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Cálculo 3 Bernardini

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Cálculo 3/1 Lista 1 (3).pdf
Lista 1
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Sejam ~u = (5,−1, 1), ~v = (0, 1, 1) e ~w = (−15, 3,−3). Verifique se, dois a dois, os vetores são
paralelos ou ortogonais.
2. Sejam ~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) ∈ R3. Considere o vetor ~u × ~v, conforme definido em sala,
isto é, ~u× ~v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1). Mostre que ~u× ~v ⊥ ~u e ~u× ~v ⊥ ~v.
3. Encontre um vetor ~u unitário que seja ortogonal aos vetores ~v = (2, 3,−1) e ~w = (2,−4, 6).
4. O ponto P = (−3,m, n) pertence à reta que passa pelos pontos (1,−2, 4) e (−1,−3, 1). Determine
m e n.
5. Encontre a equação do plano que passa por (1,−1, 3) e é paralelo ao plano de equação 3x+y+z = 7.
6. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 2, 3) e (3, 2, 1) e é perpendicular ao plano de equação
4x− y + 2z = 7.
7. Encontre uma parametrização para a reta dada pela interseção dos planos x − 2y + 4z = 2 e
x+ y − 2z = 5.
8. Encontre o ponto de interseção das retas r : x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3 e s : x = T + 2, y =
2T + 4, z = −4T − 1 e o plano determinado por essas retas.
9. Sejam P = (x0, y0, z0) ∈ R3 e π : Ax + By + Cz + D = 0, em que A2 + B2 + C2 6= 0. Mostre que a
distância entre P e π é dada por
|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√
A2 +B2 + C2
.
10. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
a) r(t) = (cos t, sen t, t) e r(π/3).
b) r(t) = (t2, t) e r(1).
11. Seja F(t) uma força dependendo do tempo t, que atua sobre uma part́ıcula entre os instantes t1 e t2.
Supondo F integrável em [t1, t2], o vetor
I =
∫ t2
t1
F(t)dt
denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de F no intervalo de
tempo dado.
a) F(t) = ti + j + t2k, t1 = 0 e t2 = 2.
b) F(t) =
1
t+ 1
i + t2j + k, t1 = 0 e t2 = 1.
12. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sen t, z = t está no cone z2 = x2+y2.
Use esse fato para esboçar a curva.
13. Verifique que
a) a curva polar r = a é um circunferência (centrada na origem e de raio |a|).
b) a curva polar θ = b é uma reta (de inclinação tg(b)).
c) a curva polar r = 2 cos θ é uma circunferência (centrada em (1, 0) e de raio 1).
1
Gabarito (com posśıveis erros)
1. ~u ⊥ ~v; ~u ‖ ~w; ~v ⊥ ~w
2. Verificação.
3. ~u = 1√
3
(1,−1,−1) ou ~u = 1√
3
(−1, 1, 1)
4. m = −4 e n = −2
5. 3x+ y + z = 5
6. x+ 6y + z = 16
7. r(t) = (4, 2 + 2t, t), t ∈ R
8. P = (1, 2, 3); π : 20x− 12y − z + 7 = 0
9. Demonstração.
10. a) r :
(
1−
√
3t
2
,
√
3+t
2
, π
3
+ t
)
b) r : (1 + 2t, 1 + t)
11. a)
(
2, 2, 8
3
)
b)
(
ln 2, 1
3
, 1
)
12. Demonstração.
13. Verificação.
2
Cálculo 3/2 Teste 1 (1).pdf
Teste 1
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
21/08/2018
Nota
Nome: Matŕıcula:
• É proibido o uso de calculadora.
• Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas.
1. (3,0) Encontre a equação do plano que passa pelos pontos (1, 4, 5), (2, 2, 6) e (−1, 5, 6).
2. (2,0) Encontre uma parametrização para a reta dada pela interseção entre os planos x+ 2y+ z = 7 e
3x + 6y − z = 9.
1
3. (3,0) Encontre o ponto de interseção entre retas r : x = −t + 3, y = t + 2, z = 5t (t ∈ R) e
s : x = 2T − 1, y = 4T, z = 10T (T ∈ R) e a equação do plano contém essas retas.
4. (2,0) Considere os planos dados pelas equações x+ y + z = 3 e x+ y + z = 7. Determine a distância
entre esses dois planos.
2
Cálculo 3/3 Lista 2 (3).pdf
Lista 2
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Em cada um dos itens abaixo, esboce a curva polar indicada e encontre sua equação cartesiana.
a) r = 4 cos θ
b) r = 1− sen θ
c) r = 1 + cos(2θ)
2. Descreva os seguintes conjuntos no Rn:
a) Em R2: eixo Ox
b) Em R2: eixo Oy
c) Em R3: eixo Ox
d) Em R3: eixo Oy
e) Em R3: eixo Oz
f) Em R3: plano xOy
g) Em R3: plano xOz
h) Em R3: plano xOz
i) Em R2: 1o quadrante
j) Em R3: 1o octante
3. Determine o domı́nio de cada uma das seguintes funções e faça um esboço dele:
a) f(x, y) = 1
x2+y2
b) f(x, y) =
√
y − x
c) f(x, y) =
√
1− x+
√
y − 1
d) f(x, y) = e2018x+y
e) f(x, y) =
√
1− x2 − y2
f) f(x, y) = sen(x+ y2)
g) f(x, y) = ln(x+ y)
h) f(x, y) = 1
xy
i) f(x, y) = 1√
xy
4. Esboce algumas curvas de ńıvel das seguintes funções:
a) f(x, y) = x2 + y2
b) f(x, y) = 1
x2+y2
c) f(x, y) = 3x+ 4y
d) f(x, y) = ln(x+ y)
e) f(x, y) = 1
xy
f) f(x, y) = 4x2 + 9y2
5. (2/2004) Suponha que uma chapa de metal plana esteja situada em um plano Oxy de modo que, no
ponto (x, y), a temperatura T (x, y) seja inversamente proporcional à distância de (x, y) à origem O.
a) descreva as isotermas da chapa, isto é, as curvas de ńıvel da função T .
b) determine a equação da isoterma T (x, y) = 20 supondo que T (4, 3) = 40.
