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TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

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quando comprada 
com as mesmas placas discretizadas em 15 subáreas embora o valor da densidade de 
carga e capacitância não sofram alterações significativas, tanto para a solução 
considerando a carga nos vértices quanto para a solução considerando a carga no centro 
de cada sub-área. Através da Tabela 2-3 nota-se que para um mesmo número de 
discretizações, a densidade de carga e capacitância são maiores nos vértices da placa do 
que no centro da mesma, realçando assim o efeito de borda. As Figura 2-10 e Figura 2-11 
ilustram a densidade de carga obtida computacionalmente, para 15 e 35 segmentos, 
respectivamente. 
 
 
 
31 
 
 
Figura 2-10 – Densidade de carga (15 segmentos) 
 
Figura 2-11 – Densidade de carga (35 segmentos) 
 
 
0
5
10
15
0
5
10
15
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
32 
 
Percebe-se na Figura 2-10 e Figura 2-11 que valor da Densidade de Carga é 
significativamente maior nos vértices das placas, indicando uma maior concentração de 
carga nessas regiões. Mesmo que o valor da capacitância para as placas discretizadas em 
35 segmentos não tenha uma alteração significativa em relação as placas discretizadas 
em 15 segmentos, o aumento é devido ao fato do ponto de observação ficar mais 
próximo a borda a medida que se aumenta o número de subdivisões das placas. 
2.4.4 Modelagem Matemática Utilizando MoM - Função Pulso-
Triângulo 
Em uma última análise considerou-se uma combinação de funções pulso e 
triângulo para a modelagem matemática, em que a função de base é: 𝑔(𝒓′) = 𝑇𝑃(𝒓′) e a 
função de teste é: 𝑊(𝒓) = 𝑇𝑃(𝒓), conforme ilustrado na Figura 2-12. 
 
 
Figura 2-12 – Função Pulso-Triângulo aplicada no Capacitor 
 
 
33 
 
A função pulso triângulo é definida para os eixos 𝑥 e 𝑦 como: 
 
𝑔𝑛(𝒓′) = 𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = (
𝑥′ − 𝑥𝑛−1
′
𝑥𝑛
′ − 𝑥𝑛−1
′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛−1
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛
′ 𝑒 𝑦𝑛−1
′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛
′ , 
 𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = (
𝑥𝑛−1
′ − 𝑥′
𝑥𝑛+1
′ − 𝑥𝑛
′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛
′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1
′ 𝑒 𝑦𝑛
′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛+1
′ , 
 𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
 
 
(2.24) 
 
Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são: 
 
𝑉𝑖 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥𝑦
2
𝑖=1
, 
(2.25) 
 
𝑍𝑖𝑗 =
1
4𝜋𝜀𝑜
∑∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖(𝒓)
𝑥𝑦
∫ ∫
𝑇𝑃𝑗(𝒓
′)
𝑅
𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥′𝑦′
2
𝑗=1
,
2
𝑖=1
 
(2.26) 
 
onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑². 
 
Para resolução das integrais em (2.25) e (2.26) também foi utilizada a Quadratura 
Gaussiana de 2 e 2 e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), 
respectivamente. Utilizando o software Matlab desenvolveu-se um novo algoritmo onde, 
aplicou-se as equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância 
entre as placas. Foram realizadas simulações considerando, as placas discretizadas em 
15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e 𝑦, novamente. A Tabela 2-4 exibe os resultados obtidos 
durante a simulação do problema no Matlab. Também neste caso pontos na borda e no 
centro de cada sub-área foram considerados. Em cada sub-área existem dois triângulos 
onde os vértices estão alinhados no eixo 𝑥. 
 
Tabela 2-4 – Resultados Função Pulso-Triângulo 
Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s) 
15-borda 58,032 29,016 106.197301 
 
 
34 
 
15-centro 55,24 27,62 106.197301 
35-borda 59,17 29,58 2799.005626 
35-centro 57,24 28,62 2799.005626 
 
A análise da Tabela 2-4 permite concluir que o custo computacional para a placa 
discretizada em 35 subáreas aumentou significativamente quando comprada com a 
mesma placa discretizada em 15 subáreas, embora o valor da densidade de carga e 
capacitância não sofram acentuações significativas, tanto para a solução considerando a 
carga na borda quanto para a solução considerando a carga no centro da placa. Devido 
ao efeito de borda, a densidade de carga é maior na borda do que no centro da placa. A 
Figura 2-13 e Figura 2-14 ilustram a densidade de carga obtidas computacionalmente, 
para 15 e 35 segmentos, respectivamente. 
 
