PA exercicios nivel 2

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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2014
PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU
AULA 2: Sequências Numéricas
	
	
 Progressão Aritmética - RESUMO
Uma sucessão aritmética é também chamada de Progressão Aritmética se a diferença entre seus termos consecutivos for constante.
Termo Geral de uma Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética genérica pode ser escrita da forma (a1, a2, a3, ... , an, ...) cuja a razão é r. 
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r 
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r 
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos deduzir das igualdades acima que: an = a1 + (n – 1).r (denominada termo geral da PA).
Dessa fórmula, temos que:
→ an é o termo de ordem n (n-ésimo termo);
→ r é a razão;
→ a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.
Propriedades de uma PA
- 1ª Propriedade: Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente.
Desta forma na P.A. temos: (a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an) => 
2
a
a
a
1
k
1
k
k
+
-
+
=
 Exemplo: P.A = (1,3,5,7,9,11,...) => 
2
7
3
5
+
=
; 
2
11
7
9
+
=
; etc.
 - 2ª Propriedade: Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Na P.A. (a1, a2,..., an-1, an) temos 
.
etc
...
a
a
a
a
1
n
2
n
1
=
+
=
+
-
Exemplo: PA (1,2,3,...98, 99, 100) => Temos: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100.
 - 3ª Propriedade: Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média aritmética dos termos equidistantes a ele.. 
Exemplo: PA (3, 5, 7, 9, 11) => 
2
9
5
2
11
3
7
+
=
+
=
.
  
Soma dos termos uma Progressão Aritmética (P.A.): Soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semissoma dos extremos pelo número de termos. 
Demonstração. Se fizermos a soma dos n termos de uma PA finita ordenando de forma crescente e decrescente os termos teremos: 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
n
2
1
n
3
2
n
2
n
3
1
n
2
n
1
n
1
2
3
2
n
1
n
n
n
n
1
n
2
n
3
2
1
n
a
a
a
a
a
a
...
a
a
a
a
a
a
S
.
2
a
a
a
...
a
a
a
S
a
a
a
...
a
a
a
S
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
î
í
ì
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
-
-
-
-
-
-
-
-
Como há n termos de mesmo valor (a1 + an), pela propriedade 2, temos: 
2
n
).
a
a
(
S
n
1
+
=
Exemplo: Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...).
Solução: 
610
)
10
).(
61
(
2
20
).
59
2
(
2
n
).
a
a
(
S
59
57
2
a
3
).
1
20
(
2
a
n
1
20
20
=
=
+
=
+
=
Þ
=
+
=
Þ
-
+
=
.
Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.): Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde  a1 e an são os extremos.
Como a1 e an são sempre dados, basta determinar a razão r.
Exemplo: Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38.
Solução. 3, ____,____,____,_____,38
 
a1 = 3; an = 38; n = 6; r = ?
an = a1 + (n – 1)r => r = 7. Logo, PA (3, 10, 17, 24,31,38).
Progressão Aritmética de 2ª Ordem
A definição de progressão aritmética utilizada até agora, na verdade é um caso particular chamado progressão aritmética de 1ª ordem, onde a subtração dos termos consecutivos é constante. No caso da PA de 2ª ordem a segunda subtração de termos consecutivos e que será constante.
Exemplo 1: (1, 3, 6, 10, ...)
1ª subtração: 3 – 1 = 2; 6 – 3 = 3; 10 – 6 = 4, .... Observe que as diferenças não são constantes, mas os resultados (2, 3, 4,...) formam um PA de razão constante igual a 1. 
De forma geral, podemos escrever essa situação da seguinte forma:
i) a1, a2, a3, a4, ...., an representando a PA de 2ª ordem. ii) b1, b2, ...,bn-1 representando a PA de 1ª ordem.
a2 – a1 = b1
a3 – a2 = b2
a4 – a3 = b3
................
an – an -1 = bn-1
Adicionando os dois membros entre si, observamos que os termos simétricos do 1º membro se anulam sobrando (an – a1) e no 2º membro forma-se uma soma de PA. Escrevendo essa expressão, temos: 
2
)
1
n
).(
b
b
(
a
a
2
)
1
n
).(
b
b
(
a
a
1
n
1
1
n
1
n
1
1
n
-
+
+
=
Þ
-
+
=
-
-
-
.
Exemplo 2. “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. E conveniente definir 1 como o primeiro numero triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. O valor de T100 é igual a:
a) 5.050 b) 4.950 c) 2.187 d) 1.458 e) 729
5050
5049
1
)
99
).(
51
(
1
a
2
99
).
102
(
1
2
99
).
100
2
(
1
a
100
98
2
1
).
1
99
(
2
b
2
99
).
b
2
(
1
2
)
1
100
).(
b
2
(
1
a
1
100
99
99
1
100
100
=
+
=
+
=
Þ
Þ
+
=
+
+
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
=
+
=
-
+
=
+
+
=
-
+
+
=
-
.
Questão da UERJ:
A soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha é:
Solução. Cada coluna da esquerda para a direita é uma PA de razões respectivamente, 3, 4 e 5. Calculando as somas dos vinte termos de cada coluna, temos:
2520
1050
840
630
:
Total
1050
)
10
).(
105
(
2
20
).
