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TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS 
MOMENTOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
DE ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO 
POR SUPERFÍCIES PLANAS CONDUTORAS 
 
 
 
 
 
 
 
Miller Drumond da Silveira Pompeo 
15 de Julho de 2015 
 
 
 
 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
Av. Amazonas, 7675 - Nova Gameleira, Belo Horizonte - MG, 30510-000, 
Brasil 
 
 
Miller Drumond da Silveira Pompeo 
 
ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS 
MOMENTOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
DE ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO 
POR SUPERFÍCIES PLANAS CONDUTORAS 
 
Trabalho de Conclusão de Curso submetida 
à banca examinadora designada pelo 
Colegiado do Departamento de Engenharia 
Elétrica do CEFET-MG, como parte dos 
requisitos necessários à obtenção do grau 
de Bacharelado em Engenharia Elétrica. 
 
Área de Concentração: Engenharia Elétrica. 
Orientador(a): Profa. Dra. Úrsula do Carmo 
Resende 
CEFET-MG 
 
 
Belo Horizonte 
CEFET-MG 
2015 
 
 
 
 
Miller Drumond da Silveira Pompeo 
 
 
 
Texto do Relatório do Trabalho de Graduação submetido ao Professor da disciplina 
de TCC II do Curso de Engenharia Elétrica do Centro Federal de Educação Tecnológica de 
Minas Gerais. 
 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________ 
Prof.ª. Dra. Úrsula do Carmo Resende – Orientadora 
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais 
 
 
 
 
 
 
__________________________________________________ 
Prof. Dr. Rafael Silva Alípio 
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________ 
Prof. Dr. Sandro Trindade Mordente Gonçalves 
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Ainda que eu andasse pelo vale da sombra da morte, não temerei mal algum, 
porque tu estás comigo; a tua vara e o teu cajado me consolam. ” Salmo 23 
 
 
 
 
Agradecimentos 
Em especial a Deus por vosso amor incondicional, pela força e amparo nos momentos 
difíceis, pela saúde e por me proporcionar essa conquista. 
Aos meus familiares (minha mãe, meu pai e meus irmãos), por todo suporte, carinho que 
me foram dados durante todos esses anos de minha vida. Ao meu sobrinho, por 
conseguir me tirar um sorriso até nos momentos difíceis. Agradeço também aos meus 
amigos e namorada que dividiram sempre comigo as aflições e felicidade da vida 
pessoal. A todos esses agradeço por entenderem por muitas vezes minha ausência. 
Agradeço a minha orientadora Úrsula do Carmo Resende, por todas as oportunidades 
que me proporcionou durante a graduação, pelo incentivo e confiança que várias vezes 
reforçou em mim depositar. Agradeço, também, pela disponibilidade e por não medir 
esforços em me auxiliar. 
Ao CEFET-MG por me fazer crescer como pessoa, por me proporcionar uma formação 
acadêmica de qualidade, com professores fantásticos. 
Aos meus amigos do CEFET-MG pela companhia de todos esses anos, pelo suporte e 
encorajamento. 
Por fim, a todos os professores da instituição, por transmitir seu conhecimento, que 
agora levarei não só para vida profissional, quanto para a pessoal. 
 
 
 
 
 
i 
 
Resumo 
O espalhamento eletromagnético é um processo físico que ocorre quando uma 
onda eletromagnética viajante no espaço incide sobre um obstáculo, gerando com isso 
um campo espalhado. Esse fenômeno fomenta inúmeras pesquisas na área do 
Eletromagnetismo e possui diversas aplicações. Para análises onde o espalhador 
apresenta geometrias complexas, faz-se necessário o uso de técnicas numéricas que 
garantam a confiabilidade dos resultados. Dentre essas técnicas, destaca-se o Método 
dos Momentos (MoM). O MoM é caracterizado por sua elevada precisão e complexa 
modelagem. Esse método é largamente utilizado para estudos envolvendo espalhamento 
eletromagnético e apresenta alta confiabilidade, sendo assim, utilizou-se o MoM para a 
modelagem do problema investigado neste trabalho. Foi desenvolvido uma ferramenta 
teórica, analítica e, numérica para o tratamento do espalhamento eletromagnético por 
superfícies planas condutoras. O modelo computacional desenvolvido foi validado por 
meio de comparações dos resultados obtidos com os resultados gerados pelo software 
CST (Computer Simulation Technology). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Palavras-chaves: Espalhamento Eletromagnético, Método dos Momentos, equação 
integral do campo elétrico, software CST. 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
Abstract 
The electromagnetic scattering is a physical process that occurs when a traveling 
electromagnetic wave in space focuses on an obstacle, generating with this a scattered 
field. This phenomenon promotes extensive research on electromagnetism area and has 
many applications. For analyzes in which the spreader presents complex geometries, it 
is necessary the use of numerical techniques to ensure the reliability of results. Among 
these techniques, it highlights the Method of Moments (MoM). MOM is characterized by 
its high precision and complex modeling, this method is widely used for studies 
involving electromagnetic scattering and has a high reliability, therefore, this technique 
is used for numerical modeling of the problem investigated in this work. It is developed 
a theoretical tool, analytical and numerical processing to the electromagnetic scattering 
by conductive flat surfaces. The computational model was validated by comparing the 
results obtained with the results generated by the CST software (Computer Simulation 
Technology). 
 
 
 
 
 
 
 
Keywords: Scattering Electromagnetic, Method of Moments, Electric Field Integral 
Equation, CST software. 
 
 
 
iii 
 
Sumário 
Resumo .................................................................................................................................................. i 
Abstract ................................................................................................................................................ ii 
Sumário .............................................................................................................................................. iii 
Lista de Figuras ................................................................................................................................. v 
Lista de Tabelas .............................................................................................................................. vii 
Lista de Símbolos .......................................................................................................................... viii 
Lista de Abreviações ....................................................................................................................... ix 
Capítulo 1 ......................................................................................................................................... 10 
1.1. Contextualização do Problema ................................................................................................... 10 
1.2 Objetivo ........................................................................................................................................... 12 
1.3 Metodologia .................................................................................................................................. 13 
1.4 Apresentação do Trabalho ...................................................................................................... 13 
Capítulo 2 ......................................................................................................................................... 14 
2.1 Introdução .....................................................................................................................................14 
2.2 Funções de Base .......................................................................................................................... 15 
2.2.1 Função Pulso ........................................................................................................................... 16 
2.2.2 Função Triangular ................................................................................................................ 17 
2.3 Funções de Teste ......................................................................................................................... 18 
2.3.1 Point Matching........................................................................................................................ 18 
2.3.2 Método de Galerkin .............................................................................................................. 18 
2.4 MoM Aplicado a Solução de Problemas Eletroestáticos 2D ....................................... 19 
2.4.1 Modelagem Matemática Utilizando MoM– Point Matching .................................. 22 
2.4.2 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Pulso ...................................... 25 
2.4.3 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Triângulo .............................. 28 
2.4.4 Modelagem Matemática Utilizando MoM - Função Pulso-Triângulo ................ 31 
2.5 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Funções de Base e Teste ... 35 
2.6 Validação dos Resultados através do CST ......................................................................... 38 
2.7 Conclusão Parcial ........................................................................................................................ 39 
 
 
iv 
 
Capítulo 3 ......................................................................................................................................... 40 
3.1 Espalhamento Eletromagnético ............................................................................................ 40 
3.2 Método ............................................................................................................................................ 42 
3.3 Equações Integrais de Espalhamento Válidas para o Espaço Livre ........................ 43 
3.4 Problema Equivalente ............................................................................................................... 47 
3.5 Espalhamento em uma placa condutora finita ................................................................ 50 
3.5.1 Método dos Momentos aplicado a solução do espalhamento eletromagnético 
de uma placa condutora finita ............................................................................................................. 52 
3.6 Análise do MoM para Diferentes Tipos de Funções de Base e Teste ...................... 53 
3.6.1 Função Pulso de Base e Teste ........................................................................................... 54 
3.6.2 Função Triangular de Base e teste ................................................................................. 57 
3.6.3 Função Pulso - Triângulo de Base e teste .................................................................... 61 
3.7 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Função de Base e Teste ..... 65 
3.8 Validações dos resultados através do software CST ..................................................... 68 
3.8.1 Conclusões Parciais .............................................................................................................. 69 
Capítulo 4 ......................................................................................................................................... 71 
Apêndice A ....................................................................................................................................... 72 
Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 77 
 
 
 
 
v 
 
Lista de Figuras 
Figura 2-1 – Função de base: Pulso ................................................................................................................................................ 16 
Figura 2-2 – Função de base: Triangular ..................................................................................................................................... 17 
Figura 2-3 – Capacitor de placas paralelas ................................................................................................................................. 19 
Figura 2-4 – Função Pulso aplicado no Capacitor ................................................................................................................... 22 
Figura 2-5 – Densidade de Carga (15 segmentos) .................................................................................................................. 24 
Figura 2-6 – Densidade de Carga (35 segmentos) .................................................................................................................. 25 
Figura 2-7 – Densidade de carga (15 segmentos) ................................................................................................................... 27 
Figura 2-8 – Densidade de carga (35 segmentos) ................................................................................................................... 27 
Figura 2-9 – Função Triangular aplicada no Capacitor ......................................................................................................... 28 
Figura 2-10 – Densidade de carga (15 segmentos) ................................................................................................................ 30 
Figura 2-11 – Densidade de carga (35 segmentos) ................................................................................................................ 31 
Figura 2-12 – Função Pulso-Triângulo aplicada no Capacitor ........................................................................................... 32 
Figura 2-13 – Densidade de carga (15 segmentos) ................................................................................................................ 34 
Figura 2-14 – Densidade de carga (35 segmentos) ................................................................................................................ 34 
Figura 2-15 – Capacitância do capacitor para as diferentes funções de base e teste, em função do número 
de sub-áreas ................................................................................................................................................................................. 35 
Figura 2-16 – Número de condicionamento para as diferentes funções de base e teste, em função do 
número de sub-áreas ................................................................................................................................................................ 36 
Figura 2-17 – Gasto computacional das funções de base ..................................................................................................... 37 
Figura 2-18 – Comparação do gasto computacional das funções de base .................................................................... 38 
Figura 3-1 - Espalhamento eletromagnético: (a) fonte (b) espalhador ........................................................................ 41 
Figura 3-2 – Diagrama de blocos para o cálculo do campo de fontes elétricas e magnéticas.............................. 44 
Figura 3-3 – Princípio da Equivalência: Problema Original ................................................................................................ 48 
Figura 3-4 – Princípio da Equivalência: Problema equivalente externo ....................................................................... 49 
Figura 3-5 – Princípio da Equivalência: Problema Equivalente Interno ....................................................................... 50 
Figura 3-6–Campo elétrico incidindo em uma superfície CEP ......................................................................................... 51 
Figura 3-7 – Densidade de corrente superficial para função de base pulso ................................................................ 56 
Figura 3-8 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos) ....................................................................... 57 
Figura 3-9 - Densidade de corrente superficial para função de base triângulo ......................................................... 60 
Figura 3-10 – Distribuição de corrente ao longo da placa (35 segmentos) ................................................................. 61 
Figura 3-11 - Densidade de corrente superficial para função de base triângulo ...................................................... 64 
Figura 3-12 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos)..................................................................... 64 
Figura 3-13 – Soma das correntes superficiais para todas as funções de base .......................................................... 65 
file:///C:/Users/Miller/Documents/TCC/TCC_ANTENA_PATCH_MILLER_POMPEO%20-%20Versão%20Final.docx%23_Toc424565942
 
