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Cálculo 3/1 Lista 1 (3).pdf Lista 1 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 1. Sejam ~u = (5,−1, 1), ~v = (0, 1, 1) e ~w = (−15, 3,−3). Verifique se, dois a dois, os vetores são paralelos ou ortogonais. 2. Sejam ~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) ∈ R3. Considere o vetor ~u × ~v, conforme definido em sala, isto é, ~u× ~v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1). Mostre que ~u× ~v ⊥ ~u e ~u× ~v ⊥ ~v. 3. Encontre um vetor ~u unitário que seja ortogonal aos vetores ~v = (2, 3,−1) e ~w = (2,−4, 6). 4. O ponto P = (−3,m, n) pertence à reta que passa pelos pontos (1,−2, 4) e (−1,−3, 1). Determine m e n. 5. Encontre a equação do plano que passa por (1,−1, 3) e é paralelo ao plano de equação 3x+y+z = 7. 6. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 2, 3) e (3, 2, 1) e é perpendicular ao plano de equação 4x− y + 2z = 7. 7. Encontre uma parametrização para a reta dada pela interseção dos planos x − 2y + 4z = 2 e x+ y − 2z = 5. 8. Encontre o ponto de interseção das retas r : x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3 e s : x = T + 2, y = 2T + 4, z = −4T − 1 e o plano determinado por essas retas. 9. Sejam P = (x0, y0, z0) ∈ R3 e π : Ax + By + Cz + D = 0, em que A2 + B2 + C2 6= 0. Mostre que a distância entre P e π é dada por |Ax0 +By0 + Cz0 +D|√ A2 +B2 + C2 . 10. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado. a) r(t) = (cos t, sen t, t) e r(π/3). b) r(t) = (t2, t) e r(1). 11. Seja F(t) uma força dependendo do tempo t, que atua sobre uma part́ıcula entre os instantes t1 e t2. Supondo F integrável em [t1, t2], o vetor I = ∫ t2 t1 F(t)dt denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de F no intervalo de tempo dado. a) F(t) = ti + j + t2k, t1 = 0 e t2 = 2. b) F(t) = 1 t+ 1 i + t2j + k, t1 = 0 e t2 = 1. 12. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sen t, z = t está no cone z2 = x2+y2. Use esse fato para esboçar a curva. 13. Verifique que a) a curva polar r = a é um circunferência (centrada na origem e de raio |a|). b) a curva polar θ = b é uma reta (de inclinação tg(b)). c) a curva polar r = 2 cos θ é uma circunferência (centrada em (1, 0) e de raio 1). 1 Gabarito (com posśıveis erros) 1. ~u ⊥ ~v; ~u ‖ ~w; ~v ⊥ ~w 2. Verificação. 3. ~u = 1√ 3 (1,−1,−1) ou ~u = 1√ 3 (−1, 1, 1) 4. m = −4 e n = −2 5. 3x+ y + z = 5 6. x+ 6y + z = 16 7. r(t) = (4, 2 + 2t, t), t ∈ R 8. P = (1, 2, 3); π : 20x− 12y − z + 7 = 0 9. Demonstração. 10. a) r : ( 1− √ 3t 2 , √ 3+t 2 , π 3 + t ) b) r : (1 + 2t, 1 + t) 11. a) ( 2, 2, 8 3 ) b) ( ln 2, 1 3 , 1 ) 12. Demonstração. 13. Verificação. 2 Cálculo 3/2 Teste 1 (1).pdf Teste 1 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 21/08/2018 Nota Nome: Matŕıcula: • É proibido o uso de calculadora. • Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas. 1. (3,0) Encontre a equação do plano que passa pelos pontos (1, 4, 5), (2, 2, 6) e (−1, 5, 6). 2. (2,0) Encontre uma parametrização para a reta dada pela interseção entre os planos x+ 2y+ z = 7 e 3x + 6y − z = 9. 1 3. (3,0) Encontre o ponto de interseção entre retas r : x = −t + 3, y = t + 2, z = 5t (t ∈ R) e s : x = 2T − 1, y = 4T, z = 10T (T ∈ R) e a equação do plano contém essas retas. 4. (2,0) Considere os planos dados pelas equações x+ y + z = 3 e x+ y + z = 7. Determine a distância entre esses dois planos. 2 Cálculo 3/3 Lista 2 (3).pdf Lista 2 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 1. Em cada um dos itens abaixo, esboce a curva polar indicada e encontre sua equação cartesiana. a) r = 4 cos θ b) r = 1− sen θ c) r = 1 + cos(2θ) 2. Descreva os seguintes conjuntos no Rn: a) Em R2: eixo Ox b) Em R2: eixo Oy c) Em R3: eixo Ox d) Em R3: eixo Oy e) Em R3: eixo Oz f) Em R3: plano xOy g) Em R3: plano xOz h) Em R3: plano xOz i) Em R2: 1o quadrante j) Em R3: 1o octante 3. Determine o domı́nio de cada uma das seguintes funções e faça um esboço dele: a) f(x, y) = 1 x2+y2 b) f(x, y) = √ y − x c) f(x, y) = √ 1− x+ √ y − 1 d) f(x, y) = e2018x+y e) f(x, y) = √ 1− x2 − y2 f) f(x, y) = sen(x+ y2) g) f(x, y) = ln(x+ y) h) f(x, y) = 1 xy i) f(x, y) = 1√ xy 4. Esboce algumas curvas de ńıvel das seguintes funções: a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = 1 x2+y2 c) f(x, y) = 3x+ 4y d) f(x, y) = ln(x+ y) e) f(x, y) = 1 xy f) f(x, y) = 4x2 + 9y2 5. (2/2004) Suponha que uma chapa de metal plana esteja situada em um plano Oxy de modo que, no ponto (x, y), a temperatura T (x, y) seja inversamente proporcional à distância de (x, y) à origem O. a) descreva as isotermas da chapa, isto é, as curvas de ńıvel da função T . b) determine a equação da isoterma T (x, y) = 20 supondo que T (4, 3) = 40. 6. (2/2004) Suponha que a pressão P de um gás em um recipiente de volume V e temperatura T seja dada por P = 10T/V , em que V e T estão nos intervalos 0 < V < 10 e 0 < T < 10. a) Esboce as curvas isobáricas do gás, isto é, as curvas de ńıvel da função dada por P (V, T ). b) Esboce os gráficos das funções V 7→ P (V, 5) e T 7→ P (5, T ). c) Esboce o gráfico da função P . d) Decida sobre a existência do limite lim (V,T )→(0,0) P (V, T ). 7. Classifique cada um dos conjuntos abaixo como aberto ou não aberto, fechado ou não fechado, limitado ou ilimitado: a) {(x, y) ∈ R2 : xy > 0} b) {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1} c) {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 < 9} d) {(x, y) ∈ R2 : x+ y ≥ 0} e) {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| < 1} f) {(x, y) ∈ R2 : x2 + 4y2 ≤ 1} 1 8. Calcule cada um dos limites abaixo ou verifique que ele não existe: a) lim (x,y)→(1,1) 4− xy x2 + 2y2 b) lim (x,y)→(1,2) xy − y x2 − x+ 2xy − 2y c) lim (x,y)→(0,0) xy − y2√ x−√y d) lim (x,y)→(0,0) xy cos y x2 + 3y2 e) lim (x,y)→(0,0) x2 x2 + y2 f) lim (x,y)→(0,0) x2 − y2 x2 + y2 g) lim (x,y)→(0,0) xy√ x2 + y2 h) lim (x,y)→(0,0) x2y x4 + y2 i) lim (x,y)→(0,0) x sen ( 1 y ) j) lim (x,y)→(0,0) 2xy2 x2 + y2 k) lim (x,y)→(0,0) sen(x2 + y2) x2 + y2 `) lim (x,y)→(0,0) x3 + y3 x2 + y2 9. Determine a maior região em que f é cont́ınua: a) f(x, y) = sen(xy) b) f(x, y, z) = e √ z cos(x+y) c) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1) d) f(x, y, z) = x+ 2y + ln(z) e) f(x, y) = √ 4x2 + 9y2 − 36 f) f(x, y, z) = √ xyz 10. Mostre que a função dada por f(x, y) = xy2 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) é cont́ınua em R2. 11. (2/2004) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido, no sentido positivo, por uma corrente elétrica estacionária. Em um ponto P = (x, y) do plano Oxy, a corrente gera um campo magnético B(x, y) que tem a direção e o sentido ilustrados na figura abaixo, em que o ćırculo ao redor do fio representa uma linha de força do campo B. Pode-se mostrar que, no domı́nio D = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}, o campo é dado por B(x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)), em que f(x, y) = arctg ( x y ) . a) Esboce as curvas equipotenciais do campo B, isto é, as curvas de ńıvel da função f . b) Calcule as derivadas parciais fx e fy. Em seguida verifique que a intensidade de B é constante ao longo de ćırculos ao redor do fio. c) Obtenha o vetor unitário U(x, y) que determina a direção e o sen- tido do campo. d) Verifique que para cada P = (x, y) ∈ D, tem-se que vetor B(x, y) é ortogonal a P . 12. Mostre que a função dada por f(x, y) = xy x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) possui derivadas parciais fx(0, 0) e fy(0, 0), mas é descont́ınua em (0, 0). 13. Considere a função dada por f(x, y) = xy3 x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0). Mostre que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0). 2 Gabarito (com posśıveis erros) 1. a) (x− 2)2 + y2 = 4 (circunferência centrada em (2, 0) com raio 2). b) x4 + y4 + 2x2y2 + 2x2y + 2y3 − x2 = 0 (cardioide). c) (x2 + y2) 3 2 = 2x2 (lemniscata). 2. . a) {(x, 0) : x ∈ R} b) {(0, y) : y ∈ R} c) {(x, 0, 0) : x ∈ R} d) {(0, y, 0) : y ∈ R} e) {(0, 0, z) : z ∈ R} f) {(x, y, 0) : x, y ∈ R} g) {(x, 0, z) : x, z ∈ R} h) {(0, y, z) : y, z ∈ R} i) {(x, y) : x, y ∈ R com x, y > 0} j) {(x, y, z) : x, y, z ∈ R com x, y, z > 0} 3. . a) R2 \ {(0, 0)} b) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x} c) {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 1 e y ≥ 1} d) R2 e) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} f) R2 g) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ −x} h) {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0 e y 6= 0} i) {(x, y) ∈ R2 : xy > 0} 4. . a) Circunferências centradas na origem (se f(x, y) = k, então o raio da circunferência será √ k). b) Circunferências centradas na origem (se f(x, y) = k, então o raio da circunferência será 1√ k ). c) Retas (se f(x, y) = k, então a reta passa pelos pontos (k 3 ), 0) e (0, k 4 ). d) Retas (se f(x, y) = k, então a reta passa pelos pontos (ek, 0) e (0, ek). e) Hipérboles (se f(x, y) = k, então xy = 1 k ). f) Elipses centradas na origem (se f(x, y) = k, então a elipse possui eixos √ k 2 e √ k 3 ). 5. T (x, y) = M√ x2+y2 a) Se T (x, y) = k, então a curva de ńıvel é dada por x2 + y2 = ( M k )2 , isto é, são circunferências centradas na origem de raio M k . b) x2 + y2 = 100. 6. . a) Se P (V, T ) = k, então a isobárica é dada por 10T − kV = 0, isto é, são retas que passam pela origem. b) Uma função pode ser escrita como P (V, 5) = f(V ) = 50 V e a outra como P (5, T ) = g(T ) = 2T . Os gráficos são uma hipérbole e uma reta, respectivamente. c) Gráfico (utilizar resultados obtidos no item anterior). d) O limite não existe (regra dos dois caminhos). 