A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
84 pág.
TCC_2015_1_MDSPompeo metodos do momentos

Pré-visualização | Página 9 de 14

de equações diferenciais, transformando-as em 
equações integrais sobre a fronteira da região estudada, seguido da discretização do 
contorno, montagem das matrizes e solução do sistema de equações [23]. O MEIF possui 
alta precisão e baixo gasto computacional. Entretanto não são eficientes para solucionar 
problemas, onde se deve modelar o interior do domínio. 
 
 
44 
 
O método dos momentos (MoM) é uma técnica numérica integral que consiste na 
solução de equações integrais, transformando-as em sistema de equações algébricas, 
com auxílio de funções de base ponderada e funções de teste [14]. A modelagem 
matemática através do MoM fornecem soluções precisas e permite o tratamento de 
problemas abertos. O método possui elevado custo computacional e singularidades 
numéricas. Entretanto essa técnica é largamente utilizada para solucionar problemas de 
antenas e de espalhamento eletromagnético com excelentes resultados. 
Devido aos bons resultados gerados pelo MoM para solucionar problemas de 
espalhamento eletromagnético e sua larga aplicação, esse método foi escolhido para 
análise do problema proposto neste trabalho. 
3.3 Equações Integrais de Espalhamento Válidas para o Espaço 
Livre 
Para problemas de radiação normalmente se utiliza o vetor potencial magnético 
(A) e o vetor potencial elétrico (F) para o cálculo dos campos. A Figura 3-2 ilustra as 
etapas para a resolução de problemas de radiação para campos elétricos e magnéticos. O 
primeiro caminho, relaciona os campos eletromagnéticos (E, H) com as fontes de 
corrente (J, M) através de relações integrais. O segundo caminho de integração, 
relaciona os vetores potencial (A, F) com as fontes de corrente (J, M) através de relações 
integrais. O terceiro caminho, determina os campos eletromagnéticos (E, H) através da 
diferenciação dos vetores potencial (A, F). Embora o segundo caminho exija integração e 
diferenciação, enquanto que o primeiro requeira apenas uma integração, os integrandos 
do segundo caminho são simples [13]. 
 
 
 
 
 
45 
 
Para obter as equações integrais e solucionar problemas envolvendo campo 
elétrico e magnético utiliza-se as equações de Maxwell, essas podem ser escritas no 
domínio da frequência como [13]: 
 
∇ × 𝑬 = −𝑴 − 𝑗𝜔𝜇𝑯, 
 
(3.3) 
∇ × 𝑯 = −𝑱 − 𝑗𝜔𝜀𝑬, 
 
(3.4) 
∇. 𝑬 =
𝑞
𝜀
, 
 
(3.5) 
∇.𝑯 = 0, 
(3.6) 
 
onde 𝑬 é o campo elétrico (V/m), 𝑯 é o campo magnético (A/m), 𝑱 é a densidade de 
corrente elétrica (A/m²), 𝑴 é a densidade de corrente magnética (A/m²), 𝑞 é a 
densidade de carga, 𝜀 (F/m) é a permissividade elétrica, 𝜇 (H/m) permeabilidade 
magnética e 𝜔 é a frequência angular (rad/s). 
 
A partir das equações (3.3) a (3.6) representa-se os campos elétrico e magnético 
totais, tal como [13]: 
 
𝑬 = −𝑗𝜔𝑨 − 𝑗
1
𝜔𝜇𝜀
∇(∇. 𝑨) −
1
𝜀
∇ × 𝑭, (3.7) 
Figura 3-2 – Diagrama de blocos para o cálculo do campo de fontes elétricas e magnéticas 
 
 
 
46 
 
 
 
𝑯 =
1
𝜇
∇ × 𝑨 − 𝑗𝜔𝑭 − 𝑗
1
𝜔𝜇𝜀
∇(∇. 𝑭), (3.8) 
 
sendo: 
 
𝑨 =
𝜇
4𝜋
∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
. (3.9) 
 
𝑭 =
𝜀
4𝜋
∭ 𝑴(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
. (3.10) 
 
onde 𝑅 = |𝒓 − 𝒓′| = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2. 
 
Substituindo as equações (3.9) e (3.10) na equação (3.7), tem-se 
 
𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔
𝜇
4𝜋
∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
− 𝑗
1
𝜔𝜇𝜀
∇(∇. (
𝜇
4𝜋
∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
)) −
1
𝜀
∇
×
𝜀
4𝜋
∭ 𝑴(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)
𝑒−𝑗𝛽𝑅
𝑅
𝑑𝑣′
𝑣
, 
 
 
 
(3.11) 
 
 
A função de Green para o espaço livre é definida como[24]: 
 
𝐺(𝒓, 𝒓′) =
𝑒−𝑗𝛽𝑅
4𝜋𝑅
𝑑𝑣′. (3.12) 
 
Substituindo (3.12) em 
 
 
(3.11), tem-se: 
 
 
47 
 
 
𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔𝜇 ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
− 𝑗
1
𝜔𝜀
∇(∇. (∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
𝑑𝑣′)) − ∇
× ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′
𝑣
. 
 
(3.13) 
 
De maneira similar para o campo magnético, tem-se: 
 
𝑯(𝒓, 𝒓′) = ∇ × ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
− 𝑗𝜔𝜀 ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
− 𝑗
1
𝜔𝜇
∇(∇.∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
). 
(3.14) 
 
 
Como as fontes não são funções do observador, essas não afetam os operadores, 
com isso as relações a seguir podem ser empregadas [25]. 
 
∇. ((𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)) = 𝑱(𝒓′). ∇𝐺(𝒓, 𝒓′). 
 
(3.15) 
∇ (∇. ((𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′))) = ∇(𝑱(𝒓′). ∇𝐺(𝒓, 𝒓′)) = (𝑱(𝒓′). ∇)∇G(𝐫, 𝐫′). 
 
(3.16) 
 
∇ × ((𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)) = ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑴(𝒓′). (3.17) 
 
Reescrevendo a equação (3.13), com base nas relações (3.15) a (3.17), tem-se: 
 
𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔𝜇 ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′
𝑣
− ∭
𝑗
𝜔𝜀
(𝑱(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)
𝑣
𝑑𝑣′
− ∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑴(𝒓′)) 𝑑𝑣′.
𝑣
 
(3.18) 
 
De forma dual, pode-se obter a equação integral para o campo magnético: 
 
 
 
48 
 
𝑯(𝒓, 𝒓′) = j∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑱(𝒓′) 𝑑𝑣′
𝑣
− 𝑗𝜔𝜀 ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′
𝑣
−
𝑗
𝜔𝜇
∭ (𝑴(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′
𝑣
. 
 
(3.19) 
Pode-se simplificar as equações (3.18) e (3.19) utilizando operadores integro 
diferenciais para um dado meio “𝑙” [24]. 
 
𝐿𝑙(𝑿) = −
𝑗
𝜔𝜀
∭ 𝑘2
𝑣
𝑿(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑿(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′. 
 
(3.20) 
𝐾𝑙(𝑿) = −1∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓
′) × 𝑿(𝒓′).
𝑣
 (3.21) 
 
onde 𝑿 = 𝑱 ou 𝑴 e 𝑘𝑙 = 𝜔√𝜇𝜀 é o número de onda. 
 
Assim, reescreve-se as equações (3.18) e (3.19) como: 
 
𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝜂𝐿𝑙(𝑱) + 𝐾𝒍(𝑴), 
 
(3.22) 
 
𝑯(𝒓, 𝒓′) =
1
𝜂
𝐿𝑙(𝑴) − 𝐾𝒍(𝑱), (3.23) 
 
onde 𝜂0 = √𝜇/𝜀 é a impedância intrínseca do meio. 
3.4 Problema Equivalente 
 
Na Seção 3.3 foram apresentadas as equações integrais do campo elétrico e 
magnético para o problema de radiação eletromagnética válidas para o espaço livre. 
Para a solução de problemas de espalhamento utilizando essas equações deve-se utilizar 
o princípio da equivalência, em que, o obstáculo é substituído por correntes superficiais 
equivalentes elétrica e magnética [24]. 
 
 
49 
 
A Figura 3-3 ilustra o problema original, em que, um obstáculo (meio 1) com 
características (𝜇𝑟 , 𝜀𝑟) e (meio 2) com características (𝜇0, 𝜀0)é iluminado por um campo 
eletromagnético incidente. 
 
 
Figura 3-3 – Princípio da Equivalência: Problema Original 
 
A partir das condições de contorno sobre as componentes tangenciais do campo 
na fronteira entre os meios externo e interno, pode-se obter as equações integrais do 
campo elétrico e magnético em cada meio. 
Para o problema equivalente externo, tem-se que o campo elétrico e magnético 
interno ao objeto valem zero (𝑬𝟏 = 𝑯𝟏 = 0). A Figura 3-4 ilustra o problema de 
equivalente externo. Nessa condição as equações (3.22) e (3.23) podem ser reescritas 
como: 
 
𝑬𝟎(𝒓, 𝒓′) = −𝜂0𝐿0(𝑱𝑺) + 𝐾𝟎(𝑴𝑺), 
 
(3.24) 
𝑯𝟎(𝒓, 𝒓′) =
1
𝜂0
𝐿0(𝑴𝑺) − 𝐾𝟎(𝑱𝑺), (3.25) 
 
 
50 
 
 
 
Figura 3-4 – Princípio da Equivalência: Problema equivalente externo 
 
De maneira semelhante para o problema equivalente interno, tem-se que o 
campo elétrico e magnético externo ao objeto valem zero (𝑬𝟎 = 𝑯𝟎 = 0). A Figura 3-5 
ilustra o problema de equivalência interno. Nessa condição as equações (3.22) e (3.23) 
podem ser reescritas como: 
 
𝑬𝟏(𝒓, 𝒓′) = −𝜂1𝐿1(−𝑱𝑺) + 𝐾𝟏(−𝑴𝑺). (3.26) 
 
𝑯𝟏(𝒓, 𝒓′) =
1
𝜂1
𝐿1(−𝑴𝑺) − 𝐾𝟏(−𝑱𝑺). (3.27) 
 
onde 𝑱𝑺 e 𝑴𝑺 são as correntes equivalentes superficiais. 
 
O sinal negativo nas correntes equivalentes superficiais (−𝑱𝑺 e −𝑴𝑺) para o 
problema equivalente interno indicam que no problema em questão essas correntes têm 
o sentido oposto àquele definido para o problema equivalente externo devido a 
orientação fixa do operador �̂�. 
 
 
 
51 
 
 
Figura 3-5 – Princípio da Equivalência: Problema Equivalente Interno 
3.5 Espalhamento em uma placa condutora finita 
Para a modelagem de uma antena de microfita um primeiro passo é o 
desenvolvimento da modelagem matemática para superfície plana condutora perfeita 
posteriormente estende-se a formulação para a inclusão do substrato dielétrico.

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.