 
vi 
 
Figura 3-14 – Comparação do gasto computacional das funções de base .................................................................... 66 
Figura 3-15 – Comparação do Número de Condicionamento das funções de base ................................................. 67 
Figura 3-16 – Superfície CEP simulada no CST ......................................................................................................................... 68 
Figura 3-17 – Módulo do Campo Elétrico na superfície CEP em 2D ............................................................................... 69 
Figura 3-18 – Módulo da Corrente Superficial na superfície CEP em 1D ..................................................................... 69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
Lista de Tabelas 
Tabela 2-1 – Resultados obtidos utilizando Point Matching .............................................................................................. 23 
Tabela 2-2 – Resultados obtidos utilizando a Função Pulso............................................................................................... 26 
Tabela 2-3 – Resultados obtidos utilizando a Função Triãngulo...................................................................................... 30 
Tabela 2-4 – Resultados Função Pulso-Triângulo ................................................................................................................... 33 
Tabela A-1 – Materiais dielétricos comerciais e suas características elétricas .......................................................... 74 
 
 
 
 
viii 
 
Lista de Símbolos 
∅ = Potencial Elétrico 
𝜌= densidade superficial de carga elétrica (C/m²) 
𝑬𝑇 = intensidade de campo elétrico (V/m) 
𝑬𝑖 = intensidade de campo elétrico incidente (V/m) 
𝑬𝑠 = intensidade de campo elétrico espalhado (V/m) 
𝑯𝑇 = intensidade de campo magnético (A/m) 
𝑯𝑖 = intensidade de campo magnético incidente (A/m) 
𝑯𝑠 = intensidade de campo magnético espalhado (A/m) 
𝐺 = função de Green 
𝑱 = densidade de corrente elétrica (A/m²) 
𝑴 = densidade de corrente magnética (A/m²) 
�̂� = vetor normal 
𝜂0 = impedância intrínseca do meio 
𝜔 = frequência angular (rad/s) 
𝜇 = permeabilidade magnética (H/m) 
𝜇𝑜 = permeabilidade magnética no espaço livre (H/m) 
𝜇𝑟 = permeabilidade magnética relativa 
𝜀 = permissividade elétrica (F/m) 
𝜀𝑜= permissividade elétrica no espaço livre (F/m) 
𝜀𝑟 = permissividade elétrica relativa 
𝑃 = função de base pulso 
𝑇 = função de base triângulo 
𝑊 = função de teste 
𝑘 = número de onda 
 
 
 
 
 
ix 
 
Lista de Abreviações 
MoM = Método dos Momentos 
CEP = Condutor elétrico perfeito 
EFIE = Equação integral do Campo Elétrico 
MLT = Método da Linha de Transmissão 
MCR= Modos da Cavidade Ressonantes 
FDM = método de diferenças finitas 
FEM = método de elementos finitos 
MEIF = método de equações integrais de fronteira 
 
 
 
 
10 
 
Capítulo 1 
Introdução 
1.1. Contextualização do Problema 
A comunicação tem sido o principal mecanismo para a evolução da humanidade 
ao longo dos anos. Os mecanismos por meio dos quais as comunicações têm sido 
realizadas vêm evoluindo constantemente. Com o passar dos anos e o crescente 
aumento das distâncias, desenvolveu-se tecnologias para realização das comunicações 
sem nenhuma conexão física e a longas distâncias. O principal equipamento utilizado 
para a concretização das comunicações sem fio é antena. Esta é um dispositivo que 
transforma energia eletromagnética guiada por uma linha de transmissão em energia 
eletromagnética irradiada, ou o contrário. O IEEE (Institute of Electrical and Electronics 
Engineers) define antena como “A parte de um sistema de transmissão ou recepção que é 
projetada para irradiar ou receber ondas eletromagnéticas” [2]. 
Independente da aplicação em telecomunicações da antena, é essencial que a 
mesma tenha alto ganho e eficiência. Dentre os diversos tipos de antena disponíveis 
atualmente no mercado, destaca-se a antena de microfita. O início da utilização desse 
tipo de antena se deu na década de 70 para aplicações aeronáuticas, aeroespaciais, de 
satélites e de mísseis de alto desempenho, onde seu perfil discreto, de baixo custo, peso 
e tamanho eram essenciais. Apesar das antenas de microfita terem recebido 
considerável atenção a partir da década de 70, esse tipo de antena já havia sido 
investigado na década de 50 por Deschamps e foram apresentadas em 1953 durante o 
III Simpósio sobre antenas nos Estados Unidos [3]. 
A partir das diferentes investigações que vem sendo conduzidas desde sua 
concepção, verificou-se que o desempenho e funcionamento da antena de microfita está 
relacionado principalmente à geometria do elemento radiante (plaqueta: quadrada, 
circular, retangular, dentre outros) e às características do substrato onde a mesma está 
impressa. Sua popularização se deu devido à facilidade de análise e de fabricação, 
 
 
11 
 
oferecendo baixo custo, moldabilidade, versatilidade (em termos de frequência 
ressonante) e robustez. Um breve estudo apresentando as principais características das 
antenas de microfita é apresentado no Anexo A. 
Diversos estudos para a concepção de antenas de microfita compactas, com maior 
largura de banda, dupla frequência e polarização, aumento do ganho, dentre outros, têm 
sido apresentados nos últimos anos. Dentre os principais métodos utilizados nesse 
estudo, destacam-se: o Método da Linha de Transmissão (MLT), Modos da Cavidade 
Ressonantes (MCR) e o Método dos Momentos (MoM). 
O método da linha de transmissão é considerado um método analítico e é a 
técnica mais simples dentre os métodos citados para estudo de antenas de microfita. Na 
solução analítica através desse modelo, o elemento irradiador de microfita é definido 
como uma linha de transmissão ressonante. Apesar da facilidade em utilizar tal método, 
não se deve restringir a análise apenas a esse modelo, uma vez que ele não leva em 
consideração a variação do campo na direção ortogonal à direção de propagação, assim 
a solução do problema fica comprometida e os resultados obtidos podem não ser 
precisos [4]. O Método da Cavidade é um modelo relativamente simples de ser 
implementado e possui a vantagem de poder manipular qualquer geometria de plaqueta 
para antena de microfita. Esse método possui maior precisão quando comparado com o 
da Linha de Transmissão. Ele modela a parte interna da antena como uma cavidade 
cercada por paredes elétricas no topo e na base [5]. Entretanto esse modelo possui a 
desvantagem de não apresentar resultados aceitáveis para antenas de microfita com 
substratos mais espessos, complaquetas empilhadas e arranjos de antenas. O MoM leva 
em consideração o substrato dielétrico e força condições de contorno apropriadas na 
interface ar/dielétrico. Utiliza-se a função de Green para o composto dielétrico [6], assim 
são incluídos na análise a irradiação de onda espacial, modos de onda de superfície, 
perdas do dielétrico e acoplamento com elementos externos. O MoM é caracterizado por 
sua elevada precisão e complexa modelagem, devido a essas características, o MoM foi 
utilizado para a solução do problema investigado neste trabalho. 
O MoM permite o estudo do espalhamento eletromagnético, que é fundamental 
para avaliar o comportamento das correntes superficiais na estrutura da antena. A 
modelagem matemática aplicando utilizando o MoM deve ser aplicada nas superfícies 
plana condutora perfeita e no dielétrico. Nesse trabalho faz-se o estudo do 
 
 
12 
 
espalhamento eletromagnético para a superfície metálica pura, esse estudo pode ser 
estendido considerando a inclusão do substrato dielétrico. 
1.2 Objetivo 
O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento do ferramental teórico, 
analítico e numérico para análise do espalhamento eletromagnético por superfícies 
planas condutoras. O desenvolvimento dessa modelagem matemática é importante pois 
a partir da mesma, considerando a inclusão de um substrato dielétrico, pode ser 
realizada a análise completa e antenas de microfita. Para alcançar esse objetivo principal 
outros menores são necessários, dentro os quais destaca-se: 
 Revisão bibliográfica sobre MoM; 
 Desenvolvimento da modelagem matemática para solução de problemas 
eletrostáticos bidimensionais utilizando o MoM; 
 Desenvolvimento do modelo computacional para solução de problemas 
eletrostáticos bidimensionais; 
 Análise da resposta de diferentes tipos de função de base; 
 Extensão da modelagem matemática para problemas bidimensionais 
estáticos para problemas de espalhamento eletromagnético por 
superfícies planas condutoras perfeitas. A modelagem matemática é 
baseada na solução da Equação integral do Campo Elétrico (EFIE) avaliada 
pelo MoM. 
 Desenvolvimento do modelo computacional para problemas de 
espalhamento eletromagnético por superfícies planas condutoras 
perfeitas; 
 Validação do modelo computacional para problemas de espalhamento 
eletromagnético por superfícies planas condutoras perfeitas por meio de 
comparações dos resultados obtidos com aqueles gerados pelo CST [7]; 
 Análise da resposta de diferentes tipos de função de base para problemas 
de espalhamento eletromagnético por superfícies planas condutoras 
perfeitas. 
 
