T5 e T6 - A Equação de Schrödinger e Sistemas Quânticos Simples - 2ºsem2019

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FS 4420 / NF 5420 – Física Moderna 1
Tópicos 5 e 6: A Equação de Schrödinger e 
Sistemas Quânticos Simples
Livro texto: Young e Freedman:
Sears & Zemansky Física IV, 12ª ed. (2008)
Livro texto: Halliday, Resnick e Walker:
Fundamentos de Física, vol. 4, 9ª ed. (2012)
Capítulo 38: Fótons e Ondas da Matéria
Seções Tópicos
38.9 O Efeito Túnel
Capítulo 39: Mais Ondas da Matéria
Seções Tópicos
39.1 Introdução
39.2 Ondas em cordas e ondas de matéria
39.3 Energia de um elétron confinado
39.4 Funções de onda de um elétron aprisionado
Capítulo 39: A Natureza Ondulatória das Partículas
Seções Tópicos
39.5 Função de onda e a equação de Schrödinger
Capítulo 40: Mecânica Quântica
Seções Tópicos
40.1 Partícula em uma caixa
40.3 Barreira de potencial e tunelamento
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A Partícula Quântica
Onda
Superposição
de Ondas

Pacotes
De Ondas
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A Partícula Quântica
Δx
Δx
Pacotes
De Ondas
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❶
❷
Respostas: A Equação de onda de Schrödinger
(Max Born)
 Partícula Livre: possui igual probabilidade de ser encontrada em qualquer 
região do espaço
 Partícula Ligada: o estado da partícula depende do potencial (𝑈 𝑜𝑢 𝐸𝑝 , energia 
potencial) ao qual ela está submetida e de sua energia cinética (𝐸𝑐)
(independente do tempo e em 1-dimensão)
(dependente do tempo)
−
2 𝑚
2
𝑥2
= 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 
𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑖
𝑑
𝑑𝑡
= 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 
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Aplicações: Sistemas Quânticos Simples
Barreira de Potencial
Poço de 
Potencial 
Finito
Poço de Potencial Infinito
❶
❷
❸
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❶ A Partícula Livre (Halliday)
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❷ A Partícula Livre (Halliday)
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❷ Partícula em uma “caixa”: Poço de Potencial U(x) Infinito
• Largura da caixa: 𝐿
• Função de Onda para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿:
𝑈 𝑥 → ∞ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0 𝑒 𝑥 > 𝐿❶
❷  𝑥 = 0 =  𝑥 = 𝐿 = 0
•Normalização da função de onda:
• Condições de contorno:
 𝑥 = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑘 ∙ 𝑥)
න
0
𝐿
| 𝑥 |2 ∙ 𝑑𝑥 = 1  𝐴 =
2
𝐿
𝑘 =
2 𝜋

; 𝑝 =
ℎ

; 𝐸 =
𝑝2
2 𝑚
𝑘 ∙ 𝐿 = 𝑛 ∙ 𝜋
2 𝜋

∙ 𝐿 = 𝑛 ∙ 𝜋 ⟹ 𝑳 = 𝒏 ∙

𝟐
Fórmulas úteis:
𝑝𝑛 =
ℎ
𝑛
; 𝑛 = 1, 2, 3, …
𝑬𝒏 = 𝒏
𝟐
𝒉𝟐
𝟖𝒎 𝑳𝟐
A energia é 
quantizada !
(partícula livre)
−
2𝑚
2
𝑥2
= 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 
𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
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❷ Partícula em uma “caixa”: Poço de Potencial U(x) Infinito
• Função de Onda:
 𝒙 =
𝟐
𝑳
𝒔𝒆𝒏
𝒏 𝝅
𝑳
∙ 𝒙
• Possíveis valores para a
energia da partícula:
𝑬𝒏 = 𝒏
𝟐
𝒉𝟐
𝟖𝒎 𝑳𝟐
• Densidade de Probabilidade:
(𝒙) 𝟐 =
𝟐
𝑳
𝒔𝒆𝒏𝟐
𝒏 𝝅
𝑳
∙ 𝒙
𝑛 = 1, 2, 3, 4, …
𝑛 = 0 𝐸 = 0: 𝑝𝑜𝑑𝑒?
𝑛 ∶ número de ventres
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ONDAS I – Ondas estacionárias 

➔ 𝒚′ 𝒙, 𝒕 = 𝟐 𝒚𝒎 𝒔𝒆𝒏
𝒏 𝝅
𝑳
. 𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝝎. 𝒕)
não
oscila
oscila com 
máxima 
amplitude
 
