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TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

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escolhida para modelagem do problema apresentado neste trabalho, pois pretende-se 
obter o comportamento do espalhamento eletromagnético por superfícies planas 
condutoras, cuja natureza da distribuição de corrente no condutor não é conhecida à 
priori. As funções de base de subdomínio utilizadas neste trabalho são apresentadas nas 
Seções 2.2.1 e 2.2.2. 
2.2.1 Função Pulso 
A função pulso é exibida na Figura 2-1, em que, o domínio foi discretizado em 𝑁 
segmentos. Todos os segmentos da figura possuem o mesmo comprimento, mas isso não 
é um requisito. 
 
 
Figura 2-1 – Função de base: Pulso 
 
A função de pulso é definida dentro de cada segmento como uma função 
constante [8] e dado por: 
 
𝑔𝑛(𝑥′) = 𝑃𝑛(𝑥′) = 1, 𝑥
′
𝑛 ≤ 𝑥
′ ≤ 𝑥′𝑛+1 
 𝑃𝑛(𝑥′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
(2.6) 
 
 
17 
 
A função pulso é uma aproximação simples para a solução em cada segmento, 
mas pode simplificar muito a avaliação dos elementos da matriz. 
2.2.2 Função Triangular 
Outro tipo de funções de base, bastante utilizados é a função triangular [13], que 
é exibida na Figura 2-2. Ao contrário da função pulso, a função triangular não é 
constante em todo segmento, ela varia no eixo 𝑥′, conforme ilustrado, em que, o domínio 
foi discretizado em N segmentos, resultando em N-1 funções de base. 
 
 
Figura 2-2 – Função de base: Triangular 
 
As funções triangulares são definidas como [8]: 
 
𝑔𝑛(𝑥′) = 𝑇𝑛(𝑥′) =
𝑥′−𝑥𝑛−1
′
𝑥𝑛
′ −𝑥𝑛−1
′ , 𝑥𝑛−1
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛
′ 
 𝑇𝑛(𝑥′) =
𝑥𝑛−1
′ −𝑥′
𝑥𝑛+1
′ −𝑥𝑛
′ , 𝑥𝑛
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1
′ 
 𝑇𝑛(𝑥′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
 
(2.7) 
 
Conforme ilustrado na Figura 2-2, as funções triangulares cobrem dois segmentos 
e se sobrepõem às funções vizinhas. Essas funções proporcionam uma aproximação 
suave para a função 𝑔 em comparação com a função pulso. Porém, o aumento da 
complexidade das funções de base aumenta o custo computacional total do MoM. 
 
 
 
 
18 
 
2.3 Funções de Teste 
Após a escolha da função de base, deve-se efetuar o produto interno com uma 
função de teste em ambos os lados da equação obtida com Método dos Momentos, 
forçando-se assim a ortogonalidade do resultado [13]. As funções de teste são escolhidas 
de forma a simplificar e facilitar a formulação do problema, há uma grande flexibilidade 
na escolha dessas funções, pode-se usar o Point Matching e o Método de Garlekin. 
A escolha da função de base e teste é a principal questão dentro da 
implementação do Método dos Momentos [14]. Os fatores que afetam a escolha da 
função de base e teste são: a precisão da solução desejada; a facilidade de avaliação dos 
elementos da matriz; realizar um bom condicionamento da matriz. As funções de base e 
teste devem ser obrigatoriamente linearmente independentes [15]. 
2.3.1 Point Matching 
O Point Matching é equivalente ao uso de uma função Delta de Dirac como função 
de teste. Esse método também é conhecido como “Point Collocation”. O Point Matching 
possui a vantagem de não necessitar de integral ao longo da função de teste para avaliar 
os elementos da matriz, sendo necessário apenas a função de origem, o que torna a 
avaliação mais simples [8]. A principal desvantagem do método é que as condições de 
contorno são combinadas apenas em locais discretos em todo o domínio da solução. 
Apesar da desvantagem os resultados obtidos com o Point Matching são bastante 
precisos, assim, o mesmo foi utilizado para fins comparativos neste trabalho. 
2.3.2 Método de Galerkin 
Em princípio pode-se utilizar qualquer tipo de função como função de teste para 
a solução do MoM, porém a escolha da função de teste é fundamental para obter um 
resultado preciso na solução do problema. O método de Galerkin é bastante utilizado 
para esse fim, e estabelece que a função de teste escolhida deve ser igual a função de 
base [8]. Ele tem a vantagem de fazer cumprir a condição de contorno em todo domínio 
 
 
19 
 
da solução, o que conduz a resultados mais precisos que o Point Matching. Neste 
trabalho utiliza-se também o Método de Garlekin para fins comparativos. 
2.4 MoM Aplicado a Solução de Problemas Eletroestáticos 2D 
Em um primeiro estudo considerou-se a aplicação do MoM a um problema 
simples, no caso, um capacitor de placas paralelas. O objetivo em examinar esse caso é 
consolidar a modelagem matemática para um problema em duas dimensões e explorar a 
precisão da solução para diferentes tipos de função de base e teste. O problema sob 
análise é apresentado na Figura 2-3, em que, as placas de dimensão 𝑎 x 𝑏 estão 
discretizadas em 2𝑁 sub-áreas, ∆𝑆1, ∆𝑆2, … , ∆𝑆𝑛 e∆𝑆𝑛+1, ∆𝑆𝑛+2, … , ∆𝑆2𝑛. A placa superior 
𝑃1 possui potencial elétrico ∅1 e a inferior 𝑃2 tem potencial ∅2. 
 