 
13 
 
1.3 Metodologia 
O desenvolvimento do ferramental teórico apresentado neste trabalho utiliza a 
formulação integral generalizada para problemas de espalhamento eletromagnético. 
Através do princípio da equivalência, o corpo é substituído por uma distribuição 
superficial equivalente de corrente elétrica radiando em espaço livre. Aplicando 
condições de contorno sobre a sua superfície, um sistema de equações integrais é 
estabelecido e resolvido numericamente para a obtenção da corrente superficial 
equivalente. A formulação numérica desenvolvida através do MOM é implementada no 
software Matlab. Uma vez finalizado, o algoritmo é avaliado através de comparações 
entre seus resultados e aqueles obtidos pelo software de modelagem eletromagnética 
computacional CST. 
1.4 Apresentação do Trabalho 
O trabalho está organizado neste texto na seguinte ordem: 
No Capítulo 2 é realizada uma breve apresentação da teoria sobre Método dos 
Momentos. Formula-se a modelagem matemática para aplicação do MoM em um 
problema eletrostático em duas dimensões, faz-se o uso de funções de base (Função 
Pulso, Função Triangular e Função Pulso-Triângulo) e funções de teste (Point Matching e 
Método de Galerkin). Avalia-se os resultados obtidos de densidade de carga e o número 
de condicionamento das funções de base e teste estudadas. 
No Capítulo 3 é apresentado o problema do espalhamento eletromagnético para 
superfícies condutoras planas. São apresentadas as equações integrais de espalhamento 
válidas para o espaço livre, o princípio da equivalência. Discorre-se sobre o 
espalhamento eletromagnético em um meio condutor elétrico perfeito. Apresenta-se 
então, o método dos momentos e as funções de base e de peso para o problema em 
questão. Os resultados obtidos computacionalmente são validados através da 
comparação com software CST. 
No Capítulo 4 são apresentadas a conclusão do trabalho e as sugestões de 
trabalhos futuros. 
 
 
14 
 
Capítulo 2 
Método dos Momentos (MoM) 
Neste capítulo realiza-se uma breve apresentação da teoria sobre Método dos 
Momentos e elabora-se a modelagem matemática para sua aplicação à solução de um 
problema eletrostático em duas dimensões. 
2.1 Introdução 
O método dos momentos é um método numérico amplamente utilizado na 
solução de equações integrais cujo integrando é desconhecido [9]. A equação integral é 
discretizada em um conjunto de equações lineares e dispostas em uma topologia 
matricial [8]. Assim, considerando a equação (2.1): 
 
𝐹(𝑔) = ℎ, 
(2.1) 
 
onde 𝐹 é o operador linear conhecido, ℎ é a função de excitação conhecida e 𝑔 é a função 
de resposta. Deseja-se determinar 𝑔, uma vez que 𝐹 e ℎ são conhecidos. A linearidade do 
operador 𝐹 faz com que esse problema tenha solução. O método dos momentos é uma 
técnica aplicável a esse tipo de problema, onde a função de resposta desconhecida pode 
ser expandida como uma combinação linear de N termos e escrita na forma: 
 
𝑔(𝑟′) = 𝛼1𝑔1(𝑟
′) + 𝛼2𝑔2(𝑟
′) + ⋯+ 𝛼𝑁𝑔𝑁(𝑟
′) = ∑ 𝛼𝑛𝑔𝑛(𝑟
′)
𝑁
𝑛=1
, 
(2.2) 
 
em que, 𝛼𝑛 são os coeficientes desconhecidos, os termos 𝑔𝑛(𝑟
′) são conhecidos, 
normalmente denominados de função de base ou função de expansão, 𝑁 é o número 
 
 
15 
 
total de funções e 𝑟′ representa o ponto fonte. O domínio de 𝑔𝑛(𝑟
′) é o mesmo que o de 
𝑔(𝑟′). Substitui-se então (2.2) em (2.1), tem-se assim que [9]: 
 
∑ 𝛼𝑛𝐹(𝑔𝑛) ≈ ℎ
𝑁
𝑛=1
. 
(2.3) 
 
As funções de base 𝑔𝑛 são escolhidas para cada 𝐹(𝑔𝑛), portanto podem ser 
avaliadas de forma conveniente. Deve-se encontrar, então, somente 𝑎𝑛. Expandindo 
(2.3) surge uma equação com N termos desconhecidos. Para resolver essa equação são 
necessários 𝑁 equações lineares independentes, uma solução possível é resolver pelo 
teste de 𝑁 pontos distintos. 
 
∑ 𝛼𝑚𝐹(𝑔𝑚) = ℎ𝑚
𝑁
𝑚=1
, 𝑚 = 1,2,… , 𝑁, 
(2.4) 
 
originando ao seguinte sistema linear [9]: 
 
[𝑍𝑚𝑛][𝐼𝑛] = [𝑉𝑚], (2.5) 
 
onde 𝐼𝑛 é o vetor que contém os coeficientes desconhecidos, 𝑉𝑚 é o vetor que contém os 
termos independentes e 𝑍𝑚𝑛 é a matriz do MoM que é diagonalmente dominante e 
portanto inversível. 
2.2 Funções de Base 
As funções de base têm uma importante função na solução das equações 
integrais, pois devem representar razoavelmente o comportamento da função 
desconhecida em todo o domínio do problema. A escolha apropriada do conjunto de 
funções de aproximação pode otimizar a solução computacional, reduzindo o tempo 
para encontrar a solução [10]. Variáveis desconhecidas mais complexas requerem o uso 
de funções de base mais complicadas. Porém a escolha do tipo de função de base 
determina o nível de dificuldade em avaliar os elementos da matriz do MoM. As funções 
 
 
16 
 
de base podem ser divididas em duas classes gerais, a primeira classe consiste em 
funções de subdomínio [11], as quais são validas em apenas uma parte do domínio da 
função, a segunda classe é baseada em funções de domínio inteiro [12], existem em todo 
domínio da função desconhecida. 
As funções definidas em subdomínios são mais comuns que as de domínio inteiro 
[13]. A primeira pode ser utilizada sem o conhecimento prévio da natureza da função 
que será representada. Devido a essa característica, a função definida em subdomínio foiescolhida para modelagem do problema apresentado neste trabalho, pois pretende-se 
obter o comportamento do espalhamento eletromagnético por superfícies planas 
condutoras, cuja natureza da distribuição de corrente no condutor não é conhecida à 
priori. As funções de base de subdomínio utilizadas neste trabalho são apresentadas nas 
Seções 2.2.1 e 2.2.2. 
2.2.1 Função Pulso 
A função pulso é exibida na Figura 2-1, em que, o domínio foi discretizado em 𝑁 
segmentos. Todos os segmentos da figura possuem o mesmo comprimento, mas isso não 
é um requisito. 
 
 
Figura 2-1 – Função de base: Pulso 
 
A função de pulso é definida dentro de cada segmento como uma função 
constante [8] e dado por: 
 
𝑔𝑛(𝑥′) = 𝑃𝑛(𝑥′) = 1, 𝑥
′
𝑛 ≤ 𝑥
′ ≤ 𝑥′𝑛+1 
 𝑃𝑛(𝑥′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
(2.6) 
 
 
17 
 
A função pulso é uma aproximação simples para a solução em cada segmento, 
mas pode simplificar muito a avaliação dos elementos da matriz. 
2.2.2 Função Triangular 
Outro tipo de funções de base, bastante utilizados é a função triangular [13], que 
é exibida na Figura 2-2. Ao contrário da função pulso, a função triangular não é 
constante em todo segmento, ela varia no eixo 𝑥′, conforme ilustrado, em que, o domínio 
foi discretizado em N segmentos, resultando em N-1 funções de base. 
 
 
Figura 2-2 – Função de base: Triangular 
 
As funções triangulares são definidas como [8]: 
 
𝑔𝑛(𝑥′) = 𝑇𝑛(𝑥′) =
𝑥′−𝑥𝑛−1
′
𝑥𝑛
′ −𝑥𝑛−1
′ , 𝑥𝑛−1
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛
′ 
 𝑇𝑛(𝑥′) =
𝑥𝑛−1
′ −𝑥′
𝑥𝑛+1
′ −𝑥𝑛
′ , 𝑥𝑛
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1
′ 
 𝑇𝑛(𝑥′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
 
(2.7) 
 
Conforme ilustrado na Figura 2-2, as funções triangulares cobrem dois segmentos 
e se sobrepõem às funções vizinhas. Essas funções proporcionam uma aproximação 
suave para a função 𝑔 em comparação com a função pulso. Porém, o aumento da 
complexidade das funções de base aumenta o custo computacional total do MoM. 
 
 
 
 
18 
 
2.3 Funções de Teste 
Após a escolha da função de base, deve-se efetuar o produto interno com uma 
função de teste em ambos os lados da equação obtida com Método dos Momentos, 
forçando-se assim a ortogonalidade do resultado [13]. As funções de teste são escolhidas 
de forma a simplificar e facilitar a formulação do problema, há uma grande flexibilidade 
na escolha dessas funções, pode-se usar o Point Matching e o Método de Garlekin. 
A escolha da função de base e teste é a principal questão dentro da 
implementação do Método dos Momentos [14]. Os fatores que afetam a escolha da 
função de base e teste são: a precisão da solução desejada; a facilidade de avaliação dos 
elementos da matriz; realizar um bom condicionamento da matriz. As funções de base e 
teste devem ser obrigatoriamente linearmente independentes [15]. 
2.3.1 Point Matching 
O Point Matching é equivalente ao uso de uma função Delta de Dirac como função 
de teste. Esse método também é conhecido como “Point Collocation”. O Point Matching 
possui a vantagem de não necessitar de integral ao longo da função de teste para avaliar 
os elementos da matriz, sendo necessário apenas a função de origem, o que torna a 
avaliação mais simples [8]. A principal desvantagem do método é que as condições de 
contorno são combinadas apenas em locais discretos em todo o domínio da solução. 
Apesar da desvantagem os resultados obtidos com o Point Matching são bastante 
precisos, assim, o mesmo foi utilizado para fins comparativos neste trabalho. 
2.3.2 Método de Galerkin 
Em princípio pode-se utilizar qualquer tipo de função como função de teste para 
a solução do MoM, porém a escolha da função de teste é fundamental para obter um 
resultado preciso na solução do problema. O método de Galerkin é bastante utilizado 
para esse fim, e estabelece que a função de teste escolhida deve ser igual a função de 
base [8]. Ele tem a vantagem de fazer cumprir a condição de contorno em todo domínio 
 
 
19 
 
da solução, o que conduz a resultados mais precisos que o Point Matching. Neste 
trabalho utiliza-se também o Método de Garlekin para fins comparativos. 
2.4 MoM Aplicado a Solução de Problemas Eletroestáticos 2D 
Em um primeiro estudo considerou-se a aplicação do MoM a um problema 
simples, no caso, um capacitor de placas paralelas. O objetivo em examinar esse caso é 
consolidar a modelagem matemática para um problema em duas dimensões e explorar a 
precisão da solução para diferentes tipos de função de base e teste. O problema sob 
análise é apresentado na Figura 2-3, em que, as placas de dimensão 𝑎 x 𝑏 estão 
discretizadas em 2𝑁 sub-áreas, ∆𝑆1, ∆𝑆2, … , ∆𝑆𝑛 e∆𝑆𝑛+1, ∆𝑆𝑛+2, … , ∆𝑆2𝑛. A placa superior 
𝑃1 possui potencial elétrico ∅1 e a inferior 𝑃2 tem potencial ∅2. 
 
 
Figura 2-3 – Capacitor de placas paralelas 
 
 
 
20 
 
Dado o potencial elétrico nas placas ∅1 e ∅2, o potencial em qualquer ponto do 
espaço é dado por [9]: 
 
∅(𝒓) = ∫
𝜌𝑆(𝒓
′)
4𝜋𝜀𝑜𝑅
𝑑𝒓′,
𝑆′
 
(2.8) 
 
onde 𝑅 = |𝑟 − 𝑟′| = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)², 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′ são os pontos 
de observação e fonte, respectivamente, 𝜌𝑆 é a densidade superficial de carga (C/m²) 
sobre as placas, 𝜀𝑜 é a permissividade elétrica do vácuo e 𝑆 representa a superfície das 
placas. 
 
Em (2.8) 𝜌𝑆 é o termo desconhecido e portanto o parâmetro a ser determinado, a 
densidade de carga desconhecida é então expandida em uma combinação linear de 
funções de base como se segue: 
 
𝜌𝑆(𝒓
′) = ∑𝛼𝑛𝑔𝑛(𝒓
′),
2𝑁
𝑗=1
 
(2.9) 
 
onde 𝛼𝑛 são os coeficientes desconhecidos e 𝑔𝑛(𝒓
′) são as funções de base. 
Substituindo a equação (2.9) em (2.8) e escrevendo a equação como um 
somatório, tem-se: 
 
∅(𝒓) = ∑
𝛼𝑛
4𝜋𝜀𝑜
∫
𝑔𝑛(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝒔′
𝑆′
2𝑁
𝑗=1
. 
(2.10) 
 
A equação (2.10) é uma soma de integrais, cada uma sobre o domínio da função 
de base, aplicando-se essa equação a cada uma das 2𝑁 sub-áreas da Figura 2-3 e 
utilizando uma função de teste (W) em ambos os lados da equação (2.10), obtém-se: 
 
∫ 𝑊(𝒓)∅1(𝒓)
𝑆
= ∫ 𝑊(𝒓)
𝑆
∑
𝛼𝑗
4𝜋𝜀𝑜
∫
𝑔1𝑗(𝒓
′)
𝑅1𝑗
𝑑𝑠′
𝑆′
2𝑁
𝑗=1
, 
 
 
 
 
21 
 
∫ 𝑊(𝒓)∅2(𝒓)
𝑆
= ∫ 𝑊(𝒓)
𝑆
∑
𝛼𝑗
4𝜋𝜀𝑜
∫
𝑔2𝑗(𝒓
′)
𝑅2𝑗
𝑑𝑠′
𝑆′
2𝑁
𝑗=1
, 
⋮ 
∫ 𝑊(𝒓)∅2𝑁(𝒓)
𝑆
= ∫ 𝑊(𝒓)
𝑆
∑
𝛼𝑗
4𝜋𝜀𝑜
∫
𝑔2𝑛,𝑗(𝒓
′)
𝑅2𝑁,𝑗
𝑑𝑠′
𝑆′
2𝑁
𝑗=1
. 
 
 
 
(2.11) 
 
onde 𝑊 = ∑ 𝑊(𝒓)2𝑁𝑖=1 . 
 
A equação (2.11) pode ser escrita na forma matricial 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
𝑍11 𝑍12 … 𝑍1,2𝑛
𝑍21 𝑍22 … 𝑍2,2𝑛
⋮
𝑍𝑛,1
𝑍𝑛+1,1
⋮
𝑍2𝑛,1
⋮
𝑍𝑛,2
𝑍𝑛+1,2
⋮
𝑍2𝑛,2
⋱
……
⋱
…
⋮
𝑍𝑛,𝑛
𝑍𝑛+1,𝑛
⋮
𝑍2𝑛,2𝑛 ]
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
𝛼1
𝛼2
⋮
𝛼𝑛
𝛼𝑛+1
⋮
𝛼2𝑛 ]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
𝑉1
𝑉2
⋮
𝑉𝑛
𝑉𝑛+1
⋮
𝑉2𝑛 ]
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
(2.12) 
onde os elementos da matriz 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
𝑉𝑖 = ∫ 𝑊(𝒓
′)
𝑆
∅𝑖(𝒓). 
(2.13) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ 𝑊(𝒓′)∫
𝑔𝑖𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝒓′
𝑆′𝑆
. (2.14) 
O problema do capacitor de placas paralelas foi solucionado considerando 
diferentes tipos de funções de base e teste, conforme apresentado nas Seções 2.4.1, 2.4.2, 
2.4.3 e 2.4.4. 
 
 
 
 
22 
 
2.4.1 Modelagem Matemática Utilizando MoM– Point Matching 
Considerando como função de base, a função pulso (𝑔(𝒓′) = 𝑃(𝒓′)), conforme 
ilustrado na Figura 2-4, e para a função de teste, delta de dirac (𝑊(𝒓) = 𝛿(𝒓)). Obtém-se 
a modelagem matemática aplicando o MoM utilizando o Point Matching. 
 
 
Figura 2-4 – Função Pulso aplicado no Capacitor 
 
Reescreve-se as equações (2.13) e (2.14), os elementos da matriz 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
𝑉𝑖 = ∫ 𝛿(𝒓)
𝑆
∅𝑖(𝒓)𝑑𝑠 
(2.15) 
 
 
 
23 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ 𝛿(𝒓)∫
𝑃𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝑠′𝑑𝑠
𝑆′𝑆
. (2.16) 
 
Expandindo (2.15) e (2.16) tem-se: 
 
𝑉𝑖 = ∫ ∫ ∅𝑖(𝒓)
𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥
, (2.17) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ ∫
1
𝑅𝑦′
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑥′
, (2.18) 
 
onde 𝑅 = √(𝑥𝑐 − 𝑥′)2 + (𝑦𝑐 − 𝑦′)2 + 𝑑², sendo (𝑥𝑐, 𝑦𝑐) é o ponto central de cada sub-
área e ∫ ∫ 𝛿(𝑥, 𝑦)
𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥
= 1. As integrais em 𝑥 e 𝑥′ são aproximadas por expressões 
analíticas. 
Utilizando o software Matlab foi desenvolvido um algoritmo, onde aplicou-se as 
equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância entre as placas 
do capacitor. Foram realizadas simulações considerando, a placa discretizada nos eixos 
𝑥 e 𝑦 em 15 e 35 segmentos, resultando assim em um total de 450 e 2450 subáreas, 
respectivamente. Os resultados obtidos durante a simulação no Matlab são apresentados 
na Tabela 2-1. 
 
Tabela 2-1 – Resultados obtidos utilizando Point Matching 
Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s) 
15 58,03 29,02 0,668657 
35 58,75 29,37 12,434716 
 
Observa-se através da análise da Tabela 2-1 que o custo computacional para a 
placa discretizada em 35 segmentos aumentou significativamente quando comprada 
com a mesma placa discretizada em 15 segmentos embora o valor de densidade de carga 
e capacitância não sofram alterações significativas. A Figura 2-5 e Figura 2-6 apresentam 
o perfil da densidade de carga obtidas computacionalmente, para 15 e 35 segmentos, 
 
 
24 
 
respectivamente. O problema proposto na Figura 2-3 é também estudado no livro 
“Elements of Electromagnetics” [9], os resultados obtidos na literatura são próximos dos 
resultados exibidos na Tabela 2-1, confirmando assim a modelagem apresentada nesta 
Seção. 
 
 
Figura 2-5 – Densidade de Carga (15 segmentos) 
0
5
10
15
0
5
10
15
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
25 
 
 
 
Figura 2-6 – Densidade de Carga (35 segmentos) 
 
Nota-se na Figura 2-5 e Figura 2-6 que valor da densidade de carga é 
substancialmente maior nas bordas da placa, indicando uma maior concentração de 
carga nessas regiões, conforme esperado, visto que, há efeito de borda nas placas. O 
campo elétrico nas placas é uniforme na região central e não uniforme nas bordas das 
placas. Embora o valor da densidade de carga da placa discretizada em 35 segmentos 
não tenha uma alteração significativa em relação a placa discretizada em 15 segmentos, 
esse pequeno aumento é devido ao fato de que o ponto de observação se aproxima da 
borda a medida que se aumenta o número de subdivisões das placas. 
2.4.2 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Pulso 
Em uma segunda análise realizada, fez-se a modelagem matemática aplicando o 
MoM utilizando a função pulso, onde para a função de base aplicou-se a função pulso 
(𝑔(𝒓′) = 𝑃(𝒓′)). Utilizando o método de Garlekin, empregou-se como função de teste o 
pulso (𝑊(𝒓) = 𝑃(𝒓)). Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
1
2
3
4
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
26 
 
 
𝑉𝑖 = ∫ ∫ 𝑃𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓′)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
, (2.19) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ ∫ 𝑃𝑖(𝒓)
𝑥𝑦
∫ ∫
𝑃𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′
, 
(2.20) 
 
onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑2. 
 
Para resolução das integrais presentes em 𝑍𝑖𝑗 fez-se necessário recorrer a 
métodos númericos, utilizou-se então uma grade quadrada onde foi aplicada uma 
Quadratura Gaussiana para a integral na fonte [16]. Esse método possui a vantagem de 
oferecer resultados precisos na solução de integrais. Para a resolução das integrais, 
aplicou-se novamente a Quadratura Gaussiana de 1 e 1 e 6 e 6 pontos para as integrais 
no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), respectivamente. Utilizando o software Matlab 
desenvolveu-se um novo algoritmo onde, empregou-se as equações obtidas nesta seção, 
de forma a obter a carga e a capacitância entre as placas. Foram realizadas simulações 
considerando, as placas discretizadas em 15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e y, resultando 
assim em 450 e 2450 subáreas, respectivamente. A Tabela 2-2 exibe os resultados 
obtidos com a simulação do problema no Matlab. 
 
Tabela 2-2 – Resultados obtidos utilizando a Função Pulso 
Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s) 
15 58,55 29,28 3,755143 
35 58,97 29,49 124.623355 
 
A análise da Tabela 2-2 permite concluir que o custo computacional para a placa 
discretizada em 35 segmentos aumentou significativamente quando comprada com a 
mesma placa discretizada em 15 segmentos, embora o valor da densidade de carga e 
capacitância não sofram alterações significativas. A Figura 2-7 e Figura 2-8 ilustram a 
densidade de carga obtidas computacionalmente, para 15 e 35 segmentos, 
respectivamente. 
 