100
5
(
S
100
95
5
5
).
19
(
5
5
).
1
20
(
5
a
:
ª
3
)
iii
840
)
10
).(
84
(
2
20
).
80
4
(
S
80
76
4
4
).
19
(
4
4
).
1
20
(
4
a
:
ª
2
)
ii
;
630
)
10
).(
63
(
2
20
).
60
3
(
S
60
57
3
3
).
19
(
3
3
).
1
20
(
3
a
:
ª
1
)
i
20
20
20
20
20
20
=
+
+
Þ
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ì
ï
î
ï
í
ì
=
=
+
=
=
+
=
+
Þ
-
+
=
ï
î
ï
í
ì
=
=
+
=
=
+
=
+
Þ
-
+
=
ï
î
ï
í
ì
=
=
+
=
=
+
=
+
Þ
-
+
=
.
Soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética de 2ª Ordem
Expressando a soma dos termos de an, temos:
r
).
C
...
10
6
3
1
(
b
)
1
n
(
a
b
a
a
...
r
15
b
6
a
r
5
b
r
10
b
5
a
b
r
10
b
5
a
b
a
a
r
10
b
5
a
r
4
b
r
6
b
4
a
b
r
6
b
4
a
b
a
a
r
6
b
4
a
r
3
b
r
3
b
3
a
b
r
3
b
3
a
b
a
a
r
3
b
3
a
r
2
b
r
b
2
a
b
r
b
2
a
b
a
a
r
b
2
a
r
b
b
a
b
b
a
b
a
a
b
a
a
a
a
1
1
1
n
1
n
n
1
1
1
1
1
6
1
1
6
6
7
1
1
1
1
1
5
1
1
5
5
6
1
1
1
1
1
4
1
1
4
4
5
1
1
1
1
1
3
1
1
3
3
4
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
3
1
1
2
1
1
+
+
+
+
+
+
-
+
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
=
-
-
Somando os termos do 1º e igualando à soma dos termos (a1), (b1) e (r), temos:
r
)
C
...
10
6
3
1
(
2
)
1
n
.(
n
.
b
a
.
n
a
...
a
a
a
r
)
C
...
10
6
3
1
(
b
).
1
n
(
...
2
1
(
a
.
n
a
...
a
a
a
1
1
n
3
2
1
1
1
n
3
2
1
+
+
+
+
+
-
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
=
+
+
+
+
O coeficiente da terceira parcela do 2º membro pode ser escrito da seguinte forma:
)
k
...
4
3
2
1
(
...
)
4
3
2
1
(
)
3
2
1
(
)
2
1
(
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 -> (*)
Essa expressão representa a soma de soma de progressões aritméticas de razão 1. Temos:
4
)
1
k
(
k
2
)
1
k
(
k
.
2
1
k
.
2
1
2
k
:
OBS
2
k
2
k
2
)
1
k
(
k
)
k
...
4
3
2
1
(
...
)
4
3
2
1
(
)
3
2
1
(
)
2
1
(
1
2
+
=
+
=
=
+
=
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
å
å
å
å
å
Observação: Calculando 
å
2
k
, temos:
(
)
[
]
[
]
[
]
6
)
1
k
2
).(
1
k
.(
k
k
6
.
k
k
2
)
1
k
(
k
6
2
.
k
3
2
k
4
k
2
)
1k
(
k
6
2
.
k
3
)
1
k
(
2
)
1
k
(
k
2
1
k
2
)
1
k
.(
k
3
)
1
k
(
2
k
.
3
1
k
2
)
1
k
.(
k
3
)
1
k
(
k
.
3
1
k
2
)
1
k
.(
k
3
k
.
3
)
1
k
(
1
k
k
.
3
k
.
3
k
...
3
2
1
)
1
k
(
k
...
3
2
1
1
1
.
3
.
3
1
k
.
3
k
)
1
k
(
...
1
1
.
3
.
3
3
.
3
3
)
1
3
(
1
1
.
2
.
3
2
.
3
2
)
1
2
(
1
1
.
1
.
3
1
.
3
1
)
1
1
(
1
1
.
0
.
3
0
.
3
0
)
1
0
(
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
+
+
=
Þ
+
+
=
Þ
-
-
+
+
+
=
Þ
Þ
-
-
+
+
=
Þ
+
-
+
-
+
=
Þ
Þ
-
-
+
-
+
=
Þ
+
+
+
+
=
+
Þ
Þ
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
Þ
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
å
å
å
å
å
å
å
å
å
No caso da soma dos termos da PA de segunda ordem, k = (n – 2).
[
]
6
)
1
n
).(
2
n
.(
n
.
r
2
)
1
n
.(
n
.
b
a
.
n
a
...
a
a
a
12
3
)
3
n
2
(
).