6. (2/2004) Suponha que a pressão P de um gás em um recipiente de volume V e temperatura T seja
dada por P = 10T/V , em que V e T estão nos intervalos 0 < V < 10 e 0 < T < 10.
a) Esboce as curvas isobáricas do gás, isto é, as curvas de ńıvel da função dada por P (V, T ).
b) Esboce os gráficos das funções V 7→ P (V, 5) e T 7→ P (5, T ).
c) Esboce o gráfico da função P .
d) Decida sobre a existência do limite lim
(V,T )→(0,0)
P (V, T ).
7. Classifique cada um dos conjuntos abaixo como aberto ou não aberto, fechado ou não fechado,
limitado ou ilimitado:
a) {(x, y) ∈ R2 : xy > 0}
b) {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1}
c) {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 < 9}
d) {(x, y) ∈ R2 : x+ y ≥ 0}
e) {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| < 1}
f) {(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y2 ≤ 1}
1
8. Calcule cada um dos limites abaixo ou verifique que ele não existe:
a) lim
(x,y)→(1,1)
4− xy
x2 + 2y2
b) lim
(x,y)→(1,2)
xy − y
x2 − x+ 2xy − 2y
c) lim
(x,y)→(0,0)
xy − y2√
x−√y
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy cos y
x2 + 3y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
f) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
g) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
h) lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
i) lim
(x,y)→(0,0)
x sen
(
1
y
)
j) lim
(x,y)→(0,0)
2xy2
x2 + y2
k) lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
`) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
9. Determine a maior região em que f é cont́ınua:
a) f(x, y) = sen(xy)
b) f(x, y, z) = e
√
z cos(x+y)
c) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1)
d) f(x, y, z) = x+ 2y + ln(z)
e) f(x, y) =
√
4x2 + 9y2 − 36
f) f(x, y, z) =
√
xyz
10. Mostre que a função dada por
f(x, y) =

xy2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
é cont́ınua em R2.
11. (2/2004) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido, no sentido positivo, por uma
corrente elétrica estacionária. Em um ponto P = (x, y) do plano Oxy, a corrente gera um campo
magnético B(x, y) que tem a direção e o sentido ilustrados na figura abaixo, em que o ćırculo ao
redor do fio representa uma linha de força do campo B. Pode-se mostrar que, no domı́nio D =
{(x, y) ∈ R2 : y > 0}, o campo é dado por B(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)), em que f(x, y) = arctg
(
x
y
)
.
a) Esboce as curvas equipotenciais do campo B, isto é, as curvas de
ńıvel da função f .
b) Calcule as derivadas parciais fx e fy. Em seguida verifique que a
intensidade de B é constante ao longo de ćırculos ao redor do fio.
c) Obtenha o vetor unitário U(x, y) que determina a direção e o sen-
tido do campo.
d) Verifique que para cada P = (x, y) ∈ D, tem-se que vetor B(x, y)
é ortogonal a P .
12. Mostre que a função dada por
f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
possui derivadas parciais fx(0, 0) e fy(0, 0), mas é descont́ınua em (0, 0).
13. Considere a função dada por
f(x, y) =

xy3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Mostre que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0).
2
Gabarito (com posśıveis erros)
1. a) (x− 2)2 + y2 = 4 (circunferência centrada em (2, 0) com raio 2).
b) x4 + y4 + 2x2y2
+ 2x2y + 2y3 − x2 = 0 (cardioide).
c) (x2 + y2)
3
2 = 2x2 (lemniscata).
2. .
a) {(x, 0) : x ∈ R}
b) {(0, y) : y ∈ R}
c) {(x, 0, 0) : x ∈ R}
d) {(0, y, 0) : y ∈ R}
e) {(0, 0, z) : z ∈ R}
f) {(x, y, 0) : x, y ∈ R}
g) {(x, 0, z) : x, z ∈ R}
h) {(0, y, z) : y, z ∈ R}
i) {(x, y) : x, y ∈ R com x, y > 0}
j) {(x, y, z) : x, y, z ∈ R com x, y, z > 0}
3. .
a) R2 \ {(0, 0)}
b) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x}
c) {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 1 e y ≥ 1}
d) R2
e) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}
f) R2
g) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ −x}
h) {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 e y 6= 0}
i) {(x, y) ∈ R2 : xy > 0}
4. .
a) Circunferências centradas na origem (se f(x, y) = k, então o raio da circunferência será
√
k).
b) Circunferências centradas na origem (se f(x, y) = k, então o raio da circunferência será 1√
k
).
c) Retas (se f(x, y) = k, então a reta passa pelos pontos (k
3
), 0) e (0, k
4
).
d) Retas (se f(x, y) = k, então a reta passa pelos pontos (ek, 0) e (0, ek).
e) Hipérboles (se f(x, y) = k, então xy = 1
k
).
f) Elipses centradas na origem (se f(x, y) = k, então a elipse possui eixos
√
k
2
e
√
k
3
).
5. T (x, y) = M√
x2+y2
a) Se T (x, y) = k, então a curva de ńıvel é dada por x2 + y2 =
(
M
k
)2
, isto é, são circunferências
centradas na origem de raio M
k
.
b) x2 + y2 = 100.
6. .
a) Se P (V, T ) = k, então a isobárica é dada por 10T − kV = 0, isto é, são retas que passam pela
origem.
b) Uma função pode ser escrita como P (V, 5) = f(V ) = 50
V
e a outra como P (5, T ) = g(T ) = 2T .
Os gráficos são uma hipérbole e uma reta, respectivamente.
c) Gráfico (utilizar resultados obtidos no item anterior).
d) O limite não existe (regra dos dois caminhos).