 
27 
 
 
 
Figura 2-7 – Densidade de carga (15 segmentos) 
 
 
 
Figura 2-8 – Densidade de carga (35 segmentos) 
0
5
10
15
0
5
10
15
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
1
2
3
4
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
28 
 
Nota-se nas Figura 2-7 e Figura 2-8 que valor da densidade de carga é 
significativamente maior nas bordas da placa, indicando uma maior concentração de 
carga nessas regiões, como esperado. Embora o valor da capacitância para a placa 
discretizada em 35 segmentos não tenha uma alteração significativa em relação a placa 
discretizada em 15 segmentos, o aumento deve-se ao fato de que o ponto de observação 
se aproximada borda à medida que se aumenta o número de subdivisões das placas. 
2.4.3 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Triângulo 
Em uma terceira análise foram consideradas função de base e teste como sendo 
funções triangulares, ou seja, 𝑔(𝒓′) = 𝑇(𝒓′) e 𝑊(𝒓) = 𝑇(𝒓), respectivamente como 
ilustrado na Figura 2-9. 
 
 
Figura 2-9 – Função Triangular aplicada no Capacitor 
 
 
 
29 
 
Neste trabalho foi proposta um novo tipo de função triangular aplicada as 
coordenadas 𝑥 e 𝑦 da seguinte forma: 
 
𝑔𝑛(𝒓′) = 𝑇𝑛(𝒓′) = (
𝑥′ − 𝑥𝑛−1
′
𝑥𝑛
′ − 𝑥𝑛−1
′ )(
𝑦′ − 𝑦𝑛−1
′
𝑦𝑛
′ − 𝑦𝑛−1
′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛−1
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛
′ 𝑒 𝑦𝑛−1
′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛
′ , 
 𝑇𝑛(𝒓′) = (
𝑥𝑛−1
′ − 𝑥′
𝑥𝑛+1
′ − 𝑥𝑛
′ )(
𝑦𝑛−1
′ − 𝑦′
𝑦𝑛+1
′ − 𝑦𝑛
′) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1
′ 𝑒 𝑦𝑛
′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛+1
′ , 
 𝑇𝑛(𝒓′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
 
 
(2.21) 
 
Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
𝑉𝑖 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
4
𝑖=1
, 
(2.22) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∑∑∫ ∫ 𝑇𝑖(𝒓)
𝑥𝑦
∫ ∫
𝑇𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′
,
𝑦′
4
𝑗=1
4
𝑖=1
 
 
(2.23) 
 
onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑2. 
 
Para resolução das integrais em (2.22) e 
(2.23) fez-se necessário a integração numérica, utilizou-se a Quadratura 
Gaussiana de 2 e 2 e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), 
respectivamente. Utilizando o software Matlab desenvolveu-se um novo algoritmo onde, 
aplicou-se as equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância 
entre as placas. Foram realizadas simulações considerando, as placas discretizadas em 
15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e 𝑦, novamente. A Tabela 2-3 exibe os resultados obtidos 
durante a simulação do problema no Matlab foram considerados os valores obtidos no 
centro e nos vértices de cada sub-área. Os vértices das sub-áreas coincidem com o 
vértice superior das funções triangulares, e dentro de cada sub-área a unicidade de 
funções é garantida. 
 
 
 
30 
 
 
Tabela 2-3 – Resultados obtidos utilizando a Função Triãngulo 
Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s) 
15-borda 61,036 30,52 244.575778 
35-borda 61,21 30,6 3517.327885 
15-centro 55,4 27,7 244.575778 
35-centro 57,32 28,66 3517.327885 
 
A análise da Tabela 2-3 permite concluir que o custo computacional para as 
placas discretizadas em 35 subáreas aumentou significativamentequando comprada 
com as mesmas placas discretizadas em 15 subáreas embora o valor da densidade de 
carga e capacitância não sofram alterações significativas, tanto para a solução 
considerando a carga nos vértices quanto para a solução considerando a carga no centro 
de cada sub-área. Através da Tabela 2-3 nota-se que para um mesmo número de 
discretizações, a densidade de carga e capacitância são maiores nos vértices da placa do 
que no centro da mesma, realçando assim o efeito de borda. As Figura 2-10 e Figura 2-11 
ilustram a densidade de carga obtida computacionalmente, para 15 e 35 segmentos, 
respectivamente. 
 
 
 
31 
 
 
Figura 2-10 – Densidade de carga (15 segmentos) 
 
Figura 2-11 – Densidade de carga (35 segmentos) 
 
 
0
5
10
15
0
5
10
15
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
32 
 
Percebe-se na Figura 2-10 e Figura 2-11 que valor da Densidade de Carga é 
significativamente maior nos vértices das placas, indicando uma maior concentração de 
carga nessas regiões. Mesmo que o valor da capacitância para as placas discretizadas em 
35 segmentos não tenha uma alteração significativa em relação as placas discretizadas 
em 15 segmentos, o aumento é devido ao fato do ponto de observação ficar mais 
próximo a borda a medida que se aumenta o número de subdivisões das placas. 
2.4.4 Modelagem Matemática Utilizando MoM - Função Pulso-
Triângulo 
Em uma última análise considerou-se uma combinação de funções pulso e 
triângulo para a modelagem matemática, em que a função de base é: 𝑔(𝒓′) = 𝑇𝑃(𝒓′) e a 
função de teste é: 𝑊(𝒓) = 𝑇𝑃(𝒓), conforme ilustrado na Figura 2-12. 
 
 
Figura 2-12 – Função Pulso-Triângulo aplicada no Capacitor 
 
 
33 
 
A função pulso triângulo é definida para os eixos 𝑥 e 𝑦 como: 
 
𝑔𝑛(𝒓′) = 𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = (
𝑥′ − 𝑥𝑛−1
′
𝑥𝑛
′ − 𝑥𝑛−1
′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛−1
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛
′ 𝑒 𝑦𝑛−1
′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛
′ , 
 𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = (
𝑥𝑛−1
′ − 𝑥′
𝑥𝑛+1
′ − 𝑥𝑛
′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1
′ 𝑒 𝑦𝑛
′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛+1
′ , 
 𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
 
 
(2.24) 
 
Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
𝑉𝑖 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
2
𝑖=1
, 
(2.25) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∑∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖(𝒓)
𝑥𝑦
∫ ∫
𝑇𝑃𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′
2
𝑗=1
,
2
𝑖=1
 
(2.26) 
 
onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑². 
 
Para resolução das integrais em (2.25) e (2.26) também foi utilizada a Quadratura 
Gaussiana de 2 e 2 e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), 
respectivamente. Utilizando o software Matlab desenvolveu-se um novo algoritmo onde, 
aplicou-se as equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância 
entre as placas. Foram realizadas simulações considerando, as placas discretizadas em 
15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e 𝑦, novamente. A Tabela 2-4 exibe os resultados obtidos 
durante a simulação do problema no Matlab. Também neste caso pontos na borda e no 
centro de cada sub-área foram considerados. Em cada sub-área existem dois triângulos 
onde os vértices estão alinhados no eixo 𝑥. 
 
Tabela 2-4 – Resultados Função Pulso-Triângulo 
Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s) 
15-borda 58,032 29,016 106.197301 
 
 
34 
 
15-centro 55,24 27,62 106.197301 
35-borda 59,17 29,58 2799.005626 
35-centro 57,24 28,62 2799.005626 
 
A análise da Tabela 2-4 permite concluir que o custo computacional para a placa 
discretizada em 35 subáreas aumentou significativamente quando comprada com a 
mesma placa discretizada em 15 subáreas, embora o valor da densidade de carga e 
capacitância não sofram acentuações significativas, tanto para a solução considerando a 
carga na borda quanto para a solução considerando a carga no centro da placa. Devido 
ao efeito de borda, a densidade de carga é maior na borda do que no centro da placa. A 
Figura 2-13 e Figura 2-14 ilustram a densidade de carga obtidas computacionalmente, 
para 15 e 35 segmentos, respectivamente. 
 
 
Figura 2-13 – Densidade de carga (15 segmentos) 
 
0
5
10
15
0
5
10
15
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
35 
 
 
Figura 2-14 – Densidade de carga (35 segmentos) 
 
Constata-se na Figura 2-13 e Figura 2-14 que valor da Densidade de Carga é 
significativamente maior nas bordas da placa, indicando maior concentração de carga 
nessas regiões. Mesmo que o valor da densidade de carga das placas discretizadas em 35 
segmentos não tenha uma alteração significativa em relação as placas discretizadas em 
15 segmentos, o aumento é devido ao ponto de observação ficar mais próximo a borda a 
medida que se aumenta o número de subdivisões das placas. 
2.5 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Funções de 
Base e Teste 
Os resultados obtidos nas Seções 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 e 2.4.4 foram aglutinados e 
comparados nessa seção. Para tanto a discretização das placas do capacitor de placas 
paralelas ilustrada na Figura 2-3 foi variada de 1 a 35 segmentos para os eixos 𝑥 e 𝑦, 
resultando em 2 a 2450 sub-áreas, respectivamente. A Figura 2-15 ilustra os resultados 
obtidos para a capacitância. Considerou-se todas as funções de teste e base apresentadas 
neste capítulo, sendo elas, Point Matching, função pulso, função triangular e função 
pulso-triângulo. 
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
36 
 
 
 
Figura 2-15 – Capacitância do capacitor para as diferentes funções de base e teste, em função do 
número de sub-áreas 
 
A análise da Figura 2-15 permite inferir que a medida que o número de sub-áreas 
aumenta, o valor da capacitância tende a um único valor. O Point Matching e a função 
pulso possuem comportamento semelhante, visto que, a primeira utiliza como função de 
teste a função Delta de Dirac e a segunda é um pulso com valor unitário ambos avaliados 
no centro de cada sub-área. Comparando a função triangular na borda e no centro e a 
função pulso-triângulo na borda e no centro, conclui-se que a capacitância na borda é 
maior que no centro, resultado esperado, uma vez que, na borda das placas o valor da 
carga é maior, em razão do efeito de borda. A capacitância na função triângulo é maior 
que na função pulso-triângulo, esse resultado deve-se ao fato da primeira função ser 
dividida em 4 funções (triângulo nos eixos 𝑥 e 𝑦) em cada sub-área e a segunda ser 
dividida em 2 funções (triângulo no eixo 𝑥 e pulso no eixo y), assim, o efeito de borda é 
mais acentuado na função triângulo que possui funções mais próximas da borda. 
A Figura 2-16 ilustra os resultados obtidos para o número de condicionamento da 
matriz 𝑍𝑖𝑗 para as soluções sob estudo e considerando diferentes números de 
segmentos. 
 