7. . a) Aberto, ilimitado b) Fechado, ilimitado c) Não aberto, não fechado, limi- tado d) Fechado, ilimitado e) Aberto, limitado f) Fechado, limitado 3 8. . a) 1 b) 2 5 c) 0 d) Não existe e) Não existe f) Não existe g) 0 h) Não existe i) 0 j) 0 k) 1 `) 0 9. . a) R2 b) {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0} c) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1} d) {(x, y, z) ∈ R3 : z > 0} e) {(x, y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 ≥ 36} f) {(x, y, z) ∈ R3 : xyz ≥ 0} 10. Demonstração. 11. a) São semi-retas que partem do ponto (0, 0). b) fx(x, y) = y x2+y2 e fy(x, y) = − xx2+y2 ; ||B(x, y)|| = 1√ x2+y2 . c) U(x, y) = 1√ x2+y2 (y,−x) (a) Verificação (basta mostrar que B(P ) · P = 0, para cada P ∈ D). 12. Demonstração (derivadas parciais pela definição) 13. Demonstração (derivadas parciais pela definição) 4 Cálculo 3/4 Lista 3 (2).pdf Lista 3 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 1. Calcule fx(x, y) e fy(x, y) em cada caso: a) f(x, y) = e x y b) f(x, y) = √ 1− cos2(x2 + y2) c) f(x, y) = (x2 + y2) · sen ( 1 x2+y2 ) d) f(x, y) = ∫ 3x2−5y2 1 et 2 dt 2. Determine os pontos de continuidade da função dada por f(x, y) = { x2 + y2, se x2 + y2 ≤ 1 0, se x2 + y2 > 1 3. Mostre que a função dada por f(x, y) = ln(x2 + y2) é diferenciável em todo seu domı́nio. 4. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função f no ponto P dados por: a) z = f(x, y) = 4x2 − y2 + 2y, P = (−1, 2, 4) b) z = f(x, y) = √ xy, P = (1, 1, 1) 5. (2/2004) Sejam D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1} e f : D → R dada por f(x, y) = √ 1− x2 − y2, cujo gráfico é o hemisfério superior da esfera de raio 1. a) Verificar que as derivadas parciais de f são cont́ınuas em D, e portanto f é diferenciável em todos os pontos do domı́nio. b) Determinar a equação do plano que é tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)), em que (x0, y0) é um ponto qualquer do domı́nio D. 6. Calcule df dt em cada caso: a) f(x, y) = √ x2 + y2, em que x(t) = 2t+ 1 e y(t) = t3. b) f(x, y) = x3y2, em que x(t) = e−t e y(t) = t sen t 7. Calcule ∂z ∂s e ∂z ∂t em cada caso: a) z = sen θ cosφ, em que θ = st2 e φ = s2t. b) z = er cos θ, em que r = st e θ = s2 + t2 1 Gabarito (com posśıveis erros) 1. a) fx(x, y) = e x y y e fy(x, y) = − xe x y y2 b) fx(x, y) = 2x sen(x2 + y2) cos(x2 + y2)√ 1− cos(x2 + y2) e fy(x, y) = 2y sen(x2 + y2) cos(x2 + y2)√ 1− cos(x2 + y2) c) fx(x, y) = 2x ( sen ( 1 x2 + y2 ) − 1 x2 + y2 cos ( 1 x2 + y2 )) fy(x, y) = 2y ( sen ( 1 x2 + y2 ) − 1 x2 + y2 cos ( 1 x2 + y2 )) d) fx(x, y) = 6xe (3x2−5y2)2 e fy(x, y) = −10ye(3x 2−5y2)2 2. {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6= 1} 3. Demonstração (comparar com o enunciado da questão 5a) 4. a) 8x+ 2y + z = 6 b) x+ y − 2z = 0 5. a) Verificação b) x0x+ y0y + √ 1− x20 − y20z = 1 6. a) 2x(t) + 3y(t)t2√ x(t)2 + y(t)2 = 3t5 + 4t+ 2√ t6 + 4t2 + 4t+ 1 b) −3e−tx(t)2y(t)2 + 2x(t)3y(t)(sen t+ t cos t) = e−3tt sen t(−3t sen t+ 2(sen t+ t cos t)) 7. a) zs(s, t) = t 2 cos(st2) cos(s2t)− 2st sen(st2) sen(s2t) zt(s, t) = 2st cos(st 2) cos(s2t)− s2 sen(st2) sen(s2t) b) zs(s, t) = te st cos(s2 + t2)− 2sest sen(s2 + t2) zt(s, t) = se st cos(s2 + t2)− 2test sen(s2 + t2) 2 Cálculo 3/5 Prova 1 (1).pdf Prova 1 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 20/09/2018 Nota Nome: Matŕıcula: • É proibido o uso de calculadora. • Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas. 1. (3,0) Considere a função dada por f(x, y) = ln(x2 + y2). a) (0,5) Determine o domı́nio de f . b) (0,5) Esboce curvas de ńıvel da função f (pelo menos três curvas). 1 c) (1,0) Calcule fx(x, y) e fy(x, y) para (x, y) ∈ Dom(f). d) (1,0) Mostre que fxx(x, y) +fyy(x, y) = 0 e que fxy(x, y) = fyx(x, y) para todo (x, y) ∈ Dom(f). 2 2. (4,0) Considere a função dada por f(x, y) = xy2 x2 + y4 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0) a) (1,0) A função f é cont́ınua? Justifique sua resposta. b) (1,0) Calcule fx(0, 0) e que fy(0, 0). 3 c) (1,0) Calcule fx(x, y) e fy(x, y) para (x, y) 6= (0, 0). d) (1,0) A função f é diferenciável? Justifique sua resposta. 4 3. (3,0) Seja φ : R→ R uma função derivável e considere f(x, y) = xφ(x2 − y2). a) (0,5) Determine o domı́nio de f . b) (1,0) Calcule fx(x, y) e fy(x, y). c) (1,5) Seja a ∈ R. Mostre que o plano tangente ao gráfico de f em (a, a, f(a, a)) passa pela origem de R3. 5 Questão extra (1,0) Para quais valores de γ ∈ R a função dada por f(x, y) = (x+ y)γ x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0) é cont́ınua? 6 Cálculo 3/6 Lista 4 (1).pdf Lista 4 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 1. Em cada um dos itens abaixo, determine I) ∇f(x, y) ou ∇f(x, y, z) II) ∇f(P ) III) D~uf(P ) a) f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P = (1, 2), ~u: vetor unitário na direção de ~v = (5, 12). b) f(x, y) = y lnx, P = (1,−3), ~u: vetor unitário na direção de ~v = (−4, 3). c) f(x, y, z) = xey sen z, P = (1, 0, π/2), ~u: vetor unitário na direção de ~v = (1, 1, 1). d) f(x, y, z) = xy + yz + xz, P = (1,−1, 3), ~u: vetor unitário na direção de ~v = (−8, 0, 15). 