Apostila Matemática Financeira CEFET-RJ - aluno

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Prof° André Moraes, M.Sc.
 MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Prof° André Moraes, M.Sc.
1. INTRODUÇÃO
A Matemática Financeira é um ramo da matemática, em que trabalharemos com finanças, com valores monetários. Quando dizemos “valor financeiro”, estamos querendo falar dinheiro. Esse valor monetário, pode estar representado de diferentes formas: o dinheiro vivo, ou uma duplicata, uma nota promissória, um cheque etc.
Essas últimas formas de representar os valores monetários – cheque, nota promissória, duplicata – são o que chamamos de Títulos. Daí, título, para a matemática financeira, é um papel que representa um valor monetário, ou seja, que representa uma quantia em dinheiro.
A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros, ou seja, R$ 1.000,00 hoje não são iguais a R$ 1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por período.
Assim, um capital de R$ 1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 10% ao mês, implicará um rendimento mensal de R$ 100,00, proporcionando um montante de R$ 1.100,00 no final de um mês. 
Portanto, para uma taxa de 10% ao mês, é indiferente termos R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.100,00 daqui a um mês.
2. FLUXO DE CAIXA
É o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo, sendo sua elaboração indispensável na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos.
 ( + ) $
 ( - ) $
 ( + ) $
 ( - ) $
 0 1 2 ( ... ) n
( + ) = recebimentos
( - ) = pagamentos
Eixo horizontal = tempo (períodos)
a) a escala horizontal representa o tempo, dividido em períodos descontínuos, expresso em dias, semanas, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres ou anos. Os pontos 0, 1, 2, ... , n substituem as datas de calendário, e são estipulados em função da necessidade de indicarem as posições relativas entre as diversas datas. Assim, o ponto 0 representa a data inicial (hoje), o ponto 1 indica o final do 1° período e assim por diante;
b) os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais;
c) os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada período, dependendo da convenção adotada. Nenhum valor pode ser colocado ao longo dos períodos, uma vez que eles são contínuos. Assim, quando os períodos correspondem a trimestres, não há condição de se indicar um valor ao longo do trimestre. Uma solução possível, nesse caso, é diminuir a unidade de tempo dos períodos, por exemplo, para meses;
d) entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas para cima;
e) saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo.
3. A DIVISÃO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
Existem, basicamente, cinco situações modelo, entre as quais poderemos enquadrar, por assim dizer, qualquer conteúdo da matemática financeira.
a) JUROS
b) DESCONTOS
c) EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
d) RENDAS CERTAS
e) AMORTIZAÇÃO
3.1 PRIMEIRA SITUAÇÃO-PADRÃO
Vamos supor que disponho de $ 1.000,00 hoje e desejo saber o quanto valeria esse dinheiro daqui a três meses. 
 X (Montante)
 1.000,00 (Capital)
 0
 1m
 
 2m
 3m
Este modelo específico apresenta a seguinte situação-padrão: disponho de um único valor monetário em uma determinada data (eventualmente a data zero), e quero projetar esse valor inicial pr uma data futura.
Quando nos deparamos com uma situação semelhante a essa, saberemos que estamos diante de uma operação de JUROS.
3.2 SEGUNDA SITUAÇÃO-PADRÃO
Vamos supor que tenho uma dívida de $ 5.000,00 a ser paga daqui a três meses e decidi antecipar esse pagamento e quitar a dívida hoje. Quanto seria esse valor?
 5.000,00 (Valor Nominal)
 X (Valor Atual)
0
 1m
 2m
 3m
Na situação-padrão acima temos: um único valor monetário em uma data futura e desejo projetar esse valor futuro para uma data anterior.
Estamos aqui diante de uma operação de DESCONTO.
3.3 TERCEIRA SITUAÇÃO-PADRÃO
Agora vamos supor que tenho uma dívida de $ 3.000,00, que teria que ser paga em 30 dias.Contudo não dispondo do valor, desejo alterar (substituir, modificar) a data originalmente combinada para este pagamento, de forma que a tal dívida venha a ser quitada nas datas 60 e 90 dias, com parcelas de mesmo valor.
 3.000,00
 X
X
 0
 30d
 60d
90d
 ( I )
 ( II )
 ( II )
O que é essencial nesta situação é o seguinte: haverá uma troca, uma alteração, uma substituição, uma modificação na forma de cumprir determinada obrigação.
Neste caso, chamamos aqui de valor “Z” o valor monetário que deveria quitar a obrigação, na forma originalmente proposta, a qual chamaremos de primeira obrigação, ou obrigação original (e designaremos por “I”).
Esta forma original de pagamento foi substituída por outra, que no exemplo consiste em duas parcelas de mesmo valor, as quais chamamos aqui de “X”, e que constituirão a nossa segunda forma de pagamento, ou segunda obrigação, pelo que as designaremos por “II”.
É bastante intuitivo afirmar que, se havia uma dívida e foi alterada a forma originalmente contratada para pagá-la, para que nem eu nem o meu credor saiamos perdendo, é preciso que a segunda forma de pagamento seja equivalente à primeira.
Estamos, portanto, diante de uma operação de EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS.
3.4 QUARTA SITUAÇÃO-PADRÃO
Vamos supor que resolvi fazer depósitos sucessivos e periódicos, de quantias de mesmo valor ($ 1.000,00), para resgatar numa data futura, por exemplo, daqui a 12 meses. Quanto terei acumulado após o décimo segundo mês?
 X
 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
A situação-padrão aqui é esta: haverá sempre uma seqüência de depósitos de parcelas de mesmo valor, aplicadas sempre em intervalos de tempo iguais. E se deseja conhecer o resultado de todas essas aplicações em uma data futura.
Neste caso, estamos diante de uma operação de RENDAS CERTAS.
3.5 QUINTA SITUAÇÃO-PADRÃO
Por fim, imaginemos que resolvi comprar um imóvel no valor de $ 800.000,00, dando $ 200.000,00 de entrada e o saldo restante será quitado de 24 parcelas mensais e de mesmo valor, sendo a primeira delas paga ao final do primeiro mês após a compra. Qual seria o valor dessa prestação?
 800.000
 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P
 200.000
Neste último exemplo, a situação é de uma compra a prazo e temos uma quantia inicial, um valor monetário, que será pago, liquidado, amortizado, em várias prestações – sucessivas e periódicas – de mesmo valor.
Esta situação-padrão ilustra uma operação de AMORTIZAÇÃO.
4. OS REGIMES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática Financeira se divide em dois grandes blocos, aos quais chamaremos de regime. Haverá, então, o Regime Simples e o Regime Composto.
Qualquer operação de Matemática Financeira, seja ela qual for, estará necessariamente enquadrada dentro de um desses regimes.
Sabendo disso, daqui em diante, sempre que formos iniciar a resolução de uma questão de matemática financeira, nossa primeira preocupação será a seguinte: Identificar em qual dos regimes estamos trabalhando, se no regime simples ou no composto.
4.1 ELEMENTOS DE UMA OPERAÇÃO DE JUROS
· Capital (C): É o nosso primeiro elemento. Significa apenas aquele valor inicial, conhecidono começo da operação. Enfim, é o valor que será aplicado, que será investido e que, com o passar do tempo, crescerá. Será designado por um “C” (maiúsculo).
· Tempo (n): O fator tempo e a linha do tempo são de suma importância, pois estaremos sempre interessados em saber como se comportarão os valores monetários fornecidos por um enunciado, com o transcorrer dos dias, meses, anos etc. Será designado por “n” (minúsculo).
· Montante (M): O Montante é o resultado da operação de Juros. Representa apenas o valor do resgate, ou seja, o valor que será retirado ao final da operação de juros. Obviamente que, se na Matemática Financeira o dinheiro nunca fica parado, o valor do Montante (retirada) será, necessariamente, maior que o valor do Capital (aplicação). Caso contrário, o dinheiro estaria parado, e não estaríamos no âmbito de uma operação financeira. Este elemento será designado por “M” (maiúsculo).
· Taxa (i) Agora passaremos a conhecer o elemento crucial da Matemática Financeira. Este elemento estará presente não apenas nas operações de Juros, mas em todos os tipos de operações desta matéria. A taxa faz com que o dinheiro cresça de valor com o avançar do tempo; é ela que faz com o dinheiro reduza de valor com o retroceder do tempo. Trata-se de um valor percentual, seguido de um período de tempo ao qual se refere. Por exemplo: “2% ao dia”, ou “5% ao mês”, ou “8% ao bimestre”, ou “11% ao trimestre”, ou “15% ao quadrimestre”, ou “18% ao semestre” ou “30% ao ano” etc. Concluindo, toda taxa de juros é formada por duas partes: 1ª parte, o valor percentual; 2ª parte, a unidade de tempo. A taxa será sempre representada por “i” (minúsculo).
· Juros (J): Os Juros representarão quanto “cresceu” o nosso Capital. Em outras palavras, Juros serão o quanto rendeu o nosso Capital. Por isso, um sinônimo de Juros é a palavra rendimento. Se alguém pergunta: “qual foi seu rendimento nesta operação?”, estará, na verdade, questionando sobre o valor dos Juros.
São esses, portanto, os cinco elementos de uma operação de Juros:
· Capital (C);
· Montante (M);
· Juros (J);
· Taxa (i);
· Tempo (n).
5. PORCENTAGEM
	Forma percentual
	Transformação
	Forma Unitária
	12% a.a.
	
