Equações Diferenciais: Soluções Gerais

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Questão 1/5 - Equações Diferenciais
Encontre uma solução geral para a equação diferencial y′+5y=t3e−5ty′+5y=t3e−5t utlizando o método dos fatores integrantes.
Nota: 20.0
	
	A
	y=x+lnxy=x+lnx
	
	B
	y=ex+cy=ex+c
	
	C
	y=ln(x+3)+cy=ln(x+3)+c
	
	D
	y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t
Você acertou!
Após identificar p(t)=5p(t)=5, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja, μ(t)=e∫5dt=e5tμ(t)=e∫5dt=e5t.
Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos
ddt[e5t.y]=e5tt3e−5tddt[e5t.y]=e5tt3e−5t. Integrando essa expressão e isolando y, temos
y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t que é a solução geral para o problema.
Questão 2/5 - Equações Diferenciais
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por 3ydydx=2x2−33ydydx=2x2−3
Nota: 20.0
	
	A
	y=√4x39−2x+2c3y=4x39−2x+2c3
Você acertou!
Como a expressão do problema já está no formato padrão, basta integrar ambos os lados da equação e obter
3y22=2x33−3x+c3y22=2x33−3x+c. Isolando y nessa expressão, temos
y=√4x93−2x+2c3y=4x93−2x+2c3 que é a solução geral do problema.
	
	B
	y=4x3−2xy=4x3−2x
	
	C
	y=x5−6y=x5−6
	
	D
	y=3x+exy=3x+ex
Questão 3/5 - Equações Diferenciais
Analise as alternativas dessa questão e determine qual delas tem como solução y1=x3y1=x3.
Nota: 20.0
	
	A
	y′′+1=0y″+1=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′+1=0y″+1=0, temos:
6x+1=06x+1=0
Essa igualdade não é verdadeira.
	
	B
	xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0
Você acertou!
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0, temos:
x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0 de forma que essa igualdade é verdadeira, pois os cálculos do lado esquerdo da igualdade resultam em zero.
	
	C
	y′′′=0y‴=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′′=0y‴=0, temos:
6=06=0
Essa igualdade não é verdadeira.
	
	D
	y′′′+y′=0y‴+y′=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′′+y′=0y‴+y′=0, temos:
6+3x2=06+3x2=0
Essa igualdade não é verdadeira.
Questão 4/5 - Equações Diferenciais
Utilize a integração direta para encontrar a solução geral de y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x)
Nota: 20.0
	
	A
	y=x22−sen(x)+Cy=x22−sen(x)+C
	
	B
	y=2x−cos(x)y=2x−cos(x)
	
	C
	y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C
y=x33+sen(x)+C
Você acertou!
Integrando y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) temos
y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C
	
	D
	y=3x3−sen(x)y=3x3−sen(x)
Questão 5/5 - Equações Diferenciais
Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral de y′−5y=−25xy′−5y=−25x
Nota: 20.0
	
	A
	y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x
Você acertou!
Como temos 1 multiplicando y' e P(x)=−5P(x)=−5, podemos utilizar a fórmula μ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dx
Assim, temos que
(e−5xy)′=−25xe−5x(e−5xy)′=−25xe−5x
integrando em x
e−5xy=−25∫xe−5xe−5xy=−25∫xe−5x
que após a integração por partes, temos
e−5xy=e−5x(5x+1)+Ce−5xy=e−5x(5x+1)+C
isolando y
y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x
	
	B
	y=5ex+Cy=5ex+C
	
	C
	y=e−5Cy=e−5C
	
	D
	y=C−25exy=C−25ex