Lista de exercícios sobre Transformada de Fourier

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Lista de exercícios sobre Transformada de Fourier 
 
1. Para o sinal mostrado na figura abaixo 
a. Determine os coeficientes da série de Fourier sabendo que o sinal é 
periódico com T = 10. 
 
b. Determine agora a transformada de Fourier do seguinte sinal não 
periódico: 
 
c. Estabeleça uma relação entre as respostas dos incisos a) e b). 
d. Determine a expressão do sinal no domínio do tempo que tem o 
espectro mostrado a seguir: 
 
2. O espectro X(j) representa a transformada de Fourier do seguinte sinal: 
𝑥(𝑡) = {
𝑒−𝑡, 0 < 𝑡 < 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Expresse a Transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais a partir de X(j). 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
3. Encontre a TFCT dos seguintes sinais: 
 
a. 𝑥1(𝑡) = 𝑒
−|𝑡|𝑐𝑜𝑠(2𝑡) 
b. 𝑥2(𝑡) =
𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)
𝜋(𝑡−1)
 
c. 𝑥3(𝑡) = {
𝑡2, 0 < 𝑡 < 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
d. 𝑥4(𝑡) = (1 − |𝑡|)𝑢(𝑡 + 1)𝑢(1 − 𝑡) 
 
4. O Teorema de Parseval relaciona o valor da energia media de sinal entre os 
domínios do tempo e da frequência. 
1
𝑇
∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
𝑇
= ∑ |𝑋[𝑘]|2
∞
𝑘=−∞
 
a. Sabendo que 𝑦(𝑡) = |𝑥(𝑡)|2 encontre os coeficientes da Série de Fourier. 
(Dica |𝑥(𝑡)|2 = 𝑥(𝑡)𝑥∗(𝑡)). 
b. A partir do resultado anterior derive o Teorema de Parseval. 
 
c. A entrada de um sistema LTI é: 𝑥1(𝑡) = ∑ 𝛼
|𝑘|𝑒𝑗
𝜋
4
𝑘𝑡∞
𝑘=−∞ para 0 < 𝛼 < 1. A 
Transformada de Fourier da resposta ao impulso deste sistema é: 
 
𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| < 𝑊
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
Qual é o mínimo valor de W para que a energia media do sinal de saída seja 
no mínimo 90% do valor da energia media do sinal de entrada.