	
	6% a.s.
	
	
	1% a.m.
	
	
Exemplo 1: Calcular 15% de 120.
Exemplo 2: Escreva 4/5 na forma percentual.
Exemplo 3: Um artigo com preço de $ 120,00 tem seu valor reajustado para $ 150,00. Qual o percentual de aumento?
Exemplo 4: Um artigo de preço de $ 150,00 teve uma redução no seu preço passando a valer $ 120,00. Qual o percentual relativo a essa redução?
OBSERVAÇÕES:
I) Se o aumento for, por exemplo, de:
15% → 100% + 15% = 115% → fator de atualização: f = 1,15
18,17% → 100% + 18,17% → fator de atualização: f = 1,1817
60% → 100% + 60% → fator de atualização: f = 1,6
6% → 100% + 6% → fator de atualização: f = 1,06
200% → 100% + 200% → fator de atualização: f = 3
II) Caso haja redução:
-20% → 100% - 20% = 80% → f = 0,8
III)
Se o fator de atualização for, por exemplo, de:
f = 1,32 = 132% → 132% - 100% = 32% → aumento
f = 1,05 = 105% → 105% - 100% = 5% → aumento
f = 0,93 = 93% → 93% - 100% = -7% → redução
Exemplo 5: Certo artigo que custava $ 200,00 teve seu preço reajustado em 18%. Qual o seu preço atual?
Exemplo 6: Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% ao mês, respectivamente, qual a inflação acumulada nesse trimestre?
Exemplo 7: Um preço tem reajuste acumulado em um bimestre de 38%. Se no primeiro mês o aumento foi de 20%, qual o aumento do segundo mês?
Exemplo 8: Certa categoria profissional conseguiu no Tribunal do Trabalho, para junho, reajuste de 62,5% sobre os salários de janeiro, descontadas as antecipações. Como houve um adiantamento de 25% em março, que valor percentual deve incidir sobre os salários de abril para cumprir as determinações judiciárias?
Exemplo 9: Um artigo tem reajustes sucessivos de 10% e 20%. Que redução deve ser calculada sobre o valor reajustado para retomar ao valor inicial?
OBSERVAÇÃO:
fator de ganho real = fator de ganho nominal
 fator de inflação
O ganho nominal também pode ser chamado de ganho aparente, taxa aparente ou taxa efetiva do investimento e o ganho real é chamado também de taxa real.
Exemplo 10: Um investimento foi realizado em um período com inflação de 30% e taxa de rendimento de 56%. Qual o rendimento desse investimento, descontada a inflação?
Exemplo 11: Em um período com inflação de 12%, certa categoria de trabalhadores teve reajuste salarial de 6,4%. Qual é a perda real de um trabalhador dessa categoria?
Exemplo 12: Um capital aplicado por dois anos rendeu 42,4% em juros mais atualização monetária calculada com base nas variações do IGP. Considerando uma variação do IGP de 18% e 12% para o primeiro e segundo anos, respectivamente, a taxa real obtida nos dois anos é próxima de:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (PORCENTAGEM)
1. A passagem de ônibus teve um reajuste, passando de $ 1,15 para $ 1,40. O aumento em porcentagem foi de, aproximadamente:
a) 28%
b) 25%
c) 22%
d) 20%
e) 18%
2. Um indivíduo tinha uma dívida de $ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é $ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período.
a) 12%
b) 15%
c) 20%
d) 25%
e) 30%
3. O nível geral de preços em determinada região sofreu um aumento de 10% em 2009 e 8% em 2010. Qual foi o aumento total dos preços no biênio considerado?
a) 8%
b) 8,8%
c) 10,8%
d) 18%
e) 18,8%
4. As taxas dos meses de janeiro, fevereiro e março foram, respectivamente, 2%, 3% e 4%. Indique a taxa de inflação acumulada no trimestre.
a) 0,00%
b) 5,02%
c) 9,00%
d) 9,26%
e) 24,00%
5. Num certo ano, uma empresa automobilística produziu um total de 18.000 unidades. Nos três anos seguintes, a produção aumentou de 12%, 13% e 15% respectivos ao ano imediatamente anterior. A porcentagem total de aumento nestes três anos é aproximadamente:
a) 10%
b) 37%
c) 40%
d) 45%
e) 50%
6. No mês de janeiro de determinado ano, uma categoria profissional tem direito a um aumento salarial de 75%. Como a categoria já havia recebido uma antecipação de 25% em novembro, qual deve ser a porcentagem de acréscimo adicional do salário para compensar a antecipação concedida.
a) 30%
b) 40%
c) 55%
d) 65%
e) 75%
7. Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50% sobre os salários de abril, descontadas as antecipações. Como ela já havia recebido em maio uma antecipação de 20% (sobre o salário de abril), a porcentagem do aumento obtido em junho, sobre o salário de maio, é:
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 35%
e) 40%
6. JUROS SIMPLES
Chamamos de juros (J) a remuneração recebida pela aplicação de um capital (C) a uma taxa de juros (i) durante um certo prazo (n). Se essa remuneração incide somente sobre o capital (C) e ao final do prazo (n), dizemos que esses juros são juros simples.
Os juros representarão o quanto “cresceu” ou “rendeu” o nosso capital. Por isso um sinônimo de juros é a palavra “rendimento”.
Montante
 Capital
 Juros
 0
 n (tempo)
Da figura acima conheceremos nossas primeiras equações básicas da matemática financeira:
Exemplo 1: Suponha que eu tenha, hoje, uma quantia de $ 1.000,00, e não ou precisar desse dinheiro nos próximos quatro anos. Decidi, então, fazer uma operação financeira e aplicar esse capital durante esse tempo. Desejo saber qual será o valor que irei resgatar (montante), se nesta operação incidirá uma taxa de 20% ao ano.
	n
	Juros Simples
	