0 500 1000 1500 2000 2500
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
x 10
-11
Número total de Sub-áreas das placas do capacitor
C
 (
F
)
 
 
Point Matching
Pulso
Triângulo centro
Triângulo borda
Pulso-triângulo centro
Pulso-triângulo borda
 
 
37 
 
 
Figura 2-16 – Número de condicionamento para as diferentes funções de base e teste, em função do 
número de sub-áreas 
 
Através da análise da Figura 2-16 conclui-se que o número de condicionamento 
da matriz de impedância piora à medida que se aumenta o número de discretizações em 
sub-áreas, conforme esperado, uma vez que a matriz tende a ser mais singular. A função 
triângulo apresentou o maior número de condicionamento dentre as funções de base 
analisadas, em razão de possuir um maior número de funções envolvidas, quatro por 
sub-área. A função pulso-triângulo possui mais funções envolvidas que a pulso epoint 
matching, sendo duas por sub-área, por isso, o seu número de condicionamento é maior 
quando comparado com essas funções. As funções pulso e point matching são similares, 
visto que a segunda utiliza como função de base o pulso, com isso, o número de 
condicionamento dessas funções são próximos. Todas as funções analisadas 
apresentaram um número de condicionamento comportado, assegurando assim a 
precisão da solução numérica do sistema linear. 
A Figura 2-17 e Figura 2-18 ilustram o custo computacional de cada solução sob 
estudo à medida que se aumenta o número de discretizações das placas, ambas as 
0 500 1000 1500 2000 2500
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
c
o
n
d
(Z
)
Número total de Sub-áreas das placas do capacitor
 
 
Point Matching
Pulso
Triângulo
Pulso-triângulo
 
 
38 
 
figuras representam as mesmas funções, sendo que na primeira é possível visualizar o 
comportamento de cada função individualmente e a segunda exibe uma comparação de 
todas as funções estudadas. 
 
 
Figura 2-17 – Gasto computacional das funções de base 
 
 
Figura 2-18 – Comparação do gasto computacional das funções de base 
 
0 1000 2000 3000
0
5
10
15
Número de Sub-áreas
T
e
m
p
o
 (
s
)
Point Matching
0 1000 2000 3000
0
50
100
150
Número de Sub-áreas
T
e
m
p
o
 (
s
)
Pulso
0 1000 2000 3000
0
1000
2000
3000
4000
Número de Sub-áreas
T
e
m
p
o
 (
s
)
Triângulo
0 1000 2000 3000
0
1000
2000
3000
Número de Sub-áreas
T
e
m
p
o
 (
s
)
Pulso-Triângulo
0 500 1000 1500 2000 2500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Número total de Sub-áreas
T
e
m
p
o
 (
s
)
 
 
Point Matching
Pulso
Triângulo
Pulso-Triângulo
 
 
39 
 
Verifica-se na Figura 2-17 que o gasto computacional de todas as funções de base 
aumenta exponencialmente a medida que se aumenta o número de sub-áreas. A Figura 
2-18 compara o gasto computacional das funções de base utilizadas neste capítulo, 
constata-se que as funções triângulo e pulso-triângulo custam mais tempo para a 
solução do problema do capacitor de placas paralelas, visto que possuem mais funções 
envolvidas em cada sub-área. A função pulso e o Point Matching são soluções simples, 
assim apresentaram menor gasto computacional. 
2.6 Validação dos Resultados através do CST 
Os resultados obtidos computacionalmente através do código desenvolvido no 
software Matlab foram validados através de comparações, com o resultado obtido 
utilizando o CST. O valor obtido via CST foi 21,9 pF, comparando esse resultado com os 
apresentados na Tabela 2-1, Tabela 2-2, Tabela 2-3 e Tabela 2-4, verifica-se que o 
resultado da capacitância obtido na simulação é próximo dos resultados obtidos com as 
funções de base testadas, confirmando assim a eficácia da solução em estudo, validando 
portanto os resultados obtidos no programa desenvolvido no Matlab. 
2.7 Conclusão Parcial 
Todas a funções de base testadas apresentaram resultados fisicamente 
consistentes para o problema proposto neste capítulo, a grande diferença entre elas é o 
custo computacional apresentada por cada uma. A função triangular necessitou de um 
tempo maior para simulação, seguido da função pulso-triângulo e função pulso, já que 
quanto maior o número de funções envolvidas, maior é o custo computacional, 
consequentemente maior será o tempo requerido para a simulação. As funções 
investigadas são utilizadas no Capítulo 3 para o estudo do problema de espalhamento 
eletromagnético. 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 
Espalhamento Eletromagnético 
Neste capítulo é apresentado o problema do espalhamento eletromagnético para 
superfícies condutoras planas. Mostra-se as equações integrais de espalhamento válidas 
para o espaço livre e o princípio da equivalência. Discorre-se sobre o método dos 
momentos aplicado ao problema em questão, considerando a análise para os diferentes 
tipos de funções de base e teste exibidos no Capítulo 2. 
3.1 Espalhamento Eletromagnético 
 
 
 
41 
 
O espalhamento eletromagnético ocorre quando uma onda eletromagnética 
viajante no espaço é interceptada por um obstáculo (corpo), assim um campo é 
espalhado ou refletido. Quando um campo elétrico incidente (𝐸𝑖) e um campo magnético 
incidente (𝐻𝑖) incidem sobre o obstáculo, são induzidas correntes nesse obstáculo [17], 
que irradiam campos eletromagnéticos espalhados (𝐸𝑠, 𝐻𝑠). Os campos 
eletromagnéticos totais (𝐸𝑇 , 𝐻𝑇), são então uma sobreposição dos campos espalhados 
com os campos incidentes [18]: 
 
𝑬𝑇 = 𝑬𝑖 + 𝑬𝑠 (3.1) 
 
𝑯𝑇 = 𝑯𝑖 + 𝑯𝑠 (3.2) 
 
A Figura 3-1 ilustra o problema de espalhamento eletromagnético. Considerando 
que o avião (espalhador) está longe da fonte (antena) – Far Field, pode-se afirmar que a 
onda que irá incidir no objeto é plana. A antena então emite uma onda plana no espaço 
livre (Ω𝑜), quando essa onda for interceptada pelo corpo, no caso, o avião, ocorrerá o 
fenômeno do espalhamento eletromagnético, que é a interação entre o campo incidente 
e o campo espalhado. 
 
 
 
42 
 
 
Figura 3-1 - Espalhamento eletromagnético: (a) fonte (b) espalhador 
 
Para o problema de espalhamento eletromagnético, deve-se então considerar a 
fonte de campos eletromagnéticos e o objeto espalhador. Considera-se que as ondas 
planas que incidem sobre o espalhador são uniformes, com isso, para se obter o campo 
eletromagnético total, basta calcular o campo espalhado. 
Uma forma de se calcular o espalhamento eletromagnético é através das 
equações de campo eletromagnético e das condições de contorno do campo sob esse 
objeto. As equações de campo, elétrico e magnético, são obtidas através das equações de 
Maxwell. 
 
 
3.2 Métodos Numéricos para Solução de Problemas de 
Espalhamento Eletromagnético 
 
 
43 
 
Os métodos numéricos são utilizados para solucionar problemas de 
espalhamento eletromagnético. Para a solução desses problemas pode-se usar técnicas 
diferenciais e integrais. As técnicas numéricas diferenciais são utilizadas para solucionar 
problemas de contorno em domínios fechados, preenchidos por materiais heterogêneos, 
não-lineares ou anisotrópicos [19]. As técnicas numéricas integrais consistem na 
modelagem de um problema utilizando equações integrais. São largamente utilizadas 
para problemas, em que, o domínio seja composto por material linear, homogêneo, 
isotrópico e problemas abertos. 
O método de diferenças finitas (FDM) é uma técnica numérica diferencial 
computacional, que calcula dinamicamente campos eletromagnéticos, distribuições de 
temperatura ou outros fenômenos descritos por equações diferenciais [20]. Esse método 
consiste em uma subtração nos pontos de interesse, seguida de uma divisão pelo 
intervalo entre os pontos considerados, substituindo assim, a operação de diferenciação. 
O FDM é de simples implementação, porém não permite a modelagem precisa de 
problema que possuem a superfície curva e apresenta dificuldade em representar 
campos na interface entre meios diferentes [21]. 
O método de elementos finitos (FEM) é uma técnica numérica diferencial 
utilizada para modelagem de objetos que possuem geometria complexa. A técnica 
consiste em dividir o domínio do problema em subdomínios arbitrários, chamados 
elementos [21]. Após essa divisão, aproxima-se a incógnita de cada elemento por uma 
função de interpolação. Utiliza-se para essa função um outro método, que é o dos erros 
ponderados ou o variacional, como resultado tem-se que a equação diferencial parcial 
transformou-se em um sistema algébrico de equações, onde a matriz de coeficientes é 
espessa, podendo ser simétrica [22]. O FEM possui a vantagem de ser flexível, podendo 
modelar objetos com geometria complexa e cujos domínios estejam preenchidos por 
diferentes materiais [21]. 
O método de equações integrais de fronteira (MEIF) é uma técnica numérica 
integral que consiste na soluçãode equações diferenciais, transformando-as em 
equações integrais sobre a fronteira da região estudada, seguido da discretização do 
contorno, montagem das matrizes e solução do sistema de equações [23]. O MEIF possui 
alta precisão e baixo gasto computacional. Entretanto não são eficientes para solucionar 
problemas, onde se deve modelar o interior do domínio. 
 
