Cálculo 3 Bernardini

Cálculo 3 Bernardini

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Lista 1
Ca\u301lculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Sejam ~u = (5,\u22121, 1), ~v = (0, 1, 1) e ~w = (\u221215, 3,\u22123). Verifique se, dois a dois, os vetores sa\u303o
paralelos ou ortogonais.
2. Sejam ~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) \u2208 R3. Considere o vetor ~u × ~v, conforme definido em sala,
isto e\u301, ~u× ~v = (u2v3 \u2212 u3v2, u3v1 \u2212 u1v3, u1v2 \u2212 u2v1). Mostre que ~u× ~v \u22a5 ~u e ~u× ~v \u22a5 ~v.
3. Encontre um vetor ~u unita\u301rio que seja ortogonal aos vetores ~v = (2, 3,\u22121) e ~w = (2,\u22124, 6).
4. O ponto P = (\u22123,m, n) pertence a\u300 reta que passa pelos pontos (1,\u22122, 4) e (\u22121,\u22123, 1). Determine
m e n.
5. Encontre a equac\u327a\u303o do plano que passa por (1,\u22121, 3) e e\u301 paralelo ao plano de equac\u327a\u303o 3x+y+z = 7.
6. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 2, 3) e (3, 2, 1) e e\u301 perpendicular ao plano de equac\u327a\u303o
4x\u2212 y + 2z = 7.
7. Encontre uma parametrizac\u327a\u303o para a reta dada pela intersec\u327a\u303o dos planos x \u2212 2y + 4z = 2 e
x+ y \u2212 2z = 5.
8. Encontre o ponto de intersec\u327a\u303o das retas r : x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3 e s : x = T + 2, y =
2T + 4, z = \u22124T \u2212 1 e o plano determinado por essas retas.
9. Sejam P = (x0, y0, z0) \u2208 R3 e \u3c0 : Ax + By + Cz + D = 0, em que A2 + B2 + C2 6= 0. Mostre que a
dista\u302ncia entre P e \u3c0 e\u301 dada por
|Ax0 +By0 + Cz0 +D|\u221a
A2 +B2 + C2
.
10. Determine a equac\u327a\u303o da reta tangente a\u300 trajeto\u301ria da func\u327a\u303o dada, no ponto dado.
a) r(t) = (cos t, sen t, t) e r(\u3c0/3).
b) r(t) = (t2, t) e r(1).
11. Seja F(t) uma forc\u327a dependendo do tempo t, que atua sobre uma part\u301\u131cula entre os instantes t1 e t2.
Supondo F integra\u301vel em [t1, t2], o vetor
I =
\u222b t2
t1
F(t)dt
denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de F no intervalo de
tempo dado.
a) F(t) = ti + j + t2k, t1 = 0 e t2 = 2.
b) F(t) =
1
t+ 1
i + t2j + k, t1 = 0 e t2 = 1.
12. Mostre que a curva com equac\u327o\u303es parame\u301tricas x = t cos t, y = t sen t, z = t esta\u301 no cone z2 = x2+y2.
Use esse fato para esboc\u327ar a curva.
13. Verifique que
a) a curva polar r = a e\u301 um circunfere\u302ncia (centrada na origem e de raio |a|).
b) a curva polar \u3b8 = b e\u301 uma reta (de inclinac\u327a\u303o tg(b)).
c) a curva polar r = 2 cos \u3b8 e\u301 uma circunfere\u302ncia (centrada em (1, 0) e de raio 1).
1
Gabarito (com poss\u301\u131veis erros)
1. ~u \u22a5 ~v; ~u \u2016 ~w; ~v \u22a5 ~w
2. Verificac\u327a\u303o.
3. ~u = 1\u221a
3
(1,\u22121,\u22121) ou ~u = 1\u221a
3
(\u22121, 1, 1)
4. m = \u22124 e n = \u22122
5. 3x+ y + z = 5
6. x+ 6y + z = 16
7. r(t) = (4, 2 + 2t, t), t \u2208 R
8. P = (1, 2, 3); \u3c0 : 20x\u2212 12y \u2212 z + 7 = 0
9. Demonstrac\u327a\u303o.
10. a) r :
(
1\u2212
\u221a
3t
2
,
\u221a
3+t
2
, \u3c0
3
+ t
)
b) r : (1 + 2t, 1 + t)
11. a)
(
2, 2, 8
3
)
b)
(
ln 2, 1
3
, 1
)
12. Demonstrac\u327a\u303o.
13. Verificac\u327a\u303o.
2
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Teste 1
Ca\u301lculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
21/08/2018
Nota
Nome: Matr\u301\u131cula:
\u2022 E\u301 proibido o uso de calculadora.
\u2022 Respostas sem justificativa na\u303o sera\u303o consideradas, mesmo que estejam corretas.
1. (3,0) Encontre a equac\u327a\u303o do plano que passa pelos pontos (1, 4, 5), (2, 2, 6) e (\u22121, 5, 6).
2. (2,0) Encontre uma parametrizac\u327a\u303o para a reta dada pela intersec\u327a\u303o entre os planos x+ 2y+ z = 7 e
3x + 6y \u2212 z = 9.
1
3. (3,0) Encontre o ponto de intersec\u327a\u303o entre retas r : x = \u2212t + 3, y = t + 2, z = 5t (t \u2208 R) e
s : x = 2T \u2212 1, y = 4T, z = 10T (T \u2208 R) e a equac\u327a\u303o do plano conte\u301m essas retas.
4. (2,0) Considere os planos dados pelas equac\u327o\u303es x+ y + z = 3 e x+ y + z = 7. Determine a dista\u302ncia
entre esses dois planos.
2
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Lista 2
Ca\u301lculo 3 - Turma BB (2/2018)
Professor: Matheus Bernardini
1. Em cada um dos itens abaixo, esboce a curva polar indicada e encontre sua equac\u327a\u303o cartesiana.
a) r = 4 cos \u3b8
b) r = 1\u2212 sen \u3b8
c) r = 1 + cos(2\u3b8)
2. Descreva os seguintes conjuntos no Rn:
a) Em R2: eixo Ox
b) Em R2: eixo Oy
c) Em R3: eixo Ox
d) Em R3: eixo Oy
e) Em R3: eixo Oz
f) Em R3: plano xOy
g) Em R3: plano xOz
h) Em R3: plano xOz
i) Em R2: 1o quadrante
j) Em R3: 1o octante
3. Determine o dom\u131\u301nio de cada uma das seguintes func\u327o\u303es e fac\u327a um esboc\u327o dele:
a) f(x, y) = 1
x2+y2
b) f(x, y) =
\u221a
y \u2212 x
c) f(x, y) =
\u221a
1\u2212 x+
\u221a
y \u2212 1
d) f(x, y) = e2018x+y
e) f(x, y) =
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2
f) f(x, y) = sen(x+ y2)
g) f(x, y) = ln(x+ y)
h) f(x, y) = 1
xy
i) f(x, y) = 1\u221a
xy
4. Esboce algumas curvas de n\u301\u131vel das seguintes func\u327o\u303es:
a) f(x, y) = x2 + y2
b) f(x, y) = 1
x2+y2
c) f(x, y) = 3x+ 4y
d) f(x, y) = ln(x+ y)
e) f(x, y) = 1
xy
f) f(x, y) = 4x2 + 9y2
5. (2/2004) Suponha que uma chapa de metal plana esteja situada em um plano Oxy de modo que, no
ponto (x, y), a temperatura T (x, y) seja inversamente proporcional a\u300 dista\u302ncia de (x, y) a\u300 origem O.
a) descreva as isotermas da chapa, isto e\u301, as curvas de n\u301\u131vel da func\u327a\u303o T .
b) determine a equac\u327a\u303o da isoterma T (x, y) = 20 supondo que T (4, 3) = 40.
6. (2/2004) Suponha que a pressa\u303o P de um ga\u301s em um recipiente de volume V e temperatura T seja
dada por P = 10T/V , em que V e T esta\u303o nos intervalos 0 < V < 10 e 0 < T < 10.
a) Esboce as curvas isoba\u301ricas do ga\u301s, isto e\u301, as curvas de n\u301\u131vel da func\u327a\u303o dada por P (V, T ).
b) Esboce os gra\u301ficos das func\u327o\u303es V 7\u2192 P (V, 5) e T 7\u2192 P (5, T ).
c) Esboce o gra\u301fico da func\u327a\u303o P .
d) Decida sobre a existe\u302ncia do limite lim
(V,T )\u2192(0,0)
P (V, T ).