	Juros por período
	Montante
	1
	1.000 x 0,2 = 200
	1.200
	2
	1.000 x 0,2 = 200
	1.400
	3
	1.000 x 0,2 = 200
	1.600
	4
	1.000 x 0,2 = 200
	1.800
OBSERVAÇÃO:
O valor dos juros é o mesmo em todos os períodos.
Fórmula básica:
Onde:
J = juros
C = capital
i = taxa
n = tempo
6.1 MONTANTE
Define-se como montante de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial.
Fórmulas:
Exemplo 2: Calcular o juro simples referente a um capital de $1.000,00 aplicado conformehipóteses a seguir:
	
	Taxa de juros
	Prazo
	a)
	15% a a
	1 ano
	b)
	17% a a 
	4 anos
	c)
	21% a a 
	5 meses
	d)
	26,8% a a
	30 meses
	e)
	30,8% a a 
	5 anos e meio
	f)
	38% a a 
	4 anos e 8 meses
Exemplo 3: Que montante receberá um aplicador que tenha investido $ 5.000,00, se as hipóteses de taxas de aplicação e respectivos prazos forem:
	
	Taxa de juros
	Prazo
	a) 
	18% a a
	6 meses
	b)
	31,8% a a
	2 anos e 7 meses
	c)
	42% a a 
	4 anos e 3 meses
Exemplo 4: Um cliente do banco da esquina S/A aplicou $ 20.000,00 à taxa de juros de 1% ao mês, no regime de juros simples. Calcule o montante ao final do 4º mês.
Exemplo 5: Calcule o principal que deve ser depositado numa aplicação sob o regime de juros simples, durante 8 meses, à taxa de 3,5% ao mês para se conseguir um montante de $190,00. 
Exemplo 6: Um banco oferece uma taxa de 5% ao mês no regime de juros simples para aplicação de 42 dias. Qual o juros que remunera um capital de $ 5.000,00? Qual o valor do montante?
Exemplo 7: A que taxa anual um capital quadruplica em 15 anos?
Exemplo 8: Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% am. triplica em que prazo?
Exemplo 9: Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $ 2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% am, calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (JUROS SIMPLES)
1. Roberto aplicou $ 30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu $ 9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal de juros?
2. Numa aplicação de $ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a a., o montante recebido foi de $ 4.800,00. Determine o prazo da aplicação.
3. Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a m., pelo prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $ 5.360,00.
4. Uma geladeira é vendida à vista por $ 1.500,00 ou então a prazo com $ 450,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
5. Um vestido de noiva é vendido à vista por $ 2.400,00 ou então a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $ 2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
6. Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo desse capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma?
7. Dividir $ 1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa de 8% a m. durante 2 meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 10% a m. durante 3 meses.
7. DESCONTOS SIMPLES
Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode levantar fundos em um banco, descontado o título antes da data de vencimento. O banco, naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. A diferença entre o valor nominal (N) e o valor líquido ou valor atual (A) pago ao portador do título é o que se denomina desconto (D)
 Valor Nominal
 