7. .
a) Aberto, ilimitado
b) Fechado, ilimitado
c) Não aberto, não fechado, limi-
tado
d) Fechado, ilimitado
e) Aberto, limitado
f) Fechado, limitado
3
8. .
a) 1
b) 2
5
c) 0
d) Não existe
e) Não existe
f) Não existe
g) 0
h) Não existe
i) 0
j) 0
k) 1
`) 0
9. .
a) R2
b) {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0}
c) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1}
d) {(x, y, z) ∈ R3 : z > 0}
e) {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 ≥ 36}
f) {(x, y, z) ∈ R3 : xyz ≥ 0}
10. Demonstração.
11. a) São semi-retas que partem do ponto (0, 0).
b) fx(x, y) =
y
x2+y2
e fy(x, y) = − xx2+y2 ; ||B(x, y)|| =
1√
x2+y2
.
c) U(x, y) = 1√
x2+y2
(y,−x)
(a) Verificação (basta mostrar que B(P ) · P = 0, para cada P ∈ D).
12. Demonstração (derivadas parciais pela definição)
13. Demonstração (derivadas parciais pela definição)
4
Cálculo 3/4 Lista 3 (2).pdf
Lista 3
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Calcule fx(x, y) e fy(x, y) em cada caso:
a) f(x, y) = e
x
y
b) f(x, y) =
√
1− cos2(x2 + y2)
c) f(x, y) = (x2 + y2) · sen
(
1
x2+y2
)
d) f(x, y) =
∫ 3x2−5y2
1
et
2
dt
2. Determine os pontos de continuidade da função dada por
f(x, y) =
{
x2 + y2, se x2 + y2 ≤ 1
0, se x2 + y2 > 1
3. Mostre que a função dada por f(x, y) = ln(x2 + y2) é diferenciável em todo seu domı́nio.
4. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função f no ponto P dados por:
a) z = f(x, y) = 4x2 − y2 + 2y, P = (−1, 2, 4)
b) z = f(x, y) =
√
xy, P = (1, 1, 1)
5. (2/2004) Sejam D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1} e f : D → R dada por f(x, y) =
√
1− x2 − y2, cujo
gráfico é o hemisfério superior da esfera de raio 1.
a) Verificar que as derivadas parciais de f são cont́ınuas em D, e portanto f é diferenciável em
todos os pontos do domı́nio.
b) Determinar a equação do plano que é tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)), em
que (x0, y0) é um ponto qualquer do domı́nio D.
6. Calcule df
dt
em cada caso:
a) f(x, y) =
√
x2 + y2, em que x(t) = 2t+ 1 e y(t) = t3.
b) f(x, y) = x3y2, em que x(t) = e−t e y(t) = t sen t
7. Calcule ∂z
∂s
e ∂z
∂t
em cada caso:
a) z = sen θ cosφ, em que θ = st2 e φ = s2t.
b) z = er cos θ, em que r = st e θ = s2 + t2
1
Gabarito (com posśıveis erros)
1. a) fx(x, y) =
e
x
y
y
e fy(x, y) = −
xe
x
y
y2
b) fx(x, y) =
2x sen(x2 + y2) cos(x2 + y2)√
1− cos(x2 + y2)
e fy(x, y) =
2y sen(x2 + y2) cos(x2 + y2)√
1− cos(x2 + y2)
c) fx(x, y) = 2x
(
sen
(
1
x2 + y2
)
− 1
x2 + y2
cos
(
1
x2 + y2
))
fy(x, y) = 2y
(
sen
(
1
x2 + y2
)
− 1
x2 + y2
cos
(
1
x2 + y2
))
d) fx(x, y) = 6xe
(3x2−5y2)2 e fy(x, y) = −10ye(3x
2−5y2)2
2. {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6= 1}
3. Demonstração (comparar com o enunciado da questão 5a)
4. a) 8x+ 2y + z = 6
b) x+ y − 2z = 0
5. a) Verificação
b) x0x+ y0y +
√
1− x20 − y20z = 1
6. a)
2x(t) + 3y(t)t2√
x(t)2 + y(t)2
=
3t5 + 4t+ 2√
t6 + 4t2 + 4t+ 1
b) −3e−tx(t)2y(t)2 + 2x(t)3y(t)(sen t+ t cos t) = e−3tt sen t(−3t sen t+ 2(sen t+ t cos t))
7. a) zs(s, t) = t
2 cos(st2) cos(s2t)− 2st sen(st2) sen(s2t)
zt(s, t) = 2st cos(st
2) cos(s2t)− s2 sen(st2) sen(s2t)
b) zs(s, t) = te
st cos(s2 + t2)− 2sest sen(s2 + t2)
zt(s, t) = se
st cos(s2 + t2)− 2test sen(s2 + t2)
2
Cálculo 3/5 Prova 1 (1).pdf
Prova 1
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
20/09/2018
Nota
Nome: Matŕıcula:
• É proibido o uso de calculadora.
• Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas.
1. (3,0) Considere a função dada por f(x, y) = ln(x2 + y2).
a) (0,5) Determine o domı́nio de f .
b) (0,5) Esboce curvas de ńıvel da função f (pelo menos três curvas).
1
c) (1,0) Calcule fx(x, y) e fy(x, y) para (x, y) ∈ Dom(f).
d) (1,0) Mostre que fxx(x, y) +fyy(x, y) = 0 e que fxy(x, y) = fyx(x, y) para todo (x, y) ∈ Dom(f).
2
2. (4,0) Considere a função dada por
f(x, y) =

xy2
x2 + y4
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
a) (1,0) A função f é cont́ınua? Justifique sua resposta.
b) (1,0) Calcule fx(0, 0) e que fy(0, 0).
3
c) (1,0) Calcule fx(x, y) e fy(x, y) para (x, y) 6= (0, 0).
d) (1,0) A função f é diferenciável? Justifique sua resposta.
4
3. (3,0) Seja φ : R→ R uma função derivável e considere f(x, y) = xφ(x2 − y2).
a) (0,5) Determine o domı́nio de f .
b) (1,0) Calcule fx(x, y) e fy(x, y).
c) (1,5) Seja a ∈ R. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f em (a, a, f(a, a)) passa pela
origem de R3.
5
Questão extra (1,0) Para quais valores de γ ∈ R a função dada por
f(x, y) =

(x+ y)γ
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
é cont́ınua?
6
Cálculo 3/6 Lista 4 (1).pdf
Lista 4
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Em cada um dos itens abaixo, determine
I) ∇f(x, y) ou ∇f(x, y, z) II) ∇f(P ) III) D~uf(P )
a) f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P = (1, 2), ~u: vetor unitário na direção de ~v = (5, 12).
b) f(x, y) = y lnx, P = (1,−3), ~u: vetor unitário na direção de ~v = (−4, 3).
c) f(x, y, z) = xey sen z, P = (1, 0, π/2), ~u: vetor unitário na direção de ~v = (1, 1, 1).
d) f(x, y, z) = xy + yz + xz, P = (1,−1, 3), ~u: vetor unitário na direção de ~v = (−8, 0, 15).
2. Determine as direções em que a derivada direcional da função f(x, y) = x2 + sen xy no ponto (1, 0)
tem valor 1.
3. Existe alguma direção ~u na qual a taxa de variação de f(x, y) = x2−3xy+ 4y2 em P = (1, 2) é igual
a 2018? Justifique.
4. Seja f(x, y) = x arctg
(
x
y
)
. Calcule D~uf(1, 1), em que ~u aponta na direção e sentido de máximo
crescimento de f , no ponto (1, 1).
5. Considere o vetor unitário ~u =
(√
3
2
, 1
2
)
e a função dada por
f(x, y) =

xy2
x2 + y4
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
a) Calcule ∇f(0, 0) e ∇f(0, 0) · ~u.
b) Determine a derivada direcional D~uf(0, 0).
c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique.
6. Localize e classifique os pontos cŕıticos das seguintes funções:
a) f(x, y) = x2 + y2
b) f(x, y) =
√
x2 + y2
c) f(x, y) = xy
d) f(x, y) = 2x3 + y3 − 3x2 − 3y
7. Encontre os pontos de máximo e de mı́nimo globais
e os valores máximo e mı́nimo globais das
seguintes funções nos domı́nios indicados:
a) f(x, y) = 2 + 2x+ 2y − x2 − y2, com D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 3}.
b) f(x, y) = 3x2 − 2xy + 3y2 + 2y + 5, com D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
8. (2/2004) Os alelos A,B e O determinam os tipos sanquineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O
(OO) e AB (AB). Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z são as proporções dos alelos A,B e
O em uma determinada população, então a proporção P de indiv́ıduos da população que possuem
dois alelos distintos é dada por P = 2(xy+xz+ yz). Observe que, como x+ y+ z = 1, tanto z como
P podem ser expressos como funções z = z(x, y) e P = P (x, y) das variáveis x e y.
a) Obtenha o domı́nio D da função P .
b) Calcule os pontos cŕıticos de P interiores ao domı́nio D.
1
c) Determine o valor máximo da função P sobre a fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos A, B e O que maximizam a
proporção P de indiv́ıduos com dois alelos distintos.
9. (2/2004) Seja D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0 e 12 − 6x − 8y > 0} a base do tetraedro T limitado
pelos planos coordenados e pelo plano z = 12− 6x− 8y, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda
A : D → R a função dada por A(x, y) = 2xy + 2(x + y)(12− 6x− 8y). Observe que, se (x, y) é um
ponto interior a D, então A(x, y) corresponde à área total das faces do paraleleṕıpedo inscrito em T
de lados x, y e z = 12− 6x− 8y.
a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de A(x, y).
b) Obtenha, caso existam, os pontos cŕıticos de A(x, y) que são inte-
riores ao domı́nio D.
c) Determine o valor máximo da função A em cada um dos três seg-
mentos de reta da fronteira de D.
d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de A no
domı́nio D.
10. (1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal
de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica
e com três lados retos. Observe que a área A da seção transversal é uma função A = A(x, θ) das
medidas x e θ indicadas na figura, e o domı́nio dessa função é o conjunto D = [0, 5]× [0, π/2]. Como
a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de x
e θ que maximizam esta área.
a) Obtenha a expressão da função A(x, θ).
b) Esboce e descreva a fronteira de D.
c) Determine o valor máximo de A(x, θ) sobre a fronteira de D.
d) Calcule os pontos cŕıticos de A(x, θ) que são interiores a D.
e) Determine os valores de x e θ que maximizam a área da seção.
transversal.
11. Determine os pontos da circunferência x2 + y2 = 1, em que a função dada por f(x, y) = xy tem um
máximo e um mı́nimo absolutos. Quais são os extremos de f?
12. Determine os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 36 que estão mais afastados do ponto (1, 2, 2) e que
estão mais próximos. Quais são as distâncias?
13. Determine as dimensões de uma caixa em forma de paraleleṕıpedo reto aberta no topo com volume
de 32 m2 e que requer a quantidade mı́nima de material para construção.
14. Sejam x, y e z quaisquer três números não negativos. O objetivo dessa questão é verificar que a
média geométrica (xyz)
1
3 é menor que ou igual à média aritimética (x+y+z)
3
desses números.
a) Verifique que
(
c
3
)3
é o valor máximo da função dada por f(x, y, z) = xyz, em que x, y, z > 0 e
x+ y + z = c (> 0).
b) Conclua que a média geométrica de três números positivos é sempre menor que ou igual à média
aritmética entre eles.
2
Gabarito (com posśıveis erros)
1. a) ∇(x, y) = (5y2 − 12xy, 10xy − 4x3),∇(P ) = (−4, 16), D~uf(P ) = 17213
b) ∇(x, y) = ( y
x
, lnx),∇(P ) = (−3, 0), D~uf(P ) = 125
c) ∇(x, y, z) = (ey sen z, xey sen z, xey cos z),∇(P ) = (1, 1, 0), D~uf(P ) = 2√3
d) ∇(x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y),∇(P ) = (2, 4, 0), D~uf(P ) = −1617
2. (0, 1) ou
(
4
5
,−3
5
)
3. Não, pois D~uf(x, y) ≤
√
185,∀(x, y).