2. Determine as direções em que a derivada direcional da função f(x, y) = x2 + sen xy no ponto (1, 0) tem valor 1. 3. Existe alguma direção ~u na qual a taxa de variação de f(x, y) = x2−3xy+ 4y2 em P = (1, 2) é igual a 2018? Justifique. 4. Seja f(x, y) = x arctg ( x y ) . Calcule D~uf(1, 1), em que ~u aponta na direção e sentido de máximo crescimento de f , no ponto (1, 1). 5. Considere o vetor unitário ~u = (√ 3 2 , 1 2 ) e a função dada por f(x, y) = xy2 x2 + y4 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0) a) Calcule ∇f(0, 0) e ∇f(0, 0) · ~u. b) Determine a derivada direcional D~uf(0, 0). c) Compare os valores obtidos nos itens a) e b). Isso contradiz algum dos Teoremas? Justifique. 6. Localize e classifique os pontos cŕıticos das seguintes funções: a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = √ x2 + y2 c) f(x, y) = xy d) f(x, y) = 2x3 + y3 − 3x2 − 3y 7. Encontre os pontos de máximo e de mı́nimo globais e os valores máximo e mı́nimo globais das seguintes funções nos domı́nios indicados: a) f(x, y) = 2 + 2x+ 2y − x2 − y2, com D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 3}. b) f(x, y) = 3x2 − 2xy + 3y2 + 2y + 5, com D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}. 8. (2/2004) Os alelos A,B e O determinam os tipos sanquineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB (AB). Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z são as proporções dos alelos A,B e O em uma determinada população, então a proporção P de indiv́ıduos da população que possuem dois alelos distintos é dada por P = 2(xy+xz+ yz). Observe que, como x+ y+ z = 1, tanto z como P podem ser expressos como funções z = z(x, y) e P = P (x, y) das variáveis x e y. a) Obtenha o domı́nio D da função P . b) Calcule os pontos cŕıticos de P interiores ao domı́nio D. 1 c) Determine o valor máximo da função P sobre a fronteira de D. d) Usando os itens anteriores, determine as proporções dos alelos A, B e O que maximizam a proporção P de indiv́ıduos com dois alelos distintos. 9. (2/2004) Seja D = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0 e 12 − 6x − 8y > 0} a base do tetraedro T limitado pelos planos coordenados e pelo plano z = 12− 6x− 8y, conforme ilustra a figura abaixo. Seja ainda A : D → R a função dada por A(x, y) = 2xy + 2(x + y)(12− 6x− 8y). Observe que, se (x, y) é um ponto interior a D, então A(x, y) corresponde à área total das faces do paraleleṕıpedo inscrito em T de lados x, y e z = 12− 6x− 8y. a) Obtenha a expressão das derivadas parciais de A(x, y). b) Obtenha, caso existam, os pontos cŕıticos de A(x, y) que são inte- riores ao domı́nio D. c) Determine o valor máximo da função A em cada um dos três seg- mentos de reta da fronteira de D. d) Usando os itens anteriores, determine o valor máximo de A no domı́nio D. 10. (1/2015) Considere a situação em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a 10 metros. A figura abaixo ilustra uma seção transversal da calha, que é simétrica e com três lados retos. Observe que a área A da seção transversal é uma função A = A(x, θ) das medidas x e θ indicadas na figura, e o domı́nio dessa função é o conjunto D = [0, 5]× [0, π/2]. Como a vazão é proporcional à área da seção transversal, o problema consiste em escolher os valores de x e θ que maximizam esta área. a) Obtenha a expressão da função A(x, θ). b) Esboce e descreva a fronteira de D. c) Determine o valor máximo de A(x, θ) sobre a fronteira de D. d) Calcule os pontos cŕıticos de A(x, θ) que são interiores a D. e) Determine os valores de x e θ que maximizam a área da seção. transversal. 11. Determine os pontos da circunferência x2 + y2 = 1, em que a função dada por f(x, y) = xy tem um máximo e um mı́nimo absolutos. Quais são os extremos de f? 12. Determine os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 36 que estão mais afastados do ponto (1, 2, 2) e que estão mais próximos. Quais são as distâncias? 13. Determine as dimensões de uma caixa em forma de paraleleṕıpedo reto aberta no topo com volume de 32 m2 e que requer a quantidade mı́nima de material para construção. 14. Sejam x, y e z quaisquer três números não negativos. O objetivo dessa questão é verificar que a média geométrica (xyz) 1 3 é menor que ou igual à média aritimética (x+y+z) 3 desses números. a) Verifique que ( c 3 )3 é o valor máximo da função dada por f(x, y, z) = xyz, em que x, y, z > 0 e x+ y + z = c (> 0). b) Conclua que a média geométrica de três números positivos é sempre menor que ou igual à média aritmética entre eles. 2 Gabarito (com posśıveis erros) 1. a) ∇(x, y) = (5y2 − 12xy, 10xy − 4x3),∇(P ) = (−4, 16), D~uf(P ) = 17213 b) ∇(x, y) = ( y x , lnx),∇(P ) = (−3, 0), D~uf(P ) = 125 c) ∇(x, y, z) = (ey sen z, xey sen z, xey cos z),∇(P ) = (1, 1, 0), D~uf(P ) = 2√3 d) ∇(x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y),∇(P ) = (2, 4, 0), D~uf(P ) = −1617 2. (0, 1) ou ( 4 5 ,−3 5 ) 3. Não, pois D~uf(x, y) ≤ √ 185,∀(x, y). 