 Valor Atual
 Desconto
FORMAS DE DESCONTO
7.1 DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO OU “POR FORA”
O desconto comercial, bancário ou for fora (D) é um juro calculado sobre o valor nominal.
Exemplo 01: Você tem em mãos um cheque pré-datado para dois meses de valor nominal de $ 120,00 e necessita antecipá-lo para hoje adotando-se o desconto comercial em um mercado de taxa mensal simples igual a 10%. Qual o valor desse cheque hoje?
Exemplo 02: Na operação acima de desconto comercial do cheque de $ 120,00 com vencimento em dois meses, à taxa simples de 10% a.m., o valor atual foi de $ 96,00. Vamos supor que você decida aplicar esse valor atual de $ 96,00 a juros simples nas mesmas condições do desconto. Qual seria o valor recebido?
OBSERVAÇÃO: Nos exemplos acima, o valor de resgate não corresponde ao valor nominal do título. Para chegarmos a esse valor, deveríamos aplicar o valor atual a uma taxa maior que 10% a.m. A essa taxa chamamos taxa de juros simples efetiva numa operação de desconto comercial ( i ef ).
Exemplo 03: Uma duplicata de $ 18.000,00 foi descontada num banco 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a m. 
a) Obtenha o desconto.
b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa.
c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco.
Exemplo 04: Uma nota promissória de $ 12.000,00 foi descontada num banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a m.
a) Qual o desconto?
b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória, pago no dia que a empresa a descontou?
Exemplo 05: Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a m. Obtenha:
a) O desconto comercial.
b) O valor descontado (ou valor atual comercial) do título.
Exemplo 06: Uma nota promissória de $20.000,00 foi descontada num banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a m.
a) Qual o desconto comercial?
b) Qual o valor comercial do título?
Exemplo 07: Uma duplicata de valor igual a $ 12.000,00 foi descontada num banco, 48 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,1% am. Obtenha:
a) O desconto.
b) O valor líquido recebido.
Exemplo 08: Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $ 90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a a.
a) Qual o desconto bancário?
b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título?
Exemplo 09: Descontado por fora, a uma taxa de 4% a m., 3 meses antes do vencimento, um título sofreu um desconto de 24.000,00. Qual era o valor nominal deste título?
Exemplo 10: Uma duplicata no valor de $ 6.000,00, com vencimento para 6 meses, é apresentada ao banco para uma operação de desconto. O banco entrega ao comerciante o valor líquido de $ 5.640,00. Qual a taxa de desconto utilizada pelo banco?
7.2 DESCONTO RACIONAL, MATEMÁTICO OU “POR DENTRO”
É o desconto (d) que determina um valor atual A que, corrigido nas condições de mercado, tem para montante o valor nominal N. Ou seja, “d” são os juros de que o capital A necessita para gerar montante N.
Exemplo 11: Você tem em mãos um cheque pré-datado para dois meses de valor nominal de $ 120,00 e necessita antecipá-lo para hoje adotando-se o desconto racional em um mercado de taxa mensal simples igual a 10%. Qual o valor desse cheque hoje?
Exemplo 12: Um título, ao sofrer desconto racional dois meses antes do seu vencimento, à taxa simples de 5% ao mês, teve valor igual a $ 8.000,00. Qual o valor de face desse título?
Exemplo 13: Qual o desconto racional simples sofrido por um título de $ 6.715,60 descontado a 24% ao ano em um mês e 15 dias?
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (DESCONTO SIMPLES)
1. Um título de R$ 3.000,00 é descontado por fora, 3 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 2% ao mês. Qual o valor do desconto?
2. Um título de R$ 5.000,00 foi descontado por R$ 3.750,00. Sabendo que o tempo de antecipação foi de 4 meses, qual a taxa mensal de desconto comercial?
3. Qual o valor de um título de R$ 1.200,00, resgatado por fora, 8 meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 42% ao ano?
4. Calcule o valor do desconto simples bancário de um título de R$ 1.720,00, descontado3 meses e 20 dias antes do vencimento a uma taxa de 38,7% ao ano.
5. Uma promissória de R$ 1.480,00 foi resgatada por fora, 4 meses antes do seu vencimento, por R$ 1.220,00. Qual a taxa anual da operação?
6. Calcule o valor de um título que foi resgatado, por fora, por R$ 796,24, seis meses antes do seu vencimento, a uma taxa de 7% ao mês.
7. Um título de 20.000,00 de valor nominal foi descontado antecipadamente com uma taxa de 30% ao ano, tendo como desconto comercial $ 750,00. O tempo de antecipação desse desconto foi de (considere o ano comercial de 360 dias):
a) 45 dias
b) 90 dias
c) 49 dias
d) 27 dias
8. Uma nota promissória no valor nominal de $ 50.000,00 vence no dia 30 de abril. Uma negociação para resgatá-la no dia 10 de abril, a uma taxa de desconto comercial simples de 4,5% ao mês, implicaria um desembolso de:
a) $ 44.000,00
b) $ 45.500,00
c) $ 47.000,00
d) $ 48.500,00
e) $ 50.000,00
9. A Empresa Gasosa, buscando capital de giro, resolve descontar $ 45.000,00 em duplicatas, com uma antecipação de 10 dias de seu vencimento. Esta operação será realizada na modalidade de desconto comercial simples, a uma taxa de 10% ao mês. O montante, em reais, obtido pela Empresa Gasosa, nessa operação, será:
a) $ 40.500,00
b) $ 43.500,00
c) $ 43.650,00
d) $ 44.100,0
e) $ 44.550,00
8. JUROS COMPOSTOS
Já foi analisado o regime de juros simples, caracterizado pelo fato de apenas o capital inicial render juros e este ser diretamente proporcional ao tempo e à taxa.
No regime de juros compostos, que tem grande importância financeira por retratar melhor a realidade, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passando a participar da geração de juros no período seguinte. Dizemos então que os juros são capitalizados, e como não só o capital inicial rende juros, mas estes são devidos também sobre os juros formados anteriormente.
8.1 DIFERENÇA ENTRE OS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA
O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a juros simples. A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente em progressão geométrica ao longo do tempo, dado que os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam, por sua vez, a render juros. No regime de juros simples, o montante cresce linearmente, pois os juros de determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte, ou seja, não há capitalização de juros nesse período.
Exemplo 1: Suponha que eu tenha, hoje, uma quantia de $ 1.000,00, e não vou precisar desse dinheiro nos próximos quatro anos. Decidi, então, fazer uma operação financeira e aplicar esse capital durante esse tempo. Desejo saber qual será o valor que irei resgatar (montante), se nesta operação incidirá uma taxa de 20% ao ano.
Exemplo 2: Vamos supor agora que com a mesma quantia de $ 1.000,00 eu decidi fazer uma operação financeira durante 3, 6 e 9 meses a mesma taxa de juros, ou seja, 20% ao ano. Desejo saber quais os valores (montantes) no final de cada período.
O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime de juros simples e de juros compostos. Verificamos que a formação do montante em juros simples é linear e em juros compostos é exponencial.
Para um período (n) menor que 1, o montante dos juros simples é maior que o montante dos juros compostos. Para um período (n) maior do que 1, o montante dos juros composto é maior que o montante dos juros simples. E para um período (n) igual a 1, os montantes (simples e compostos) são iguais.
Montante
 1.000 -
 1
 2
 3 4
 n
Assim, o montante ( M ) de um capital ( C ) aplicado à taxa unitária ( i ) de juros compostos, a cada período de tempo ( n ), por n períodos, é dado por:
Exemplo 01: Obtenha o montante das aplicações abaixo, considerando o regime de juros compostos:
	Capital
	Taxa
	Prazo
	a) $ 80.000,00
	36% a a
	2 anos
	b) $ 65.000,00
	3% a m
	1 ano
	c) $ 35.000,00
	7% at
	1 ano e meio
Exemplo 02: Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% am, produz um montante de $ 3.500,00 após um ano?
Exemplo 03: Um capital de $ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses, produzindo um montante de $ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?
Exemplo 04: Você recebe uma proposta para investir hoje $ 300,00 e receber $ 528,60, dentro de 5 meses, no regime de juros compostos. Qual a taxa de juros mensal?
Exemplo 05: Quanto deve ser investido hoje para produzir $ 151,79 em dois anos, no regime de juros compostos, a uma taxa de 1,25% ao mês?
Exemplo 06: Qual será o montante que se obterá dentro de 9 semanas, ao se aplicar $ 20,00 hoje, à taxa de 2,5% por semana, no regime de juros compostos?
Exemplo 07: Um capital de $ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2% num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses os juros resultantes dessa aplicação serão?
Exemplo 08: Calcule o montante da aplicação de $ 10.000,00 à taxa composta de 8% ao trimestre durante um ano.
Exemplo 09: Guilherme aplicou $ 1.000,00 por um ano e meio à taxa de juros compostos de 6% ao bimestre. Qual o montante dessa aplicação?
Exemplo 10: Determinar o capital C que aplicado à taxa composta de 9% ao mês rende juros de $ 82.316,20 numa aplicação de quatro meses.
Exemplo 11: Qual o capital que aplicado à taxa composta de 2% ao mês durante um semestre gera montante igual a $ 225.232,40?
Exemplo 12: Determine o tempo necessário para o capital de $ 20.000,00 gerar um montante de $ 28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5% ao mês.
Exemplo 13: A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar $ 40.000,00 para obtermos montante igual a $ 56.197,12 ao fim de um trimestre?
Exemplo 14: Determinar a taxa de juros compostos mensal que aplicada ao capital de $ 10.000,00 durante quatro meses gera montante de $ 12.295,97.
8.2 TAXA DE JUROS NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
( TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
Existem algumas situações em que a taxa utilizada na operação não coincide com o período de capitalização. Por exemplo, aplica-se $ 1.000,00 a juros compostos por 3 meses à taxa de 70% ao ano, capitalizados mensalmente. Apesar da taxa ser expressa em termos anuais, a capitalização se dá em termos mensais. Isto implica estarmos utilizando uma taxa nominal anual quando, efetivamente, a remuneração do capital se dá em termos mensais. Para tanto se faz necessária a distinção entre taxa nominal e taxa efetiva.
· TAXA NOMINAL: é aquela que está definida em período de tempo diferente do período da capitalização.
· TAXA EFETIVA: é aquela que está definida em período de tempo igual ao período da capitalização.
Exemplo 15: Se aplicarmos $ 10.000,00 à taxa de 36% ao ano com capitalização mensal, qual o montante obtido no final de um ano?
· TAXA EQUIVLENTE: é a taxa efetiva referidas a períodos de tempos diferentes, que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, gera o mesmo resultado.
RESUMO
Exemplo: 5% a.m = 60% a.a. (5%x 12)
 Exemplo: 5% a.m. = 79,58% a.a.
 1 + I = (1 + i)n 1 + I = (1 + 0,05)12 
 1 + I = 1,79585 I = 0,79585 = 79,58% a.a. 
Exemplo 16: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal composta de 7%.
Exemplo 17: Calcular a taxa quadrimestral equivalente à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (JUROS COMPOSTOS)
1. A que taxa de juros compostos um capital de R$ 2.000,00 obtém um rendimento de R$ 280,00 em 2 meses?
2. Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicados por 10 meses a juros compostos de 2% ao mês?
3. Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros compostos de 4% ao mês, rende R$ 10.000,00.
4. Qual o juro composto de uma aplicação de R$ 20.000,00 a 4% ao bimestre, capitalizados durante 8 meses?
5. O montante de R$ 6.000,00 a uma taxa de 1,5% ao trimestre, durante 3 anos, com capitalização anual é:
6. O montante de R$ 1.300,00 a juros compostos de 12% ao semestre, durante 5 anos,com capitalização bimestral é:
7. Aplicando um certo capital durante 2 anos á taxa de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente, resgatou-se R$ 3.984,62. O valor do capital aplicado é:
8. Um capital de R$ 920,00 foi colocado em regime de capitalização trimestral durante 1 ano e 9 meses à taxa de 36% ao ano. O montante era de:
9. Um investimento resultou em um montante de $ 43.000,00 no prazo de 3 meses. Se a taxa de juros efetiva ganha for de 10% a.m, calcular o valor do investimento.
10. Um capital de $ 51.879,31 aplicado por 6 meses resultou em $ 120.000,00. Qual a taxa efetiva?
11. Qual o juro de uma aplicação de $ 1.500,00 a juros compostos de 1,13% a.m durante um semestre?
12. Qual o montante de um capital inicial de $ 3.000,00, a juros compostos de 2% a.m, durante 1 ano e meio com capitalização trimestral?
13. Um capital de $ 8.000,00 pode produzir com juros compostos de 3% ao bimestre, durante 2 trimestres com capitalização mensal, um montante de:
14. Qual o montante de $ 1.500,00 a uma taxa de 6% ao trimestre durante 2 anos com capitalização semestral?
15. Aplicando $ 4.300,00 a juros compostos de 5% ao mês durante 6 meses com capitalização bimestral, quanto vou ganhar de juros?
16. Uma aplicação de $ 1.260,00 a juros compostos de 8% ao quadrimestre, durante 2 anos, com capitalização bimestral é:
17. Qual a taxa efetiva, em porcentagem e aproximada em uma casa decimal, de um financiamento à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal?
a) 36,0% a.a.
b) 39,2% a.a.
c) 41,2% a.a.
d) 41,9% a.a.
e) 42,6% a.a.
18. Um empréstimo foi realizado à taxa efetiva composta de 300% ao ano. Qual a taxa semestral do empréstimo?
19. No sistema de juros compostos, qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de 4% ao mês?
a) 48,00%
b) 53,76%
c) 56,09%
d) 57,35%
e) 60,10%
20. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal.
a) 12,36%
b) 12,68%
c) 12,48%
d) 12,61%
e) 12,55%
21. A taxa semestral de juros compostos equivalente a uma taxa de juros de 54% ao ano, capitalizados bimestralmente durante um semestre, é:
a) 29,50%
b) 27,00%
c) 25,15%
d) 23,35%
e) 21,90%
9. DESCONTO COMPOSTO
Quando precisamos antecipar o pagamento ou recebimento de uma nota promissória, temos dois tipos de descontos: o comercial e o racional.
Os descontos comercial e racional compostos têm o comportamento análogo aos do sistema de capitalização simples.
9.1 DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
É um desconto que incide sobre o valor nominal (N) período a período.
Exemplo 01: Um título no valor de $ 20.000,00 foi saldado três meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto comercial composto aplicada foi de 10% ao mês. Qual o valor recebido?
9.2 DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
É um desconto que incide sobre o valor atual (a) de um título
Exemplo 02: Qual o valor atual de um título de valor nominal $ 11.248,64 que sofre desconto racional à taxa composta de 4% ao ano, três anos antes do seu vencimento?
Exemplo 03: O valor do desconto composto racional de um título no valor de $ 20.000,00, com prazo de 30 dias para vencimento e taxa cobrada e 4% ao mês, é, em reais:
a) 620,00
b) 850,00
c) 950,00
d) 769,00
e) 820,00
10. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS
Dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.
 X
 Y
 0
n
0
n
Em outras palavras, X é equivalente a Y se, ao aplicarmos X até a data n, o montante obtido for igual a Y. Dizemos também que X é o valor atual de Y. 
Exemplo 01: A uma taxa de juros compostos de 2% am, $ 1.500.000,00, daqui a 3 meses, equivalem a quanto hoje?
Obs.: Assim, uma dívida de $ 1.500.000,00 daqui a 3 meses é o mesmo que uma dívida de $ 1.413.483,50 hoje, já que, dispondo desse valor, pode-se aplicá-lo e obter daqui a 3 meses os $ 1.500.000,00. Dizemos que $ 1.413.483,50 é o valor atual de $1.500.000,00 daqui a 3 meses, à taxa de 2% am.
10.1 VALOR ATUAL DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS
O valor atual ( A ) do conjunto é a soma dos valores atuais de cada capital, à taxa i.
 Y0 Y1 Y2 ... Yn
0 1 2 n
 A
A = y0 + y1 + y2 + ....................+ yn
 ( 1 + i )1 ( 1 + i )2 ( 1 + i )n
Exemplo 02: Uma empresa deve pagar $ 20.000,00 hoje, $ 10.000,00 ao fim de trinta dias e $ 31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.
a) $ 63.232,00
b) $ 64.000,00
c) $ 62.032,00
d) $ 62.200,00
e) $ 64.513,28
Exemplo 03: Uma empresa prevê o pagamento de $ 200.000,00 daqui a um mês e $ 500.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje a juros compostos à taxa de 1,5% am, para fazer frente a essas despesas?
Exemplo 04: Uma loja vende um produto por $ 500,00 de entrada, mais três prestações mensais de $ 80,00 cada uma. Se a loja aplica seus recursos à taxa de 2% am, qual deve ser seu preço à vista equivalente ao pagamento a prazo?
Exemplo 05: Uma casa é vendida à vista por $ 318.000,00 ou a prazo por $ 90.000,00 de entrada, mais 3 prestações mensais e iguais de $ 80.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro à taxa de 3% am?
Exemplo 06: Uma empresa deve investir $ 180.000,00 num projeto e ampliação da capacidade produtiva, para obter benefícios das entradas de caixa de $ 40.000,00 por ano, durante os próximos 6 anos. Se a taxa de atratividade da firma for de 6% aa, o projeto deve ou não ser aceito?
Exemplo 07: Um investidor dispõe de um capital de $ 350.000,00 e pode aplica-lo num empreendimento que lhe renderá $ 90.000,00 em cada um dos próximos três anos e $ 150.000,00 em cada um dos dois anos seguintes. Uma outra alternativa para o investidor é aplicar os mesmos $ 350.000,00 e receber $ 480.000,00 após dois anos. Sabendo-se que o investidor consegue aplicar seu dinheiro a 15% aa, qual a melhor alternativa de investimento?
Exemplo 08: Um título no valor nominal de $8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de $ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 3,5% am, pergunta-se se a substituição foi vantajosa.
Exemplo 09: A que taxa de juros anuais $2.000,00 a 1 ano equivale a $ 2.300,00 a 2 anos?
Exemplo 10: Um carro está à venda por $ 20.000,00 de entrada e $ 20.000,00 após 6 meses. Um comprador propõe pagar $ 25.000,00 como segunda parcela, o que será feito, entretanto, após 8 meses. Neste caso, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros de mercado for de 2% am?
Exemplo 11: Certa pessoa contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos: o primeiro de $ 2.500,00 e o segundo, 6 meses após o primeiro, de $ 3.500,00. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, o devedor propôs adiamento de sua dívida. O esquema apresentado foi: pagamento de $ 4.000,00 daí a 3 meses e o saldo em 9 meses. Se a taxa de juros considerada foi de 2,5% am, qual é o saldo restante?
Exemplo 12: Um sítio é posto a venda em uma imobiliária por $ 500.000,00 a vista. Como alternativa, a imobiliária propõe: entrada de $100.000,00, uma parcela de $ 200.000,00 para 1 ano e dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 1 ano e meio. Qual é o valor destes pagamentos, se a taxa de juros adotada for de 5% am?
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (EQUIVALÊNCIA)
1. Um aparelho de som é vendido à vistapor $ 3.000,00, podendo também ser financiado da seguinte forma:
· entrada: 30%; e
· duas parcelas mensais, sendo a 2ª igual ao dobro da primeira e vencendo a 1ª dois meses após a compra.
Qual o valor de cada prestação se a loja opera a uma taxa de juros de 4% a m.?
2. Viviane pretende vender o seu terreno por $ 50.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposta a fazer o seguinte plano de pagamento:
· Entrada de $10.000,00;
· $ 10.000,00 no fim de três meses; e
· duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em seis meses e um ano, respectivamente.
Admitindo-se que a taxa de juros do financiamento é de 4% a m. (juros compostos), calcule o valor da última parcela.
3. Uma determinada loja vende um conjunto de som em três parcelas, sendo $ 1.500,00 de entrada, $ 2.000,00 depois de três meses e $ 3.500,00 depois de seis meses. Considerando-se que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime de capitalização composta e, ainda, que o comprador precisou adiar a terceira parcela por mais dois meses, a entrada deverá ser alterada para que valor?
4. Um terno é vendido em uma loja por $ 800,00 de entrada mais uma parcela de $ 400,00, após um mês. Um comprador propõe dar $ 200,00 de entrada. Nessas condições, qual o valor da parcela mensal, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a m.?
5. Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que paga 2% a m. sobre o saldo credor, depositando $ 15.000,00. Após 6 meses, necessitando de dinheiro, retira $ 7.000,00. Nos dois meses seguintes, deposita, sendo $ 1.000,00 no primeiro e $ 2.000,00 no segundo. Trinta dias após o último depósito, o correntista efetua um saque de $ 5.000,00. Qual é o saldo desta conta, um ano após sua abertura?
6. Uma empresa tem um compromisso de $ 100.000,00 para ser pago dentro de 30 dias. Para ajustar o seu fluxo de caixa, propõe ao banco a seguinte forma de pagamento: $ 20.000,00 antecipado, à vista, e dois pagamentos iguais para 60 e 90 dias. Admitindo-se a taxa de juros compostos de 7% ao mês, o valor dessas parcelas deve ser de:
a) $ 43.473
b) $ 46.725
c) $ 46.830
d) $ 47.396
e) $ 48.377
11. RENDAS CERTAS OU ANUIDADES (SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS PERIÓDICOS)
É o conjunto de pagamentos ou recebimentos de valor nominal igual, que se encontram disposto em períodos de tempo constantes, ao longo de um fluxo de caixa. Se a série tiver como objetivo a constituição do capital, este será o montante da série; ao contrário, ou seja, se o objetivo for a amortização de um capital, este será o valor atual da série.
Exemplo 01: Um empréstimo foi financiado em cinco prestações mensais e consecutivas de $ 1.000,00, sendo a primeira prestação 30 dias após a liberação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos do mercado é de 8% ao mês, qual o valor do empréstimo?
11.1 RENDA POSTECIPADA
Chamamos de renda postecipada a série de pagamentos periódicos em que o primeiro pagamento ocorre um período após o início do negócio.
R
 R
 R R
 0
1
 2
 n – 1 n
 A
a) Valor Atual
A → valor atual da renda
R → termo da renda (valor da prestação)
n → número de termos
i → taxa de juros
 fator de valor atual
OU
Assim,
Exemplo 02: Um empréstimo foi financiado em cinco prestações mensais e consecutivas de $ 1.000,00, sendo a primeira prestação 30 dias após a liberação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos do mercado é de 8% ao mês, qual o valor do empréstimo?
b) Valor Futuro
Vamos admitir que precisemos calcular o total pago imediatamente após o último pagamento.
 A
 F (n)
 0 1 2 n-1 n
 R R R R
 fator de acumulação de capital
 ou
 fator de valor futuro
OU 
Assim,
F(n) → valor futuro na data n ( imediatamente após o último pagamento).
Exemplo 03: Um empréstimo foi financiado em cinco prestações mensais e consecutivas de $ 1.000,00, sendo a primeira prestação 30 dias após a liberação do empréstimo. Se a taxa de juros compostos do mercado é de 8% ao mês, qual o montante pago imediatamente após o último pagamento?
11.2 RENDA ANTECIPADA
Chamamos de renda antecipada a série uniforme de pagamentos periódicos em que o primeiro pagamento ocorre no ato da realização do negócio.
 A
 F(n - 1) F(n)
 0 1 2
 n – 1 n
 R R R R
 Valor futuro imediatamente após o último pagamento
 Valor futuro num período após o último pagamento
Exemplo 04: Considere uma renda antecipada de quatro termos mensais e iguais a $ 1.000,00, à taxa de 10% ao mês. Determine:
a) o valor atual;
b) o montante imediatamente após o último pagamento;
c) o montante um mês após o pagamento da última prestação.
11.3 RENDA DIFERIDA
Caracteriza-se pelo fato de existir uma carência entre a data zero e o primeiro pagamento da série.
 0
1
2
m m+1 m+2 m+3 m+n
 A
 F
 