1
n
).(
2
n
(
.
r
2
)
1
n
.(
n
.
b
a
.
n
a
...
a
a
a
12
)
1
2
n
)(
2
n
(
3
12
)
1
)
2
n
(
2
).(
1
2
n
).(
2
n
(
.
r
2
)
1
n
.(
n
.
b
a
.
n
a
...
a
a
a
1
1
n
3
2
1
1
1
n
3
2
1
1
1
n
3
2
1
-
-
+
-
+
=
+
+
+
+
+
-
-
-
+
-
+
=
+
+
+
+
+
-
-
+
+
-
+
-
-
+
-
+
=
+
+
+
+
QUESTÕES 
1. (EFOMM) Todos os anos uma fábrica aumenta a produção em uma quantidade constante. No 5º ano de funcionamento, ela produziu 1460 peças, e no 8º ano, 1940. Quantas peças, então, ela produziu no 1º ano de funcionamento? 
a) 520 b) 475 c) 598 d) 621 e) 820 
2. (EFOMM) Os números inteiros de 1 ao 500 são escritos na disposição abaixo
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
L
L
L
L
L
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A escrita se repete, na mesma disposição, a cada vez que se atinge o valor 500. O número escrito na quarta coluna da 134ª linha é:
a) 158 b) 159 c) 160 d) 169 e) 170
3. (UENF) Observe a sequência numérica a seguir: (0, 3, 8, 15, 24,...). Determine em relação a essa sequência:
a) seu 6º termo; b) a expressão do termo de ordem n;
4. (UFSCAR) Sejam as sequências 
(
)
,...
a
,
a
,
a
,
75
4
3
2
 e 
(
)
,...
b
,
b
,
b
,
25
4
3
2
 duas progressões aritméticas de mesma razão. Se 
496
b
a
100
100
=
+
, então 
100
100
b
a
 é igual a:
a) 
223
273
 b) 
219
269
 c) 
187
247
 d) 
191
258
 e) 
171
236
5. (MACKENZIE) Observe a disposição, abaixo, da sequencia dos números naturais ímpares.
1ª linha → 1
2ª linha → 3, 5
3ª linha → 7, 9, 11
4ª linha → 13, 15, 17, 19
5ª linha → 21, 23, 25, 27, 29
....................................
O quarto termo da vigésima linha é:
a) 395 b) 371 c) 387 d) 401 e) 399
6. (ESPM) De 1995 a 2004, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em progressão aritmética. Em 2004 constatou-se que o número de habitantes era 8% maior que no ano anterior. Pode-se concluir que, de 1995 a 2004, a população dessa cidade aumentou em:
a) 200% b) 180% c) 160% d) 100% e) 80%
7. (FUVEST) Em uma progressão aritmética (a1, a2, ...,an, ...) a soma dos n primeiros termos é dada por
n
n
.
b
S
2
n
+
=
, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine:
a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.
b) o 20º termo da progressão.
c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão
8. (VUNESP) Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde. No 1º dia de caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do que caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que caminhou no 1º dia, e assim por diante. Considerando o período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um total de 243750 metros.
a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia. b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia.
9. (UFC) Seja f uma função polinomial de primeiro grau, crescente e tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real. A sequência (2, 5, 8,..., 44) é uma progressão aritmética de razão 3.
Calcule valor numérico de f(2) + f(5) + f(8) +...+ f(44).
a) 1020 b) 1065 c) 1110 d) 1185 e) 1260
10. (UERJ) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37. Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, qual o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila?
11. (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade salto a distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho:
- todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par, inválidos;
- O primeiro salto atingiu a marca de 7,04m, o terceiro a marca de 7,07m e assim sucessivamente cada salto aumentou sua medida em 3cm.
O último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22m Calcule n.
12. (UERJ) Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010.
A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida constante ao longo de um determinado período. Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal do depósito da empresa A será igual ao da empresa B.
13. (UERJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras:
- antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, dizendo "cara" ou "coroa";
- quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente;
- em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla.
Veja o quadro que ilustra o jogo:
O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro. Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.
14. (UERJ) Geraldo contraiu uma dívida que deveria ser paga em prestações mensais e iguais de R$500,00 cada uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de correção monetária. Um mês após contrair essa dívida, Geraldo pagou a 1ª prestação e decidiu que o valor de cada uma das demais prestações seria sempre igual ao da anterior acrescido de uma parcela constante de K reais, sendo K um número natural. Assim, a dívida poderia ser liquidada na metade do tempo inicialmente previsto. Se a dívida de Geraldo for de R$9000,00 qual será o valor de K? 
15. (UERJ) Leia com atenção a história em quadrinhos.
Considere que o leão da história tenha repetido o convite por várias semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre aumentando em 4 unidades o número de convites feitos nasemana anterior. Imediatamente após ter sido feito o último dos 492 convites, qual era o número de semanas já decorridas desde o primeiro convite?
Respostas: 1) e; 2) d; 3) a) 35; b) 
1
n
a
2
n
+
=
; 4) a; 5) c; 6) a; 7) a) 
5
6
b
=
; 
5
12
r
=
; b) 
5
239
a
20
=
; c) 
500
S
20
=
;
8) a) 750m; b) 22500m; 9) b; 10) 7; 11) n = 13; 12) fev/2011; 13) 760; 14) 125; 15) 12.
4
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