4. √( π 4 + 1 2 )2 + 1 4 5. a) (0, 0) e (0, 0) b) √ 3 6 c) Não. Verifique as hipóteses. 6. . a) (0, 0) - ponto de mı́nimo local b) (0, 0) - ponto de mı́nimo global (não usar TDP2) c) (0, 0) - ponto de sela d) (0,−1) - p. máximo local, (0, 1) - p. sela, (1,−1) - p. sela, (1, 1) - p. mı́nimo local 7. a) PMaxG: (1, 1), VMaxG: 4; PMinG: (3, 0) e (0, 3), VMinG: −1 b) (coordenadas polares ou multiplicadores de Lagrange para a fronteira) PMaxG: ( −1 2 , √ 3 2 ) , VMaxG: 8 + 3 √ 3 2 ; PMinG: ( −1 8 ,−3 8 ) , VMinG: 37 8 8. a) DomP = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 1} b) ( 1 3 , 1 3 ) c) 1 2 d) x = y = z = 1 3 9. a) Ax(x, y) = 24− 24x− 26y e Ay(x, y) = 24− 26x− 32y b) Não há. c) 9, 12, 3 2 d) 12 10. a) A(x, θ) = x sen θ(10− 2x+ x cos θ) b) ∂D = [0, 5]× {0} ∪ {5} × [0, π/2] ∪ [0, 5]× {π/2} ∪ {0} × [0, π/2] c) 25 2 d) ( 10 3 , π 3 ) e) 25 √ 3 3 11. PMaxG: (√ 2 2 , √ 2 2 ) e ( − √ 2 2 ,− √ 2 2 ) , VMaxG: 1 2 ; PMinG: ( − √ 2 2 , √ 2 2 ) e (√ 2 2 ,− √ 2 2 ) , VMinG: −1 2 12. Mais afastado: (−2,−4,−4), com distância 3; Mais próximo: (2, 4, 4), com distância 9. 13. 4× 4× 2 (em metros) 14. Verificação (Mult Lagrange) 3 Cálculo 3/7 Teste 2 (2).pdf Teste 2 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 08/10/2018 Nota Nome: Matŕıcula: • É proibido o uso de calculadora. • Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas. 1. (4,0) Considere que T (x, y) = senx + x2018y + 3x + y3 representa uma distribuição de temperatura no plano e seja P = (0, 1). Determine a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e a direção e sentido de menor crescimento da temperatura. Qual a taxa de crescimento nessas direções (isto é, determine D~uf(P ))? 1 2. (6,0) Considere que T (x, y) = 4 + 2x + 3y − x2 − y3 represente a distribuição de temperatura no plano e seja D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ x e x + y ≤ 4}. Determine os pontos de D em que a temperatura é máxima e os pontos de D em que a temperatura é mı́nima. Determine, também, as temperaturas máxima e mı́nima em D. 2 Cálculo 3/8 Lista 5 (1).pdf Lista 5 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 1. Calcule as seguintes integrais duplas: a) ∫∫ D (x− y) dA, em que D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 e x ≥ 0}. b) ∫∫ D xy dA, em que D é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e (1, 0). c) ∫∫ D sen(x3) dA, em que D = {(x, y) ∈ R2 : √y ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1} d) ∫ D e−y 2 dA, em que D é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e (0, 1). e) ∫∫ D (x+ y) dA, em que D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2. f) ∫ 1 0 ∫ 1 x ex/y dy dx. g) ∫ 1 0 ∫ 1 x 3y4 cos(xy2) dy dx. h) ∫ 1 0 ∫ √x x ey y dy dx. i) ∫ 2 0 ∫ 1 y/2 yex 3 dx dy. 2. Calcule os volumes dos seguintes sólidos: a) W = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x+ 2y}. b) W = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1− x2 − y2}. c) W = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ z ≤ 2− x2 − y2}. 3. (1/2004) Em integrais iteradas, uma escolha adequada da ordem de integração pode facilitar muito os cálculos. Por exemplo, considere a região D limitada pelas curvas y + 1 = 0, y2 + x − 4 = 0 e x+ √ 4− y2 = 0, como ilustrado abaixo. a) Identifique cada uma das três curvas e determine as coordenadas dos pontos A,B,C e D indicados na figura ao lado. b) A região D pode ser dividida em quatro regiões do tipo I. Descreva cada uma dessas regiões. c) Use o item anterior para calcular da área de D, integrando itera- damente primeiro na variável y. d) Descreva a região D como uma região do tipo II. e) Use o item anterior para calcular da área de D, integrando itera- damente primeiro na variável x. 1 4. (1/2015) Considere a chapa D = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4} com densidade dada por δ(x, y) = √ yex √ y e o problema de determinar a coordenada ȳ do centro de massa da chapa. a) Esboce no plano a chapa D, indicando as curvas que limitam esta região. b) Escreva o conjunto D de outra forma. c) Calcule a massa m = ∫ D δ(x, y) dA da chapa. d) Calcule o momento em torno do eixo Ox Mx = ∫ D yδ(x, y) dA. e) Verifique que 3 < ȳ < 4. (Lembre que: ȳ = Mx m e 2 < e < 3) 5. (1/2015) Seja D ⊆ R2 a chapa triangular de vértices nos pontos (−1, 0), (0, 3) e (1, 0), conforme a figura, e com densidade constante δ0. Indique por C = (x̄, ȳ) o centro de massa da