Divergência e Rotacional de campo vetorial

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA
ARTHUR CESAR CÂMARA GOMES CAETANO DE SOUSA 	20151109769
CÁLCULO III
Divergente e rotacional
CABO FRIO
2020
Cálculo III
Fórum Avaliativo
Data: 29/04 às 20h30min
Tema: Divergência e Rotacional de campo vetorial
i. Definição
Rotacional e divergente são duas operações essenciais nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos fluidos, eletricidade e magnetismo, entre outras áreas.
ROTACIONAL
Em cálculo vetorial, rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. Assim, o rotacional corresponde a uma transformação linear de um campo de vetores em um outro campo vetorial, ou seja, a cada ponto do espaço onde definimos o rotacional ele será dado por um vetor.
Consideremos o campo vetorial definido no aberto Ω ⊂ ℝ³. Suponhamos que P, Q e R admitam derivadas parciais em Ω dado por
A expressão acima pode ser lembrada facilmente representando-a pelo “determinante”
Os “produtos” que ocorrem nos “determinantes” de 2ª ordem devem ser interpretados como derivadas parciais: por exemplo, o “produto” de por R é a derivada parcial .
Podemos, ainda, expressar rot como um “produto vetorial”.
Consideremos, agora, o campo vetorial de Ω ⊂ ℝ² em ℝ², Ω aberto, dado por e suponhamos que P e Q admitem derivadas parciais em Ω. Neste caso, o rotacional de é a transformação em Ω ℝ³ dada por
DIVERGENTE
Seja um campo vetorial definido no aberto Ω ⊂ ℝn e suponhamos que as coponentes F1, F2, ..., Fn admitem derivadas parciais em Ω. O campo escalar.
Div 
Dado por:
Denomina-se divergente de é frequentemente usada para indicar o divergente de interpretamos ∇. como o “produto escalar” do vetor ∇ = pelo campo vetorial (F, F, ..., F), onde o “produto” de por F deve ser entendido como a derivada parcial 
∇ = . (F1, F2, ..., Fn)
= 
Se n2
Então
Se n3
Então
ii. Exemplos com resolução 
Exemplo 1 - Rotacional
Seja Calcular .
Solução:
 = 
Ou seja:
Exemplo 2 - Rotacional
 Suponha que, para todo ℝ², Calcular 
Solução:
 para todo (x,y) ℝ².
Exemplo 3 – Rotacional
Considere o campo vetorial
 onde 
Verifique que é irrotacional
Solução:
Imagine como um campo de velocidade e olhe para as figuras a seguir:
Na situação (1), o segmento determinado pelas partículas A e B se desloca com velocidade angular positiva (sentido anti-horário), enquanto o determinado por A e C se desloca com velocidade angular nula. Na situação (2), o segmento determinado por A e B se desloca com velocidade angular nula, enquanto o determinado por A e C se desloca com velocidade angular negativa (sentido horário). É razoável, então, esperar que seja irrotacional (Por que?) e de fato o é, pois:
 
Exemplo 1 – Divergente
Seja Calcular 
Solução
Assim
Exemplo 2 – Divergente
Calcule ∇. ∇ φ, onde φ 
Solução
Assim,
Consideremos o campo escalar φ: Ω ⊂ ℝn → ℝ e suponhamos que φ admita derivadas parciais até a 2.ª ordem no aberto ⊂. O campo escalar
Dado por
denomina-se laplaciano de φ. Assim, o laplaciano de φ nada mais é do que o divergente do gradiente de φ. Como:
Exemplo 3 – Divergente
Seja φ (x, y, z) = x2 + y2 + z2. Calcule o laplaciano de φ
Solução
iii. Interpretação física e exemplos com resolução
Dada uma região D no espaço tridimensional e uma grandeza física (escalar ou vetorial), então, essa região será chamada de campo se, nela, o valor da grandeza num dado ponto depender unicamente das coordenadas desse ponto. 
· Se a grandeza for escalar (pressão, temperatura, etc.), o campo é dito escalar. 
· Se a grandeza for vetorial (força, velocidade, etc), o campo é dito vetorial. 
O valor da grandeza também pode depender do tempo. Nesse caso, o campo é dito variável (ou dinâmico). Caso contrário, ele é dito estacionário.
Exemplo 1– Divergente
Calcular o volume de um touro usando o Teorema da Divergência
 α 
Campo com divergente igual a 1: 
Parametrização:
 
Exemplo 2 – Divergente
Calcule a integral de fluxo para o campo vetorial através da superfície S dada lateralmente pelo paraboloide e acima dado pelo plano .
 
 
 	
Um_curso_de_Calculo_Vol_3_Hamilton_Luiz.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=omp9KYIdJ_o
https://www.youtube.com/watch?v=97kHPkj1vw4