função é o conjunto .
III - O domínio da função é o conjunto .
IV - O domínio da função é o conjunto .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada função,
concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.
Pergunta 6
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um ponto
pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível que passa
por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função no ponto P, precisamos
conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode
ser escrita como . 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano tangente à
função no ponto P(1,-1).
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e . Calculando o valor da função e suas derivadas parciais
no ponto P(1,-1) temos: , e . Assim,
trocando essas informações na equação do plano 
 obtemos 
.
Pergunta 7
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções da variável ,
isto é, e . A derivada da função com relação à variável é obtida por meio da
regra da cadeia expressa por . Pela regra da cadeia, podemos notar que
precisamos das derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das
derivadas das funções e com relação à variável . 
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
09/04/2020 Minha Disciplina
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 4/5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função
 com relação à variável , sabendo que e . 
 
 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Utilizando a regra da cadeia,
precisamos calcular as derivadas as quais são expressas por 
, , e . Dessa forma,
. Trocando as expressões de e , temos
.
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são funções das variáveis 
 e , isto é, e . A derivada da função com relação à
variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por . Já a derivada de 
 com relação à variável é obtida por meio da expressão . 
 
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função 
 com relação às variáveis e , sabendo que e . 
 
 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a
derivada parcial de com relação a é: . Já a
derivada parcial de com relação a é: .
Pergunta 9
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente da função
estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os dois vetores é nulo. Essa
afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é máxima para o vetor unitáriodo vetor
gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo crescimento da função
 no ponto P(-1,1). 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
09/04/2020 Minha Disciplina
https://fmu.blackboard.com/webapps/late-Course_Landing_Page_Course_100-BBLEARN/Controller# 5/5
resposta: gradiente são: , e 
. Logo, . Como a direção de
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
Pergunta 10
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Feedback
da
resposta:
A direção e o sentido de maior decrescimento de uma função em um dado ponto é dada pelo vetor
oposto ao vetor gradiente, visto que esse representa a direção e o sentido de maior crescimento.
Sabendo disso, suponha que a função represente uma distribuição de
temperatura no plano (suponha medida em graus Celsius, e medidos em ). 
 
Dado o ponto , assinale a alternativa que corresponde à direção de maior decrescimento da
temperatura e sua taxa de variação mínima. 
 
 
Direção e taxa mínima de .
Direção e taxa mínima de .
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior decrescimento é oposta
ao vetor gradiente no ponto considerado, isto é . Já a variação de
temperatura é mínima em . (O sinal negativo
apenas indica que a temperatura é mínima).
1 em 1 pontos