chapa. a) Obtenha as equações das retas que passam por (−1, 0) e (0, 3) e por (0, 3) e (1, 0). b) Descreva D como uma união D1∪D2, em que D1 e D2 são domı́nios do tipo I. c) Descreva D como uma região do tipo II. d) Calcule os momentos Mx e My de D em relação aos eixo Ox e Oy, respectivamente. e) Determine C. 6. (1/2004) Suponha que uma chapa D ⊆ R2 seja limitada pela circunferência x2 + y2 = 4y e tenha densidade δ(x, y) diretamente proporcional à distância do ponto (x, y) a origem O = (0, 0) e indique por K a constante de proporcionalidade. a) Esboce a circunferência x2 + y2 = 4y, indicando os pontos onde ela cruza os eixos coordenados. b) Escreva D em coordenadas polares. c) Calcule a massa da chapa usando o item anterior e a substituição u = cos θ. d) Determine os pontos de D nos quais a densidade é igual à densidade média da chapa. 2 Gabarito (com posśıveis erros) 1. . a) 2 3 b) 0 c) 1−cos 1 3 d) 1−e −1 2 e) 16 15 f) e−1 2 g) 1− cos 1 h) e− 2 i) 2(e−1) 3 2. . a) 3 2 b) π 2 c) π 3. a) A = (− √ 3,−1), B = (−2, 0), C = (4, 0) e D = (3,−1) b) {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ − √ 3 e − √ 4− x2 ≤ y ≤ √ 4− x2}, {(x, y) ∈ R2;− √ 3 ≤ x ≤ 0 e − 1 ≤ y ≤ √ 4− x2}, {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3 e − 1 ≤ y ≤ √ 4− x}, {(x, y) ∈ R2 : 3 ≤ x ≤ 4 e − √ 4− x ≤ y ≤ √ 4− x} c) 4π 3 + √ 3 2 + 9 d) {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ y ≤ 2 e − √ 4− y2 ≤ x ≤ 4− y2}, e) 4π 3 + √ 3 2 + 9 4. a) Esboço. b) D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 4 e 0 ≤ x ≤ √y}. c) m = e4 − 5 d) My = 3e 4 − 7 e) Verificação. 5. a) y = 3x+ 3 e y = −3x+ 3, respectivamente. b) D1 = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 0 e 0 ≤ y ≤ 3x+ 3} e D2 = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ −3x+ 3}. c) D = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 3 e y 3 − 1 ≤ x ≤ −y 3 + 1} d) Mx = 3δ0 e My = 0 e) x̄ = 0 e ȳ = 1, isto é, C = (0, 1). 6. a) * b) * c) * d) * 3 Cálculo 3/9 Lista 6 (2).pdf Lista 6 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 1. Faça a mudança de variáveis indicada para calcular as seguintes integrais duplas: a) ∫∫ D cos(x− y) sen(x+ y) dA, em que D é o trapézio descrito por 1 ≤ x + y ≤ 2, x ≤ 0 e y ≤ 0; use u = x− y e v = x+ y. b) ∫∫ D 1 dA, em que D é a região delimitada pela elipse x 2 a2 + y 2 b2 = 1, com a, b > 0; use u = x a e v = y b . (note que isso fornece a área da região delimitada pela elipse) 2. Calcule as seguintes integrais triplas: a) ∫∫∫ E z dV , em que E é o tetraedro limitado por x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y + z = 1. b) ∫∫∫ E z dV , em que E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2 2 ≤ √ 8− x2 − y2}. c) ∫∫∫ E √ x2 + y2 dV , em que E é a região que está dentro cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do plano z = 4 e acima do paraboloide z = 1− x2 − y2. d) ∫∫∫ E e(x 2+y2+z2)3/2 dV , em que E = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 1}. e) ∫∫∫ E √ x2 + y2 + z2 dV , em que E é o sólido limitado inferiormente pelo cone z = √ x2 + y2 e superiormente pela esfera x2 + y2 + (z − 1 2 )2 = 1 4 . 3. Calcule os volumes dos seguintes sólidos: a) Região limitada pelos paraboloides z = 2(x2 + y2) e z = 9− x2 − y2. b) Região limitada pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 b) Parte da esfera ρ ≤ a que está entre os cones φ = π 6 e φ = π 3 . 4. (1/2015) Considere a Terra esférica de raio R (em metros) e denote por E a região da atmos- fera situada entre o ńıvel do solo e um altura de h0 (em metros). Suponha ainda que a densi- dade nesta região, em kg/m3 e a uma altura de h (em metros), possa ser aproximada pela função δ(h) = a− b(R+ h), em que a e b são constantes. Sabendo que a massa M de uma região do espaço E com densidade δ(x, y, z) é dada por M = ∫∫∫ E δ(x, y, z) dV , responda aos itens a seguir. a) Expresse a região E em coordenadas cartesianas. b) Expresse a região Q = ϕ(E) em coordenadas esféricas, em que ϕ é a mudança de variáveis. c) Calcule a massa M de Q em termos das constantes a, b, R e h0. 1 Gabarito (com posśıveis erros) 1. a) 1 b) πab 2. a) 1 24 b) 28π 3 c) 12π 5 d) 4π(e−1) 3 e) π(8− √ 2) 80 3. a) 27π 2 b) 8π(8−3 √ 3) 3 c) πa 3( √ 3−1) 3 4. a) E = {(x, y, z) ∈ R3 : R ≤ x2 + y2 + z2 ≤ (R + h0)2} b) Q = {(ρ, θ, φ) ∈ R3 : R ≤ ρ2 ≤ (R + h0)2, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ φ ≤ π} c) π 3 [(R + h0) 3(4a− 3b(R + h0))−R3(4a− 3bR)] 2 Cálculo 3/10 Prova 2 (1).pdf Prova 2 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 29/10/2018 Nota Nome: Matŕıcula: • É proibido o uso de calculadora. • Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas. 1. (1,0) Considere o problema de encontrar pontos de máximo e mı́nimo globais de uma função dada por f(x, y, z) de três variáveis com restrição dada por g(x, y, z) = k, em que k ∈ R. Assuma que ∇f e ∇g existem, que ∇g é não nulo e que f assume máximo e mı́nimo globais na restrição. Escolha apenas um dos itens a seguir e responda: a) descreva, com detalhes, um método eficiente para resolver esse problema. b) enuncie e resolva um problema nessas condições a sua escolha. 