 
44 
 
O método dos momentos (MoM) é uma técnica numérica integral que consiste na 
solução de equações integrais, transformando-as em sistema de equações algébricas, 
com auxílio de funções de base ponderada e funções de teste [14]. A modelagem 
matemática através do MoM fornecem soluções precisas e permite o tratamento de 
problemas abertos. O método possui elevado custo computacional e singularidades 
numéricas. Entretanto essa técnica é largamente utilizada para solucionar problemas de 
antenas e de espalhamento eletromagnético com excelentes resultados. 
Devido aos bons resultados gerados pelo MoM para solucionar problemas de 
espalhamento eletromagnético e sua larga aplicação, esse método foi escolhido para 
análise do problema proposto neste trabalho. 
3.3 Equações Integrais de Espalhamento Válidas para o Espaço 
Livre 
Para problemas de radiação normalmente se utiliza o vetor potencial magnético 
(A) e o vetor potencial elétrico (F) para o cálculo dos campos. A Figura 3-2 ilustra as 
etapas para a resolução de problemas de radiação para campos elétricos e magnéticos. O 
primeiro caminho, relaciona os campos eletromagnéticos (E, H) com as fontes de 
corrente (J, M) através de relações integrais. O segundo caminho de integração, 
relaciona os vetores potencial (A, F) com as fontes de corrente (J, M) através de relações 
integrais. O terceiro caminho, determina os campos eletromagnéticos (E, H) através da 
diferenciação dos vetores potencial (A, F). Embora o segundo caminho exija integração e 
diferenciação, enquanto que o primeiro requeira apenas uma integração, os integrandos 
do segundo caminho são simples [13]. 
 
 
 
 
 
45 
 
Para obter as equações integrais e solucionar problemas envolvendo campo 
elétrico e magnético utiliza-se as equações de Maxwell, essas podem ser escritas no 
domínio da frequência como [13]: 
 
∇ × 𝑬 = −𝑴 − 𝑗𝜔𝜇𝑯, 
 
(3.3) 
∇ × 𝑯 = −𝑱 − 𝑗𝜔𝜀𝑬, 
 
(3.4) 
∇. 𝑬 =
𝑞
𝜀
, 
 
(3.5) 
∇.𝑯 = 0, 
(3.6) 
 
onde 𝑬 é o campo elétrico (V/m), 𝑯 é o campo magnético (A/m), 𝑱 é a densidade de 
corrente elétrica (A/m²), 𝑴 é a densidade de corrente magnética (A/m²), 𝑞 é a 
densidade de carga, 𝜀 (F/m) é a permissividade elétrica, 𝜇 (H/m) permeabilidade 
magnética e 𝜔 é a frequência angular (rad/s). 
 
A partir das equações (3.3) a (3.6) representa-se os campos elétrico e magnético 
totais, tal como [13]: 
 
𝑬 = −𝑗𝜔𝑨 − 𝑗
1
𝜔𝜇𝜀
∇(∇. 𝑨) −
1
𝜀
∇ × 𝑭, (3.7) 
Figura 3-2 – Diagrama de blocos para o cálculo do campo de fontes elétricas e magnéticas 
 
 
 
46 
 
 
 
𝑯 =
1
𝜇
∇ × 𝑨 − 𝑗𝜔𝑭 − 𝑗
1
𝜔𝜇𝜀
∇(∇. 𝑭), (3.8) 
 
sendo: 
 
𝑨 =
𝜇
4𝜋
∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
. (3.9) 
 
𝑭 =
𝜀
4𝜋
∭ 𝑴(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
. (3.10) 
 
onde 𝑅 = |𝒓 − 𝒓′| = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2. 
 
Substituindo as equações (3.9) e (3.10) na equação (3.7), tem-se 
 
𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔
𝜇
4𝜋
∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
− 𝑗
1
𝜔𝜇𝜀
∇(∇. (
𝜇
4𝜋
∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
)) −
1
𝜀
∇
×
𝜀
4𝜋
∭ 𝑴(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
, 
 
 
 
(3.11) 
 
 
A função de Green para o espaço livre é definida como[24]: 
 
𝐺(𝒓, 𝒓′) =
𝑒−𝑗𝛽𝑅
4𝜋𝑅
𝑑𝑣′. (3.12) 
 
Substituindo (3.12) em 
 
 
(3.11), tem-se: 
 
 
47 
 
 
𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔𝜇 ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
− 𝑗
1
𝜔𝜀
∇(∇. (∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
𝑑𝑣′)) − ∇
× ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′
𝑣
. 
 
(3.13) 
 
De maneira similar para o campo magnético, tem-se: 
 
𝑯(𝒓, 𝒓′) = ∇ × ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
− 𝑗𝜔𝜀 ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
− 𝑗
1
𝜔𝜇
∇(∇.∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
). 
(3.14) 
 
 
Como as fontes não são funções do observador, essas não afetam os operadores, 
com isso as relações a seguir podem ser empregadas [25]. 
 
∇. ((𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)) = 𝑱(𝒓′). ∇𝐺(𝒓, 𝒓′). 
 
(3.15) 
∇ (∇. ((𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′))) = ∇(𝑱(𝒓′). ∇𝐺(𝒓, 𝒓′)) = (𝑱(𝒓′). ∇)∇G(𝐫, 𝐫′). 
 
(3.16) 
 
∇ × ((𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)) = ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑴(𝒓′). (3.17) 
 
Reescrevendo a equação (3.13), com base nas relações (3.15) a (3.17), tem-se: 
 
𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔𝜇 ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′
𝑣
− ∭
𝑗
𝜔𝜀
(𝑱(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
𝑑𝑣′
− ∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑴(𝒓′)) 𝑑𝑣′.
𝑣
 
(3.18) 
 
De forma dual, pode-se obter a equação integral para o campo magnético: 
 
 
 
48 
 
𝑯(𝒓, 𝒓′) = j∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑱(𝒓′) 𝑑𝑣′
𝑣
− 𝑗𝜔𝜀 ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′
𝑣
−
𝑗
𝜔𝜇
∭ (𝑴(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′
𝑣
. 
 
(3.19) 
Pode-se simplificar as equações (3.18) e (3.19) utilizando operadores integro 
diferenciais para um dado meio “𝑙” [24]. 
 
𝐿𝑙(𝑿) = −
𝑗
𝜔𝜀
∭ 𝑘2
𝑣
𝑿(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑿(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′. 
 
(3.20) 
𝐾𝑙(𝑿) = −1∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓
′) × 𝑿(𝒓′).
𝑣
 (3.21) 
 
onde 𝑿 = 𝑱 ou 𝑴 e 𝑘𝑙 = 𝜔√𝜇𝜀 é o número de onda. 
 
Assim, reescreve-se as equações (3.18) e (3.19) como: 
 
𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝜂𝐿𝑙(𝑱) + 𝐾𝒍(𝑴), 
 
(3.22) 
 
𝑯(𝒓, 𝒓′) =
1
𝜂
𝐿𝑙(𝑴) − 𝐾𝒍(𝑱), (3.23) 
 
onde 𝜂0 = √𝜇/𝜀 é a impedância intrínseca do meio. 
3.4 Problema Equivalente 
 
Na Seção 3.3 foram apresentadas as equações integrais do campo elétrico e 
magnético para o problema de radiação eletromagnética válidas para o espaço livre. 
Para a solução de problemas de espalhamento utilizando essas equações deve-se utilizar 
o princípio da equivalência, em que, o obstáculo é substituído por correntes superficiais 
equivalentes elétrica e magnética [24]. 
 
 
49 
 
A Figura 3-3 ilustra o problema original, em que, um obstáculo (meio 1) com 
características (𝜇𝑟 , 𝜀𝑟) e (meio 2) com características (𝜇0, 𝜀0)é iluminado por um campo 
eletromagnético incidente. 
 
 
Figura 3-3 – Princípio da Equivalência: Problema Original 
 
A partir das condições de contorno sobre as componentes tangenciais do campo 
na fronteira entre os meios externo e interno, pode-se obter as equações integrais do 
campo elétrico e magnético em cada meio. 
Para o problema equivalente externo, tem-se que o campo elétrico e magnético 
interno ao objeto valem zero (𝑬𝟏 = 𝑯𝟏 = 0). A Figura 3-4 ilustra o problema de 
equivalente externo. Nessa condição as equações (3.22) e (3.23) podem ser reescritas 
como: 
 
𝑬𝟎(𝒓, 𝒓′) = −𝜂0𝐿0(𝑱𝑺) + 𝐾𝟎(𝑴𝑺), 
 
(3.24) 
𝑯𝟎(𝒓, 𝒓′) =
1
𝜂0
𝐿0(𝑴𝑺) − 𝐾𝟎(𝑱𝑺), (3.25) 
 
 
50 
 
 
 
Figura 3-4 – Princípio da Equivalência: Problema equivalente externo 
 
De maneira semelhante para o problema equivalente interno, tem-se que o 
campo elétrico e magnético externo ao objeto valem zero (𝑬𝟎 = 𝑯𝟎 = 0). A Figura 3-5 
ilustra o problema de equivalência interno. Nessa condição as equações (3.22) e (3.23) 
podem ser reescritas como: 
 
𝑬𝟏(𝒓, 𝒓′) = −𝜂1𝐿1(−𝑱𝑺) + 𝐾𝟏(−𝑴𝑺). (3.26) 
 
𝑯𝟏(𝒓, 𝒓′) =
1
𝜂1
𝐿1(−𝑴𝑺) − 𝐾𝟏(−𝑱𝑺). (3.27) 
 
onde 𝑱𝑺 e 𝑴𝑺 são as correntes equivalentes superficiais. 
 
O sinal negativo nas correntes equivalentes superficiais (−𝑱𝑺 e −𝑴𝑺) para o 
problema equivalente interno indicam que no problema em questão essas correntes têm 
o sentido oposto àquele definido para o problema equivalente externo devido a 
orientação fixa do operador �̂�. 
 
 
 
51 
 
 
Figura 3-5 – Princípio da Equivalência: Problema Equivalente Interno 
3.5 Espalhamento em uma placa condutora finita 
Para a modelagem de uma antena de microfita um primeiro passo é o 
desenvolvimento da modelagem matemática para superfície plana condutora perfeita 
posteriormente estende-se a formulação para a inclusão do substrato dielétrico.Neste 
trabalho é considerada a modelagem da superfície metálica pura, portanto, modela-se 
somente para o problema equivalente externo, pois não existem campos 
eletromagnéticos internos a superfícies condutoras perfeitas. A Figura 3-6 ilustra o 
problema estudado neste capítulo, em que, um campo elétrico incide normalmente 
sobre um obstáculo, no caso, uma placa condutora perfeita (CEP) de dimensão 𝑎 x 𝑏, 
induzindo correntes superficiais a placa nas direções 𝑥 e 𝑦, 𝐽𝑥 e 𝐽𝑦, respectivamente. 
 