7. Classifique cada um dos conjuntos abaixo como aberto ou na\u303o aberto, fechado ou na\u303o fechado,
limitado ou ilimitado:
a) {(x, y) \u2208 R2 : xy > 0}
b) {(x, y) \u2208 R2 : |x| \u2264 1}
c) {(x, y) \u2208 R2 : 1 \u2264 x2 + y2 < 9}
d) {(x, y) \u2208 R2 : x+ y \u2265 0}
e) {(x, y) \u2208 R2 : |x|+ |y| < 1}
f) {(x, y) \u2208 R2 : x2 + 4y2 \u2264 1}
1
8. Calcule cada um dos limites abaixo ou verifique que ele na\u303o existe:
a) lim
(x,y)\u2192(1,1)
4\u2212 xy
x2 + 2y2
b) lim
(x,y)\u2192(1,2)
xy \u2212 y
x2 \u2212 x+ 2xy \u2212 2y
c) lim
(x,y)\u2192(0,0)
xy \u2212 y2\u221a
x\u2212\u221ay
d) lim
(x,y)\u2192(0,0)
xy cos y
x2 + 3y2
e) lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2
x2 + y2
f) lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2 \u2212 y2
x2 + y2
g) lim
(x,y)\u2192(0,0)
xy\u221a
x2 + y2
h) lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2y
x4 + y2
i) lim
(x,y)\u2192(0,0)
x sen
(
1
y
)
j) lim
(x,y)\u2192(0,0)
2xy2
x2 + y2
k) lim
(x,y)\u2192(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
`) lim
(x,y)\u2192(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
9. Determine a maior regia\u303o em que f e\u301 cont\u301\u131nua:
a) f(x, y) = sen(xy)
b) f(x, y, z) = e
\u221a
z cos(x+y)
c) f(x, y) = ln(x2 + y2 \u2212 1)
d) f(x, y, z) = x+ 2y + ln(z)
e) f(x, y) =
\u221a
4x2 + 9y2 \u2212 36
f) f(x, y, z) =
\u221a
xyz
10. Mostre que a func\u327a\u303o dada por
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
xy2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
e\u301 cont\u301\u131nua em R2.
11. (2/2004) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido, no sentido positivo, por uma
corrente ele\u301trica estaciona\u301ria. Em um ponto P = (x, y) do plano Oxy, a corrente gera um campo
magne\u301tico B(x, y) que tem a direc\u327a\u303o e o sentido ilustrados na figura abaixo, em que o c\u301\u131rculo ao
redor do fio representa uma linha de forc\u327a do campo B. Pode-se mostrar que, no dom\u131\u301nio D =
{(x, y) \u2208 R2 : y > 0}, o campo e\u301 dado por B(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)), em que f(x, y) = arctg
(
x
y
)
.
a) Esboce as curvas equipotenciais do campo B, isto e\u301, as curvas de
n\u301\u131vel da func\u327a\u303o f .
b) Calcule as derivadas parciais fx e fy. Em seguida verifique que a
intensidade de B e\u301 constante ao longo de c\u301\u131rculos ao redor do fio.
c) Obtenha o vetor unita\u301rio U(x, y) que determina a direc\u327a\u303o e o sen-
tido do campo.
d) Verifique que para cada P = (x, y) \u2208 D, tem-se que vetor B(x, y)
e\u301 ortogonal a P .
12. Mostre que a func\u327a\u303o dada por
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
possui derivadas parciais fx(0, 0) e fy(0, 0), mas e\u301 descont\u301\u131nua em (0, 0).
13. Considere a func\u327a\u303o dada por
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
xy3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Mostre que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0).
2
Gabarito (com poss\u301\u131veis erros)
1. a) (x\u2212 2)2 + y2 = 4 (circunfere\u302ncia centrada em (2, 0) com raio 2).
b) x4 + y4 + 2x2y2