Nó Antinó
(ou ventre)
Ondas em cordas:
Função da onda estacionária
Onda 
estacionária
deslocamento de
uma partícula
do meio
Depende da 
coordenada x
da posição da 
partícula
Variação da
posição de
uma partícula
no tempo
http://www.acs.psu.edu/drussell/ - data da consulta: 25/03/2015
Partícula em um poço de potencial infinito:
Função da onda estacionária
 𝒙, 𝒕 =
𝟐
𝑳
𝒔𝒆𝒏
𝒏 𝝅
𝑳
. 𝒙 ∙ 𝒆− 𝒊 𝝎∙𝒕
http://www.acs.psu.edu/drussell/
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Exercício 40.2 (Sears e Zemansky)
Resp.: 6,41 𝑥 10−15𝑚
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Partícula em uma caixa: Poço de Potencial Infinito
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Exemplos de armadilhas para elétrons
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Exemplo de armadilhas para elétrons (poço infinito)
Tamanho das partículas
∆𝐸 =
|𝑛𝑓
2 − 𝑛𝑖
2| ∙ ℎ2
8 𝑚 𝐿2
=
ℎ ∙ 𝑐

 ↑ 𝐿 ↑ 
L
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✓ Nanocristalitos
Exemplo de armadilhas para elétrons (poço infinito)
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Exercício
1) Um elétron encontra-se preso em um poço unidimensional de
potencial infinito, de largura L. Quando o elétron se encontra no
estado estacionário esboçado na figura ao lado, seu comprimento de
onda é 8,00 𝑥 10−11 𝑚 . Considerando todos os possíveis
decaimentos do elétron, determine o segundo maior comprimento
de onda da radiação que pode ser emitido.
𝒏𝒊 𝒏𝒇 𝒏𝒇
𝟐 − 𝒏𝒊
𝟐 ∙ 𝑬𝟏  (m)
5 1 24.E1 5,49 x 10
–9
5 2 21.E1 6,28 x 10
–9
5 3 16.E1 8,24 x 10
–9
5 4 9.E1 1,46 x 10
–8
4 1 15.E1 8,79 x 10
–9
4 2 12.E1 1,10 x 10
–8
4 3 7.E1 1,88 x 10
–8
3 1 8.E1 1,65 x 10
–8
3 2 5.E1 2,64 x 10
–8
2 1 3.E1 4,39 x 10
–8
𝒇ó𝒕𝒐𝒏 =
𝟏, 𝟑𝟏𝟕𝟗 𝒙 𝟏𝟎−𝟕 𝒎
|𝒏𝒇
𝟐 − 𝒏𝒊
𝟐|
𝑬𝟏 = 𝟏, 𝟓𝟏 𝒙 𝟏𝟎
−𝟏𝟖 𝑱 = 𝟗, 𝟒𝟐 𝒆𝑽
L = 2,00 x 10–10 m; E5 = 3,77 x 10
–17 J
10º 
9º
8º
5º
7º 
6º
3º 
4º
2º 
1º 
Resp.: 2,64 x 10–8 m 
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Exercício
2) Suponha que um elétron encontra-se preso em um poço unidimensional de potencial
infinito de largura L. Suponha ainda, que as funções de onda para dois possíveis estados
do elétron, A e B, são:
𝐴 𝑥 = 4,00 𝑥 10
5 ∙ 𝑠𝑒𝑛
5 𝜋 𝑥
𝐿
[𝑆. 𝐼. ] e 𝐵 𝑥 = 4,00 𝑥 10
5 ∙ 𝑠𝑒𝑛
3 𝜋 𝑥
𝐿
[𝑆. 𝐼. ]
(a) É mais provável encontrar o elétron na posição 𝑥 = 4,00 𝑥 10−12 𝑚 quando ele está no estado A
ou no estado B? Justifique.
(b) Se o elétron encontra-se no segundo estado excitado, qual é o maior comprimento de onda que
ele pode absorver ao mudar para outro estado? (𝟕, 𝟑𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝒎)
(c) Ainda com o elétron no segundo estado excitado, qual é o menor comprimento de onda que ele
pode emitir ao mudar para outro estado? (6,44 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝒎)
L = 1,25 x 10–11 m; E1 = 3,86 x 10
–16 J = 2412,56 eV
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P2 - 1º sem de 2009 (noturno)
(d) Com o elétron no estado B(x), calcule a 
probabilidade de encontrá-lo entre 𝑥 =
𝐿
10
e 
𝑥 =
3𝐿
5
. (0,5)
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Exercício
3) Um partícula de massa 𝑚 está presa em um poço unidimensional de potencial
infinito, de largura 𝐿. Supondo que a partícula está no estado fundamental, calcule
a probabilidade de encontrá-la nas seguintes regiões:
(a) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/3;
(b) 𝐿/3 ≤ 𝑥 ≤ 2𝐿/3 e
(c) 2𝐿/3 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿. Dado: ׬ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 =
𝜃
2
−
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
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❸ Barreira de Potencial
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❸ Barreira de Potencial: Tunelamento
Referência: livro do Young e Freedman: Sears & Zemansky Física IV
Halliday
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ATENÇÃO: O Efeito Túnel (Halliday)
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ATENÇÃO: O Efeito Túnel (Halliday)
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O Efeito Túnel e o Microscópio de Tunelamento
