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TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

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𝑥′
, (2.18) 
 
onde 𝑅 = √(𝑥𝑐 − 𝑥′)2 + (𝑦𝑐 − 𝑦′)2 + 𝑑², sendo (𝑥𝑐, 𝑦𝑐) é o ponto central de cada sub-
área e ∫ ∫ 𝛿(𝑥, 𝑦)
𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥
= 1. As integrais em 𝑥 e 𝑥′ são aproximadas por expressões 
analíticas. 
Utilizando o software Matlab foi desenvolvido um algoritmo, onde aplicou-se as 
equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância entre as placas 
do capacitor. Foram realizadas simulações considerando, a placa discretizada nos eixos 
𝑥 e 𝑦 em 15 e 35 segmentos, resultando assim em um total de 450 e 2450 subáreas, 
respectivamente. Os resultados obtidos durante a simulação no Matlab são apresentados 
na Tabela 2-1. 
 
Tabela 2-1 – Resultados obtidos utilizando Point Matching 
Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s) 
15 58,03 29,02 0,668657 
35 58,75 29,37 12,434716 
 
Observa-se através da análise da Tabela 2-1 que o custo computacional para a 
placa discretizada em 35 segmentos aumentou significativamente quando comprada 
com a mesma placa discretizada em 15 segmentos embora o valor de densidade de carga 
e capacitância não sofram alterações significativas. A Figura 2-5 e Figura 2-6 apresentam 
o perfil da densidade de carga obtidas computacionalmente, para 15 e 35 segmentos, 
 
 
24 
 
respectivamente. O problema proposto na Figura 2-3 é também estudado no livro 
“Elements of Electromagnetics” [9], os resultados obtidos na literatura são próximos dos 
resultados exibidos na Tabela 2-1, confirmando assim a modelagem apresentada nesta 
Seção. 
 
 
Figura 2-5 – Densidade de Carga (15 segmentos) 
0
5
10
15
0
5
10
15
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
25 
 
 
 
Figura 2-6 – Densidade de Carga (35 segmentos) 
 
Nota-se na Figura 2-5 e Figura 2-6 que valor da densidade de carga é 
substancialmente maior nas bordas da placa, indicando uma maior concentração de 
carga nessas regiões, conforme esperado, visto que, há efeito de borda nas placas. O 
campo elétrico nas placas é uniforme na região central e não uniforme nas bordas das 
placas. Embora o valor da densidade de carga da placa discretizada em 35 segmentos 
não tenha uma alteração significativa em relação a placa discretizada em 15 segmentos, 
esse pequeno aumento é devido ao fato de que o ponto de observação se aproxima da 
borda a medida que se aumenta o número de subdivisões das placas. 
2.4.2 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Pulso 
Em uma segunda análise realizada, fez-se a modelagem matemática aplicando o 
MoM utilizando a função pulso, onde para a função de base aplicou-se a função pulso 
(𝑔(𝒓′) = 𝑃(𝒓′)). Utilizando o método de Garlekin, empregou-se como função de teste o 
pulso (𝑊(𝒓) = 𝑃(𝒓)). Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
1
2
3
4
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
26 
 
 
𝑉𝑖 = ∫ ∫ 𝑃𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓′)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
, (2.19) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∫ ∫ 𝑃𝑖(𝒓)
𝑥𝑦
∫ ∫
𝑃𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′
, 
(2.20) 
 
onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑2. 
 
Para resolução das integrais presentes em 𝑍𝑖𝑗 fez-se necessário recorrer a 
métodos númericos, utilizou-se então uma grade quadrada onde foi aplicada uma 
Quadratura Gaussiana para a integral na fonte [16]. Esse método possui a vantagem de 
oferecer resultados precisos na solução de integrais. Para a resolução das integrais, 
aplicou-se novamente a Quadratura Gaussiana de 1 e 1 e 6 e 6 pontos para as integrais 
no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), respectivamente. Utilizando o software Matlab 
desenvolveu-se um novo algoritmo onde, empregou-se as equações obtidas nesta seção, 
de forma a obter a carga e a capacitância entre as placas. Foram realizadas simulações 
considerando, as placas discretizadas em 15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e y, resultando 
assim em 450 e 2450 subáreas, respectivamente. A Tabela 2-2 exibe os resultados 
obtidos com a simulação do problema no Matlab. 
 
Tabela 2-2 – Resultados obtidos utilizando a Função Pulso 
Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s) 
15 58,55 29,28 3,755143 
35 58,97 29,49 124.623355 
 
A análise da Tabela 2-2 permite concluir que o custo computacional para a placa 
discretizada em 35 segmentos aumentou significativamente quando comprada com a 
mesma placa discretizada em 15 segmentos, embora o valor da densidade de carga e 
capacitância não sofram alterações significativas. A Figura 2-7 e Figura 2-8 ilustram a 
densidade de carga obtidas computacionalmente, para 15 e 35 segmentos, 
respectivamente. 
 
 
27 
 
 
 
Figura 2-7 – Densidade de carga (15 segmentos) 
 
 
 
Figura 2-8 – Densidade de carga (35 segmentos) 
0
5
10
15
0
5
10
15
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
1
2
3
4
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
28 
 
Nota-se nas Figura 2-7 e Figura 2-8 que valor da densidade de carga é 
significativamente maior nas bordas da placa, indicando uma maior concentração de 
carga nessas regiões, como esperado. Embora o valor da capacitância para a placa 
discretizada em 35 segmentos não tenha uma alteração significativa em relação a placa 
discretizada em 15 segmentos, o aumento deve-se ao fato de que o ponto de observação 
se aproximada borda à medida que se aumenta o número de subdivisões das placas. 
2.4.3 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Triângulo 
Em uma terceira análise foram consideradas função de base e teste como sendo 
funções triangulares, ou seja, 𝑔(𝒓′) = 𝑇(𝒓′) e 𝑊(𝒓) = 𝑇(𝒓), respectivamente como 
ilustrado na Figura 2-9. 
 
 
Figura 2-9 – Função Triangular aplicada no Capacitor 
 
 
 
29 
 
Neste trabalho foi proposta um novo tipo de função triangular aplicada as 
coordenadas 𝑥 e 𝑦 da seguinte forma: 
 
𝑔𝑛(𝒓′) = 𝑇𝑛(𝒓′) = (
𝑥′ − 𝑥𝑛−1
′
𝑥𝑛
′ − 𝑥𝑛−1
′ )(
𝑦′ − 𝑦𝑛−1
′
𝑦𝑛
′ − 𝑦𝑛−1
′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛−1
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛
′ 𝑒 𝑦𝑛−1
′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛
′ , 
 𝑇𝑛(𝒓′) = (
𝑥𝑛−1
′ − 𝑥′
𝑥𝑛+1
′ − 𝑥𝑛
′ )(
𝑦𝑛−1
′ − 𝑦′
𝑦𝑛+1
′ − 𝑦𝑛
′) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1
′ 𝑒 𝑦𝑛
′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛+1
′ , 
 𝑇𝑛(𝒓′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
 
 
(2.21) 
 
Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
𝑉𝑖 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
4
𝑖=1
, 
(2.22) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∑∑∫ ∫ 𝑇𝑖(𝒓)
𝑥𝑦
∫ ∫
𝑇𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′
,
𝑦′
4
𝑗=1
4
𝑖=1
 
 
(2.23) 
 
onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑2. 
 
Para resolução das integrais em (2.22) e 
(2.23) fez-se necessário a integração numérica, utilizou-se a Quadratura 
Gaussiana de 2 e 2 e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), 
respectivamente. Utilizando o software Matlab desenvolveu-se um novo algoritmo onde, 
aplicou-se as equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância 
entre as placas. Foram realizadas simulações considerando, as placas discretizadas em 
15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e 𝑦, novamente. A Tabela 2-3 exibe os resultados obtidos 
durante a simulação do problema no Matlab foram considerados os valores obtidos no 
centro e nos vértices de cada sub-área. Os vértices das sub-áreas coincidem com o 
vértice superior das funções triangulares, e dentro de cada sub-área a unicidade de 
funções é garantida. 
 
 
 
30 
 
 
Tabela 2-3 – Resultados obtidos utilizando a Função Triãngulo 
Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s) 
15-borda 61,036 30,52 244.575778 
35-borda 61,21 30,6 3517.327885 
15-centro 55,4 27,7 244.575778 
35-centro 57,32 28,66 3517.327885 
 
A análise da Tabela 2-3 permite concluir que o custo computacional para as 
placas discretizadas em 35 subáreas aumentou significativamente

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