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TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

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superficial obtida computacionalmente, para o centro e borda da 
 
 
65 
 
placa CEP discretizada em 35 segmentos, resultando em 1225 sub-áreas. A Figura 3-12 
ilustra a densidade de corrente superficial ao longo da placa. 
 
 
Figura 3-11 - Densidade de corrente superficial para função de base triângulo 
 
Figura 3-12 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos) 
0 5 10 15 20 25 30 35
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
Número de Sub-áreas
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
o
rr
e
n
te
 (
A
/m
²)
 
 
Borda
Centro
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Número de Sub-áreasNúmero de Sub-áreas
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
o
rr
e
n
te
 (
A
/m
²)
 
 
66 
 
Verifica-se na Figura 3-11 que o valor da Densidade de Corrente é 
substancialmente maior nas bordas da placa, indicando uma maior circulação de 
corrente nessas regiões, tal ocorrência deve-se ao efeito de borda. A função pulso-
triângulo é definida para o eixo 𝑦 como uma função pulso, justificando assim a 
semelhança entre a Figura 3-7 e a Figura 3-11 
3.7 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Função de 
Base e Teste 
Os resultados obtidos nas Seções 3.6.1, 3.6.2 e 3.6.3 foram aglutinados e 
comparados nesta seção. Para tanto a discretização da placa condutora perfeita ilustrada 
na Figura 3-6 foi variada de 1 a 35 segmentos para os eixos 𝑥 e 𝑦, resultando em 1 a 
1225 sub-áreas, respectivamente. A Figura 3-13 ilustra os resultados obtidos para a 
soma das correntes superficiais ao longo do eixo 𝑥 para cada função de base testada. 
 
 
Figura 3-13 – Soma das correntes superficiais para todas as funções de base 
 
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
Número de Sub-áreas
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
o
rr
e
n
te
 S
u
p
e
rf
ic
ia
l
 
 
Pulso-Triângulo
Pulso
Triângulo
 
 
67 
 
A análise da Figura 3-13 permite inferir que a medida que o número de sub-áreas 
aumenta, o valor da soma das correntes superficiais de todas as funções de base tende a 
um valor constante. A densidade de corrente superficial na função triângulo é maior que 
na função pulso-triângulo, esse resultado deve-se ao fato da primeira função ser dividida 
em 4 funções (triângulo nos eixos 𝑥 e 𝑦) em cada sub-área e a segunda ser dividida em 2 
funções (triângulo no eixo 𝑥 e pulso no eixo y), assim, o efeito de borda é mais acentuado 
na função triângulo que possui funções mais próximas da borda. 
A Figura 3-14 e Figura 3-15 ilustra o custo computacional de cada solução sob 
estudo à medida que se aumenta o número de discretizações das placas. A Figura 3-15 
ilustra os resultados obtidos para o número de condicionamento da matriz 𝑍𝑖𝑗 para as 
soluções sob estudo e considerando diferentes números de segmentos, utilizou-se a 
função rcond (reciprocal condition number) no Matlab, se a matriz estiver bem 
condicionada a função rcond retorna um resultado próximo de um, já se estiver mal 
condicionada o resultado é próximo de zero. 
 
 
Figura 3-14 – Comparação do gasto computacional das funções de base 
 
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0
500
1000
1500
2000
2500
Número de Sub-áreas
T
e
m
p
o
 (
s
)
 
 
Pulso
Triângulo
Pulso-Triângulo
 
 
68 
 
Verifica-se na Figura 3-14 que o gasto computacional de todas as funções de base 
cresce exponencialmente a medida que se aumenta o número de sub-áreas. Constata-se 
que as funções triângulo e pulso-triângulo custam mais tempo para a solução do 
problema do capacitor de placas paralelas, visto que possuem mais funções envolvidas 
em cada sub-área. A função pulso é simples, por isso apresenta menor gasto 
computacional. 
 