 prazo de carência
m → número de períodos sem pagamentos
n → número de termos
Exemplo 5: Uma pessoa deve receber cinco prestações mensais iguais de $ 1.000,00, com a primeira ao final de sete meses. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês, qual o valor atual das prestações?
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (RENDAS CERTAS)
1. Um equipamento foi adquirido em cinco prestações mensais iguais e postecipadas de $ 1.000,00. Se a taxa de juros cobrada pelo vendedor é de 24% ao semestre com capitalização mensal, qual o valor à vista desse equipamento?
2. Na compra de um artigo, Luíza pagou $ 200,00 no ato e financiou o saldo devedor em dez prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 100,00. Se a taxa de juros do financiamento é de 6% ao mês (capitalizados mensalmente), qual o valor à vista desse artigo?
3. Um equipamento de preço à vista igual a $ 1.200,00 será adquirido com entrada de 30% mais quatro prestações fixas mensais consecutivas vencendo a primeira em 30 dias. Se a taxa de juros do financiamento é de 60% ao ano capitalizados mensalmente, qual o valor de cada prestação?
4. Um automóvel foi adquirido com um pagamento no ato de 40% do valor à vista e mais vinte prestações mensais iguais e consecutivas de $ 1.000,00, sendo a primeira para trinta dias. Se a taxa efetiva de juros compostos do financiamento é de 2% ao mês, determine o valor à vista desse automóvel.
5. Se Guilherme investir $ 1.000,00 mensalmente, qual o montante acumulado imediatamente após o décimo depósito, se a taxa de remuneração do capital é de 21% ao trimestre com capitalização mensal?
6. Um investimento consiste na realização de dezoito depósitos mensais postecipados de $ 1.000,00 que deverão ser resgatados em seis saques mensais iguais e consecutivos com o primeiro 30 dias após o último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, o valor de cada saque é, em reais:
a) 3.577,48
b) 3.680,92
c) 3.761,40
d) 3.822,65
e) 3.917,00
7. Na compra de um computador, André se comprometeu a paga oito prestações mensais e iguais de $ 300,00, sendo a primeira paga no ato. Se a taxa de juros compostos do financiamento é de 3% ao mês, qual o valor à vista do computador?
8. Um empréstimo no valor de $ 2.000,00 deve ser pago em cinco prestações trimestrais, iguais e consecutivas, sendo a primeira no ato da liberação dos recursos. Se a taxa de juros do financiamento é de 60% ao ano capitalizados trimestralmente, qual o valor das prestações?
9. Raíssa obteve um empréstimo de $ 20.000,00 para montar uma pequena fábrica de bijuterias. A devolução do empréstimo será feita em seis prestações mensais, consecutivas e iguais, vencendo a primeira ao final de um ano. Se a taxa mensal de juros compostos do financiamento é de 7%,calcule o valor de cada prestação.
10. Uma empresa deve $ 150.000,00 vencíveis de hoje a seis meses e $ 282.600,00 vencíveis de hoje a doze meses. Para transformar suas dívidas em uma série uniforme de quatro pagamentos postecipados trimestrais, a partir de hoje, juros e desconto racional compostos de 10% ao trimestre, qual o valor do pagamento trimestral?
11. Um equipamento pode ser adquirido em quinze pagamentos postecipados mensais e consecutivos, sendo os cinco primeiros de $ 4.000,00, os cinco seguintes de $ 3.000,00 e os cinco últimos de $ 2.000,00, financiados a juros de 48% ao ano com capitalização mensal. O valor à vista desse equipamento é, em reais:
a) 37.903,07
b) 37.418,72
c) 36.121,14
d) 35.082,13
e) 34.799,49
12. Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente $ 1.000,00 do primeiro ao quarto mês, $ 2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, $ 3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos)
a) $ 21.708,0
b) $ 29.760,00
c) $ 35.520,00
d) $ 22.663,00
e) $ 26.116,00
12. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Os empréstimos de curto e médio prazo são saldados ao final do período, ou em algumas parcelas periódicas, utilizando-se aos conceitos de juros compostos e cálculos do valor do dinheiro no tempo vistos anteriormente. Já os empréstimos de longo prazo são amortizados segundo alguns sistemas que diferem entre si quanto à forma de pagamento do principal e dos juros.
12.1 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (TABELA PRICE)
Tal sistema se desenvolveu na França no século XIX, porém foi concebido pelo matemático inglês Richard Price, no século XVIII.
Essa forma de amortização é representada por uma série de pagamentos uniformes e periódicos (anuidades), que pode ser antecipada, postecipada ou diferida (com carência), ou seja, tem prestações fixas.
Características:
· Prestações iguais, contendo juros + principal;
· Juros decrescentes (já que o saldo devedor é decrescente);
· Amortização crescente;
 P
 P
 P
 P ( = parcelas iguais )
 J
 J
 J
 J
 A
 A
 A
 A
Fórmula para encontrar o valor das prestações:
Onde:
E → Valor do empréstimo
P → Valor da prestação
Exemplo 01: Um banco empresta $ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa contratada foi de 10% ao ano e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha.
	Nº
	Prestação
(P)
	Juros
i = 10 % a m
	Amortização
	Saldo
Devedor (E)
	0
	-
	-
	-
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	5
	