 
52 
 
 
Figura 3-6– Campo elétrico incidindo em uma superfície CEP 
 
Através da imposição das condições de contorno sobre as componentes 
tangenciais do campo na superfície da placa ilustrada na Figura 3-6, tem-se que, o campo 
elétrico total vale zero e o campo magnético total é igual a corrente elétrica superficial: 
 
�̂� × 𝑬𝑇 = 0. (3.28) 
 
�̂� × 𝑯𝑇 = 𝑱𝒔. (3.29) 
 
Substituindo as equações (3.28) e (3.29) nas equações (3.1) e (3.2), 
respectivamente, tem-se que: 
 
�̂� × 𝑬𝑖(𝒓) = −�̂� × 𝑬𝑠(𝒓, 𝒓′) == −𝜂0�̂� × 𝐿0(𝑱𝒔(𝒓
′)). (3.30) 
 
�̂� × 𝑯𝑖 = 𝑱𝒔 − �̂� × 𝑯
𝒔(𝒓, 𝒓′) = 𝑱𝒔 + �̂� × 𝐾𝟎(𝑱𝒔(𝒓
′)). (3.31) 
 
Para o meio CEP a corrente magnética é nula (𝑴𝑠 = 0), em razão disso a parte 
referente a essa corrente nas equações (3.30) e (3.31) foi desprezada. A equação do 
campo magnético não foi aplicada a solução do espalhamento eletromagnético de uma 
placa condutora finita, pois a mesma não é adequada para análise de superfícies CEP 
abertas, como é o caso da placa em estudo [26]. 
 
 
53 
 
3.5.1 Método dos Momentos aplicado a solução do espalhamento 
eletromagnético de uma placa condutora finita 
Como apresentado na Seção 2.1 o método dos momentos é utilizado para resolver 
equações integrais, quando um parâmetro do integrando é desconhecido, 
transformando a equação integral em um sistema linear. 
Para resolver a equação (3.30), deve-se transformá-la em um sistema linear de 
equações algébricas. Para tanto, a densidade de corrente equivalente superficial elétrica 
deve ser representada por uma soma finita de funções de base conhecidas (𝑱𝑗(𝒓
′)), 
multiplicado por coeficientes desconhecidos (𝐼𝑗) [24]. 
 
𝑱𝑠(𝒓
′) = ∑𝐼𝑗
𝑥𝐽𝑗
𝑥(𝒓′)�̂� + 𝐼𝑗
𝑦
𝐽𝑗
𝑦(𝒓′)�̂�,
𝑁
𝑗=1
 
(3.32) 
 
onde 𝑁 é o número total de funções de base escolhidas para representar corretamente o 
comportamento da corrente elétrica na superfície do condutor. 
Assim, substituindo a equação (3.32) na equação (3.30), tem-se que: 
 
�̂� × 𝑬𝒊(𝒓) = −𝜂0�̂� × 𝐿0(∑ 𝐼𝑗
𝑥𝐽𝑗
𝑥(𝒓′)𝑥 + 𝐼𝑗
𝑦
𝐽𝑗
𝑦(𝒓′)�̂�𝑁𝑗=1 ). 
(3.33) 
 
Expandindo, tem-se: 
 
�̂� × 𝑬𝒊(𝒓) =
𝑗
𝜔𝜀
�̂� × ∬ 𝑘2𝑱𝑠(𝒓
′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝑠(𝒓
′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑆′
𝑑𝑠′. 
 
(3.34) 
 
Operando o produto escalar de funções de teste, 𝑾(𝒓′), obtém-se um sistema 
linear, assim, determina-se os coeficientes desconhecidos da equação (𝐼𝑗
𝐽
). Resolvendo a 
integral sobre a superfície do objeto espalhador e reescrevendo (3.34), tem-se que: 
 
 
 
54 
 
∫ 𝑾(𝐫’). �̂� × 𝑬𝒊(𝒓)𝑑𝑠′
𝑺
=
𝑗
𝜔𝜀
�̂� × ∫ 𝑾(𝒓′)
𝑆
∫ [
𝑆′
𝑘2𝑱𝑠(𝒓
′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝑠(𝒓
′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)]𝑑𝑠′𝑑𝑠. 
 
(3.35) 
 
onde 𝑾(𝐫’) = 𝑊𝑥(𝑟)�̂� + 𝑊𝑦(𝑟)�̂�. 
 
A equação matricial obtida é: 
 
[𝑉𝐸] = [𝑍𝐸][𝐼], 
 
(3.36) 
onde 𝐸 representa a equação matricial obtida através da equação integral do campo 
elétrico (EFIE), [𝑉] é o vetor de excitação, [𝑍] é a matriz de impedâncias e [𝐼] é o vetor de 
coeficientes desconhecidos. 
A matriz [𝑉] possui dimensão [𝑁 x 1] e seu i-ésimo termo pode ser expresso 
como: 
 
𝑉𝑖
𝐸 = ∫ 𝑾𝒊(𝒓). [�̂� × 𝑬
𝒊(𝒓)] 𝑑𝑠
𝑆
. 
(3.37) 
 
A matriz [𝑍] possui dimensão [𝑁 x 𝑁] e seus elementos podem ser escritos como: 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸 =
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ �̂� × [ 𝑾(𝒓′)(𝑘2𝑱𝒋(𝒓
′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝒋(𝒓
′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)]𝑑𝑠′𝑑𝑠
𝑆′𝑆
. 
(3.38) 
3.6 Análise do MoM para Diferentes Tipos de Funções de Base e 
Teste 
Nesta Seção aplicou-se o MoM para a solução do problema do espalhamento 
eletromagnético, utilizando as funções de base e teste apresentadas no Capítulo 2. 
 
 
 
55 
 
3.6.1 Função Pulso de Base e Teste 
 
Como apresentado Capítulo 2, apesar da sua simplicidade, a Função Pulso 
apresentada resultados precisos para a solução de problemas eletrostáticos. Então 
aplicou-se o MoM para a solução do problema de espalhamento eletromagnético de uma 
placa condutora. Utilizou-se a função de base pulso, o que resulta na seguinte 
discretização para a corrente superficial equivalente. 
 
𝑱𝑠(𝒓
′) = ∑𝐼𝑗
𝑥𝑃𝑗
𝑥(𝒓′)�̂� + 𝐼𝑗
𝑦
𝑃𝑗
𝑦(𝒓′)�̂�,
𝑁
𝑗=1
 
(3.39) 
 
onde 𝐼𝑗
𝑥 e𝐼𝑗
𝑦
 são os coeficientes complexos desconhecidos associadoas as funções de 
base, 𝑃𝑗
𝑥(𝒓′) e 𝑃𝑗
𝑦
(𝒓′), nas direções �̂� e �̂�, respectivamente, 𝑃𝑗
𝑥(𝑥′) e 𝑃𝑗
𝑦
(𝑥′) são pulsos 
conforme ilustrado na Figura 2-1. 
Utilizou-se o método de Galerkin para a função de teste, 𝑾𝑖(𝒓), que é igual as 
funções de base, assim a função é dada por: 
 
𝑾𝑖(𝒓
′) = ∑𝑃𝑖
𝑥(𝑟)𝑥 + 𝑃𝑖
𝑦
(𝑟)
𝑁
𝑖=1
�̂�. 
(3.40) 
 
Aplicando as equações (3.39) e (3.40) na equação matricial (3.36), tem-se: 
 
[𝑉
𝐸𝑥
𝑉𝐸𝑦
] = [𝑍
𝐸𝑥𝑥 𝑍𝐸𝑥𝑦
𝑍𝐸𝑦𝑥 𝑍𝐸𝑦𝑦
] [𝐼
𝐽𝑥
𝐼𝐽𝑦
], 
 
(3.41) 
onde os elementos das matrizes são: 
 
𝑉𝑖
𝐸𝑥 = ∫ ∫ 𝑃𝑖
𝑥(𝑥)�̂�. [�̂� × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
. 
 
(3.42) 
𝑉𝑖
𝐸𝑦
= ∫ ∫ 𝑃𝑖
𝑦(𝑥)�̂�. [�̂� × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
. (3.43) 
 
 
56 
 
 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑃𝑖
𝑥(𝑥)𝑃𝑗
𝑥(𝑥′) +
𝜕𝑃𝑖
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑃𝑗
𝑥(𝑥′)
𝜕𝑥
)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
. 
 
(3.44) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ (
𝜕𝑃𝑖
𝑥(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑃𝑗
𝑦(𝑦′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦. 
 
(3.45) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑥
=
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ (
𝜕𝑃𝑖
𝑦(𝑦)
𝜕𝑥
𝜕𝑃𝑗
𝑥(𝑥′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.. 
 
(3.46) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙
2𝑃𝑖
𝑦(𝑦)𝑃𝑗
𝑦(𝑥′) +
𝜕𝑃𝑖
𝑦(𝑦)
𝜕𝑦
𝜕𝑃𝑗
𝑦(𝑦′)
𝜕𝑦
)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
. 
(3.47) 
 
A função pulso, 𝑃𝑖,𝑗 , é igual a um e sua derivada é igual a zero, assim as equações 
(3.42) a (3.47) podem ser simplificadas para: 
 
𝑉𝑖
𝐸𝑥 = ∫ ∫ �̂� × 𝑬𝒊(𝒓) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
. 
 
(3.48) 
𝑉𝑖
𝐸𝑦
= ∫ ∫ �̂� × 𝑬𝒊(𝒓) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
. (3.49) 
 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑥 =
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ 𝑘𝑙
2𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
. 
 
(3.50) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑥𝑦
= 0. 
 
(3.51) 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑥
= 0. (3.52) 
 
𝑍𝑖𝑗
𝐸𝑦𝑦
=
𝑗
𝜔𝜀
∫ ∫ ∫ ∫ 𝑘𝑙
2𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′𝑥𝑦
. 
(3.53) 
 
 
 
57 
 
Para a solução de todas as integrais foi utilizado a Quadratura Gaussiana de de 1 e 
1 e 6 e 6 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), 
respectivamente. 
Foi desenvolvido um código no software Matlab para implementar as equações 
desenvolvidas nesta seção para obter a densidade de corrente superficial na borda e no 
centro da placa condutora com a incidência de um campo eletromagnético. A Figura 3-7 
ilustra a densidade de corrente superficial obtida computacionalmente para o centro e 
borda da placa CEP discretizada em 35 segmentos, resultando em 1225 sub-áreas. A 
Figura 3-8 ilustra a distribuição de corrente ao longo de toda a placa. 
 
 
Figura 3-7 – Densidade de corrente superficial para função de base pulso 
 
0 5 10 15 20 25 30 35
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Número de Sub-áreas
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
o
rr
e
n
te
 (
A
/m
²)
 
 
Centro
Borda
 
 
58 
 
 
Figura 3-8 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos) 
 
Verifica-se na Figura 3-7 que o valor da densidade de corrente superficial é 
substancialmente maior nas bordas da placa, indicando uma maior circulação de 
corrente nessas regiões [27]. A onda eletromagnética incide no centro da placa 
condutora, por isso nessa região há uma maior concentração de correntes

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