Avaliação II(algebra linear e vetorial)

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1.
	A figura anexa apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine, vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A).
	
	a)
	AC.
	b)
	AD.
	c)
	AB.
	d)
	AE.
	2.
	Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LI:
	a)
	{(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}
	b)
	{(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}
	c)
	{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
	d)
	{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
	3.
	Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estas situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. Contudo, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores, analise as opções a seguir sobre os itens que possuem ângulos agudos:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2)
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1)
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3)
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4)
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3)
Assinale a alternativa CORRETA:
	a)
	As opções I e IV estão corretas.
	b)
	As opções III e V estão corretas.
	c)
	Somente a opção II está correta.
	d)
	As opções I, III e IV estão corretas.
Anexos:
	4.
	Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, determine qual alternativa apresenta a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (-2, 4, -1) e v = (4, 3, -3). Analise as sentenças a seguir:
I- Os vetores são perpendiculares.
II- Os vetores formam um ângulo agudo.
III- Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV- Os vetores são complementares.
Assinale a alternativa CORRETA:
	a)
	Somente a sentença II está correta.
	b)
	Somente a sentença I está correta.
	c)
	Somente a sentença IV está correta.
	d)
	Somente a sentença III está correta.
	5.
	A figura que segue apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como sendo as extremidades de um vetor. Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	a)
	F - V - F - V - F.
	b)
	V - V - F - F - V.
	c)
	V - F - V - V - F.
	d)
	F - V - V - F - V.
	6.
	A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Com base nos pontos A(1, -2) e B(-2, -6), determine o vetor formado pelo segmento AB e a sua norma respectivamente. Analise as seguintes opções e assinale a alternativa CORRETA:
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção III está correta.
	c)
	Somente a opção II está correta.
	d)
	Somente a opção I está correta.
	
	Para quaisquer dois pontos no espaço, os ângulos formados entre eles resultam (caso somados) em 360°. Uma forma de observar este fato é a questão que indica que dois vetores não paralelos, definem um plano no espaço, e assim sendo, podemos enxergá-los neste plano em que eles residem. A partir daí, define-se o ângulo entre dois vetores, como sendo o "menor" ângulo que dois vetores podem formar, e é elementar que este valor esteja variando de 0 a 180°. No exemplo a seguir, é possível perceber dois vetores cujo "menor" ângulo formado entre eles é agudo, ou seja, menor do que o ângulo reto. Então, imagine agora um vetor v, que forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados (X e Y) positivos em R². Calcule suas coordenadas, sabendo que a norma de v é igual a 4.
	
	a)
	(4,0,0).
	b)
	(1,2,1).
	c)
	(2,2,2).
	d)
	(2,0,0).
	*
	Observação: A questão número 7 foi Cancelada.
	8.
	Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
	a)
	{(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}
	b)
	{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}
	c)
	{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}
	d)
	{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
Anexos:
	9.
	A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário caso não seja. Este é um dos processos utilizados para delimitar vetores que são ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-SCHMIDT), ou seja, além de serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens a seguir apresenta a normalização do vetor v = (4, 1, -8) e assinale a alternativa CORRETA:
	
	a)
	Somente a opção III está correta.
	b)
	Somente a opção IV está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção II está correta.
	10.
	A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Com base nos pontos A(3, -5) e B(-2, 7), analise as opções, determinando qual dos itens compõe o vetor formado pelo segmento AB e a sua norma respectivamente e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
	
	a)
	Somente a opção II está correta.
	b)
	Somente a opção I está correta.
	c)
	Somente a opção III está correta.
	d)
	Somente a opção IV está correta.