	
	
	-
	Total
	
	
	
	-
Onde:
Juro: taxa incidente sobre o saldo devedor do período anterior.
Amortização: parcela da prestação destinada à dívida; corresponde ao valor da prestação menos os juros do período.
Saldo devedor: saldo devedor anterior menos a amortização do período.
Exemplo 02: Um empréstimo de $ 800.000,00 deve ser devolvido pelo sistema francês em 5 prestações semestrais à taxa de 4% a s. Obtenha a planilha.
Exemplo 03: Um banco emprestou $ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 12% a a, tabela price, e que a devolução deve ser feita em 8 meses, construir a planilha.
12.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Nessa forma de amortização as cotas de amortização são constantes e dadas pelo valor do empréstimo dividido pelo número de prestações.
Sendo assim, as prestações têm valores diferentes a cada pagamento.
Características:
· Prestações decrescentes;
· Amortização constante.
· Juros decrescentes
 P1
 P2
 P3
 P4
Fórmula para encontrar o valor das amortizações:
Onde:
A → valor dos valores das amortizações.
E → valor do empréstimo
n → número d prestações.
Exemplo 04: Um banco empresta $ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema de amortização constante, que a taxa contratada foi de 10% ao ano e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha.
	Nº
	Prestação
	Juros
i = 10 % a m
	Amortização
	Saldo
Devedor
	0
	-
	-
	-
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	5
	
	
	
	-
	Total
	
	
	
	-
Exemplo 05: Um empréstimo de 800 mil deve ser devolvido em 5 prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% a s. Obtenha a planilha.
Exemplo 06: Um empréstimo de 800 mil deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização, com 2 semestres de carência, isto é, a primeira parcela só devida no 3º semestre. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% a s, obtenha a planilha.
12.3 SISTEMA AMERICANO
Através desse sistema, o pagamento do principal é feito de uma só vez, no final do período do empréstimo. Em geral, os juros são pagos periodicamente; entretanto, podem eventualmente ser capitalizados e pagos de uma só vez, junto com o principal.
Exemplo 07: Um banco empresta $ 100.000,00, entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema americano, que a taxa contratada foi de 10% ao ano e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha.
	Nº
	Prestação
	Juros
i = 10 % a m
	Amortização
	Saldo
Devedor
	0
	-
	-
	-
	
	1
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	4
	
	
	
	
	5
	
	
	
	-
	Total
	
	
	
