Processo de Cross para Estruturas Hiperestáticas

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Disciplina: Teoria das Estruturas II
Aula 6: Processo de Cross (Método da Distribuição de 
Momentos)
Apresentação
Nas aulas anteriores, vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças e Método da Deformação. 
Outra maneira de calcular uma estrutura hiperestática é pelo Processo de Cross (Método da Distribuição de Momentos).
Tal Processo é um método relativamente simples para o cálculo de momentos fletores em vigas contínuas, pórticos planos, 
grelhas e até em pórticos espaciais.
Nesta aula, você aprenderá a calcular uma estrutura hiperestática pelo Processo de Cross.
Objetivos
• Reconhecer um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Processo de Cross.
• Calcular uma estrutura hiperestática aplicando o Processo de Cross;
• Traçar os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o Processo de Cross.
Processo de Cross (Método da Distribuição de Momentos)
 Vigas (Fonte: Rachid Jalayanadeja / Shutterstock)

É um método relativamente simples para o cálculo de momentos fletores em vigas 
contínuas, pórticos planos, grelhas e até em pórticos espaciais. Este processo é baseado 
no Método dos Deslocamentos. Criado por Hardy Cross na década de 1930 ainda é 
utilizado para o cálculo de estruturas.”
SUSSEKIND, s./d., v .3
O método desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matemático de resolução por aproximações sucessivas dos 
sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que os nós da estrutura estão bloqueados e não podem sofrem nenhuma rotação.
Depois da aplicação das cargas, os nós são liberados sucessivamente, os quais sofrem rotação. Em seguida, o nó liberado é 
bloqueado antes de passar ao nó seguinte. Estas operações são repetidas até que a liberação dos nós não provoque mais 
rotações. Isto significa que o estado de equilíbrio foi atingido.
Segundo Cross, a ideia principal do processo de resolução de estruturas hiperestáticas resume-se a simples operações 
aritméticas, o que não é inteiramente verdadeiro. O processo de Cross, para vigas de seção constante, depende da solução de três 
problemas:
• a determinação dos momentos de engastamento perfeito;
• da rigidez de cada viga; e
• do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura em consideração.
Sobre o Método de Distribuição de Momentos, Cross escreveu que deveria ser imaginado que todos os nós da estrutura não 
pudessem girar e que os momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras fossem calculados para esta 
condição.
Para cada nó da estrutura, distribuem-se os momentos de engastamento perfeito desequilibrados entre os membros conectados 
na proporção de cada rigidez. Multiplica-se o momento distribuído para cada membro para o nó pelo fator de distribuição de 
carga.

Distribui-se somente a carga recebida. Repete-se este processo até que os momentos 
transportados sejam tão pequenos que possam ser negligenciados. Somam-se todos os 
momentos das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento 
verdadeiro. Para uma estrutura com um único nó a solução é exata, mas para mais de 
um nó, a solução é aproximada (Processo Iterativo).”
MORAES e ROVERE, 2005
O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande, porque possibilitou a solução manual de estruturas hiperestáticas em 
um momento no qual estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns.
O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas, com alto grau de hiperestaticidade. A aplicação prática 
do Processo de Cross diminuiu bastante, pois atualmente faz-se uso de programas de computador para a análise de estruturas, 
que em geral utilizam o Método dos Deslocamentos (embora alguns programas usem o Processo de Cross como procedimento 
de análise de vigas contínuas).