 
Figura 2-13 – Densidade de carga (15 segmentos) 
 
0
5
10
15
0
5
10
15
0
0.5
1
1.5
2
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
35 
 
 
Figura 2-14 – Densidade de carga (35 segmentos) 
 
Constata-se na Figura 2-13 e Figura 2-14 que valor da Densidade de Carga é 
significativamente maior nas bordas da placa, indicando maior concentração de carga 
nessas regiões. Mesmo que o valor da densidade de carga das placas discretizadas em 35 
segmentos não tenha uma alteração significativa em relação as placas discretizadas em 
15 segmentos, o aumento é devido ao ponto de observação ficar mais próximo a borda a 
medida que se aumenta o número de subdivisões das placas. 
2.5 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Funções de 
Base e Teste 
Os resultados obtidos nas Seções 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 e 2.4.4 foram aglutinados e 
comparados nessa seção. Para tanto a discretização das placas do capacitor de placas 
paralelas ilustrada na Figura 2-3 foi variada de 1 a 35 segmentos para os eixos 𝑥 e 𝑦, 
resultando em 2 a 2450 sub-áreas, respectivamente. A Figura 2-15 ilustra os resultados 
obtidos para a capacitância. Considerou-se todas as funções de teste e base apresentadas 
neste capítulo, sendo elas, Point Matching, função pulso, função triangular e função 
pulso-triângulo. 
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
-10
D
e
n
s
id
a
d
e
 d
e
 C
a
rg
a
 (
C
/m
²)
 
 
36 
 
 
 
Figura 2-15 – Capacitância do capacitor para as diferentes funções de base e teste, em função do 
número de sub-áreas 
 
A análise da Figura 2-15 permite inferir que a medida que o número de sub-áreas 
aumenta, o valor da capacitância tende a um único valor. O Point Matching e a função 
pulso possuem comportamento semelhante, visto que, a primeira utiliza como função de 
teste a função Delta de Dirac e a segunda é um pulso com valor unitário ambos avaliados 
no centro de cada sub-área. Comparando a função triangular na borda e no centro e a 
função pulso-triângulo na borda e no centro, conclui-se que a capacitância na borda é 
maior que no centro, resultado esperado, uma vez que, na borda das placas o valor da 
carga é maior, em razão do efeito de borda. A capacitância na função triângulo é maior 
que na função pulso-triângulo, esse resultado deve-se ao fato da primeira função ser 
dividida em 4 funções (triângulo nos eixos 𝑥 e 𝑦) em cada sub-área e a segunda ser 
dividida em 2 funções (triângulo no eixo 𝑥 e pulso no eixo y), assim, o efeito de borda é 
mais acentuado na função triângulo que possui funções mais próximas da borda. 
A Figura 2-16 ilustra os resultados obtidos para o número de condicionamento da 
matriz 𝑍𝑖𝑗 para as soluções sob estudo e considerando diferentes números de 
segmentos. 
 
0 500 1000 1500 2000 2500
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
x 10
-11
Número total de Sub-áreas das placas do capacitor
C
 (
F
)
 
 
Point Matching
Pulso
Triângulo centro
Triângulo borda
Pulso-triângulo centro
Pulso-triângulo borda
 
 
37 
 
 
Figura 2-16 – Número de condicionamento para as diferentes funções de base e teste, em função do 
número de sub-áreas 
 
Através da análise da Figura 2-16 conclui-se que o número de condicionamento 
da matriz de impedância piora à medida que se aumenta o número de discretizações em 
sub-áreas, conforme esperado, uma vez que a matriz tende a ser mais singular. A função 
triângulo apresentou o maior número de condicionamento dentre as funções de base 
analisadas, em razão de possuir um maior número de funções envolvidas, quatro por 
sub-área. A função pulso-triângulo possui mais funções envolvidas que a pulso e

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