	-
Exemplo 08: Por um empréstimo de 800 mil, um cliente se propõe a devolver o principal daqui a 2 anos, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% a s. Obtenha a planilha.
Exemplo 09: O valor financiado é de $ 150.000,00, tendo-se contratado à taxa de 14% a a. Foi adotado o Sistema Americano de amortização, determinando-se o prazo de 4 anos para liquidação do financiamento. Construir a planilha do financiamento.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (AMORTIZAÇÃO)
1. Um banco de investimento empresta um valor a uma empresa, liberado da seguinte forma:
· no ato: $ 3.000,00; e
· mais duas parcelas semestrais de $ 5.000,00 cada uma.
Sabendo-se que o empréstimo deve ser amortizado em 4 parcelas semestrais pelo SAC, que a taxa cobrada é de 5% ao semestre e que são 4 semestres de carência (contados a partir da liberação da parcela de $ 3.000,00) só para as amortizações, obtenha a planilha.
2. Um valor de $ 1.500.000,00 é financiado à taxa de 10 % ao ano, para ser amortizado pelo sistema americano, com 3 anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos anualmente, construir a planilha.
3. Um consultório médico foi financiado pelo “plano piloto” do governo do estado “X”, em 18 prestações mensais, pela tabela Price, a juros de 3% ao mês, sendo $ 200.000,00 seu preço à vista. Calcule o valor da prestação mensal.
4. Um banco financia a importância de $ 400.000,00 entregue no ato do financiamento, com um prazo de carência de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês, que a taxa de juros é de 10 % ao ano, que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e que durante o prazo de carência os juros são capitalizados e incorporados ao capital, construa a planilha ou plano de amortização. A partir da planilha resolva a questão abaixo:
Se o devedor resolvesse liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de 2 prestações, deveria pagar ainda o valor de (desprezar os centavos na resposta):
5. Um empréstimo de $ 15.000 será pago em doze prestações mensais calculadas pela Tabela Price. Se a taxa de juros é de 10% ao mês e a prestação de $ 2.201,45, o valor da cota de amortização paga na segunda prestação é:
a) $ 1.500,00
b) $ 1.429,00
c) $ 1.059,71
d) $ 771,59
e) $ 701,45
6. Um empréstimo de $ 5.000,00 deverá ser pago em dez prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira em 30 dias, e financiado à taxa mensal de 5%. A diferença entre a primeira prestação calculada pelo Sistema de Amortização Constante e a calculada pelo Sistema Francêsde Amortização é mais próxima de:
a) $ 110,20
b) $ 107,88
c) $ 106,03
d) $ 105,18
e) $ 102,48
7. Guilherme contratou um financiamento de $ 80.000,00 que será amortizado por meio de 100 prestações mensais postecipadas segundo o Sistema de Amortização Constante. Considerando uma taxa de juros efetivos compostos de 2% ao mês, o valor, em reais, da 75ª prestação é:
a) 1.264,00
b) 1.248,00
c) 1.232,00
d) 1.216,00
e) 1.200,00
GABARITO
	Porcentagem
	Desconto Simples
	12. 7 meses
	11.$ 2.252,49
	Exemplos
	Exemplos
	13. 12 % a m 
	12. $ 248.450,80
	1. 18
	1. $ 96,00
	14. 5,3 % a m 
	Fixação
	2. 80%
	2. $ 115,20
	15. $ 14.257,60
	1. $ 777,04 / 1.554,08
	3. 25%
	3 (a). $ 900,00
	16. 22,5% a t
	2. $ 18.011,83
	4. 20%
	 (b). $ 17.100,00
	17. 21,55% a q
	 $27.017,75
	5. $ 236,00
	 (c). desenho
	Fixação
	3.$ 1.742,81
	6. 25,92%
	4 (a). $ 336,00 
	1. 6,77% a m
	4. $ 1.024,00
	7. 15%
	 (b). $ 11.604,00
	2. $ 875,96
	5. $ 9.103,40
	8. 30%
	4 (a). $ 360,00
	3. $ 31.652,58
	6. A
	9. 24,24%
	 (b). $ 8.640,00
	4. $ 3.397,20
	Rendas Certas
	10. 20%
	6 (a). $ 1.080,00
	5. $ 7.146,12
	Exemplos
	11. 5%
	 (b). $ 1.892,00
	6. $ 1.616,42
	1. $ 3.992,71
	12. 7,74%
	7 (a). $ 403,20
	7. $ 2.500,00
	2. $ 3.992,71
	Fixação
	 (b). $ 11.396,80
	8. $ 1.681,79
	3. $ 5.866,66
	1. C
	8 (a). $ 3.000,00
	9. $ 32.306,53
	4. (a). $ 3.486,85
	2. C
	 (b). $ 86.000,00
	10. 15% a m 
	 (b). $ 4.641,00
	3. E
	9. $ 200.000,00
	11. $ 104,61
	 (c). $ 5.105,90
	4. D
	10. 1% AM
	12. $ 4.255,55
	5. $ 3.835,43
	5. D
	11. $ 100,00
	13. $ 8.747,52
	Fixação
	6. B
	12. $ 8.800,00
	14. $ 2.360,28
	1. $ 4.451,82
	7. B
	13. $ 195,60
	15. $ 1.423,30
	2. $ 936,00
	Juros Simples
	Fixação
	16. $ 2.017,29
	3. $ 236,88
	Exemplos
	1. $ 180,00
	17. 42,57% a a 
	4. $ 27.252,38
	2 (a). $ 150,00
	2. 6,25% AM
	18. 100% a s 
	5. $ 13.816,45
	 (b). $ 680,00
	3. $864,00
	19. E
	6. D
	 (c). $ 87,50
	4. $ 203,99
	20. B
	7. $ 2.169,68
	 (d). $ 670,00
	5. 4,39% AM
	21. A
	8. $ 518,81
	 (e). $ 1.694,00
	6. $ 1.372,82
	Desconto Composto
	9. $ 8.831,77
	 (f). $ 1.773,34
	7. A
	Exemplos
	10. $ 100.000,00
	3 (a). $ 5.450,00
	8. D
	1. $ 14.580,00
	11. E
	 (b). $ 9.107,45
	9. B
	2. $ 10.000,00
	12. E
	 (c). $ 13.925,00
	Juros Compostos
	3. D
	Amortização
	4. $ 20.800,00
	Exemplos
	Equivalência
	3. $ 14.541,74
	5. $ 148,44
	1 (a). $ 147.968,00
	Exemplos
	4. $ 264.995,95
	6. $ 350,00/$ 5.350,00
	 (b). $ 92.647,40
	1. $ 1.413.480,83
	5. D
	7. 20% a a 
	 (c). $ 52.525,55
	2. $ 62.032,00
	6. E
	8. 25 meses
	2. $ 2.602,44
	3. $ 675,206,65
	7. D
	9. $ 1.050.000,00
	3. 8,77% AM
	4. $ 730,70-
	
	Fixação
	4. 12% a m
	5. $ 316.288,70
	
	1. 5% a m 
	5. $ 112,65
	6. $ 196.692,97
	
	2. 6 anos
	6. $ 24,95
	7. $ 365.829,75
	
	3. $ 360,00
	7. $ 101,00
	 $ 362.948,96
	
	4. 3,57% a m 
	8. $ 13.604,90
	8. $ 7.934,87
	
	5. 5,98% a m 
	9. $ 1.689,48
	 $ 8.500,00
	
	6. 4 meses
	10. $ 200.000,00
	9. 15% a a
	
	7. $782,00 / $417,00
	11. $ 200.000,00
	10 . $ 16.422,22
	
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
· Hazzan, Samuel / Pompeo, José Nicolau - Matemática Financeira – - 5ª ed. – São Paulo: Saraiva, 2001.
· Mathias, Washington F./ Gomes, José Maria – Matemática Financeira - 4ª ed. – São Paulo: Atlas, 2004.
· Carvalho, Sérgio / Campos, Weber – Matemática Financeira Simplificada para Concursos - 1ª ed. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.
· Samanez, Carlos Patrício – Matemática Financeira, aplicações à análise de investimentos - 4ª ed. – São Paulo: Pearson, 2007.
· César, Benjamin – Matemática Financeira - 7ª ed. – Rio de Janeiro, Elsevier, 2008.
· Gimenes, Cristiano Marchi – Matemática Financeira com HP 12C e Excel, uma abordagem descomplicada - 2ª ed. – São Paulo: Pearson, 2010.
Na Matemática Financeira, o dinheiro nunca fica parado.
J = M - C
C = M - J
M = C + J
J = C . i . n
M = C + J
M = C ( 1 + i . n )
D = N - A
DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO OU 
“POR FORA”
DESCONTO RACIONAL, MATEMÁTICO OU 
“POR DENTRO”
D = N . i . n
A = N ( 1 – i . n )
J = C (1 + i)n - 1
M = C (1 + i)n 
1 + I = ( 1 + i )n
Sempre
Juros Simples
Taxa proporcional
Estudo das Taxas
Transformar 
em taxa efetiva
Fórmula não serve
Taxa nominal
Juros Compostos
Taxa equivalente
Fórmula serve
Taxa efetiva
A = N ( 1 – i )n
A = N
 ( 1 + i )n
X = Y
 ( 1 + i )n
X ( 1 + i )n = Y
A = ∑ Y
 ( 1 + i )n
A = R ( 1 + i )n - 1
 i ( 1 + i )n
a n┐i
( 1 + i )n – 1
i ( 1 + i )n
a ( n, i )
A = R x a n┐i
F = R ( 1 + i )n – 1
 i
S n┐i
( 1 + i )n – 1
i
S ( n, i )
F(n) = R x S n┐i
A = R [ a n - 1┐i + 1 ]
F (n - 1) = R S n┐i
F (n) = R [ S n + 1┐i - 1 ]
A = R [ a m + n┐i - a m┐i ]
F = R x S n┐i
P = E ( 1+ i ) n . i
 ( 1+ i ) n - 1
E = P x a n┐i
A = E
 n
PAGE 
49
CEFET/RJ TÉCNICO EM ADMINISTRAÇÃO