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TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

Pré-visualização | Página 11 de 14

superficiais, 
essas correntes se espalham ao longo da placa e se acumula principalmente nas bordas 
da placa, tanto considerando as correntes superficiais na borda da placa, quanto 
considerando as correntes no centro da placa. 
3.6.2 Função Triangular de Base e teste 
 
Uma nova formulação foi proposta, onde aplicou-se o MoM para a solução do 
problema de espalhamento eletromagnético de uma placa condutora utilizando a 
Função Triangular de base e teste. Para a resolução, utilizou-se a função de base 
triangular, como se verifica na equação (3.54). 
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Número de Sub-áreasNúmero de Sub-áreas
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
o
rr
e
n
te
 (
A
/m
²)
 
 
59 
 
𝑱𝑠(𝒓
′) = ∑𝐼𝑗
𝑥𝑇𝑗
𝑥(𝒓′)�̂� + 𝐼𝑗
𝑦
𝑇𝑗
𝑦(𝒓′)�̂�.
𝑁
𝑗=1
 
(3.54) 
 
onde 𝐼𝑗
𝑥 e 𝐼𝑗
𝑦
 são os coeficientes complexos desconhecidos associadoas as funções de 
base, 𝑇𝑗
𝑥(𝒓′) e 𝑇𝑗
𝑦
(𝒓′), essas foram apresentadas na Seção 2.4.3. 
Utilizou-se o método de Galerkin para a função de teste, 𝑾𝑖(𝒓′), que é o 
conjugado complexo das funções de base e é definido como: 
 
𝑾𝑖(𝒓
′) = ∑𝑇𝑖
𝑥(𝑟)𝑥 + 𝑇𝑖
𝑦
(𝑟)
𝑁
𝑖=1
�̂�. 
(3.55) 
 
Aplicando as equações (3.54) e (3.55) na equação matricial (3.36), tem-se: 
 
[𝑉
𝐸𝑥
𝑉𝐸𝑦
] = [𝑍
𝐸𝑥𝑥 𝑍𝐸𝑥𝑦
𝑍𝐸𝑦𝑥 𝑍𝐸𝑦𝑦
] [𝐼
𝐽𝑥
𝐼𝐽𝑦
], 
 
(3.56) 
onde os elementos da matriz são: 
 
𝑉𝑖
𝐸𝑥 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑖
𝑥(𝑥)�̂�. [�̂� × 𝑬𝒊(𝒓)]
𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝑦
4
𝑖=1
 
 
(3.57) 
𝑉𝑖
𝐸𝑦
= ∑∫ ∫ 𝑇𝑖
𝑦(𝑥)�̂�. [�̂� × 𝑬𝒊(𝒓)]
𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝑦
4
𝑖=1
 
(3.58) 
 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑇𝑖
𝑥(𝑥)𝑇𝑗
𝑥(𝑥′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
4
𝑗=1
4
𝑖=1
+
𝜕𝑇𝑖
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑇𝑗
𝑥(𝑥′)
𝜕𝑥
)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦. 
 
 
 
 
(3.59) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (
𝜕𝑇𝑖
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑇𝑗
𝑦(𝑦′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
4
𝑗=1
4
𝑖−1
. 
 
(3.60) 
 
 
60 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑥
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (
𝜕𝑇𝑖
𝑦(𝑦)
𝜕𝑥
𝜕𝑇𝑗
𝑥(𝑥′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
4
𝑗=1
4
𝑖−1
. 
 
(3.61) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑇𝑖
𝑦(𝑦)𝑇𝑗
𝑦(𝑦′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
4
𝑗=1
4
𝑖=1
+
𝜕𝑇𝑖
𝑦(𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑇𝑗
𝑦(𝒚)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦. 
 
 
 
(3.62) 
 
Como 
𝜕𝑇𝑖
𝑥
𝜕𝑥
=
𝜕𝑇𝑖
𝑦
𝜕𝑦
=
𝜕𝑇𝑗
𝑥
𝜕𝑥
=
𝜕𝑇𝑗
𝑦
𝜕𝑦
= 1, assim as equações (3.59) a (3.62) podem ser 
reescritas como: 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑇𝑖
𝑥(𝑥)𝑇𝑗
𝑥(𝑥′))𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.
4
𝑗=1
4
𝑖=1
 
 
 
 
 
(3.63) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
4
𝑗=1
4
𝑖−1
. 
 
(3.64) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑥
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
4
𝑗=1
4
𝑖−1
. 
 
(3.65) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑇𝑖
𝑦(𝑦)𝑇𝑗
𝑦(𝑦′))𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
4
𝑗=1
4
𝑖=1
. 
 
(3.66) 
 
Para a solução de todas as integrais foi utilizado a Quadratura Gaussiana de de 2 e 
2 e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), 
respectivamente. 
Foi desenvolvido um código no software Matlab para implementar as equações 
obtidas nesta seção e obter a densidade superficial de corrente superficial na borda e no 
centro da placa condutora com a incidência de um campo eletromagnético. A Figura 3-9 
ilustra a densidade de carga superficial obtida computacionalmente, para o centro e 
 
 
61 
 
borda da placa CEP discretizada em 35 segmentos, resultando em 1225 sub-áreas. A 
Figura 3-10 ilustra a distribuição de corrente ao longo de toda a placa. 
 