4.
√(
π
4
+ 1
2
)2
+ 1
4
5. a) (0, 0) e (0, 0)
b)
√
3
6
c) Não. Verifique as hipóteses.
6. .
a) (0, 0) - ponto de mı́nimo local
b) (0, 0) - ponto de mı́nimo global
(não usar TDP2)
c) (0, 0) - ponto de sela
d) (0,−1) - p. máximo local, (0, 1) - p. sela,
(1,−1) - p. sela, (1, 1) - p. mı́nimo local
7. a) PMaxG: (1, 1), VMaxG: 4; PMinG: (3, 0) e (0, 3), VMinG: −1
b) (coordenadas polares ou multiplicadores de Lagrange para a fronteira) PMaxG:
(
−1
2
,
√
3
2
)
,
VMaxG: 8 + 3
√
3
2
; PMinG:
(
−1
8
,−3
8
)
, VMinG: 37
8
8. a) DomP = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 1}
b)
(
1
3
, 1
3
)
c) 1
2
d) x = y = z = 1
3
9. a) Ax(x, y) = 24− 24x− 26y e Ay(x, y) = 24− 26x− 32y
b) Não há.
c) 9, 12, 3
2
d) 12
10. a) A(x, θ) = x sen θ(10− 2x+ x cos θ)
b) ∂D = [0, 5]× {0} ∪ {5} × [0, π/2] ∪ [0, 5]× {π/2} ∪ {0} × [0, π/2]
c) 25
2
d)
(
10
3
, π
3
)
e) 25
√
3
3
11. PMaxG:
(√
2
2
,
√
2
2
)
e
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
)
, VMaxG: 1
2
; PMinG:
(
−
√
2
2
,
√
2
2
)
e
(√
2
2
,−
√
2
2
)
, VMinG: −1
2
12. Mais afastado: (−2,−4,−4), com distância 3; Mais próximo: (2, 4, 4), com distância 9.
13. 4× 4× 2 (em metros)
14. Verificação (Mult Lagrange)
3
Cálculo 3/7 Teste 2 (2).pdf
Teste 2
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
08/10/2018
Nota
Nome: Matŕıcula:
• É proibido o uso de calculadora.
• Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas.
1. (4,0) Considere que T (x, y) = senx + x2018y + 3x + y3 representa uma distribuição de temperatura
no plano e seja P = (0, 1). Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a
direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções
(isto é, determine D~uf(P ))?
1
2. (6,0) Considere que T (x, y) = 4 + 2x + 3y − x2 − y3 represente a distribuição de temperatura no
plano e seja D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ x e x + y ≤ 4}. Determine os pontos de D em que a
temperatura é máxima e os pontos de D em que a temperatura é mı́nima. Determine, também, as
temperaturas máxima e mı́nima em D.
2
Cálculo 3/8 Lista 5 (1).pdf
Lista 5
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Calcule as seguintes integrais duplas:
a)
∫∫
D
(x− y) dA, em que D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 e x ≥ 0}.
b)
∫∫
D
xy dA, em que D é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e (1, 0).
c)
∫∫
D
sen(x3) dA, em que D = {(x, y) ∈ R2 : √y ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1}
d)
∫
D
e−y
2
dA, em que D é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e (0, 1).
e)
∫∫
D
(x+ y) dA, em que D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.
f)
∫ 1
0
∫ 1
x
ex/y dy dx.
g)
∫ 1
0
∫ 1
x
3y4 cos(xy2) dy dx.
h)
∫ 1
0
∫ √x
x
ey
y
dy dx.
i)
∫ 2
0
∫ 1
y/2
yex
3
dx dy.
2. Calcule os volumes dos seguintes sólidos:
a) W = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x+ 2y}.
b) W = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1− x2 − y2}.
c) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2}.
3. (1/2004) Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integração pode facilitar muito
os cálculos. Por exemplo, considere a região D limitada pelas curvas y + 1 = 0, y2 + x − 4 = 0 e
x+
√
4− y2 = 0, como ilustrado abaixo.
a) Identifique cada uma das três curvas e determine as coordenadas
dos pontos A,B,C e D indicados na figura ao lado.
b) A região D pode ser dividida em quatro regiões do tipo I. Descreva
cada uma dessas regiões.
c) Use o item anterior para calcular da área de D, integrando itera-
damente primeiro na variável y.
d) Descreva a região D como uma região do tipo II.
e) Use o item anterior para calcular da área de D, integrando itera-
damente primeiro na variável x.
1
4. (1/2015) Considere a chapa D = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4} com densidade dada por
δ(x,
y) =
√
yex
√
y e o problema de determinar a coordenada ȳ do centro de massa da chapa.
a) Esboce no plano a chapa D, indicando as curvas que limitam esta região.
b) Escreva o conjunto D de outra forma.
c) Calcule a massa m =
∫
D
δ(x, y) dA da chapa.
d) Calcule o momento em torno do eixo Ox Mx =
∫
D
yδ(x, y) dA.
e) Verifique que 3 < ȳ < 4. (Lembre que: ȳ = Mx
m
e 2 < e < 3)
5. (1/2015) Seja D ⊆ R2 a chapa triangular de vértices nos pontos (−1, 0), (0, 3) e (1, 0), conforme a
figura, e com densidade constante δ0. Indique por C = (x̄, ȳ) o centro de massa da chapa.
a) Obtenha as equações das retas que passam por (−1, 0) e (0, 3) e
por (0, 3) e (1, 0).
b) Descreva D como uma união D1∪D2, em que D1 e D2 são domı́nios
do tipo I.
c) Descreva D como uma região do tipo II.
d) Calcule os momentos Mx e My de D em relação aos eixo Ox e Oy,
respectivamente.
e) Determine C.