 
Figura 2-3 – Capacitor de placas paralelas 
 
 
 
20 
 
Dado o potencial elétrico nas placas ∅1 e ∅2, o potencial em qualquer ponto do 
espaço é dado por [9]: 
 
∅(𝒓) = ∫
𝜌𝑆(𝒓
′)
4𝜋𝜀𝑜𝑅
𝑑𝒓′,
𝑆′
 
(2.8) 
 
onde 𝑅 = |𝑟 − 𝑟′| = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)², 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′ são os pontos 
de observação e fonte, respectivamente, 𝜌𝑆 é a densidade superficial de carga (C/m²) 
sobre as placas, 𝜀𝑜 é a permissividade elétrica do vácuo e 𝑆 representa a superfície das 
placas. 
 
Em (2.8) 𝜌𝑆 é o termo desconhecido e portanto o parâmetro a ser determinado, a 
densidade de carga desconhecida é então expandida em uma combinação linear de 
funções de base como se segue: 
 
𝜌𝑆(𝒓
′) = ∑𝛼𝑛𝑔𝑛(𝒓
′),
2𝑁
𝑗=1
 
(2.9) 
 
onde 𝛼𝑛 são os coeficientes desconhecidos e 𝑔𝑛(𝒓
′) são as funções de base. 
Substituindo a equação (2.9) em (2.8) e escrevendo a equação como um 
somatório, tem-se: 
 
∅(𝒓) = ∑
𝛼𝑛
4𝜋𝜀𝑜
∫
𝑔𝑛(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝒔′
𝑆′
2𝑁
𝑗=1
. 
(2.10) 
 
A equação (2.10) é uma soma de integrais, cada uma sobre o domínio da função 
de base, aplicando-se essa equação a cada uma das 2𝑁 sub-áreas da Figura 2-3 e 
utilizando uma função de teste (W) em ambos os lados da equação (2.10), obtém-se: 
 
∫ 𝑊(𝒓)∅1(𝒓)
𝑆
= ∫ 𝑊(𝒓)
𝑆
∑
𝛼𝑗
4𝜋𝜀𝑜
∫
𝑔1𝑗(𝒓
′)
𝑅1𝑗
𝑑𝑠′
𝑆′
2𝑁
𝑗=1
, 
 
 
 
 
21 
 
∫ 𝑊(𝒓)∅2(𝒓)
𝑆
= ∫ 𝑊(𝒓)
𝑆
∑
𝛼𝑗
4𝜋𝜀𝑜
∫
𝑔2𝑗(𝒓
′)
𝑅2𝑗
𝑑𝑠′
𝑆′
2𝑁
𝑗=1
, 
⋮ 
∫ 𝑊(𝒓)∅2𝑁(𝒓)
𝑆
= ∫ 𝑊(𝒓)
𝑆
∑
𝛼𝑗
4𝜋𝜀𝑜
∫
𝑔2𝑛,𝑗(𝒓
′)
𝑅2𝑁,𝑗
𝑑𝑠′
𝑆′
2𝑁
𝑗=1
. 
 
 
 
(2.11) 
 
onde 𝑊 = ∑ 𝑊(𝒓)2𝑁𝑖=1 . 
 
A equação (2.11) pode ser escrita na forma matricial 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
𝑍11 𝑍12 … 𝑍1,2𝑛
𝑍21 𝑍22 … 𝑍2,2𝑛
⋮
𝑍𝑛,1
𝑍𝑛+1,1
⋮
𝑍2𝑛,1
⋮
𝑍𝑛,2
𝑍𝑛+1,2
⋮
𝑍2𝑛,2
⋱
……
⋱
…
⋮
𝑍𝑛,𝑛
𝑍𝑛+1,𝑛
⋮
𝑍2𝑛,2𝑛 ]
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
𝛼1
𝛼2
⋮
𝛼𝑛
𝛼𝑛+1
⋮
𝛼2𝑛 ]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
𝑉1
𝑉2
⋮
𝑉𝑛
𝑉𝑛+1
⋮
𝑉2𝑛 ]
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
(2.12) 
onde os elementos da matriz 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
𝑉𝑖 = ∫ 𝑊(𝒓
′)
𝑆
∅𝑖(𝒓). 
(2.13) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ 𝑊(𝒓′)∫
𝑔𝑖𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝒓′
𝑆′𝑆
. (2.14) 
O problema do capacitor de placas paralelas foi solucionado considerando 
diferentes tipos de funções de base e teste, conforme apresentado nas Seções 2.4.1, 2.4.2, 
2.4.3 e 2.4.4. 
 
 
 
 
22 
 
2.4.1 Modelagem Matemática Utilizando MoM– Point Matching 
Considerando como função de base, a função pulso (𝑔(𝒓′) = 𝑃(𝒓′)), conforme 
ilustrado na Figura 2-4, e para a função de teste, delta de dirac (𝑊(𝒓) = 𝛿(𝒓)). Obtém-se 
a modelagem matemática aplicando o MoM utilizando o Point Matching. 
 
 
Figura 2-4 – Função Pulso aplicado no Capacitor 
 
Reescreve-se as equações (2.13) e (2.14), os elementos da matriz 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
𝑉𝑖 = ∫ 𝛿(𝒓)
𝑆
∅𝑖(𝒓)𝑑𝑠 
(2.15) 
 
 
 
23 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ 𝛿(𝒓)∫
𝑃𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝑠′𝑑𝑠
𝑆′𝑆
. (2.16) 
 
Expandindo (2.15) e (2.16) tem-se: 
 
𝑉𝑖 = ∫ ∫ ∅𝑖(𝒓)
𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥
, (2.17) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ ∫
1
𝑅𝑦′
𝑑𝑥′𝑑𝑦′

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