 
Figura 3-9 - Densidade de corrente superficial para função de base triângulo 
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Número de Sub-áreas
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
o
rr
e
n
te
 (
A
/m
²)
 
 
Borda
Centro
 
 
62 
 
 
Figura 3-10 – Distribuição de corrente ao longo da placa (35 segmentos) 
 
Verifica-se na Figura 3-9 que o valor da Densidade de Corrente é 
substancialmente maior nas bordas da placa, indicando uma maior circulação de 
corrente nessas regiões. Comprando os resultados apresentados na Figura 3-9 com os 
exibidos na Figura 3-7, nota-se que a uma proximidade nos resultados, porém os 
resultados para pulso guardam certa imprecisão devido os elementos em (3.51) e (3.52) 
serem nulos. A não simetria da solução exibida na Figura 3-9 e Figura 3-10 deve-se ao 
fato da onda incidente estar polarizada ao longo da diagonal da placa nesta direção 
existe uma indução maior de corrente. 
3.6.3 Função Pulso - Triângulo de Base e teste 
 
Aplicou-se o MoM para a solução do problema de espalhamento eletromagnético 
de uma placa condutora utilizando a Função Pulso-Triângulo de base e teste, conforme 
se verifica na equação (3.39). 
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Número de Sub-áreasNúmero de Sub-áreas
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
o
rr
e
n
te
 (
A
/m
²)
 
 
63 
 
 
𝑱𝑠(𝒓
′) = ∑𝐼𝑗
𝑥𝑇𝑃𝑗
𝑥(𝒓′)�̂� + 𝐼𝑗
𝑦
𝑇𝑃𝑗
𝑦(𝒓′)�̂�,
𝑁
𝑗=1
 
(3.67) 
 
onde 𝐼𝑗
𝑥 e 𝐼𝑗
𝑦
 são os coeficientes complexos desconhecidos associadoas as funções de 
base, 𝑇𝑃𝑗
𝑥(𝒓′) e 𝑇𝑃𝑗
𝑦
(𝒓′), nas direções �̂� e �̂�, respectivamente, 𝑇𝑃𝑗
𝑥(𝒓′) e 𝑇𝑃𝑗
𝑦
(𝒓′) foi 
apresentado na Seção 2.4.4. 
Utilizou-se a função de Galerkin para a escolha da função de teste, 𝑾𝑖(𝒓′), que é o 
conjugado das funções de base, e é dada por: 
 
𝑾𝑖(𝒓
′) = ∑𝑇𝑃𝑖
𝑥(𝑟)𝑥 + 𝑇𝑃𝑖
𝑦
(𝑟)
𝑁
𝑖=1
�̂�. 
(3.68) 
 
Aplicando as equações (3.67) e (3.68) na equação matricial (3.36), tem-se: 
 
[𝑉
𝐸𝑥
𝑉𝐸𝑦
] = [𝑍
𝐸𝑥𝑥 𝑍𝐸𝑥𝑦
𝑍𝐸𝑦𝑥 𝑍𝐸𝑦𝑦
] [𝐼
𝐽𝑥
𝐼𝐽𝑦
], 
 
(3.69) 
onde os elementos das matrizes são: 
 
𝑉𝑖
𝐸𝑥 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖
𝑥(𝑥)�̂�. [�̂� × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
.
2
𝑖=1
 
 
(3.70) 
𝑉𝑖
𝐸𝑦
= ∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖
𝑦
(𝑥)�̂�. [�̂� × 𝑬𝒊(𝒓)]
𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑦.
𝑦
2
𝑖=1
 
 
(3.71) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑇𝑃𝑖
𝑥(𝑥)𝑇𝑃𝑗
𝑥(𝑥′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
2
𝑗=1
2
𝑖=1
+
𝜕𝑇𝑃𝑖
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑇𝑃𝑗
𝑥(𝑥′)
𝜕𝑥
)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦, 
 
 
 
 
(3.72) 
 
 
64 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (
𝜕𝑇𝑃𝑖
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑇𝑃𝑗
𝑦(𝑦′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦,
2
𝑗=1
2
𝑖=1
 
 
 
(3.73) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑥
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (
𝜕𝑇𝑃𝑖
𝑦(𝑦)
𝜕𝑦
𝑇𝑃𝑗
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
2
𝑗=1
2
𝑖=1
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦, 
 
 
(3.74) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑇𝑃𝑖
𝑦(𝑥)𝑇𝑃𝑗
𝑦(𝑦′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
2
𝑗=1
2
𝑖=1
+
𝜕𝑇𝑃𝑖
𝑦(𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑇𝑃𝑗
𝑦(𝑦)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦, 
 
 
 
(3.75) 
 
Como 
𝜕𝑇𝑃𝑖
𝑥
𝜕𝑥
=
𝜕𝑇𝑃𝑖
𝑦
𝜕𝑦
=
𝜕𝑇𝑃𝑗
𝑥
𝜕𝑥
=
𝜕𝑇𝑃𝑗
𝑦
𝜕𝑦
= 1, assim as equações (3.72) a (3.75) podem 
ser reescritas como: 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑇𝑃𝑖
𝑥(𝑥)𝑇𝑃𝑗
𝑥(𝑥′))𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.
2
𝑗=1
2
𝑖=1
 
 
(3.76) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
2
𝑗=1
2
𝑖−1
. 
 
 
(3.77) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑥
=
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
2
𝑗=1
2
𝑖−1
. 
 
 
(3.78) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑇𝑃𝑖
𝑦(𝑦)𝑇𝑃𝑗
𝑦(𝑦′))𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
2
𝑗=1
2
𝑖=1
. 
 
(3.79) 
 
 
Para a solução de todas as integrais foi utilizado a Quadratura Gaussiana de 2 e 2 
e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), respectivamente. 
Foi desenvolvido um código no software Matlab para implementar as equações 
obtidas nesta seção e obter a densidade de corrente superficial que circula na borda e no 
centro da placa condutora com a incidência de um campo elétrico. A Figura 3-11 ilustra a 
densidade de carga
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