6. (1/2004) Suponha que uma chapa D ⊆ R2 seja limitada pela circunferência x2 + y2 = 4y e tenha
densidade δ(x, y) diretamente proporcional à distância do ponto (x, y) a origem O = (0, 0) e indique
por K a constante de proporcionalidade.
a) Esboce a circunferência x2 + y2 = 4y, indicando os pontos onde ela cruza os eixos coordenados.
b) Escreva D em coordenadas polares.
c) Calcule a massa da chapa usando o item anterior e a substituição u = cos θ.
d) Determine os pontos de D nos quais a densidade é igual à densidade média da chapa.
2
Gabarito (com posśıveis erros)
1. .
a) 2
3
b) 0
c) 1−cos 1
3
d) 1−e
−1
2
e) 16
15
f) e−1
2
g) 1− cos 1
h) e− 2
i) 2(e−1)
3
2. .
a) 3
2
b) π
2
c) π
3. a) A = (−
√
3,−1), B = (−2, 0), C = (4, 0) e D = (3,−1)
b) {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ −
√
3 e −
√
4− x2 ≤ y ≤
√
4− x2},
{(x, y) ∈ R2;−
√
3 ≤ x ≤ 0 e − 1 ≤ y ≤
√
4− x2},
{(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3 e − 1 ≤ y ≤
√
4− x},
{(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 4 e −
√
4− x ≤ y ≤
√
4− x}
c) 4π
3
+
√
3
2
+ 9
d) {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ y ≤ 2 e −
√
4− y2 ≤ x ≤ 4− y2},
e) 4π
3
+
√
3
2
+ 9
4. a) Esboço.
b) D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ √y}.
c) m = e4 − 5
d) My = 3e
4 − 7
e) Verificação.
5. a) y = 3x+ 3 e y = −3x+ 3, respectivamente.
b) D1 = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 0 e 0 ≤ y ≤ 3x+ 3} e
D2 = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ −3x+ 3}.
c) D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 3 e y
3
− 1 ≤ x ≤ −y
3
+ 1}
d) Mx = 3δ0 e My = 0
e) x̄ = 0 e ȳ = 1, isto é, C = (0, 1).
6. a) *
b) *
c) *
d) *
3
Cálculo 3/9 Lista 6 (2).pdf
Lista 6
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Faça a mudança de variáveis indicada para calcular as seguintes integrais duplas:
a)
∫∫
D
cos(x− y)
sen(x+ y)
dA, em que D é o trapézio descrito por 1 ≤ x + y ≤ 2, x ≤ 0 e y ≤ 0; use
u = x− y e v = x+ y.
b)
∫∫
D
1 dA, em que D é a região delimitada pela elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, com a, b > 0; use u = x
a
e
v = y
b
. (note que isso fornece a área da região delimitada pela elipse)
2. Calcule as seguintes integrais triplas:
a)
∫∫∫
E
z dV , em que E é o tetraedro limitado por x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y + z = 1.
b)
∫∫∫
E
z dV , em que E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2
2
≤
√
8− x2 − y2}.
c)
∫∫∫
E
√
x2 + y2 dV , em que E é a região que está dentro cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do plano
z = 4 e acima do paraboloide z = 1− x2 − y2.
d)
∫∫∫
E
e(x
2+y2+z2)3/2 dV , em que E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
e)
∫∫∫
E
√
x2 + y2 + z2 dV , em que E é o sólido limitado inferiormente pelo cone z =
√
x2 + y2 e
superiormente pela esfera x2 + y2 + (z − 1
2
)2 = 1
4
.
3. Calcule os volumes dos seguintes sólidos:
a) Região limitada pelos paraboloides z = 2(x2 + y2) e z = 9− x2 − y2.
b) Região limitada pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pela esfera x2 + y2 + z2 = 4
b) Parte da esfera ρ ≤ a que está entre os cones φ = π
6
e φ = π
3
.
4. (1/2015) Considere a Terra esférica de raio R (em metros) e denote por E a região da atmos-
fera situada entre o ńıvel do solo e um altura de h0 (em metros). Suponha ainda que a densi-
dade nesta região, em kg/m3 e a uma altura de h (em metros), possa ser aproximada pela função
δ(h) = a− b(R+ h), em que a e b são constantes. Sabendo que a massa M de uma região do espaço
E com densidade δ(x, y, z) é dada por M =
∫∫∫
E
δ(x, y, z) dV , responda aos itens a seguir.
a) Expresse a região E em coordenadas cartesianas.
b) Expresse a região Q = ϕ(E) em coordenadas esféricas, em que ϕ é
a mudança de variáveis.
c) Calcule a massa M de Q em termos das constantes a, b, R e h0.
1
Gabarito (com posśıveis erros)
1. a) 1
b) πab
2. a) 1
24
b) 28π
3
c) 12π
5
d) 4π(e−1)
3
e) π(8−
√
2)
80
3. a) 27π
2
b) 8π(8−3
√
3)
3
c) πa
3(
√
3−1)
3
4. a) E = {(x, y, z) ∈ R3 : R ≤ x2 + y2 + z2 ≤ (R + h0)2}
b) Q = {(ρ, θ, φ) ∈ R3 : R ≤ ρ2 ≤ (R + h0)2, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ φ ≤ π}
c) π
3
[(R + h0)
3(4a− 3b(R + h0))−R3(4a− 3bR)]
2
Cálculo 3/10 Prova 2 (1).pdf
Prova 2
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
29/10/2018
Nota
Nome: Matŕıcula:
• É proibido o uso de calculadora.
• Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas.
1. (1,0) Considere o problema de encontrar pontos de máximo e mı́nimo globais de uma função dada
por f(x, y, z) de três variáveis com restrição dada por g(x, y, z) = k, em que k ∈ R. Assuma que ∇f
e ∇g existem, que ∇g é não nulo e que f assume máximo e mı́nimo globais na restrição. Escolha
apenas um dos itens a seguir e responda:
a) descreva, com detalhes, um método eficiente para resolver esse problema.
b) enuncie e resolva um problema nessas condições a sua escolha.
