calc2n-prova1

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Disciplina: Cálculo II
Professor: Paulo Takashi Taneda Turma: Noturno - 2013.2N
Tipo de avaliação: Prova 1 Data: 25/02/2014
Uso de calculadora: Permitido. Consulta: Não é permitido
Material a ser consultado: Não se aplica
Uso de laboratório de informática: Não é permitido.
Nome do aluno:
Curso: R.A.:
Instruções: (1) Este exame é individual.
(2) A interpretação e o entendimento das questões faz parte da avaliação,
portanto leia atentamente os enunciados.
(3) A prova pode ser feita a lápis ou caneta (azul ou preta).
(4) Escreva suas respostas de forma legı́vel: RESOLUÇÕES ILEGÍVEIS
NÃO SERÃO CONSIDERADAS NA CORREÇÃO.
(5) Cuide da organização de suas respostas, indicando claramente a
questão que está sendo resolvida (as questões podem ser resolvidas fora
de ordem).
(6) Seja preciso e completo ao resolver as questões, justificando todas as
passagens e explicitando o raciocı́nio utilizado para resolver os exercı́cios.
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS NA
CORREÇÃO.
Visto do professor:
Para uso exclusivo do professor
Nota desta prova: Nota da provinha: Nota Final:
Questões
Questão 1. (1,5 pontos) Determine os extremantes da função f (x) = ln
(
1
x2 + 1
)
.
Questão 2. (1,5 pontos) Considere a função tangente f :]− π2 , π2 [−→ R dada por f (x) = tg x.
Sabemos (do que vimos no curso de Cálculo I) que esta função é bijetora, e portanto possui
uma inversa f −1 : R −→]− π2 , π2 [, a qual é denominada função arco-tangente, e denotada por
f −1(x) = arctg x. Note que, para cada x ∈ R, o número y = arctg x é o ângulo (entre −π/2 e
π/2) cuja tangente é igual a x. Assim sendo, prove que a derivada da função y(x) = arctg x é
y′(x) = 11+x2 . (Sugestão: como y(x) = arctg x implica tg y(x) = x, derive ambos os lados desta
igualdade e procure isolar y′(x) em função apenas da variável x.)
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Questão 3. (2 pontos) Um painel solar precisa ser instalado no nı́vel do solo, entre dois
prédios localizados lado a lado, conforme indica a figura a seguir. Considerando que a
distância entre os prédios é de 50 m, determine o ponto P no qual o painel deve ser instalado
de maneira a maximizar o número de horas em que ele fica exposto à luz solar, supondo que,
ao longo do dia, o sol segue uma trajetória passando diretamente acima do painel. (Dica:
utilize o resultado do exercı́cio anterior.)
Questão 4. A seguir é dado o gráfico de uma função derivável f :] − 3 , 11[−→ R, onde
encontram-se destacados os pontos crı́ticos e os pontos de inflexão.
Considere então a função dada por g(x) =
f ′(x)
f (x)
. Note que, como f (x) , 0 para todo
−3 < x < 11, então Dom g = Dom f .
(a) (1 ponto) Determine as raı́zes de g.
2
(b) (1 ponto) Calcule g′(x).
(c) (1,5 pontos) Sendo h :] − 3 , 11[−→ R a função dada por h(x) = g′(x)+ [g(x)]2, determine
as raı́zes de h.
(d) (1,5 pontos) Determine os subintervalos de ] − 3 , 11[ nos quais a função h é positiva ou
negativa.
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