Apesar de o uso do Método da Distribuição de Momentos ter caído nas últimas décadas, 
a sua apresentação tem um objetivo acadêmico, pois tem um apelo intuitivo muito forte 
e, por isso, serve para uma melhor compreensão do comportamento à flexão de 
estruturas reticuladas.”
MARTHA, s/d, cap. 12
Vejamos agora três conceitos importantes: Rigidez das Barras e Coeficientes 
de Transmissão, Convenção de sinais a o Coeficientes de distribuição
Clique nos botões para ver as informações.
Já visto em Método da Deformação, vejamos agora em resumo. A rigidez de uma barra (k) em nó é o valor do momento 
aplicado nesse nó capaz de provocar um giro unitário nesse nó.
a) Barra biengastada:
A rigidez da barra biengastada é dada por:
b) Barra engastada-rotulada:
A rigidez da barra engastada-rotulada é dada por:
Rigidez das Barras e Coeficientes de Transmissão 
= e =MA 4 E Jl MB
2 E J
l
Será utilizada a convenção de Grinter. No cálculo de equilíbrio dos nós será considerado positivo o momento que atua no nó 
no sentido horário (mantendo a convenção de esforço positivo na extremidade da barra no sentido anti-horário).
Convenção de sinais 
Seja o pórtico plano indeslocável mostrado na figura abaixo. O único grau de liberdade da estrutura é a rotação (j) do nó A.
Devido à atuação do binário M (figura abaixo), as barras irão se deformar e os esforços internos nas extremidades serão 
proporcional à rigidez das mesmas e à rotação sofrida pelo nó A.
Seja um momento “m” aplicado no nó A na estrutura abaixo. Assim, para girar o nó, o momento deve deformar todas as 
barras ligadas ao nó A. (SUSSEKIND, s./d.)
O momento em cada barra.
Mas:
Somando, tem-se:
Substituindo o ângulo nas equações dos momentos, tem-se:
Adotando o coeficiente de distribuição:
Coeficientes de distribuição 
= + + +MA m1 m2 m3 m4
∑
= φM1 KA1
= φM2 KA2
= φM3 KA3
= φM4 KA4
⎫
⎭
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
KA
M = φ ( + + + ) = φKA1 KA2 KA3 KA4
φ = M/ ∑ KA
φ
= ( / ∑S )mM1 KA1 KA
= ( / ∑ )mM2 KA2 KA
= ( / ∑ )mM3 KA3 KA
= ( / ∑ )mM4 KA4 KA
= / ∑dAi KAi KA
Os momentos serão obtidos por:
= mmAi dAi
Atenção
A soma dos coef. de distribuição em um nó é igual à unidade.
∑ = 1dA
Número de incógnitas – deslocabilidade interna e externa
 Análise de planta (Fonte: Dragon Images / Shutterstock)
O cálculo do número de deslocabilidade é igual ao explicado na Aula 4 (Método da Deformação).
Saiba mais
Acesse a tabela 1 <galeria/aula6/anexo/doc02.pdf> – Momento de engastamento perfeito (viga com 
inércia constante).
Esse método será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguir.
Exercícios resolvidos
 Materiais de escritório (Fonte: ArthurStock / Shutterstock)
Nesses exercícios (exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J.
Exemplo
Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 1.
Dados:
J = 0,01 m (para o trecho AD)
J = 0,006 m (para o trecho DE)
E = 2,1 x 10 kN/m
4
4
7 2
 Figura 1 – Viga hiperestática.
1º Passo: Sistema Principal (S. P.):
No sistema principal, temos que colocar as placas e o apoio adicional (caso precise) na estrutura hiperestática.
Colocar os nomes nas barras, nomes nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais.
Temos que excluir o balanço e redesenhar a viga hiperestática sem o balanço e com as cargas de 50kN e (50 x 3 = 150) KNm de 
momento fletor (Figura 2).
Colocar placa e apoio adicional:
d = 0 (apoio adicional)
d = 1 (placa)
e
i
 Figura 2 – Sistema principal para calcular a viga hiperestática pelo método da deformação.
2º Passo: Momento de engaste perfeito (tabela 1):
Barra 1: apoio e engaste
Calcular o momento fletor em D usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Carga momento de 150kNm.
Carga pontual de 100kN
Carga pontual de 50kN ➜
Barra 2: engaste e apoio
= − ( − 1) = = = 75kNmMD M2
3a2
l2
M
2
150
2
= − (l+ a) = − (8 + 3) = −128, 91kNmMD Pab2l2
100x3x5
2x82
= − (l+ a) = − (8 + 0) = 0 kNmMD Pab2l2
50x0x8
2x82
Calcular o momento fletor em D usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1).
Carga distribuída de 20kN/m
3º Passo: Rigidez nas barras
= + = = 90kNmMD
ql28
20 x 62
8
Barra 1: apoio e engaste
Barra 2: engaste e apoio
4º Passo: Distribuição
d = Ki / ∑ K
= 78750 / 141750 = 0, 5556dB1
= 63000 / 141750 = 0, 4444dB2
Atenção
O somatório dos di de cada placa é = 1 ➜ (0,5556 + 0,4444)
5º Passo: Processo de Cross
Para começar o processo de Cross:
1) Escolher uma placa ➜ placa 1
2) Somar os momentos dessa placa escolhida ➜ -53,91 + 90 = 36,09
3) Trocar o sinal ➜ - 36,09
4) Multiplicar pelo di ➜ - 36,09 x 0,5556 = -20,05
- 36,09 x 0,4444 = -16,04
1) Passar a metade para a extremidade da barra, caso a extremidade receba momento.
2) Ir para outra placa ➜ não tem outra placa, logo finaliza a viga somando os momentos fletores.
 Figura 3 – Viga com o Processo e Cross.
 Figura 4 – Viga com os valores dos momentos fletores.
 Figura 5 – Viga com as reações de apoios.
 Figura 7 – Viga com diagrama de momentos fletores (kNm).
Saiba mais
Acesse outros 8 Exercícios resolvidos (exemplos) <galeria/aula6/anexo/doc01.pdf> . Dessa forma, você 
dará continuidade aos seus estudos sobre o assunto e ampliará seu conhecimento.
Atividade
1. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à flexão 
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
2. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à flexão 
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
3. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à flexão 
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
4. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à flexão 
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
5. Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos cuja rigidez à flexão 
(EJ) é constante. Adotar EJ=1.
6. Recalcular todas as estruturas da aula 1 e 2 pelo Processo de Cross.
Notas