1
2. (3,0) Responda os seguintes itens sobre integrais duplas.
a) (1,5) Calcule
∫ √π
0
∫ π
y2
√
x cos(y
√
x) dx dy.
2
b) (1,5) Calcule a área delimitada pela elipse de equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
em que a e b > 0. (sugestão: use a mudança u = x
a
e v = y
b
)
3
3. (3,0) Seja D ⊆ R2 a chapa triangular de vértices nos pontos (−1, 0), (0, 2) e (1, 0) e com densidade
constante dada por δ(x, y) = δ0.
a) (0,5) Determine a massa dessa chapa, isto é, calcule M =
∫∫
D
δ(x, y) dA.
b) (1,0) Determine o momento em relação aos eixo O y, isto é, calcule My =
∫∫
D
xδ(x, y) dA.
Calcule também x̄ = My
M
.
4
b) (cont.)
c) (1,5) Determine o momento em relação aos eixo O x, isto é, calcule Mx =
∫∫
D
yδ(x, y) dA.
Calcule também ȳ = Mx
M
.
5
4. (3,0) Responda os seguintes itens sobre integrais triplas.
a) (1,5) Calcule
∫∫∫
E
x dV , em que E é o sólido que está delimitado pelos cilindros x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 = 4, pelo plano O xy e pelo paraboloide z = 5− 2x2 − 2y2.
6
b) (1,5) Mostre que o volume de uma esfera centrada na origem e raio R > 0 é dado por 4πR
3
3
.
7
Questão extra (1,0) A integral dupla ∫ 1
0
∫ 1
0
1
1− xy
dx dy
é uma integral imprópria e pode ser definida como o limite da integral dupla da função 1
1−xy no retângulo
[0, t]× [0, t] quando t→ 1−. Mostre que essa integral é igual a π2
6
.
8
Cálculo 3/11 Lista 7 (1).pdf
Lista 7
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Calcule o trabalho
∫
C
~F · dγ realizado pelo campo de força ~F numa part́ıcula que se move ao longo
da curva C, em que:
a) ~F (x, y) = (x2,−xy). C é parametrizada por γ(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ π
2
.
b) ~F (x, y) = (x3y, x−y). C é o arco da parábola y = x2 que tem como extremos os pontos (−2, 4)
e (1, 1).
c) ~F (x, y) = (y2, x). C é o segmento de reta que liga os pontos (−5,−3) e (0, 2).
d) ~F (x, y) = (y2, x). C é o arco da parábola x = 4−y2 que tem como extremos os pontos (−5,−3)
e (0, 2).
e) ~F (x, y, z) = (xy, yz, xz). C é parametrizada por γ(t) = (t, t2, t3), 0 ≤ t ≤ 1.
f) ~F (x, y, z) = (y, z, x). C = C1 ∪ C2, em que C1 é o segmento de reta que liga os pontos (2, 0, 0)
e (3, 4, 5)
e C2 é o segmento de reta que liga os pontos (3, 4, 5) e (3, 4, 0).
2. Verifique que ~F (x, y) é conservativo, determine uma função potencial ϕ tal que ~F = ∇ϕ e calcule∫
C
~F · dγ em cada um dos itens a seguir.
a) ~F (x, y) = (3 + 2xy, x2 − 3y2) e C é parametrizada por γ(t) = (et cos t, et sen t), 0 ≤ t ≤ π.
b) ~F (x, y) = (2xy3, 1 + 3x2y2) e C é uma curva que liga os pontos (1, 4) e (3, 1).
c) ~F (x, y) = (ey, xey) e C é uma curva que liga os pontos (1, 0) e (−1, 0).
3. Calcule
∮
C
yx2 dx+x dy, em que C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2) percorrido no sentido
anti-horário:
a) usando a definição de integral de linha.
b) usando o Teorema de Green.
4. Calcule:
a)
∮
C
x4 dx+ xy dy, em que C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1) percorrido no sentido
anti-horário.
b)
∮
C
(3y− esenx) dx+ (7x+
√
y4 + 1) dy, em que C é a circunferência x2 + y2 = 9 percorrida uma
vez no sentido anti-horário.
c)
∮
C
y2 dx + 3xy dy, em que C é a fronteira da região R contida no semiplano superior entre as
circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4 percorrida no sentido anti-horário.
d) O trabalho realizado pelo campo de força ~F (x, y) = (ex − y3, cos y + x3) numa part́ıcula que
percorre uma vez o ćırculo x2 + y2 = 1 no sentido horário.
5. Uma aplicação da integral de linha é no cálculo de áreas. Utilizando o Teorema de Green, mos-
tre que se C é uma curva plana, simples e fechada que delimita uma região D do plano, então
A(D) = 1
2
∮
C
−y dx+ x dy.
1
6. (1/2009) Dado a > 0, a curva x3 + y3 = 3axy é conhecida como folium de Descartes. Seja D a
região delimitada por essa curva (ilustrada abaixo). É posśıvel mostrar que que γ : [0,∞)→ R com
γ(t) = (x(t), y(t)), em que x(t) = 3at
1+t3
e y(t) = tx(t) é uma parametrização para a fronteira ∂D.
a) Simplifique a expressão −y(t)x′(t) + x(t)y′(t), usando que y(t) = tx(t).
b) Calcule a área de D.
7. Considere o campo ~F (x, y) =
(
− y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
.
a) Verifique que
∮
C
~F · dγ = 0, para qualquer curva C fechada, simples, suave, positivamente
orientada e que não envolve a origem.
b) Verifique que
∮
C
~F · dγ = 2π, para qualquer curva C fechada, simples, suave, positivamente
orientada e que envolve a origem.
2
Gabarito (com posśıveis erros)
1. a) −2
3
b) 3
c) −5
6
d) 245
6
e) 27
28
f) 19
2
2. a) ϕ(x, y) = 3x2 + x2y − y3 + C (C ∈ R); e3π + 1
b) ϕ(x, y) = x2y3 + y + C (C ∈ R); −58
c) ϕ(x, y) = xey + C (C ∈ R); −2
3. a) 1
2
b) 1
2
4. a) 1
6
b) 36π
c) 14
3
d) −3π
2
5. Demonstração.
6. a) x(t)2
b) 3a
2
2
7. a) Verificação.
b) Verificação.