1 2. (3,0) Responda os seguintes itens sobre integrais duplas. a) (1,5) Calcule ∫ √π 0 ∫ π y2 √ x cos(y √ x) dx dy. 2 b) (1,5) Calcule a área delimitada pela elipse de equação x2 a2 + y2 b2 = 1, em que a e b > 0. (sugestão: use a mudança u = x a e v = y b ) 3 3. (3,0) Seja D ⊆ R2 a chapa triangular de vértices nos pontos (−1, 0), (0, 2) e (1, 0) e com densidade constante dada por δ(x, y) = δ0. a) (0,5) Determine a massa dessa chapa, isto é, calcule M = ∫∫ D δ(x, y) dA. b) (1,0) Determine o momento em relação aos eixo O y, isto é, calcule My = ∫∫ D xδ(x, y) dA. Calcule também x̄ = My M . 4 b) (cont.) c) (1,5) Determine o momento em relação aos eixo O x, isto é, calcule Mx = ∫∫ D yδ(x, y) dA. Calcule também ȳ = Mx M . 5 4. (3,0) Responda os seguintes itens sobre integrais triplas. a) (1,5) Calcule ∫∫∫ E x dV , em que E é o sólido que está delimitado pelos cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4, pelo plano O xy e pelo paraboloide z = 5− 2x2 − 2y2. 6 b) (1,5) Mostre que o volume de uma esfera centrada na origem e raio R > 0 é dado por 4πR 3 3 . 7 Questão extra (1,0) A integral dupla ∫ 1 0 ∫ 1 0 1 1− xy dx dy é uma integral imprópria e pode ser definida como o limite da integral dupla da função 1 1−xy no retângulo [0, t]× [0, t] quando t→ 1−. Mostre que essa integral é igual a π2 6 . 8 Cálculo 3/11 Lista 7 (1).pdf Lista 7 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 1. Calcule o trabalho ∫ C ~F · dγ realizado pelo campo de força ~F numa part́ıcula que se move ao longo da curva C, em que: a) ~F (x, y) = (x2,−xy). C é parametrizada por γ(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ π 2 . b) ~F (x, y) = (x3y, x−y). C é o arco da parábola y = x2 que tem como extremos os pontos (−2, 4) e (1, 1). c) ~F (x, y) = (y2, x). C é o segmento de reta que liga os pontos (−5,−3) e (0, 2). d) ~F (x, y) = (y2, x). C é o arco da parábola x = 4−y2 que tem como extremos os pontos (−5,−3) e (0, 2). e) ~F (x, y, z) = (xy, yz, xz). C é parametrizada por γ(t) = (t, t2, t3), 0 ≤ t ≤ 1. f) ~F (x, y, z) = (y, z, x). C = C1 ∪ C2, em que C1 é o segmento de reta que liga os pontos (2, 0, 0) e (3, 4, 5) e C2 é o segmento de reta que liga os pontos (3, 4, 5) e (3, 4, 0). 2. Verifique que ~F (x, y) é conservativo, determine uma função potencial ϕ tal que ~F = ∇ϕ e calcule∫ C ~F · dγ em cada um dos itens a seguir. a) ~F (x, y) = (3 + 2xy, x2 − 3y2) e C é parametrizada por γ(t) = (et cos t, et sen t), 0 ≤ t ≤ π. b) ~F (x, y) = (2xy3, 1 + 3x2y2) e C é uma curva que liga os pontos (1, 4) e (3, 1). c) ~F (x, y) = (ey, xey) e C é uma curva que liga os pontos (1, 0) e (−1, 0). 3. Calcule ∮ C yx2 dx+x dy, em que C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2) percorrido no sentido anti-horário: a) usando a definição de integral de linha. b) usando o Teorema de Green. 4. Calcule: a) ∮ C x4 dx+ xy dy, em que C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1) percorrido no sentido anti-horário. b) ∮ C (3y− esenx) dx+ (7x+ √ y4 + 1) dy, em que C é a circunferência x2 + y2 = 9 percorrida uma vez no sentido anti-horário. c) ∮ C y2 dx + 3xy dy, em que C é a fronteira da região R contida no semiplano superior entre as circunferências x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4 percorrida no sentido anti-horário. d) O trabalho realizado pelo campo de força ~F (x, y) = (ex − y3, cos y + x3) numa part́ıcula que percorre uma vez o ćırculo x2 + y2 = 1 no sentido horário. 5. Uma aplicação da integral de linha é no cálculo de áreas. Utilizando o Teorema de Green, mos- tre que se C é uma curva plana, simples e fechada que delimita uma região D do plano, então A(D) = 1 2 ∮ C −y dx+ x dy. 1 6. (1/2009) Dado a > 0, a curva x3 + y3 = 3axy é conhecida como folium de Descartes. Seja D a região delimitada por essa curva (ilustrada abaixo). É posśıvel mostrar que que γ : [0,∞)→ R com γ(t) = (x(t), y(t)), em que x(t) = 3at 1+t3 e y(t) = tx(t) é uma parametrização para a fronteira ∂D. a) Simplifique a expressão −y(t)x′(t) + x(t)y′(t), usando que y(t) = tx(t). b) Calcule a área de D. 7. Considere o campo ~F (x, y) = ( − y x2 + y2 , x x2 + y2 ) . a) Verifique que ∮ C ~F · dγ = 0, para qualquer curva C fechada, simples, suave, positivamente orientada e que não envolve a origem. b) Verifique que ∮ C ~F · dγ = 2π, para qualquer curva C fechada, simples, suave, positivamente orientada e que envolve a origem. 