 
Figura 3-15 – Comparação do Número de Condicionamento das funções de base 
 
Através da análise da Figura 3-15 conclui-se que o número de condicionamento 
da matriz de impedância piora à medida que se aumenta o número de discretizações em 
sub-áreas, conforme esperado, uma vez que a matriz tende a ser mais singular. A função 
triângulo apresentou o maior número de condicionamento dentre as funções de base 
analisadas, em razão de possuir um maior número de funções envolvidas, quatro por 
sub-área. A função pulso-triângulo possui mais funções envolvidas que a pulso sendo 
duas por sub-área, por isso, o seu número de condicionamento é maior quando 
comparado com essa função. Apesar do número de condicionamento das funções de 
base se aproximar de zero à medida que se aumenta o número de discretizações, todas 
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
Número de Sub-áreas
N
ú
m
e
ro
 d
e
 C
o
n
d
ic
io
n
a
m
e
n
to
 
 
Pulso
Triângulo
Pulso-Triângulo
 
 
69 
 
as funções analisadas apresentaram um número de condicionamento comportado, 
assegurando assim a precisão da solução numérica do sistema linear. 
3.8 Validações dos resultados através do software CST 
Os resultados obtidos computacionalmente através do código desenvolvido no 
software Matlab foram validados através de comparações, com o resultado obtido 
utilizando o CST. A Figura 3-16 ilustra a geometria simulada no software, considerou-se 
a uma placa CEP imersa no vácuo. A superfície metálica foi excitado com uma onda 
plana polarizada nas direções 𝑥 e 𝑦 e com propagação normal na direção −𝑧. A Figura 
3-17 exibe os resultados obtidos para a densidade superficial de corrente em duas 
dimensões, a Figura 3-18 ilustra os resultados obtidos para a densidade superficial de 
corrente em uma dimensão ao longo da linha mostrada na Figura 3-16 (centro da placa). 
 
 
Figura 3-16 – Superfície CEP simulada no CST 
 
 
70 
 
 
Figura 3-17 – Módulo do Campo Elétrico na superfície CEP em 2D 
 
 
Figura 3-18 – Módulo da Corrente Superficial na superfície CEP em 1D 
 
Mediante a comparação do resultado obtido na simulação realizada no CST, 
ilustrado na Figura 3-18, com os obtidos através do código desenvolvido no Matlab, 
ilustrados nas Figura 3-7, Figura 3-9 e Figura 3-11, verifica-se que os resultados obtidos 
são semelhantes. A solução apresentada na Figura 3-18 confirma a precisão do código 
desenvolvido, visto que, os resultados são semelhantes. 
3.8.1 Conclusões Parciais 
 
Neste capítulo foi abordado o espalhamento eletromagnético, foram 
apresentados as equações integrais de espalhamento válidas para o espaço livre e o 
princípio da equivalência. Aplicou-se o método dos momentos em um meio condutor 
 
 
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elétrico perfeito, utilizando a uma função de base e peso do tipo pulso. Essas equações 
serão utilizadas nos próximos capítulos como referência para a o desenvolvimento da 
ferramenta computacional para o cálculo do espalhamento eletromagnético. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
Capítulo 4 
Conclusão 
A formulação para o Método dos Momentos desenvolvida neste trabalho foi 
apresentada e mostrou-se eficiente ao tratar problemas eletromagnéticos. Essa 
formulação foi aplicada inicialmente a solução de um problema eletrostático 2D, no caso 
um capacitor de placas paralelas, os resultados obtidos foram fisicamente consistentes, 
consolidando a modelagem matemática para o problema em duas dimensões e 
ratificando o uso das funções de base e teste utilizadas. Essa solução motivou a busca 
por diferentes desafios e, dessa maneira, a mesma metodologia foi proposta para um 
espalhador condutor elétrico perfeito. Aplicou-se um campo elétrico normal ao objeto 
espalhador, superfície plana condutora. Obteve-se assim a densidade de corrente 
superficial da placa, nas bordas e no centro, os resultados obtidos também se mostraram 
consistentes para diferentes discretizações. Dessa forma, a formulação desenvolvida foi 
avaliada e pode ser estendida para novos problemas com diferentes geometrias. Para a 
modelagem de uma antena de microfita um primeiro passo é o desenvolvimento da 
modelagem matemática
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