3
Cálculo 3/12 Teste 3 (1).pdf
Teste 3
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
12/11/2018
Nota
Nome: Matŕıcula:
• É proibido o uso de calculadora.
• Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas.
1. (5,0) Calcule
∫
C
~F · dγ, em que ~F (x, y) =
(
2x
x2 + y2
,
2y
x2 + y2
)
e C é uma curva contida no primeiro
quadrante e suave que liga os pontos (1, 1) e (2, 3).
1
2. (5,0) Calcule
∫
C
~F · dγ, em que ~F (x, y) = (xy, y2 − x2). C = C1 ∪ C2, em que C1 é o segmento de
reta que liga os pontos (1, 2) e (3, 4) e C2 é o arco da parábola y = x
2 − 5 que tem como extremos
os pontos (3, 4) e (−1,−4).
2
Cálculo 3/14 Lista 8 (1).pdf
Lista 8
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Encontre uma parametrização para o cilindro S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 e 0 ≤ z ≤ 1}.
2. Calcule a área das seguintes superf́ıcies:
a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 e z ≤ 1}.
b) S é parametrizada por σ(u, v) = (u, u cos v, u sen v), com 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2π.
c) S é a parte do paraboloide hiperólico z = y2 − x2 que se está entre os cilindros x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 = 2.
d) S é a parte da superf́ıcie dada por z = y2 − x2 que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1.
3. Calcule
∫∫
S
f dS, em que:
a) f(x, y, z) = x2 e S é a esfera x2 + y2 + z2 = 1.
b) f(x, y, z) = xz e S é a parte do plano x+ y + z = 1 no primeiro octante.
c) f(x, y, z) = y2z2 e S é a parte do cone z =
√
x2 + y2, em que 1 ≤ z ≤ 2.
d) f(x, y, z) = x + y + z e S parametrizada por σ(u, v) = (u, v, u + 2v), em que 0 ≤ u ≤ 1 e
0 ≤ v ≤ 1.
4. Calcule o fluxo de ~F através de S, isto é,
∫∫
S
~F · ~n dS, em que:
a) ~F (x, y, z) = (0, 0, z); S é a esfera centrada na origem e raio R com orientação para fora.
b) ~F (x, y, z) = (x, y, z); S é a parte do paraboloide z = 1− x2 − y2 acima do plano xOy.
5. Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de ~F através de S, em que:
a) ~F (x, y, z) = (2x, 3y, z2); S é o cubo unitário [0, 1]3.
b) ~F (x, y, z) = (x3, y3, z2); S é a superf́ıcie da região W envolvida pelo cilindro x2 + y2 = 9 e os
planos z = 0 e z = 2.
c) ~F (x, y, z) = (x3, y3, z3); S é a superf́ıcie do sólido W limitado pelo hemisfério norte da esfera
x2 + y2 + z2 = R2 e pelo o plano xOy.
d) ~F (x, y, z) = (cos +xy2, xe−z, sen y+x2z); S é a superf́ıcie do sólido W limitado pelo paraboloide
z = x2 + y2 e pelo o plano z = 4.
6. Verifique o Teorema de Stokes para ~F (x, y, z) = (2z, 3x, 5y) e S a parte do paraboloide z = 4−x2−y2,
com z ≥ 0 , com orientação e C é a fronteira de S orientada positivamente. Compare o resultado
com
∫∫
S
rot ~F · ~n dS, em que S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 e z = 0}.
7. Calcule
∮
C
~F dγ, em que ~F (x, y, z) = (−y2, x, z2) e C é a curva de interseção do plano x+ y+ z = 5
com o cilindro x2 + y2 = 1.
8. Calcule
∫∫
S
rot ~F dS, em que ~F (x, y, z) = (x,−z, y) e S é a parte do plano x + z = 1 dentro do
cilindro x2 + y2 = 1 com orientação positiva.
1
Gabarito (com posśıveis erros)
1. σ(u, v) = (cosu, senu, v), com 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 1.
2. a) π(5
√
5−1)
6
b) 4π
√
2
c) π(27−5
√
5)
6
d) π(5
√
5−1)
6
3. a) 4π
3
b)
√
3
24
c) 21π
√
2
2
d) 5
√
6
2
4. a) 4πR
3
3
b) 3π
2
5. a) 6
b) 279π
c) 6πR
5
5
d) 32π
3
6. 12π
7. π
8. 2π
2
Cálculo 3/15 Prova 3 (1).pdf
Prova 3
Cálculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
29/11/2018
Nota
Nome: Matŕıcula:
• O uso de calculadora simples está permitido a partir de 17h30.
• Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas.
1. (2,5) Calcule
∫
C
~F dγ, em que ~F (x, y) = (x2 + y2, y2018esen y + 2xy + x) e C é a parte da curva
y = 1− x2, com x ∈ [−1, 1], de maneira que (1, 0) seja seu ponto inicial.
1
2. (2,5) Utilizando integral de superf́ıcie, mostre que a área lateral de um cilindro circular reto de raio
R e altura H é 2πRH. (Sugestão: considere o cilindro x2 + y2 = R2, com z variando entre 0 e H)
2
3. (2,5) Calcule
∫∫
S
~F dS, em que ~F (x, y, z) = (2xy2 + z, xex− cos z, sen y+ 2x2z) e S é a superf́ıcie do
sólido W limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 4− x2 − y2 e (orientada para fora).
3
4. (2,5) Calcule
∮
C
~F dγ, em que ~F (x, y, z) = (x2z, xy2, z2) e C é a curva de interseção do plano
x+ y + z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 9.
4
Questão extra (1,0) Demonstre o Teorema de Green, assumindo o Teorema de Stokes.
5
Rascunho
6

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