2 Gabarito (com posśıveis erros) 1. a) −2 3 b) 3 c) −5 6 d) 245 6 e) 27 28 f) 19 2 2. a) ϕ(x, y) = 3x2 + x2y − y3 + C (C ∈ R); e3π + 1 b) ϕ(x, y) = x2y3 + y + C (C ∈ R); −58 c) ϕ(x, y) = xey + C (C ∈ R); −2 3. a) 1 2 b) 1 2 4. a) 1 6 b) 36π c) 14 3 d) −3π 2 5. Demonstração. 6. a) x(t)2 b) 3a 2 2 7. a) Verificação. b) Verificação. 3 Cálculo 3/12 Teste 3 (1).pdf Teste 3 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 12/11/2018 Nota Nome: Matŕıcula: • É proibido o uso de calculadora. • Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas. 1. (5,0) Calcule ∫ C ~F · dγ, em que ~F (x, y) = ( 2x x2 + y2 , 2y x2 + y2 ) e C é uma curva contida no primeiro quadrante e suave que liga os pontos (1, 1) e (2, 3). 1 2. (5,0) Calcule ∫ C ~F · dγ, em que ~F (x, y) = (xy, y2 − x2). C = C1 ∪ C2, em que C1 é o segmento de reta que liga os pontos (1, 2) e (3, 4) e C2 é o arco da parábola y = x 2 − 5 que tem como extremos os pontos (3, 4) e (−1,−4). 2 Cálculo 3/14 Lista 8 (1).pdf Lista 8 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 1. Encontre uma parametrização para o cilindro S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1 e 0 ≤ z ≤ 1}. 2. Calcule a área das seguintes superf́ıcies: a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 e z ≤ 1}. b) S é parametrizada por σ(u, v) = (u, u cos v, u sen v), com 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2π. c) S é a parte do paraboloide hiperólico z = y2 − x2 que se está entre os cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 2. d) S é a parte da superf́ıcie dada por z = y2 − x2 que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1. 3. Calcule ∫∫ S f dS, em que: a) f(x, y, z) = x2 e S é a esfera x2 + y2 + z2 = 1. b) f(x, y, z) = xz e S é a parte do plano x+ y + z = 1 no primeiro octante. c) f(x, y, z) = y2z2 e S é a parte do cone z = √ x2 + y2, em que 1 ≤ z ≤ 2. d) f(x, y, z) = x + y + z e S parametrizada por σ(u, v) = (u, v, u + 2v), em que 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 1. 4. Calcule o fluxo de ~F através de S, isto é, ∫∫ S ~F · ~n dS, em que: a) ~F (x, y, z) = (0, 0, z); S é a esfera centrada na origem e raio R com orientação para fora. b) ~F (x, y, z) = (x, y, z); S é a parte do paraboloide z = 1− x2 − y2 acima do plano xOy. 5. Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de ~F através de S, em que: a) ~F (x, y, z) = (2x, 3y, z2); S é o cubo unitário [0, 1]3. b) ~F (x, y, z) = (x3, y3, z2); S é a superf́ıcie da região W envolvida pelo cilindro x2 + y2 = 9 e os planos z = 0 e z = 2. c) ~F (x, y, z) = (x3, y3, z3); S é a superf́ıcie do sólido W limitado pelo hemisfério norte da esfera x2 + y2 + z2 = R2 e pelo o plano xOy. d) ~F (x, y, z) = (cos +xy2, xe−z, sen y+x2z); S é a superf́ıcie do sólido W limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo o plano z = 4. 6. Verifique o Teorema de Stokes para ~F (x, y, z) = (2z, 3x, 5y) e S a parte do paraboloide z = 4−x2−y2, com z ≥ 0 , com orientação e C é a fronteira de S orientada positivamente. Compare o resultado com ∫∫ S rot ~F · ~n dS, em que S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 e z = 0}. 7. Calcule ∮ C ~F dγ, em que ~F (x, y, z) = (−y2, x, z2) e C é a curva de interseção do plano x+ y+ z = 5 com o cilindro x2 + y2 = 1. 8. Calcule ∫∫ S rot ~F dS, em que ~F (x, y, z) = (x,−z, y) e S é a parte do plano x + z = 1 dentro do cilindro x2 + y2 = 1 com orientação positiva. 1 Gabarito (com posśıveis erros) 1. σ(u, v) = (cosu, senu, v), com 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 1. 2. a) π(5 √ 5−1) 6 b) 4π √ 2 c) π(27−5 √ 5) 6 d) π(5 √ 5−1) 6 3. a) 4π 3 b) √ 3 24 c) 21π √ 2 2 d) 5 √ 6 2 4. a) 4πR 3 3 b) 3π 2 5. a) 6 b) 279π c) 6πR 5 5 d) 32π 3 6. 12π 7. π 8. 2π 2 Cálculo 3/15 Prova 3 (1).pdf Prova 3 Cálculo 3 - Turma BB (2/2018) Professor: Matheus Bernardini 29/11/2018 Nota Nome: Matŕıcula: • O uso de calculadora simples está permitido a partir de 17h30. • Respostas sem justificativa não serão consideradas, mesmo que estejam corretas. 1. (2,5) Calcule ∫ C ~F dγ, em que ~F (x, y) = (x2 + y2, y2018esen y + 2xy + x) e C é a parte da curva y = 1− x2, com x ∈ [−1, 1], de maneira que (1, 0) seja seu ponto inicial. 1 2. (2,5) Utilizando integral de superf́ıcie, mostre que a área lateral de um cilindro circular reto de raio R e altura H é 2πRH. (Sugestão: considere o cilindro x2 + y2 = R2, com z variando entre 0 e H) 2 3. (2,5) Calcule ∫∫ S ~F dS, em que ~F (x, y, z) = (2xy2 + z, xex− cos z, sen y+ 2x2z) e S é a superf́ıcie do sólido W limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 4− x2 − y2 e (orientada para fora). 3 4. (2,5) Calcule ∮ C ~F dγ, em que ~F (x, y, z) = (x2z, xy2, z2) e C é a curva de interseção do plano x+ y + z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 9. 4 Questão extra (1,0) Demonstre o Teorema de Green, assumindo o Teorema de Stokes. 5 Rascunho 6
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