https://www.youtube.com/watch?v=K64Tv2mK5h4
consulta: 19/03/2017
https://www.youtube.com/watch?v=RF7dDt3tVmI
consultas: 19/03/2017
https://www.youtube.com/watch?v=K64Tv2mK5h4
https://www.youtube.com/watch?v=RF7dDt3tVmI
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O Microscópio de Tunelamento (Halliday)
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Microscópio de Tunelamento proj.ncku.edu.tw
http://proj.ncku.edu.tw/research/articles/e/20080606/5.html
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Microscópio de Tunelamento 
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✓ Poços Quânticos
Exemplo de armadilhas para elétrons (tunelamento)
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Exercício de Tunelamento
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Exercício
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Apêndice 1: Espectro de emissão de alguns elementos químicos
http://physics.uoregon.edu/~jimbrau/astr122/notes/chapter3_4.html
http://physics.uoregon.edu/~jimbrau/astr122/notes/chapter3_4.html
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Apêndice 1: Aplicações: Análise das estrelas
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10516
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10516FS 4420 / NF 5420 – Física Modernahttp://www.scb.org.br/fc/FC58_19.htm
O Átomo de Hidrogênio: Espectros de Emissão
𝑐 =  ∙ 𝑓 =
𝜔
𝑘
=
∆𝑟
∆𝑡
(no vácuo)
http://www.scb.org.br/fc/FC58_19.htm
FS 4420 / NF 5420 – Física Modernahttp://www.scb.org.br/fc/FC58_19.htm
Arco-Íris de Maxwell: O espectro eletromagnético
Aumento da frequência
Aumento do comprimento de onda
𝑐 =  ∙ 𝑓 =
𝜔
𝑘
=
∆𝑟
∆𝑡
(no vácuo)
Energia é Quantizada
http://www.scb.org.br/fc/FC58_19.htm
FS 4420 / NF 5420 – Física Moderna
Aplicações: Sistemas Quânticos Simples
Poço de 
Potencial 
Finito
Equação de onda 
de Schrödinger
−
2𝑚
2
𝑥2
= 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 
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Apêndice 2: Poço de Potencial Finito
• Aplicação: Efeito Fotoelétrico
𝑈𝑜 =  (função trabalho)
• Como 𝑈𝑜 é um valor finito, 
existe uma probabilidade 
diferente de zero da partícula 
ser encontrada em 𝑥 < 0 e 
𝑥 > 𝐿.
• Para 𝐸 > 𝑈𝑜: partícula “livre”
• Solução para 𝐸 < 𝑈𝑜
(estado “ligado”):
I 𝑥 = 𝐴 𝑒
𝑘∙𝑥
III 𝑥 = 𝐷 𝑒
−𝑘∙𝑥
II 𝑥 = 𝐵 𝑠𝑒𝑛
2 𝑚 𝐸
ћ
𝑥 + 𝐶 cos
2 𝑚 𝐸
ћ
𝑥
I(0) = II(0)
II(𝐿) = III(𝐿)
F
Funções de onda:
Possível estado:
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Apêndice 2: Poço de Potencial Finito
• Não existe uma fórmula simples para os níveis de energia no poço finito. 
Os valores são calculados numericamente.
• Comparação com o poço de potencial infinito (energia de referência: a do 
estado fundamental do poço infinito, 𝐸∞):
- Se 𝑈𝑜 ≫ 𝐸∞: poço de potencial infinito → partícula presa em uma “caixa”
- Se 𝑈𝑜 ≈ 𝐸∞: solução numérica poço de potencial infinito
Exemplo:
𝑈𝑜 = 6 ∙ 𝐸∞
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Apêndice 2: Poço de Potencial Finito
• Não existe uma fórmula simples para os níveis de energia no poço finito. 
Os valores são calculados numericamente.
• Comparação com o poço de potencial infinito (energia de referência: a do 
estado fundamental do poço infinito, 𝐸∞):
- Se 𝑈𝑜 ≫ 𝐸∞: poço de potencial infinito → partícula presa em uma “caixa”
- Se 𝑈𝑜 ≈ 𝐸∞: solução numérica poço de potencial infinito
Exemplo:
𝑈𝑜 = 6 ∙ 𝐸∞
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Apêndice 2: Poço de Potencial Finito
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Apêndice 3: Barreira de Potencial
Possível estado:
• Aplicação: Tunelamento
• Mecânica Clássica: Partícula só 
será encontrada na região I.
• Mecânica Quântica: Existe 
probabilidade diferente de 
zero de encontrar a partícula 
nas regiões II e III. 
•
II 𝑥 = 𝐶 𝑒
𝑘∙𝑥 + 𝐷 𝑒−𝑘∙𝑥
I 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛
2 𝑚 𝐸
ћ
𝑥 + 𝐵 cos
2 𝑚 𝐸
ћ
𝑥 I 0 = II 0 𝑒 II(𝐿) = III(𝐿)
III 𝑥 = 𝐴′ 𝑠𝑒𝑛
2 𝑚 𝐸
ћ
𝑥 + 𝐵′ cos
2 𝑚 𝐸
ћ
𝑥
𝑘 =
2 𝑚 (𝑈𝑜 − 𝐸)
ћ
