ANALISE ESTRUTURAL 2

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Análise Estrutural II
Profa. Ma. Rafaela Amaral
Solução exemplo pórtico 
hiperestático: Método das 
Forças
Ma. Rafaela de Oliveira Amaral
Universidade Anhembi Morumbi
Obter os diagramas solicitantes e as reações de
apoio para a estrutura da figura abaixo, devido
ao carregamento indicado. Considerar EI
constante.
• Sabemos que esse pórtico é hiperestático;
• Para resolver pelo Método das Forças, é
necessário calcular o grau de
hiperestaticidade do pórtico:
𝑔𝑒 = 𝑟 − 𝑒 − 𝑛𝑟
𝑔𝑒 = 5 − 3 − 0 = 2
• Próximo passo é definir o sistema principal (SP), ou seja, liberar o número de
vínculos necessários para que esse pórtico seja isostático. Neste caso, precisamos
liberar 2 vínculos, pois o grau é 2. Várias soluções são possíveis, dentre elas:
Pórtico hiperestático:
Vou escolher o SP:
Observe que:
𝑔𝑒 = 𝑟 − 𝑒 − 𝑛𝑟
𝑔𝑒 = 3 − 3 − 0 = 0
O sistema principal será dividido em 3 carregamentos (se o grau é 2, então
teremos 2+1 de carregamento):
Para que o pórtico do SP seja igual ao pórtico hiperestático, preciso 
afirmar que o deslocamento horizontal em A é zero e a rotação em 
A é zero, para isso temos que resolver o sistema:
𝛿10 + 𝛿11𝑋1 + 𝛿12𝑋2 = 0
𝛿20 + 𝛿21𝑋1 + 𝛿22𝑋2 = 0
Para calcular as deformações (EI𝛿 = 𝑀׬ ഥ𝑀𝑑𝑠) precisamos dos diagramas de
momento fletor para cada carregamento:
Com o auxilio da tabela é possível calcular as deformações (EI𝛿 = 𝑀׬ ഥ𝑀𝑑𝑠):
𝐸𝐼𝛿10 =
=
2𝐿
3
𝑀1𝑀3=−
2×6
3
9 × 3 = −108
𝐸𝐼𝛿11= + +
=
𝐿
3
𝑀1𝑀3 + 𝑀1𝑀3𝐿 +
𝐿
3
𝑀1𝑀3 =
3
3
3 × 3 + 3 × 3 × 6 +
3
3
3 × 3=72
𝐸𝐼𝛿12= + =
=
𝐿
2
𝑀1𝑀3+
𝐿
2
𝑀1𝑀3 =
6
2
3 × 1 +
3
2
3 × 1 = 13,5
𝐸𝐼𝛿20 =
=
𝐿
3
𝑀1𝑀3=−
6
3
9 × 1=−18
EI𝛿21 = 𝐸𝐼𝛿12=13,5
𝐸𝐼𝛿22= +
= 𝑀1𝑀3𝐿 +
𝐿
3
𝑀1𝑀3=3 × 1 × 1 +
6
3
1 × 1 = 5
Então o sistema fica:
ቊ
−108 + 72𝑋1 + 13,5𝑋2 = 0
−18 + 13,5𝑋1 + 5𝑋2 = 0
A solução para o sistema será: 𝑋1 = 1,67 e 𝑋2 = −0,91
Como no SP liberamos o deslocamento
horizontal no ponto A e a rotação no ponto A:
𝑋1 é a reação 𝐴𝑥 e 𝑋2 é a reação 𝑀𝐴. O sinal
positivo para 𝑋1 significa que 𝐴𝑥 está no
mesmo sentido adotado para 𝑋1 e o sinal
negativo para 𝑋2 significa que 𝑀𝐴 está no
sentido contrário ao adotado para 𝑋2 .
Então:
𝐴𝑥=1,67 KN para direita
𝑀𝐴=0,91 KNm no sentido horário
Agora, voltando ao nosso pórtico hiperestático, nós já conhecemos
as reações 𝐴𝑥 e 𝑀𝐴, falta calcular as demais reações de apoio (𝐴𝑦,
𝐵𝑦 e 𝐵𝑥).
Observa que, agora temos 3 incógnitas para três equações de
equilíbrio, portanto podemos calcular essas três reações usando as
equações de equilíbrio: σ𝑀 = 0; σ𝐹𝑦 = 0 e σ𝐹𝑥 = 0, ou através da
relação para esforços finais: 𝐸 = 𝐸0 + 𝑋1𝐸1 + 𝑋2𝐸2.
Através da relação para Esforços Finais:
𝐸 = 𝐸0 + 1,67𝐸1 − 0,91𝐸2
Então: 
↑ 𝐴𝑦= 6 + 1,67 × 0 − 0,91 × 0,2 = 5,82𝐾𝑁 ↑
↑ 𝐵𝑦= 6 + 1,67 × 0 − 0,91 × −0,2 = 6,18𝐾𝑁 ↑
→ 𝐵𝑥 = 0 + 1,67 × −1 − 0,91 × 0 = −1,67𝐾𝑁 ←
Solução usando o SP:
Diagramas de Momento para os 3
carregamentos do SP:
Calculo das deformações:
Calculo das deformações:
Sistema:
Esforços Finais e Reações: