Mecanica do Corpo Rigido

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Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
1
 
Introdução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n̂n̂
V S 
n̂ 
n̂
x
y
x
z
ϕ
θ
r
P
O
ϕe
r
re
r 
θe
r
ρ z y 
x
θ
Sol z
y
x
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
1
 
 
 
1.1 - Definição de Mecânica 
 
Mecânica : estuda os estados de movimento 
ou de repouso dos corpos físicos. Se subdivide 
em: Estática e Dinâmica. 
 
 
 
Estática: estuda os estados de Inércia dos 
corpos. 
 
A Inércia de um corpo se caracteriza: 
(a) sob o ponto de vista da Translação, no seu 
estado de Repouso ( 0== tetanconsv
r
) ou de 
Movimento Retilíneo e Uniforme 
( 0≠= tetanconsv
r
), para qualquer Sistema de 
Referência Inercial (SRI) que é um Sistema de 
Referencial não acelerado )tetanconsv( SRI =
r
; 
(b) sob o ponto de vista da Rotação, no estado 
não Rotacional ( 0==ω tetancons
r
) ou de 
Movimento Rotacional Uniforme 
( 0≠=ω tetancons
r
). 
 
Princípio da Relatividade: 
“As leis da física são válidas para qualquer 
sistema de referência inercial, ou seja, não 
acelerado.” 
 
Lei da Inércia de Translação: 
“Um corpo tende a permanecer em repouso ou 
MRU (movimento retilíneo e uniforme) a não ser 
que uma força externa o tire deste estado 
fazendo-lhe produzir uma aceleração.” 
 
Lei da Inércia de Rotação: 
“Um corpo tende a permanecer sem rotaçao ou 
em um movimento spin (rotação em torno de sí 
mesmo) e uniforme (MSU) a não ser que um 
torque externo (força rotacional) o tire deste 
estado fazendo-lhe produzir uma aceleração 
angular.” 
 
 
Quando você está dentro de um carro parado 
você está em estado de inércia, quando o carro 
acelera, você sente uma “força” para trás. A 
avaliação desta ocorrência como uma força não 
é válida uma vez que você está em um sistema 
de referência acelerado que é o carro e que não 
serve para fazer tal análise. No Sistema de 
Referencia Inercial, se observa que o que o 
jogou para trás durante a aceleração do carro foi 
o seu próprio estado de inércia e não uma força. 
Se o carro breca o que o lança para frente é a 
sua inércia, ou seja, a tendência de seu corpo de 
se manter em movimento retilíneo e uniforme em 
que vinha vindo. Esta impulsão na realidade, não 
é uma força mas um estado de inércia (Lei da 
Inércia de Tranlação). Outro exemplo de força 
de inércia é o movimento do carro que vira a 
esquina produzindo uma trajetória circular. Você 
que está dentro do carro sentirá ser jogado para 
fora da curva como se existisse uma “força 
centrífuga”, da qual não é uma avaliação correta 
uma vez que o carro ao fazer a curva fica sujeito 
a uma aceleração centrípeta deixando de ser um 
Sistema de referência inercial. Para quem esta 
fora do carro você é lançado para a porta do 
carro do lado de fora do interior da curva, devido 
a sua inércia ou seja sua tendência de 
permanecer em movimento retilíneo e portanto 
com a tendência de sair pela tangente da curva 
feita. 
Não é possível diferenciar, a não ser de forma 
relativa, os estados físicos de repouso e (MRU) 
Movimento Retilíneo e Uniforme. 
 
Dinâmica: se subdivide na dinâmica 
observacional na qual é chamada de cinemática 
e na dinâmica causal que é a dinâmica 
propriamente dita. 
 
Dinâmica de efeitos ou Dinâmica 
Observacional ou Cinemática: estuda os 
fenômenos físicos observáveis do movimento. 
Aqueles fenômenos que podemos assistir, ver 
(cinema), e medir, no espaço-tempo. 
Exemplos: 
 
(a) no caso da translação: 
Mecânica 
Estática 
Dinâmica 
___________________________________________________________ 
Capítulo 1 
 
Conceitos Fundamentais -
___________________________________________________________ 
 
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 2
as variáveis como posição; tempo; velocidade e 
a aceleração dos corpos são as gransdezas 
observáveis do movimento; 
(b) no caso da rotação: 
a posição angular spin de cada ponto do corpo 
em rotação (em torno de um eixo próprio); a 
posição angular orbital (girando em torno de um 
outro corpo); a velocidade angular spin; a 
velocidade angular orbital; a aceleração angular 
spin e a aceleração angular orbital. 
 
Dinâmica (Dinâmica causal) : estuda os 
modelos ou teorias que explicariam as causas 
dos efeitos físicos observáveis do movimento. 
Arranja modelos para explicar as causas do 
movimento. Relaciona variáveis como: massa, 
momentum, momento angular, impulso, impulso 
angular, Força, Torque, energia cinética, energia 
potencial, potencial, Princípio da mínima ação, 
Lagrangeanas, Hamiltonianas, Campos, 
Interações de Partículas Elementares, Interações 
Ondulatórias. 
Existem vários modelos da dinâmica para 
explicar e calcular esses efeitos físicos 
observáveis ou cinemáticos: 
a) Modelo de Momentum e Impulso (Galileu e 
Newton) 
b) Modelo das Forças e Torques (Newton) 
c) Modelo das Energias (Carnot, Joule, 
Boltzmann) 
d) Modelo dos Potenciais (Maxwell) 
e) Modelo das Lagrangeanas (Lagrange, 
Fermat) 
f) Modelo das Hamiltonianas (Hamilton, 
Fermat) 
g) Modelo da Mecânica Quântica (Heisenberg, 
Schrödinger) 
h) Modelo da Mecânica quântico-relativística 
(Dirac, Klein-Gordon) 
i) Modelo dos Campos (Maxwell, Feymman) 
j) Modelo Relativístico (Einstein) 
k) Modelo das Interações entre Partículas 
Elementares (Yukawa, Gell-Mann, 
Feymman) 
 
Todos eles explicam de maneiras diferentes, 
com teorias e modelos diferentes, as vezes com 
intersecções, as causas dos fenômenos físicos 
observáveis (efeitos) do movimento. Alguns 
modelos explicam de forma mais fácil e genérica, 
alguns desses fenômenos, enquanto que outros 
modelos teriam mais facilidade para explicar 
outra variedade de fenômenos. 
 
1.2 - Grandes Variáveis 
de Importância da 
Natureza 
 
Os mais fortes vínculos físicos estabelecidos, 
estão enraizados nos conceitos que foram 
surgindo desde a Início do Universo (Big Bang). 
Uma das teorias mais vigentes na atualidade 
para a explicação da origem do Universo, se 
caracteriza pela Teoria do Big Bang proposta 
inicialmente (1940) por George Gamow (1904-
1964). Ele retirou tal teoria das Equações de 
Einstein da Gravitação e calculou teoricamente 
uma radiação cósmica de fundo, que representa 
como que um fóssil da atualidade vindo do início 
do Universo, em que na sua formação e na sua 
concentração era imensa e com a expansão e 
resfriamento calculou que na atualidade (1949) 
seria de 5 K (kelvin), sendo que em medidas 
posteriores experimentais se revelou ser de 
2,726 K, uma radiação que ocorre 
uniformemente vindo de todas as direções 
medida em qualquer ponto do espaço. Da atual 
radiação de fundo, se fizermos a linearização de 
seu valor para o passado, temos a indicação de 
que o Universo começou há aproximadamente, 
em torno de 14 bilhões de anos. 
 
 
Caracterizando a partir de seu início, surgiu uma 
grande quantidade de Energia em que em sua 
expansão, gera a Entropia (desorganização e 
caos), em que os fótons de energia com seus 
Momentos Lineares e Angulares produzem 
vórtices, criando a Matéria e Antimátéria, e na 
sua extensão a Massa e as Cargas Elétricas, 
passando a originar o Espaço e o Tempo, em 
conseqüência as Temperaturas, medidas da 
energia mecânica média de oscilação das 
partículas em um meio e os Campos 
gravitacionais, eletrostáticos, magnetostáticos, 
eletromagnéticos e nucleares, etc, devido às 
interações entre massas, cargas e antimatéria. 
Aparecem em conseqüência da diminuição de 
temperatura as Moléculas Orgânicas matéria 
mais organizada e de grandes moléculas que no 
tempo evolui para as Organizações Biológicas. 
A estes, continuam a participar os conceitos de 
Energia, que fornece a dinâmica do Universo, 
Momento linear na movimentaçãorelativa das 
partículas no espaço, Momento Angular Orbital e 
Spin caracterizando a rotação dos corpos 
rígidos, e nasce o conceito inverso de Entropia 
que é o advento da Informação. Produz-se 
movimento ao variar a informação produzindo 
intercambio de energias. A emoção surge nos 
animais como reação de substâncias e devido 
aos sentidos e resultado das percepções se 
aperfeiçoando, a partir dos orgãos em ebulição 
no organismo. O Sentimento surge como 
resultando do aperfeiçoamento das emoções. A 
 
 Energia 
 Entropia 
 Momentos Lineares 
 Momentos Angulares 
 Matéria 
 Antimatéria 
 Massa 
 Cargas Elétricas 
 Espaço 
 Tempo 
 Temperatura 
 Campos 
 Matéria Orgânica 
 Organizações Biológicas
 Informação 
 Sentimento 
 Pensamento 
 Vontade 
 Imaginação 
 Consciência...
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
3
Vontade liderada pelo Pensamento, faz 
resultar elementos super organizados e de 
criação, aperfeiçoando o Cérebro físico, que a 
partir da percepção abstrata que por trás da 
matéria grosseira e manifestação aparente 
observacional se revela a Imaginação que se 
aperfeiçoa pela manifestação e realimentação 
constante da Consciência. O movimento da 
energia, estabelece manifestações de organição 
ou desorganização, na sintonia de construção e 
percepção gradativa do Universo. A Informação 
é precedida pelo conceito de Pensamento e este 
pelo gerência da Consciência, que é capaz de 
abstrair pelo Pensamento e Imaginação e assim, 
planejar o direcionamento informacional dado à 
transformação da energia. Tais transformações 
se fazem primeiro na fase do estado de 
natureza ou experiência e erro, e posteriormente 
na fase do planejamento racionalizado através 
da memória, inteligência, abstração e 
aprendizado. É dentro de alguns destes 
conceitos fundamentais que será desenvolvido o 
estudo que realizaremos no curso de Mecânica 
do Corpo Rígido. 
 
1.3 - Princípios de 
Conservação 
 
Pontos relevantes de observação da física são 
os elementos que se mantém invariáveis em 
qualquer transformação. Alguns elementos de 
importância ou chamados de Princípios de 
Conservação observáveis em determinadas 
condições para um sistema, são denominados 
de Simetrias da Natureza, e alguns podem ser 
relacionados: 
a. Princípio de Conservação de Energia 
(Simetria no tempo) 
b. Princípio de Conservação de Momentum 
(Simetria no espaço linear). 
c. Princípio de Conservação de Momento 
Angular (Simetria no espaço angular) 
d. Princípio de Conservação de Carga Elétrica. 
e. Princípio de Conservação de Matéria. 
f. Princípio de Conservação de Matéria-
Energia. Etc. 
 
1.4 – Partícula e Corpo 
Rígido 
 
Definições em discernimento de 
 
 
 
a) Partícula 
ou ponto material 
 
1) tem massa m não desprezível, 
 
2) tem tamanho ou dimensões desprezíveis, em 
comparação com as dimensões de seu 
movimento. 
 
 
 
 
b) Corpo Rígido 
ou corpo extenso ou corpo sólido, 
características necessárias: 
 
1) tem dimensões não desprezíveis em 
comparação com as dimensões do movimento 
considerado 
 
2) tem a distância entre dois pontos quaisquer 
(AB) fixa, rígida, ao longo da análise do 
movimento. 
 
 
O corpo rígido é um caso particular de um 
Sistema de Partículas em que os pontos não se 
movimentam independentemente mas tem 
posições rígidas. O corpo rígido têm em comum 
com a Partícula e o Sistema de Partículas o fato 
de que se reduzíssemos toda a matéria do 
Corpo Rígido ao Centro de Massa, ele se 
comportaria identicamente à uma partícula e ao 
Sistema de Partículas também reduzido ao seu 
centro de massa, com velocidade =v
r
MCv
r
 
com aceleração CMaa
rr
= e com força resultante 
CMRR FFF ==
r
= CMam
r
 atuantes na posição do 
seu Centro de Massa. O que não seria possivel 
representar neste reducionismo ao Centro de 
Massa seriam as grandezas angulares como 
posição angular, velocidade angular orbital e 
spin, aceleração angular orbital e spin, momento 
angular orbital e spin, torque angular e spin, 
grandezas associadas ao corpo rígido e seus 
movimentos rotacionais. 
 
Análise dos corpos como partículas 
ou corpos rígidos: 
 
a) O planeta Terra pode ser tido como uma 
partícula quando considerado o seu movimento 
em torno do Sol a partir de um sistema 
referencial no centro do Sol. 
 
A
dAB= constante 
B
Corpo Rígido 
d
d <<< ∆s = caminho percorrido 
A
B 
 
 Partícula 
 Corpo Rígido 
 
 Sistema de Partículas 
 Sistema de Corpos Rígidos 
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 4
 
 
b) No entanto, será considerado como um corpo 
rígido quando analisamos o movimento do 
planeta Terra, adotando como sistema de 
referência um satélite artificial em sua órbita. 
Terá a Terra neste caso vários movimentos 
associados: rotação, translação, precessão e 
nutação. Ainda terá vários fenômenos 
associados como sejam: marés, fenômenos 
metereológicos, estações do ano, campo 
gravitacional de interação com o Sol a Lua e 
outros planetas, campo magnético, campos 
elétricos resultantes de atrito com nuvens e 
atmosfera ou partículas carregadas vinda do Sol 
e do espaço, meteoros, radiação do espaço, 
interação com o vento solar, auroras boreais e 
austrais, clima, tempo, chuvas, tempestades, 
tornados, tufões, redemoinhos, anomalias do 
campo magnético, poluições, fábricas, cidades, 
plantações, rebanhos, estradas, rios, oceanos, 
lagos, temperatura, sensação térmica, 
diversidades animais, áreas verdes, desertos, 
etc. que podem ser isolados dependendo do 
estudo que se deseja fazer do planeta. 
 
 
 
a) Um carro que se movimenta pela via 
Dutra de São Paulo ao Rio de Janeiro pode ser 
considerado como uma partícula. No entanto, se 
caracteriza por ser um corpo rígido quando 
considerado fazendo manobras em um 
estacionamento. 
 
 
b) Sistema de Partículas 
 
Define-se Sistemas de Partículas a um conjunto 
de partículas espalhadas, cada particula com 
sua velocidade e posição particular onde se 
pode definir um Centro das massas, de tal forma 
que o Sistema poderia ser representado em seus 
movimentos de translação por este ponto. A 
velocidade do sistema seria a velocidade de seu 
Centro de Massa, 
MCv
r , a aceleração do sistema 
seria a aceleração deste Centro de massa 
MCa
r
, 
e a força resultante seria com força resultante 
RF
r
, aceleração angular α
r
 e torque resultante 
RM
r
 . Exemplos de Sistemas de partículas: (a) 
um gás em um recipiente; (b) um conjunto de 
estrelas; (c) um átomo com núcleo e elétrons; (d) 
uma molécula composta de vários átomos; (e) 
partículas em estado de dispersão em 
movimento browniano; (f) o Sistema Solar com 
seus planetas, cometas, meteoros e vento solar ; 
etc. 
 
O caso mais geral de Sistema de Partículas 
ocorre em que as partículas interagem da 
seguinte forma: 
(a) cada partícula possui uma inércia 
anterior de movimento ; 
(b) cada partícula tem uma ligação de 
interação gravitacional uma com a outra 
e com o meio na qual se encontram; 
(c) se a partícula tem carga elétrica há uma 
ligação de interação com campos 
elétricos e magnéticosentre si e com o 
meio na qual se encontram; 
(d) as partículas podem realizar choques 
mecânicos entre si. 
(e) as partículas podem estar em um meio 
limitado (recipiente das partículas) em 
que realizam choques contra esses 
limites. 
 
No cálculo do Centro de Massa de um Sistema 
de Partículas se utiliza a forma descontínua ou 
discreta do somatório de cada partícula 
separadamente. 
 
Um dos conceitos de grande importância para 
estudo de um Sistema de Partículas, de um 
Corpo Rígido ou um Sistema de Corpos Rígidos 
é o de Centro de Massa pois nele se concentram 
grandes simplificações de um movimento 
aparentemente complexo. 
 
SP
RJ
Estacionamento 
v = 100 km/h 
Terra 
Satélite
(b) 
Sol 
Terra 
v = 30 km/s 
(a) 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
5
 
 
 
d) Sistema de Corpos Rígidos 
 
Podemos subdividir um corpo rígido em partes 
geométricas conhecidas de tal maneira a formar 
um Sistema de Corpos Rígidos em que se pode 
calcular o Centro de Massa desse Sistema 
compondo as partes conhecidas dos Centros de 
Massa de cada uma das partes divididas e 
conhecidas, no somatório das partes: 
 
∑
∑
=
i
ii
C m
mr
r
M
r
r
 
 
Assim como a velocidade e aceleração do 
Centro de Massa: 
 
∑
∑
=
i
ii
C m
mv
v
M
r
r
 
∑
∑
=
i
ii
C m
ma
a
M
r
r
 
 
E a força resultante é a força que atua no Centro 
de Massa: 
 
MCR amF
rr
= 
 
 
 
1.5 - Movimentos de 
Translação, de Rotação e 
Movimento Geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Translação 
Define-se movimento de translação pura de um 
corpo rígido, quando a direção de ligação entre 
dois pontos quaisquer AB do corpo, não varia ao 
longo do movimento: 
 
 
b) Rotação 
O movimento de rotação pura de um corpo 
rígido ocorre, quando a direção AB, 
qualquer, de ligação entre dois pontos do corpo 
varia a sua direção, girando em torno de um eixo 
perpendicular fixo. 
 
 
c) Movimento Geral 
Se caracteriza quando ocorre os dois tipos de 
movimento juntos: translação e rotação. 
 
 
 1.6 - Centro de Massa, 
Centróide e Baricentro 
 
 
 
 
 
 
 
A
B
BA A
B
ABMovimento Geral 
→
A
B
ω
A
B
A
B
B 
A
Movimento de Rotação 
Depois Antes
A
A B
A
B
A
B
B
A
Movimento de Translação 
CM 
2r
r
2v
r
nv
r
MCv
r
 (efeito) 
O 
1r
r
nr
r
1v
r
MCr
r
 Movimento de: 
 
 Translação 
 Rotação 
 Geral 
 
 
 
 
 
 Centro de Massa (CM) 
 Centro Geométrico (CV, CA, CL)
 Centro Gravitacional (CG) 
 
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 6
 
a) Centro de Massa (CM) 
 
Corresponde ao ponto de equilíbrio de um corpo 
em relação à correspondente distribuição das 
massas ao longo das partes desse corpo. É 
caracterizado pela sua posição em coordenadas 
espaciais: )z,y,x(r
MC =
r
 : 
 
 
 Sistema de Partículas ou 
Sistema de Corpos Rígidos: 
 
∑
∑
=
i
ii
C m
mr
r
M
r
r
 
 
 
Corpo Rígido: 
 
 
∫
∫=
dm
dmr
r
MC
r
r
 
 
Nos corpos com partes discretas ou 
descontínuas podemos calcular seu centro de 
massa através da expressão com os sinais de 
somatório e nos corpos extensos e contínuos 
fazemos sua determinação pela expressão com 
as integrais, onde os sinais de somatório (sigma 
maíusculo= s grego) se transformam nos sinais 
de integral (s comprido) e o índice i se transfoma 
no d na diferencial infinitesimal da massa dm. 
 
Derivam do conceito de Centro de Massa (CM) 
os conceitos: (a) Centro Geométrico ou 
Centróide (C), em que podemos ter: Centróide 
de Volume; Centróide de Área e Centróide de 
Linha; (b) de Centro de Gravidade (G) ou 
Baricentro ou Centro de Forças Paralelas (CG ou 
G); (c) Centro de Forças paralelas. 
 
c) Centro Geométrico ou 
Centróide (CV , CA , CL) 
 
Caracterizado pela posição correspondente ao 
ponto central da distribuição geométrica de 
volumes ou áreas ou linhas, através das partes 
desse corpo. 
 
 
Valores Discretos ou Descontínuos 
 
Centróide de Volume: 
 
∑
∑=
i
ii
C V
Vr
r
V
r
r
 
 
 De Área: 
 
∑
∑=
i
ii
C A
Ar
r
V
r
r
 
 
De Linha: 
 
∑
∑=
i
ii
C L
Lr
r
V
r
r
 
 
Valores Contínuos: 
 
 
 
 
 
∫
∫=
dV
dVr
r
VC
r
r
 
 
 
 
∫
∫=
dA
dAr
r
VC
r
r
 
 
 
 
 
 
 
∫
∫=
dL
dLr
r
VC
r
r
 
 
 
b) Centro de Gravidade ou 
Baricentro (CG) 
 
Corresponde ao ponto de equilíbrio de um corpo 
em relação à distribuição de forças peso 
paralelas. Este conceito é muito utilizado nos 
paises de língua inglesa uma vez que a unidade 
fundamental nestes países ainda é o peso, 
medido em libras, enquanto que a massa é 
considerada uma unidade derivada, ou seja, 
dada pelo peso dividida pela aceleração da 
gravidade 1 lb / 32,2 (ft/s2) = 0,0311 slug. A 
unidade de massa nestes países quase não é 
utilizada a não ser em cálculos intermediários. 
No entanto, sabemos que sendo a massa no 
sistema internacional uma grandeza 
fundamental, medida em kg, e também 
fundamental em qualquer campo de gravidade, 
neste caso então, o conceito de Centro de 
Massa é também mais fundamental. Se formos 
medir o Centro de Gravidade de um corpo no 
espaço interplanetário o seu valor seria zero, 
mas o seu centro de massa não, sendo que o 
conceito de centro de massa vale para qualquer 
corpo em qualquer parte do universo, o que 
mostra que sua definição é mais universal. No 
entanto é também o ponto que equilibra todos os 
pesos. Muitas vezes se utiliza o conceito de 
Centro de Massa e Centro de Gravidade 
indistintamente. No entanto, a rigor iremos 
explicar mais à frente, quando, 
excepcionalmente os dois não coincidem. 
 
Centro de Gravidade ou Baricentro: 
 
Sistema de Partículas ou 
Sistema de Corpos Rígidos: 
 
∑
∑=
i
ii
C P
Pr
r
G
r
r
 
 
Corpo Rígido: 
 
 
∫
∫=
dP
dPr
r
VC
r
r
 
 
Veja-se que as definições são idênticas, 
modificando somente as variáveis de utilização, 
ou seja, a massa m pode ser substituida pela 
volume V, pela área A, pela linha L ou pelo peso 
P. Isto ocorre conforme pudermos fazer o 
reducionismo de simplificação do formato do 
corpo. 
 
1.7 – Simplificações 
produzidas pelo Centro 
de Massa (CM) 
 
O Centro de Massa de um Sistema de 
Partículas, é o ponto que se pode estudar, como 
se nele estivesse concentrado, toda a dinâmica 
(estado de movimento não inercial) ou estática 
(estado de movimento inercial ou repouso), das 
seguintes grandezas que estão uniformemente 
distribuídas ao seu redor: 
(a) a soma de matéria ou de inércia, distribuídos 
à sua volta, ou soma de toda sua Massa: 
∑
=
=
n
j
jmm
1
 
(b) a soma total das posições de matéria ou 
posições de inércia distribuídas à sua volta ou 
soma dos produtos massa-posição: 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
7
∑
∑
=
i
ii
C m
mr
r
M
r
r
 
 
∑= imm = massa total 
 
(c) a soma de todos os Momentuns distribuídos à 
sua volta ou produtos massa-velocidade: 
 
MM CiCii
n
1i
i vmmvmvpp
rrrrr
==== ∑∑∑
=
 
 
∑
∑
=
i
ii
C m
mv
v
M
r
r
 
 
(d) ou a soma de todas as Forças distribuídas à 
sua volta ou produtos massa-aceleração: 
 
∑∑∑∑∑ =====
=
iCi
i
ii
i
i
i
i
n
1j
iR maamvdt
dmp
dt
dFF
M
rrrrrr
 MCR amF
rr
= 
∑
∑
=
i
ii
C m
ma
a
M
r
r
 
 
(e) a soma de todos os Momentos Angulares 
distribuídos à sua volta ou produtos vetoriais 
posição-momentum 
ω=∧== ∑∑
=
rrrrr
IprLL i
i
i
n
1j
iR 
Onde I é o momento de inércia de rotação. 
 
(f) a soma de todos os seus Torques distribuídos 
à sua volta ou produtos vetoriais posição-Força 
 
i
i
ii
i
ii
i
n
i
F
GR Frpdt
drL
dt
di rrrrrrr ∧=∧==τ=τ∑∑∑∑
=1
 
α=τ
rr
IR 
1.8 - Dimensões 
 
Dimensão zero ( 0) ou estrutura 
Zerodimensional : é representada por um 
ponto: tem volume desprezível e sem 
dimensões observáveis. Só se pode ficar parado 
no mesmo lugar, sem opções de movimento. 
Redução a zero do intervalo s em torno do 
ponto em qualquer direção: s = 0. 
 
Dimensão um (1) ou estrutura 
Unidimensional : é representado por uma reta, 
ou um comprimento unidirecional, um eixo x. Só 
se pode andar para frente ou para trás neste 
eixo. Nem laterais, nem em cima nem em baixo. 
O intervalo s invariante da unidimensionalidade 
ou diferença entre dois pontos é caracterizado 
por: 
 
( ) 221212 )( xxxxxs ∆=−=−= . 
 
Dimensão um e meio (1,5) ou estrutura 
Fractal entre a dimensão um e a dimensão 2: 
é representado por uma curva encurvada para 
uma segunda dimensão, que dependendo da 
forma pode ser 1,1 ou 1,2 ou 1,3 ..., 1,7, 1,8, 1,9. 
 
 
 
Dimensão dois (2) ou estrutura 
Bidimensional : é um plano ou dois eixos um a 
90º do outro, x e y. Só se pode caminhar sobre o 
plano e se verificar o plano. Não existe acima ou 
abaixo do plano. Um número complexo, por 
exemplo é um número bidimensional, pois é 
representado por dois eixos linearmente 
independentes: o Real e o Imaginário: z = a + j b 
= r cos θ + j r sen θ = r e j θ = r ∠ θ . Da 
mesma que forma os eixos cartesianos x e y. O 
intervalo invariante s, na bidimensionalidade é 
dada por 22 yxs ∆+∆= 
 
 
 
Dimensão dois vírgula três (2,3) ou 
estrutura Fractal entre a dimensão dois e a 
dimensão três: é representado por um plano 
encurvado para uma terceira dimensão, que 
dependendo da forma pode ser 2,1 ou 2,2 ou 2,3 
..., 2,7, 2,8, 2,9. 
 
 
Espaço bidimensional curvo 
(se encurva para a terceira dimensão) 
dimensão fractal: 2,3 por exemplo 
S
y
x
∆x 
∆y 
2j
Real (z)
Imag (z)
S
2 
-1 0 
2
S
Estrutura unidimensional curva 
(se encurva para uma segunda dimensão. Dimensão fractal: 
1,2 por exemplo 
-2 -1 0 1 2 X2...... XX1
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 8
Dimensão três (3) ou estrutura 
Tridimensional : é o espaço (comprimento, 
largura e altura) nosso conhecido, caracterizado 
por três eixos, x, y, z, um a 90º do outro 
(linearmente independentes). Podendo também, 
apesar de não se poder enxergar fisicamente, 
ter-se um espaço curvo. Pode não dar para se 
imaginar um espaço curvo fisicamente, pois o 
nosso Universo vivenciado fisicamente, através 
dos sentidos biofísicos é de três dimensões, mas 
é possível observá-lo matematicamente, e 
imaginá-lo depois de estudada sua matemática 
fisicamente ou por analogias e inclusive existem 
estruturas físicas que obedecem leis com mais 
de três dimensões, como por exemplo, a 
estrutura relativística do espaço-tempo ou a 
teoria das supercordas. Na estrutura 
tridimensional, se pode caminhar em todas as 
direções espaciais e tridimensionais conhecidas 
pelos nossos sentidos físicos padrões. O 
intervalo s, invariante da tridimensionalidade é 
dado por 
 
222 zyxABs ∆+∆+∆== 
 
Dimensão três e meio (3,5) 
corresponderia a um espaço curvo. 
 
Dimensão quatro (4) ou estrutura 
Quadridimensional é caracterizado pelo 
hiperespaço ou espaço de 4 dimensões, 
representado por 4 eixos, um a 90º do outro, x, 
y, z, w. A teoria da relatividade restrita, trabalha 
com 4 dimensões, sendo: w = i c t ; “c” = 
velocidade da luz no vácuo = 300.000 km/s = 
máxima velocidade na natureza; “t” = tempo; i = 
variável imaginária dos números complexos = 
1− . Costuma-se designar os quatro eixos da 
relatividade restrita por: xo = i c t , x1 = x , x2 = y , 
x3 = z , tendo seu intervalo s, invariante, dado 
por 
2222 wzyxs ∆+∆+∆+∆= 
 
Com a matemática permite se trabalhar com 
vetores de 3 eixos curvos ou mesmo 4 eixos 
ortogonais. Podemos não “ enxergar “ 
dimensões acima de três, devido ao fato de toda 
nossa experiência sensorial biológica ser 
limitada a três dimensões espaciais. No entanto, 
a Física atual necessita de outras dimensões 
espaciais, que a matemática acompanha, para a 
explicação da manifestação de muitos 
fenômenos físicos, e que a biologia sensorial não 
participa. Talvez o ser humano inserido na 
dimensão psicobiofísica, onde se aperfeiçoa a 
mente ou psiquismo, o corpo ou a biologia e a 
física ou a natureza, penetre outras dimensões, 
no futuro, sendo mais capaz de “ enxergar “ ou 
entender” estas dimensões adicionais, de forma 
melhor. Por enquanto a nossa forma de 
entendimento é matemática e através de 
analogias, como muitas coisas da física a qual 
penetramos e ainda não entendemos com mais 
profundidade. A Teoria Geral da Relatividade 
para explicar a Gravitação, Teorias do Universo 
e as estruturas curvas do espaço tempo se 
utiliza de 4 dimensões. 
 
Dimensão N ou estrutura N-dimensional ou 
Multidimensional - A teoria das supercordas 
que tenta unificar as quatro forças de interação 
principais da natureza (a força gravitacional, a 
força nuclear fraca, a força eletromagnética e a 
força nuclear forte), possui um dos modelos que 
trabalha com 11 dimensões e em um outro 
modelo se trabalha com 26 dimensões. Modelos 
do Universo, modelos da Física, modelos do 
microcosmo ou do macrocosmo, não tem limites 
dimensionais, desde que funcionem para 
explicar os fenômenos observados. A 
matemática, a geometria multidimensional de 
espaços curvos, a álgebra de matrizes, a teoria 
de grupos, permite trabalhar-se com tais 
modelos. 
Se morássemos na 2ª dimensão e víssemos 
uma esfera atravessar o nosso espaço físico 
bidimensional, diríamos que começou a sua 
manifestação com um ponto, passou a um 
círculo crescente, chegou ao máximo do círculo, 
voltou a decrescer até voltar ao ponto e 
desapareceu. Esta descrição poderia ser de 
forma matemática, descrita como uma 
periodicidade de movimento tridimensional de 
um circulo com uma dimensão a mais, mas não 
saberíamos enxergar o que seria a esfera, mas 
poderíamos trabalhar com ela matematicamente, 
e ter uma satisfatória descrição matemática 
desta ocorrência periódica. 
 
 
 
 
1.9 - Sistemas de 
Referência 
Sistema de Referência Inercial (SRI) 
 
As leis da Física Clássica são descritas e 
são válidas em qualquer Sistema de 
Referencia Inercial. 
 
O Sistema Referencial Inercial é aquele que está 
em repouso ( vr = 0) ou está em movimento 
A
B
s 
x 
y 
z 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
9
retilíneo e uniforme (MRU) ( 0v ≠r ), ou seja, 
tem velocidade vetorial constante, ou seja, 
aceleração nula, livre de acelerações. 
Na prática não existe um Sistema Inercial 
Absoluto, mas dentro de um certo intervalo de 
tempo considerado, podemos adotá-los válidos. 
 
Repouso ou Movimento são conceitos relativos 
ao Sistema Referencial Inercial Adotado (SRIA). 
Não existe repouso ou movimento absolutos. 
Momentum e Energia são também relativos ao 
SRIA. São absolutos em um mesmo SRIA 
dentro da Física Clássica: Força (F) , Torque (M) 
, Momento Angular (L) , Impulso (I). Intervalo de 
tempo ( ∆t ), variação de espaço ( ∆s ), massa 
(m) sendo que na mecânica clássica são 
absolutos, mas na Mecânica Relativística 
Especial e Mecânica Relativística Geral alguns 
não o são. 
 
Podemos exemplificar alguns SRI: 
 
(a) um sistema referencial com origem na 
superfície da Terra, em um laboratório de 
medidas, que teria validade inercial para 
descrever um movimento com tempo de duração 
t << 24 h, (t muito menor que 24 h). A 
aproximação ocorre devido ao movimento 
acelerado de rotação da Terra em torno de si 
mesma, tendo uma velocidade em um ponto no 
equador, de 1782 km/h ou 0,5 km/s, na direção 
perpendicular ao raio da Terra e associada está 
esta velocidadecom a aceleração centrípeta ; 
 
 
b) um sistema de referência com origem no 
Centro da Terra, com um eixo apontando na 
direção perpendicular ao plano formado pelo 
movimento dos planetas em torno do Sol e os 
outros dois eixos no plano da eclíptica, ou seja, 
no plano de movimento dos planetas, um radial 
ao sol e o outro ortogonal. Pode assim descrever 
um movimento com o tempo de duração t << 
365 dias, devido ao movimento de translação do 
planeta Terra em torno do Sol, com sua 
velocidade de 30 km/s ou 108.000 km/h, na 
direção aproximadamente perpendicular ao raio 
que liga Sol e Terra ; 
 
 
a) um sistema referencial com origem no 
centro do Sol, e apontando para 3 estrelas fixas 
em relação ao Sol, que formem um ângulo de 
90º entre si. 
 
 Deve-se saber que o Sol tem seu 
movimento em torno do centro da Galáxia; 
 
 
 
c) um sistema referencial com origem no centro 
da nossa Galáxia, a Via-Láctea, aglomerado 
estelar de 100 bilhões de estrelas e 106000 
anos-luz de extensão, associada a um conjunto 
de 10 bilhões de galáxias no Universo, onde se 
teria, associada a ela, um eixo perpendicular ao 
plano das estrelas da Galáxia e dois no plano da 
Galáxia, direção radial ao seu Centro (Veja 
Apêndice 1). Tendo-se consciência que a 
Galáxia tem seu movimento relativo às outras 
Gálaxias. 
 
 
Sabemos assim que a Terra gira em torno de si 
mesma, e em torno do Sol. O Sol gira em torno 
da Galáxia, e a Galáxia tem seu movimento 
relativo à outra galáxia. Nada está parado no 
Universo, não se tendo, portanto, um ponto de 
referência absoluto. A Galáxia mais próxima da 
Via-Látea é a Galáxia de Andrômeda a 2,2 
milhões de anos-luz da nossa. Assim se pode 
formar referenciais relativos, ou seja, válidos sob 
Sol z 
y 
x
S
S
M
V
T 
J 
UM
N
P
..
Terra 
y 
z
x
Terra 
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 10
certos limites, mas não absolutos. Isso funciona 
desta forma, assim como todas as Verdades 
encontradas na Ciência, ou seja, não se tem 
verdades absolutas, mas apenas Verdades 
Relativas de Ponta, válidas dentro de 
determinados limites conscientes e 
estabelecidos e que poderão ser aperfeiçoadas e 
universalizadas no futuro. 
 
Mecânica Relativística Geral 
É importante que façamos uma observação 
neste instante, sobre a Mecânica Relativística 
Geral (Einstein, 1916), que estuda a Gravitação 
sob o aspecto geométrico. A teoria considera 
que o fenômeno da gravitação seja um 
encurvamento do espaço físico tridimensional 
para uma quarta dimensão. Isso ocorre na 
presença de uma grande massa no espaço físico 
tridimensional que encurva o espaço 
tridimensional para esta quarta dimensão de tal 
forma que as geodésicas naturais fazem com 
que os outros corpos próximos caiam para este 
corpo maior, devido a esta nova geometria do 
espaço que não percebemos a priori, mas que 
podemos calcular matematicamente e explicar 
os fenômenos gravitacionais ao redor. 
O que podemos imaginar, por analogia, seria 
uma cama com uma borracha plana esticada 
que se encurva, quando colocada no seu centro, 
uma grande massa, uma esfera de aço, por 
exemplo. Se colocarmos nas proximidades da 
grande esfera que encurva a borracha corpos 
menores como uma pequena esfera de aço 
pequena, por exemplo, na cama de borracha 
esticada e encurvada, estes caem para esta 
massa maior, seguindo sua geodésica de maior 
encurvamento. Ou se forem lançadas com uma 
velocidade lateral à grande esfera, entram em 
sua órbita se não houver atrito com a borracha 
em uma queda constante. Este exemplo, nos faz 
“enxergar” o encurvamento da segunda para a 
terceira dimensão, imaginemos com nossas 
pobres possibilidades de inteligência e 
sensibilidade biológica a transposição da terceira 
para a quarta dimensão. 
Neste caso, Einstein, partiu do pressuposto, para 
o desenvolvimento da teoria, de que a massa 
inercial e a massa gravitacional possuem valores 
idênticos. A massa inercial é aquela que aplicada 
à uma partícula uma força resultante (que 
caracteriza uma causa), aparece um efeito físico 
observável a esta partícula que é uma 
aceleração (efeito produzido, observado e 
medido), ou seja, uma variação de velocidade, 
sendo que o coeficiente que relaciona a causa F
r
 
e o efeito a
r
, é a massa inercial do corpo: 
amF i
rr
= . A massa gravitacional é aquela 
massa associada à força peso ou a força de 
campo gravitacional do local. Assim sendo, a 
força peso é igual ao produto da massa 
gravitacional mg pela aceleração gravitacional do 
local gag
rr
= . Assim ggg amF
rr
= ou 
gmP g
rr
= . Newton fez a menção a estas duas 
massas e disse não saber com precisão se eram 
idênticas. Einstein afirma serem iguais, o que foi 
confirmado e mantido pela experiência, ao longo 
dos 2 séculos após Newton. 
Neste caso, associemos a seguinte experiência 
de pensamento: estamos dentro de um elevador 
no espaço vazio, portanto, flutuamos sem 
direção de gravidade. Se o elevador passar a 
adquirir uma aceleração igual a g
r
 no sentido 
inverso do piso do elevador, seremos lançados 
para o piso, por uma “força” de inércia, Sistema 
Referencial Acelerado, em relação ao elevador, 
e passaremos a sentir identicamente como se 
estivéssemos em um local de gravidade g
r
. 
Sendo assim, estarmos na superfície da Terra, 
convivendo com a gravidade, que seria 
identicamente o mesmo que estarmos na 
superfície do planeta sem gravidade e com o raio 
do planeta aumentando no tempo a uma razão: r 
= (g / 2) t2, ou seja, a superfície do planeta 
acelerada com aceleração g empurrando esta 
superfície para cima em direção aos nossos pés. 
Portanto, neste momento, podemos dizer que 
estamos vivendo em um sistema de referência 
não inercial, ou seja acelerado, na direção do 
eixo vertical, ou então, simplesmente que 
estamos num campo gravitacional na direção do 
eixo vertical, que é uma forma idêntica de 
interpretação teórica de um mesmo efeito físico. 
Não podemos diferenciar um modelo do outro, 
pois a massa inercial é idêntica à massa 
gravitacional. As duas interpretações seriam 
idênticas, portanto, não estamos livres dos 
sistemas não inerciais, apenas o estamos 
tratando através de outra interpretação, 
chamando-o de campo gravitacional. A 
Relatividade Geral estuda os movimentos, 
tratando a gravidade naturalmente e 
geometricamente como sistemas de referência 
não inerciais ou seja, acelerados e estabelece 
uma física para observação do universo a partir 
desses sistemas acelerados, não fazendo 
distinção de um ou de outro. A partir deles pode-
se fazer modelos para o Universo em espaços 
curvos. 
 
1.10 – Distâncias no 
Universo Conhecido 
 
Distâncias de objetos astrofísicos Distâncias baseadas na 
velocidade da luz 
Terra-Lua 1,27 segundos-luz 
Sol-Mercúrio 3,22 minutos-luz 
Sol-Vênus 6 minutos-luz 
Sol-Terra 8,33 minutos-luz 
Sol-Marte 12,7 minutos-luz 
Sol-Júpiter 43,3 minutos-luz 
Sol-Saturno 1,32 horas-luz 
Sol-Urano 2,65 horas-luz 
Sol-Netuno 4,17 horas-luz 
Sol-Plutão 5,46 horas-luz 
Sol-Eris 13,4 horas-luz 
Sol-Estrela mais próxima (α do 
Centauro) 
4,3 anos-luz 
Sol-Centro da nossa Galáxia 23,3 mil anos-luz 
Raio do Núcleo da nossa Galáxia 10 mil anos-luz 
Diâmetro da nossa Galáxia 106 mil anos-luz 
Via Láctea à galáxia mais próxima 
Galáxia de Andrômeda 
2,22 milhões anos-luz 
Galáxia mais longínqua observada 13 Bilhões de anos-luz 
Beirada Máxima do Universo 
calculada teoricamente 
 
13,6 Bilhões anos-luz 
Número de estrelas na nossa 
Galáxia a Via Láctea 
≈ 100 Bilhões 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
11
Número de Galáxias no Universo 
observável 
≈ 10 Bilhões 
 
Apesar destas distâncias imensas e sabermos 
quão pequenos nos somos em todo esse espaço 
infindável que passamos a ter mais lucidez 
pouco a pouco, sabemosque ainda não 
conseguimos como seres humanos, atingir as 
profundezas do espaço nem interplanetário, 
muito menos interestelar, e menos ainda 
intergalático, com nossa física atual, mas 
sabemos, no entanto, que conseguimos penetrar 
com nossas mentes, nossas consciências, os 
conhecimentos deste espaço com nossas 
pesquisas, nossa curiosidade, nossa intuição, e 
continuaremos tentando e aperfeiçoando novas 
maneiras até atingirmos cada vez e cada vez 
mais. 
 
1.11 – Algumas Variáveis 
Importantes da Mecânica, 
segundo o modelo de 
Newton 
 
 1) Inércia: 
(a) Inércia de Translação: Todo corpo tende a 
se manter em repouso ou com sua velocidade 
constante a não ser que uma força o tire deste 
estado. A massa m é uma medida desta Inércia 
de translação, que se transpõe entre a força 
atuante e a aceleração observada: MCR amF
rr
= . 
(b) Inércia de Rotação: Todo corpo tende a se 
manter sem rotação em torno de seu eixo ou em 
rotação com velocidade angular constante a não 
ser que um torque o tire deste estado. O 
Momento de Inércia I em torno do seu eixo é 
uma medida desta Inércia de Rotação α=τ
rr
IR . 
 
2) Massa de um corpo (m) 
1) massa inercial: é uma medida da inércia de 
translação de um corpo ; é uma medida da 
dificuldade de se tirar um corpo de seu estado 
de velocidade vetorial ( v
r
) constante, que 
caracteriza: ou seu estado de repouso (v = 
const = 0) ou de seu movimento retilíneo e 
uniforme (MRU) (v = const ≠ 0); a/Fm i = . 
2) massa gravitacional: é uma medida obtida 
através do peso do corpo, ou seja, sua tendência 
de queda no campo gravitacional da Terra: 
)k(s/m8,9g 2
rr
−= ; associada ao peso e dada 
por mg = P / g. 
3) massa como medida da quantidade de 
matéria de um corpo 
im onde ∑= imm ou ∫= dmm 
 
3) Momento de Inércia: 
O momento de inércia ( I ) de um corpo rígido é 
uma medida da sua inércia de rotação, ou seja, 
associada a dificuldade de girá-lo em torno de 
um eixo definido. É uma medida da dificuldade 
de se produzir variação da velocidade angular 
ω
r
de um corpo em relação a um eixo de giro 
definido. 
 
 
4) Momentum 
ou Quantidade de Movimento ou Momento 
Linear – produto da massa do corpo pelo seu 
vetor velocidade: 
vmp
rr
.= 
 
∑ == MCiii vmvmp
rrr 
 
Um corpo rígido que possui momento linear 
constante ou mesmo velocidade linear constante 
tem força resultante nula atuando sobre ele. 
 
5) Força Resultante 
Soma de todas as forças externas ou de vínculo 
que atuam sobre o corpo, uma vez que a soma 
das forças internas de um corpo se anulam 
mutuamente. 
)fF(F ernasinti
externas
iR
rrr
∑ += 
0f ernasinti =∑
r
 
∑= externasiR FF
rr
=∑ iF
r
 
 
Força resultante – derivada do momentum ou 
variação do momento linear no tempo, ou o 
produto da massa de um corpo pela sua 
aceleração – regula a causa da mudança do 
estado de inércia de um corpo. 
 
a.m
td
vd
m)vm(
td
dp
dt
dFR
r
r
rrr
==== 
 
6) Momento Angular 
Produto vetorial entre o vetor posição e o 
momentum do corpo – ou produto do momento 
de inércia e sua velocidade angular. Relata o 
estado momentâneo na qual se encontra em seu 
movimento de rotação em torno de outro corpo 
(momento angular orbital) ou em torno de si 
mesmo (momento angular spin): 
 
ii prL
rrr
∧= ∑ 
 
ω=
rr
IL 
 
7) Torque Resultante ou Momento 
de Força Resultante 
Soma dos Torques de todas as forças externas e 
Binários que atuam sobre o corpo. Representa 
fisicamente a tendência de mudança do seu 
estado de movimento angular uniforme em sua 
rotação. 
)( ernasinti
externas
iR τ+τ=τ ∑
rrr
 
 
 Corpo Discreto ou Corpo Contínuo: 
 Descontínuo 
 i
2
i mrI ∑= dmrI
2∫= 
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 12
0ernasinti =τ∑
r
 
∑τ=τ externasiR
rr
= ∑ τi
r
=∑τ iFo
r
 
 
Podemos caracterizar o Torque (ou Momento 
de Força ou Binário ou Conjugado), como 
sendo a derivada do vetor Momento Angular, ou 
seja, a variação do Momento Angular da 
partícula ou do corpo rígido no tempo – regula a 
causa da mudança do estado de rotação do 
corpo rígido: 
 
( ) α=ω=ω==τ r
r
r
r
r
I
td
dII
td
d
td
Ld
R 
 
FrL
dt
d rrrr
∧==τ 
 
1.12 – Máquinas Simples 
 
a) Cunha 
Cunha: uma máquina simples análoga ao plano 
inclinado mas usado como alavanca. Constituído 
por um prisma triangular que tem como secção 
transversal um triângulo isóceles e é usada para 
alargar uma rachadura, vencendo as duas 
resistências e a medida que a fenda de abre ele 
garante que não se feche mais o que se abriu. 
Quanto menor o seu ângulo de ação maior a 
capacidade de penetrabilidade. A lâmina de um 
cutelo funciona como uma cunha muito afiada. 
São cunhas, a ponta de uma flecha indígena, 
uma faca, uma chave de fenda, um bisturi. Uma 
cunha abre fissuras e as alarga. Quanto mais 
afiada maior o seu poder de trabalho. Na 
atualidade o melhor bisturi, o mais fino, é o 
bisturi a laser, uma cunha eletromagnética, 
nenhuma supera a sua finura que chega a 
apenas separar as células sem as dilacerar, 
servindo para operações plásticas, pois facilita a 
recomposição sem cicatrizes. 
 
 
 
b) Plano Inclinado 
Plano Inclinado: reduz a força peso na razão do 
triângulo que reflete o ângulo de inclinação θ, na 
sua altura h (cateto oposto: op), sua base b 
(cateto adjacente) e hipotenusa. Na construção 
das grandes pirâmides, ou para elevar grandes 
pedras a grandes alturas, o plano inclinado foi e 
será uma máquina simples essencial. 
 
 
c) Alavanca 
Uma alavanca que gira em torno do seu 
fulcro O (fixo), ponto de rotação, onde em 
um de seus pontos é aplicada uma força de 
potência FP (força menor) em A, para se 
impor à força de resistência FR (força maior) 
em B. A razão entre estas duas forças FP/FR 
=b/a, está na razão inversa entre os braços 
da alavanca a e b e como a>b, assim FP < 
FR, o que garante o rendimento da 
alavanca. Exemplos de Alavancas: 
 
 
 
 
O (Fulcro) 
FR
FP
B
A
O
 a 
A
B
 b 
FP
FR
b FR - a FP = 0 
a
b
F
F
R
P =
Fulcro
O 
aA B
b 
FP FR
a FP - b FR = 0 
a
b
F
F
R
P = 
Fulcro 
N 
Pn 
Pt 
P 
l
h
F
F
P
P
R
Pt ==
b 
θ
θ
Pt = P sen θ = P ( h / l ) 
h
Pn = P sen θ = N = P ( h / l ) 
FP 
h
b
l
l
FP 
FR 
FR 
A
B
S 
FP 
AB
AS
F
F
P
R =
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
13
 
 
 
 
 
d) Roda 
A Roda possui a capacidade de ter o menor 
perímentro com o interior de maior área. É 
utilizada em superar o atrito de arrastamento, 
através da vantagem do rolamento. A concepção 
do conceito abstrato da roda não é um conceito 
tão simples como se pensa. A comunidade 
indígena por exemplo com linguagem e 
sociedade desconhece a descoberta da roda. 
 
Se desenrola suas aplicações associadas, em 
outras máquinas simples, como a roldana fixa, a 
roldana móvel, e a associação de rodas através 
de engrenagens e polias. 
 
e) Roldana 
Rodana fixa: é uma máquina que serve em 
primeiro lugar para mudar o sentido da força de 
resistência sem no entanto variar-se sua 
grandeza: FR = FP . 
 
Rodana móvel: reduz a força de potência a 
metade da força de resistência : FP = FR / 2 
 
 
 
f) Engrenagens, Polias 
 Interligadas, Rotações em um 
mesmo eixo 
Engrenagens e Polias Interligadas: reduz ou 
amplia a velocidade angular ω, a feqüência de 
rotação fR, a aceleração angular α, o espaço 
angular θ, a velocidade tangencial v
r
, a 
aceleração tangencial ta
r
, o espaço linear s. No 
caso das engrenagens as velocidades angulares 
de rotação ficam invertidas mas no caso das 
polias interligadas estas ficam no mesmo 
sentido. 
 Engrenagens 
rA
rB 
FR 
FP = FR / 2 
O
FR FP 
O
Resistência
Potência 
Fulcro
Fulcro 
A 
Balança 
Potência 
ResistênciaB
Fulcro
Potência
Alicate 
Resistência 
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 14
 Rotações de mesmo eixo e raios diferentes: 
exige esforços diferentes na relação inversa dos 
raios. 
 
g) Parafuso 
 
 
 
1.13 - Mudança de 
Sistema de Referência 
Inercial 
 
Princípio da Relatividade (de 
Galileu) (reafirmado por Einstein na Teoria da 
Relatividade) : 
 
“ As Leis da Natureza são as mesmas se as 
medidas de suas grandezas físicas são feitas 
a partir de qualquer Sistema de Referência 
Inercial. ” 
 
ou 
 
“As leis da Física são as mesmas para 
observadores que estejam em qualquer 
Sistema de Referência Inercial.” 
 
Isto significa que não existe sistema referencial 
inercial privilegiado. Assim o que acontece se 
mudarmos de um Sistema de Referência Inercial 
para outro. 
 
Os Sistemas de Referência Inerciais são 
caracterizados pela propriedade terem suas 
velocidades constantes e acelerações nulas e de 
que nele valem as leis físicas, por exemplo: 
 
1ª Lei da Dinâmica ou Lei de Galileu ou Lei da 
Inércia ou 1ª Lei de Newton: 
 
“Estando um corpo livre da ação de forças, 
ele se move mantendo seu momento linear 
constante.“ 
 
Por isso um corpo livre de Forças segue uma 
linha reta ou uma trajetória retilínea. 
Esta Lei não é válida para Sistemas Acelerados 
ou seja, Referenciais Não Inerciais. 
 
2ª Lei da Dinâmica ou Princípio Fundamental 
da Dinâmica: 
 
“ A Força Resultante sobre um corpo é igual 
ao produto da sua massa pela sua 
aceleração.” 
ou 
 
 
 “ A Força Resultante que age sobre um 
corpo é igual á variação do seu momento 
linear no tempo. “ 
 
No caso em que a massa do corpo não muda ao 
longo do seu movimento a Força resultante pode 
ser dada pelo produto de sua massa pela sua 
aceleração. 
 
A força resultante é a soma de todas as forças 
que agem sobre o corpo. 
∑=
=
n
1i
iR FF
rr
 
A força resultante é a causa do movimento e a 
aceleração é o efeito físico produzido no corpo. 
 
Quem intermedeia a relação entre causa e 
efeito, ou seja, força e aceleração é a massa, 
cujo valor se for grande produzirá um efeito 
pequeno e se for pequena, deixará transparecer 
um efeito grande. 
amFR
rr
= 
 
3ª Lei da Dinâmica ou 3ª Lei de Newton ou 
Princípio da Ação e Reação: 
 
“ A toda Força de Ação corresponde a uma 
Força de Reação igual e contrária.” 
 
As forças somente existem aos pares, não 
existem forças isoladas na natureza. 
 
Forças de ação e reação nunca se equilibram, 
porque estão sempre aplicadas em corpos 
distintos, e não no mesmo corpo. 
 
Macaco de erguer carro 
usando parafusos.. 
FR 
FP < FR 
Mesmo eixo, mesma 
velocidade angular, raios 
diferentes, esforços de 
força diferentes. 
P
R
R
P
R
R
F
F
=
Mesmo eixo, mesma 
velocidade angular, raios 
diferentes, esforços de 
força diferentes. 
rA 
rB 
Polias Interligadas 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
15
a) Grupo de Galileu 
para a relação entre Sistemas Inerciais: 
 
 Consideremos um Sistema de Referência 
Inercial S’ com coordenadas ( x’ ; y’ ; z’ ), que 
possui velocidade v = vx em relação a outro 
Sistema de Referência Inercial S ( x ; y; z ). O 
Sistema de Referência S pode ser colocadas em 
função das coordenadas do Sistema de 
Referência S’, através das seguintes expressões 
das quais denominamos de Grupo de Galileu. 
 
 
onde 
=xv velocidade do Sistema de Referência S’ 
em relação ao Sistema de Referência S 
=u
r velocidade da Partícula P em relação ao 
Sistema de Referência S 
='u
r velocidade da Partícula P em relação ao 
Sistema de Referência S’ 
 
Assim temos que dado que as velocidades 
relativas, são dadas por SSSPSP vuu ''
rrr
−= , 
temos: 
 
Equações de Transformação de Galileu: 
 
tvx'x −= 
y'y = 
z'z = 
 
Velocidades Relativas: 
 
vuu x'x −= 
y'y uu = 
z'z uu = 
 
As equações de Galileu, ou chamado Grupo de 
Galileu, para estabelecer a relação entre um 
Sistema Inercial e outro Sistema Inercial com 
velocidade vx , em relação ao primeiro, em que 
as leis da Física, devem permanecer válidas. 
 
b) Grupo de Lorentz 
Para a teoria da relatividade, uma vez que 
associado ao Princípio da Relatividade existe 
outro Princípio que é o Princípio da Constância 
da Velocidade da Luz, de que não existe na 
natureza velocidade superior à velocidade da luz 
no vácuo, c (de constante) ou seja, ela é a 
mesma, em qualquer sistema de referência, em 
qualquer direção (isotropicamente), sendo uma 
velocidade finita. As equações da relação entre 
dois sistemas inerciais de modificam para as 
chamadas equações de Lorentz ou Grupo de 
Lorentz: 
)/(1
'
22 cv
tvxx
−
−
=
 
y'y =
 z'z = 
22
2
c/v1
x)c/v(t't
−
−
= 
 
Velocidades: 
)/(1
'
2cvu
vu
u
x
x
x
+
−
= 
)/(1
/1
'
2
22
cvu
cvu
u
x
y
y
+
−
=
 
)/(1
/1
'
2
22
cvu
cvu
u
x
z
z
+
−
=
 
 
1.14 – A Hierarquia das 
Ciências e suas 
dificuldades 
 
Na Hierarquia da Ciências e na ordem de suas 
dificuldades, podemos dizer que a estrutura mais 
básica que permitiu o desenvolvimento de todas 
as Ciências, e que a partir dela todas crescem e 
se aperfeiçoam é a Linguagem Conceitual, que 
aperfeiçoa as Ciências e que as Ciências a 
aperfeiçoa a medida que uma depende da outra. 
A segunda grande linguagem de importância 
impar que introduz a noção de quantidades das 
maneiras mais sofisticadas são as Ciências 
Matemáticas. Sem ela o desenvolvimento 
estaria intensamente limitado. No entanto, a 
Matemática cresce a medida que as outras 
Ciências vão dependendo dela e pedindo o seu 
acesso e é desta forma que ambas entram em 
evolução. Tem sua aplicação prática na Física, 
na Biologia, na Engenharia, na Medicina, nas 
Ciências da Personalidade, na Psicologia, na 
Psiquiatria, na Administração, na Contabilidade, 
nos Negócios Financeiros, na Economia, nas 
Negociações, em praticamente todos os campos 
do conhecimento humano . 
Acima dos alicerces da Matemática, sendo mais 
complexa e que no seu desenvolvimento 
necessitou de todas as ferramentas da 
Matemáticas e que não bastando precisou no 
seu feedback desenvolve-la ainda mais, está a 
Ciência da Natureza, a Física, que se coloca 
sobre e dependente do desenvolvimento da 
Matemática. Ciência da Natureza da Matéria, a 
física na sua diversidade de manifestações, 
busca modelar os mecanismos do 
funcionamento da matéria, da antimatéria, da 
energia, da entropia, da mecânica, da astrofísica, 
da quântica, das particulas elementares, da 
hidrodinâmica, da ótica, do Eletromagnetismo, 
da Termodinâmica, da Teoria Cinética, da 
Relatividade, da Gravitação, do Núcleo Atômico, 
da Química, da Biologia, dos Materiais, da Teoria 
de Campos, do Universo e de todas as 
z 
x
z’ 
u
r
xvv =
x’
P 
S
S’ 
u
r
’ 
- v
r
 
x
y y’ 
y y’
 x’ 
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 16
manifestações correlatas. Tem como aplicações 
tecnológicas, as Engenharias: Mecânica, 
Elétrica, Civil, Materiais, Produção, Química, 
Têxtil, Mecatrônica, etc. 
Acima da Física e mais complexa que esta, e no 
entanto menos desenvolvida, está a Biologia 
que depende das duas primeiras e do seu 
desenvolvimento, para sobreviver e se 
aperfeiçoar, tendo que ir inclusive buscar apoio 
para suas particularidades que não existem 
como objeto de pesquisa, aprioristicamente nas 
anteriores. A Biologia depende do ferramental da 
Linguagem, da Matemática e da Física. Tem 
como aplicação prática as variadas áreas da 
Medicina, etc. 
 
Na hierarquia de sequência e fundamentação, 
nos alicerces da Linguagem, Matemática, Física 
e Biologia, temos as Ciências da Personalidade, 
extremamente complexa e dependente das 
anteriores, entrando em intersecção com ocampo da Neurociências, das substâncias 
hormonais, das Energias, mas tendo como 
objeto outros estudos em seus paradígmas 
especialicimos, como a necessidade de estudar 
as Emoções, o Sentimentos, o Pensamento, a 
Vontade, a Consciência. Tem como Ciências de 
Aplicação, a Psicologia, a Filosofia, a Advocacia, 
a Medicina Psiquiátrica, as Ciências Sociais. 
 
. 
 
 
 
Ciências Matemáticas 
Ciências Físicas 
Ciências da Personalidade 
Ciências da Coletividade de Personalidades 
Ciências Biológicas 
Linguagens Conceituais 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 Cap. 1 
 
17
Outra das Ciências dependente das anteriores e 
ainda mais complexa é a Ciência da Coletividade 
de Consciências. É a menos desenvolvida, de 
menor profundidade, mas no entanto de maior 
abrangência no futuro. 
Suas aplicações práticas estão nas Ciências 
Sociais, Ciências Políticas, Ciências da Saúde, 
Diplomacia, Didática, Relações Internacionais, 
Ciências Jurídicas de Coletidades, 
Convivialidades, Religiões, Universidades, 
Metrópolis, Filosofia. 
Podemos representar graficamente o 
desenvolvimento destas relações e ciências, 
aproximadamente como no diagrama dado. 
 
A Ciências irão estendendo-se nas laterais a 
medida que as outras Ciências forem se 
autocompreendendo-se e entendendo suas 
inter-relações, indo buscar parâmetros e 
modelos necessários. A matemática poderá 
assim, aumentar a sua altura de 
profundidade e sua largura de extensão de 
idéias e aplicabilidades. O mesmo ocorrerá 
com as outras Ciências que irão a sua 
largura e altura a medida que souberem 
buscar nos alicerces os paradígmas e 
princípios necessários a sua própria 
evolução. Portanto, o mesmo ocorrerá com a 
Física, a Biologia, as Ciências da 
Personalidade e as Ciências das 
Coletividade de Personalidades. 
 
A matemática irá se estendendo nas laterais 
a medida que as outras Ciências forem se 
autocompreendendo e entendendo a 
importância da aplicação da Matemática em 
seus paradígmas, vindo buscar nela 
parâmetros e modelos necessários. A 
matemática poderá assim, aumentar a sua 
altura de profundidade e sua largura de 
extensão de idéias e aplicabilidades. O 
mesmo ocorrerá com as outras Ciências que 
irão a sua largura e altura a medida que 
souberem buscar nos alicerces os 
paradígmas e princípios necessários a sua 
própria evolução. Portanto, o mesmo 
ocorrerá com a Física, a Biologia, as 
Ciências da Personalidade e as Ciências das 
Coletividade de Personalidades. 
 
 
1.15 – Resumo do 
Capítulo 1 
 
1. Definição de Mecânica: 
Estuda os estados de movimento ou de repouso dos corpo 
físicos. Subdivide-se em: 
1) Estática – estuda a inércia 
a) inércia de tranlação : todo corpo tende a permanecer 
em repouso ou MRU a não ser que uma força o tire deste 
estado. 
b) inércia de rotação : todo corpo tende a se manter sem 
rotação ou em rotação uniforme a não ser que um torque 
o tire deste estado . 
2) Dinâmica - Estuda o movimento dos corpos. 
a) Cinemática - Estuda os fenômenos físicos 
observáveis do movimento (s, t, v, a). 
b) Dinâmica ou Cinética – Estuda os modelos ou 
teorias que explicariam as causas dos efeitos físicos 
observáveis da cinemática (F, τ, I, p, Iθ ,L, E, τ). 
 
2. Principais Variáveis da Natureza: 
Energia 
Entropia 
 Momentos Lineares 
 Momentos Angulares 
 Matéria 
 Antimatéria 
 Espaço 
 Tempo 
 Massa 
 Cargas Elétricas 
 Temperatura 
 Campos 
 Matéria Orgânica 
 Organizações Biológicas 
 Informação 
 Sentimento 
 Pensamento 
 Vontade 
 Imaginação 
 Consciência 
 
3. Princípios de Conservação (Simetrias da Natureza) 
Princípio de Conservação de Energia 
 (simetria no tempo) 
Princípio de Conservação de Momentum 
 (simetria no espaço linear) 
Princípio de Conservação de Momento Angular 
 (simetria no espaço angular) 
Princípio de Conservação de Carga Elétrica 
 Principio de Conservação de Matéria 
Princípio de Conservação de Matéria-Energia, etc. 
4 - Partícula, Sistema de Partículas, Corpo Rígido e Sistemas de 
Corpos Rígidos: 
Partícula : 
(a) massa não desprezível 
(b) dimensões desprezíveis 
(2) Corpo Rígido: 
(a) a distância entre dois pontos quaisquer (AB) é fixa ; 
(b) Dimensões não desprezíveis. 
(3) Sistemas de partículas ( gás) 
(4) Sistema de Corpos Rígidos 
 
5 – Movimentos de Translação, de Rotação e Movimento Geral: 
Translação: direção de ligação entre dois pontos quaisquer AB do 
corpo, não varia ao longo do movimento. 
Rotação: direção AB, qualquer, de ligação entre dois pontos do 
corpo varia a sua direção, girando em torno de um eixo 
perpendicular fixo. 
Geral: translação e rotação. 
 
6 – Centro de Massa: 
 
∑
∑
=
i
ii
C m
mr
r
M
r
r ; 
∫
∫=
dm
dmr
r
MC
r
r 
Centróide: 
 
 
 
 
 
Baricentro: 
 
 
 
7 - Simplificações produzidas peloCentro de Massa (CM): 
O Centro de Massa de um Sistema de Partículas, é o ponto que se 
pode estudar, como se nele estivesse concentrado, toda a dinâmica 
(estado de movimento não inercial) ou estática (estado de 
movimento inercial ou repouso), do movimento de translação de um 
corpo. 
∑
∑=
i
ii
C V
Vr
r V
r
r
∑
∑=
i
ii
C A
Ar
r A
r
r
∑
∑=
i
ii
C L
Lr
r L
r
r
∫
∫=
dV
dVr
r VC
r
r
∫
∫=
dA
dAr
r AC
r
r
∫
∫=
dA
dAr
r VC
r
r
∑
∑=
i
ii
C P
Pr
r G
r
r
∫
∫=
dP
dPr
r GC
r
r
CMiiCM vmvmp
rrr
== ∑
 
 Cap. 1 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza-Capítulo 1 - Conceitos Fundamentais - 10ª Edição - 2008 18
 
 
 
 
 
 
8 – Dimensões: 
Dimensão zero: o ponto : s=0 
Dimensão um: a reta : 
Dimensão 1,4: linha curva 
Dimensão dois: plano: dois eixos ortogonais 
Dimensão 2,6: plano encurvado 
Dimensão 3: espaço: 3 eixos ortogonais 
Dimensão 3,2: espaço curvo 
Dimensão 4: 
Dimensão N 
 
9 - Sistemas de Referência: 
Sistema de Referência Inercial (SRI): As leis da Física Clássica são 
descritas e são válidas em qualquer Sistema de Referencia Inercial. 
O Sistema Referencial Inercial é aquele que não está acelerado. Não 
existe um Sistema Inercial Absoluto, mas dentro de um certo 
intervalo de tempo considerado, na prática, podemos adotá-los 
válidos. 
 
10 – Distâncias no Universo conhecido 
 
Distâncias de objetos 
astrofísicos 
Distâncias baseadas na
velocidade da luz 
Terra-Lua 1,27 segundos-luz 
Sol-Mercúrio 3,22 minutos-luz 
Sol-Vênus 6 minutos-luz 
Sol-Terra 8,33 minutos-luz 
Sol-Marte 12,7 minutos-luz 
Sol-Júpiter 43,3 minutos-luz 
Sol-Saturno 1,32 horas-luz 
Sol-Urano 2,65 horas-luz 
Sol-Netuno 4,17 horas-luz 
Sol-Plutão 5,46 horas-luz 
Sol-Eris 13,4 horas-luz 
Sol-α-Centauro 4,3 anos-luz 
Sol-Centro Galáxia 23,3 mil anos-luz 
Raio da Galáxia10 mil anos-luz 
Diâmetro da Galáxia 106 mil anos-luz 
Via Láctea -Andrômeda 2,22 milhões anos-luz 
Galáxia longínqua 13 Bilhões de anos-luz 
Beirada do Universo 13,6 Bilhões anos-luz 
Estrelas na Galáxia ≈ 100 Bilhões 
Número de Galáxias ≈ 10 Bilhões 
 
 
11 - Variáveis Fundamentais: 
1) Inércia 
2) Massa 
3) Momento de Inércia 
4) Momentum: 
5) Força Resultante 
6) Momento Angular 
7) Torque Resultante ou Momento Resultante: 
 
12 – Máquinas Simples: 
1) Cunha 
 
2) Plano Inclinado 
 
3) Alavanca 
 
4) Roda 
 
5) Roldana 
 
6) Engrenagens, Polias Interligadas 
 
7) Parafuso 
 
 
13 - Mudança de Sistema de Referência Inercial: 
Princípio da Relatividade: “As leis da Física são as mesmas para 
observadores que estejam em qualquer Sistema de Referência 
Inercial.” 
1ª Lei da Dinâmica ou Lei de Galileu ou Princípio da Inércia ou 1ª 
Lei de Newton: “Um corpo permanece em repouso ou MRU a não 
ser que uma força o tire deste estado de inércia.“ 
2ª Lei da Dinâmica ou 2ª Lei de Newton ou Princípio 
Fundamental da Dinâmica: “ A Força Resultante sobre um corpo é 
igual ao produto da massa pela aceleração.” 
3ª Lei da Dinâmica ou 3ª Lei de Newton ou Princípio da Ação e 
Reação: “ A toda Força de Ação corresponde a uma Força de 
Reação igual e contrária.” 
Grupo de Galileu: x ’ = x - vx t ; y ’ = y ; z ’ = z ; t ’ = t 
Grupo de Lorentz: x ’ = 
)c/v(
tvx
221 −
− ; y ’ = y ; z ’ = z ; t ’ = 
22
2
1 c/v
)c/v(xt
−
− ; Para altas velocidades. 
 
14 – Hierarquia das Ciências e suas dificuldades 
 
 
 
 
 
Ciências Matemáticas 
Ciências Físicas 
Ciências da Personalidade 
Ciências da Coletividade de Personalidades 
Ciências Biológicas 
Linguagens Conceituais 
O
CMiiR amamF
rrr
== ∑
ω=∧= ∑
rrrr
IvmrL iiiR
α=∧=τ ∑
rrrr
IFr iiR
2xs ∆=
22 yxs ∆+∆=
2222 wzyxs ∆+∆+∆+∆=
222 zyxs ∆+∆+∆=
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 19 
 
 
 
2.1 - Definição e Projeção 
de Vetores 
 
Definição: Vetores são grandezas 
matemáticas utilizados para representações 
físicas de uma grandeza, que possuem, além da 
intensidade, também direção e sentido no 
espaço físico. Um vetor tem uma origem (A) e 
uma extremidade (B). Se a grandeza física que 
atua no corpo tiver de representar outras 
características, além das três coordenadas, 
atuando em outros setores do corpo físico, como 
tensão, tração, pressão, densidade e formato do 
corpo caracterizará outros espaços adicionais e 
então só poderá ser representado através de um 
tensor. O vetor é um caso particular de tensor. 
Representação de um vetor no espaço 
tridimensional. 
 
 
Em um Sistema de Coordenadas Cartesiano ou 
Retangular o vetor F
r
 pode ser escrito como 
combinação linear de seus eixos coordenados 
que são ortogonais e linearmente independentes 
( L.I. ): 
 
)kcosjcosi(cosFˆFF zyx
rrrr
θ+θ+θ=λ= 
 
onde λ̂ é o versor ou vetor unitário que fornece 
a direção e sentido do vetor F
r
. O versor é 
composto pelos cossenos diretores, ou seja, que 
dão a direção do vetor F. 
 
 
 
 
 
 
onde θx , θy e θz são os ângulos diretores do 
vetor, ou seja, o ângulo que o vetor faz com 
cada eixo coordenado com na figura: 
 
kcosFjcosFicosFF zyx
rrrr
θ+θ+θ= 
Os cossenos diretores compõem o versor do 
vetor F: 
kji zyx
rrr
θ+θ+θ=λ coscoscosˆ 
 
Como :1=λ
r
 
 
1coscoscos 222 =θ+θ+θ zyx 
 
 
 
Conhecendo-se os ângulos diretores θx , θy e θz, 
o vetor F
r
 pode ser escrito através de suas 
projeções nos eixos. 
 
O vetor posição da força em relação à origem O 
do sistema de coordenadas é representada pela 
posição de qualquer ponto da linha de ação das 
forças em relação a O. Podemos representá-lo 
em qualquer sistema de referência, como uma 
diferença de pontos: 
 
OAr −=
r
 
 
ou OPr −=
r
 , ou ODr −=
r
 
 
No sistema de coordenadas cartesianas: 
 
k)zz(j)yy(i)xx(r OAOAOA
rrrr
−+−+−= 
 
θy 
O ≡A
 F
r
 
z
x
y
B 
θx
θ=θz
 Fy
 Fx
 Fz
ϕ 
extremidade B
origem A 
vetor F
r
 FF =
r
 = intensidade do vetor
z 
x 
y
O 
A 
B λ̂
λ̂ 
C r
r
 
___________________________________________________________ 
Capítulo 2 
Vetores 
___________________________________________________________ 
D
20 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
O versor λ̂ que indica a direção do vetor F pode 
ser obtido pela razão entre a diferença entre 
pontos que estão na mesma linha de ação da 
força fazendo o sentido como o ponto da 
extremidade do vetor menos a origem do vetor, 
sobre o módulo desta diferença. 
AD
AD
F
Fˆ
−
−
==λ r
r
 
D – A = coordenadas do ponto D menos do 
ponto A (extremidade menos origem). 
k)zz(j)yy(i)xx(AD ADADAD
rrr
−+−+−=− 
2
AD
2
AD
2
AD )zz()yy()xx(AD −+−+−==− l 
 
Em coordenadas cartesianas ou retangulares os 
pontos possuem suas três coordenadas: 
 
D ≡ ( xD ; yD ; zD ) 
A ≡ ( xA ; yA ; zA ) ; 
D – A = ( xD – xA ; yD – yA ; zD – zA ) 
 
kFjFiFF zyx
rrrr
++= 
 
222
zyx FFFF ++= 
 
kcosjcosicosk
F
Fj
F
F
i
F
F
F
Fˆ
zyx
zyx
rrrrrr
r
θ+θ+θ=++==λ
 
Cossenos diretores e ângulos diretores com os 
eixos coordenados, dados por: 
 
F
Fcos xx =θ ⇒ F
Fcosarc xx =θ 
 
F
F
cos yy =θ ⇒ F
F
cosarc yy =θ 
 
F
Fcos zz =θ ⇒ F
Fcosarc zz =θ 
 
kcosFjcosFicosFF zyx
rrrr
θ+θ+θ= 
 
Outra forma de escrever o vetor F seria 
utilizando o módulo de F e os ângulos das 
coordenadas esféricas θ=θz e ϕ da figura acima: 
 
kFjsenFiFF
rrrr
θ+ϕθ+ϕθ= coscoscoscos 
 
No plano: 
No caso de um vetor bidimensional sua 
combinação linear será em função apenas de 2 
versores jei
rr
: 
 
 
 
jFiFF yx
rrr
+= 
jFiFF yx
rrr
θ+θ== coscos 
ji yx
rr
θ+θ=λ coscosˆ 
1coscos 22 =θ+θ yx 
onde : 
 
 Fx = F cos θx = F sen θy e 
 
 Fy = F sen θy = F cos θx 
 
Observe que para se projetar o vetor sobre um 
eixo multiplica-se o módulo do vetor pelo: 
(a) cosseno do ângulo que está “em baixo” do 
vetor quando ele se projeta, ou seja, o 
ãngulo entre o vetor e sua projeção; 
(b) ou então pelo seno do ângulo que esta nas 
“costas” do vetor de onde ele vai se projetar, 
ou seja, o seno do ângulo que está entre o 
vetor e o eixo que está a 90° do eixo onde 
ele se projeta. 
 
 
 
 
 
O módulo do vetor é dado por: 
 
22
yx FFFF +==
r
 
 
e seus ângulos diretores são: 
x
y
x F
F
arctg=θ 
 
Fx = F cos θx 
 Fy =F cos θy
θx
θy F 
 x 
 y (a) 
(a) para projetar multiplica-se o módulo do vetor 
F pelo cosseno do ângulo que está entre o vetor 
e o local onde ele vai se projetar . 
y
x O
F
r
Fx 
Fy
 
θx
θy
 Fx = F sen θy 
 Fy = F sen θx 
 F 
 x 
 y (b) 
(b) para projetar multiplica-se o módulo do vetor 
F pelo seno do ângulo que está entre o vetor e o 
eixo a 90° de onde ele vai se projetar. 
θy
θx 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 21 
 
 
y
x
y F
Farctg=θ 
 
Desta forma um vetor F
r
 têm as 3 características 
gerais importantes: 
 
a) Módulo ou Intensidade ou Tamanho do 
vetor: F
r
onde no exemplo abaixo é igual a 
4,5 unidades de medida 
 
 
b) Direção : a direção é designada indicando o 
ângulo que o vetor faz com a horizontal. 
Uma direção tem dois sentidos 
 
c) Sentido: dada uma direção, dela resultam 
dois sentidos: diagonal para cima ou 
diagonal para baixo. 
 
 
 De forma geral, a direção e sentido se 
designam com o ângulo α (0 ≤ α ≤ 360º) que o 
vetor faz com a horizontal ou eixo x. 
 
 
2.2 - Sistemas de 
 Coordenadas 
 
Um vetor pode ser colocado em Sistemas de 
Coordenadas distintos, mas antes disso vamos 
definir de forma rápida o que chamamosde 
Propriedades das Transformações Ortogonais. 
Um Sistema de Coordenadas serve para 
descrever um Sistema Referencial. 
 
2.1.1 – Transformações 
 Ortogonais: 
 
Sendo 21 ê,ê dois versores (vetores unitários) 
perpendiculares entre si e 21 'ê,'ê dois outros 
do mesmo plano. Como cada conjunto forma 
uma base, cada um pode ser posto como 
combinação linear do outro: 
 
2121111 êaêa'ê += 
2221212 êaêa'ê += 
 
o que podemos escrever de forma reduzida 
como: 
∑
=
=
2
1j
jiji êa'ê 
ou considerando que sempre há soma para 
índices repetidos, podemos escrever 
considerando que i, j = 1, 2: 
jiji êa'ê = 
 
como são perpendiculares, o produto escalar de 
um pelo outro (distinto) é nulo e o produto 
escalar por si mesmo é unitário: 
 
0)ˆˆ()ˆˆ('ˆ'ˆ 22212121211121 =++= eaeaeaeaee 
 
0aaaa'ê.'ê 2212211121 =+= (I) 
 
1)êaêa(.)êaêa('ê.'ê 21211121211111 =++= 
1aa'ê.'ê 12211211 =+= (II) 
 
1)êaêa(.)êaêa('ê.'ê 22212122212122 =++= 
1aa'ê.'ê 22221222 =+= (III) 
 
Portanto temos das transformações ortogonais 
como resultado a relação de seus coeficientes:: 
 
0aaaa 22122111 =+ (I) 
 
1aa 122112 =+ (II) 
 
1aa 222212 =+ (III) 
 
As expressões (I) , (II) e (III) são chamadas de 
condições de ortogonalidade pois elas garantem 
que os versores dados são unitários e 
ortogonais. 
 
Usando matrizes podemos perceber que estas 
propriedade de ortogonalidade, garantem que a 
 
1ê
2ê
1'ê
2'ê
Diagonal para 
cima 
α Diagonal para baixo 
α
0 
1 
2 
3 
4 
5
λ̂ 
λ̂ = versor = vetor unitário = indica a direção do vetor 
 e tem módulo de uma unidade (1 m, 1 km, ...) ou (1 N, 1 kN) etc. 
F
r 
λ= ˆFF
r = 4,5 λ̂ 
α
ou α 
α-180°
α ≤ 180º 
β ≥ 180º = α + 180 
α-180° < 0° 
22 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 
 
 
 
matriz inversa seja a própria transposta, 
facilitando a relação: 
 
ii eA'e = 
 
que representa 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1
ê
ê
aa
aa
'ê
'ê
 
onde 
 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
2212
2111
2221
1211
aa
aa
aa
aaAA t 
 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡==
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++=
10
01
22
2
21
2
12221121
2212211112
2
11
2
IAA
aaaaaa
aaaaaaAA
t
t
 
 
onde os termos da matriz fornecem resultados 
idênticos aos das condições de ortogonalidade 
(I) , (II) e (III) acima, e portanto 1t AA −= , 
assim: 
ii eA'e = 
 
i
t
i
t eAA'eA = 
 
i
t
i 'eAe = 
 
“Para transformações ortogonais, as 
matrizes de transformação inversa A-1 
são realizadas pelas matrizes de 
transformação transposta A t , uma vez 
que em transformações ortogonais: 
A -1 = A t ” . 
 
a) Sistema de Coordenadas 
Cartesianas ou Retangulares 
 
 Com Coordenadas ( x ; y ; z ) ou ( x1 ; x2 ; x3) 
a Base de Versores Unitários será 
( )zyx eee ˆ;ˆ;ˆ ou ( )321 xxx eee ˆ;ˆ;ˆ ou 
( )k̂;ĵ;î ou ( )k;j;i rrr , assim: 
k̂zĵyîxr ++=
r
 
 
Vetor Posição em coordenadas 
retangulares: 
 
kzjyixr
rrrr
++= 
 
Vetor Deslocamento infinitesimal : 
 
kdzjdyidxrd
rrrr
++= 
 
Espaço elementar: 
222 dzdydxds ++= 
 
Volume elementar: 
 
dV = dx dy dz 
 
Áreas elementares: 
dσz = dx dy 
dσy = dx dz 
dσx = dy dz 
 
Vetor Velocidade : 
 
kvjvivk
td
zdj
td
ydi
td
xd
td
rdrv zyx
rrrrrrr
&rr ++=++=== 
 
Vetor Aceleração: 
 
k
td
zdj
td
ydi
td
xd
dt
rdr
td
vdva 2
2
2
2
2
2
2
2 rrrr&&r
r
&rr ++=====
 
kajaiak
td
vdj
td
vd
i
td
vda zyxz
yx
rrrrrrr
++=++= 
 
O operador matemático del ou nabla é 
 
k
z
j
y
i
x
rrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
 
É um operador que denota uma característica de 
medida de uma variação vetorial. Se aplicado a 
um escalar se transforma em um vetor 
denominado gradiente que indica a direção de 
maior crescimento do mapeamento escalar. Se 
x
y 
r
r
kzjyixr
rrrr
++=
x
z
y 
Coordenadas cartesianas ou retangulares: P ≡ ( x , y , z ) 
P
O
z 
k
r
j
r
i
r
z
ρ
x
z
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª Edição - 2008 Cap. 2 23 
 
 
aplicado a um vetor através de um produto 
escalar, se transforma em um escalar que 
fornece uma proporcionalidade com as fontes de 
origem da divergência do vetor. Se aplicado a 
um vetor através de um produto vetorial, se 
transforma em um vetor que fornece as fontes de 
rotação desse vetor. 
 
O Gradiente de uma função escalar f = f ( 
x, y, z ), a transforma em um vetor que aponta 
sempre no sentido de maior crescimento dessa 
função: 
k
z
fj
y
fi
x
fffgrad
rrr
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇= 
 
O Gradiente mede a taxa vetorial de máxima 
variação da função f , apontando sempre nesta 
direção de sua máxima variação de crescimento, 
em cada ponto. 
 
O Divergente de uma função vetorial 
kAjAiAA zyx
rrrr
++= , fornece um escalar 
da qual é proporcional à fonte que origina a 
divergência do vetor: 
 
z
A
y
A
x
AAAdiv zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇=
rr
 
Se o divergente for negativo, significa que o 
vetor A
r
 esta convergindo para a fonte, se 
positivo ele diverge da fonte. O divergente do 
vetor A
r
, é proporcional à intensidade da fonte 
que o produz. 
 
O Rotacional de uma função vetorial 
kAjAiAA zyx
rrrr
++= , quando diferente de 
zero, mostra quais fontes dão origem à 
rotacionalidade desse vetor. Isto significa 
também que tal campo gerado de rotacional 
diferente de zero, gera ao atuar a dissipação de 
energias no espaço. 
Sendo igual zero, o rotacional de um campo A
r
, 
isto trás a indicação de que este campo se 
caracteriza por ser conservativo, ou seja, ele 
deriva de uma função escalar dependente e 
variável com os pontos ou posições no espaço, 
uma função que só depende de cada ponto e 
assim denominada de função potencial V. Desta 
forma este campo não dissipa energia pelo 
espaço e se caracteriza como: 
rot A
r
 = 0 então A
r
 = grad V 
 
Calcula-se o rotacional de um campo A
r
 como: 
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∧∇=
zyx AAA
zyx
kji
AArot
rrr
rr
 
 
k
y
A
x
A
j
x
A
z
A
i
z
A
y
AA
xy
zx
yz
r
r
rr
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=∧∇
 
 
O Laplaciano de uma função escalar ou o 
divergente do gradiente é definido como: 
 
2
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
ffffgraddivflap
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=∇⋅∇==
 
O Dalambertiano de uma função escalar: 
 
2
2
22
2
2
2
2
2
t
f
v
1
z
f
y
f
x
fffdal
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=Π= 
 
O Laplaciano de um vetor: 
 
( ) ( ) ( )kAjAiAA z2y2x22 rrrr ∇+∇+∇=∇ 
 
Teorema de Gauss ou 
Teorema da Divergência: 
 
“Pode-se transformar uma integral do fluxo de 
um vetor A através de uma superfície (área) 
fechada S ( integral ao longo de toda a superfície 
fechada S, do vetor A
r
, feito seu produto 
escalar com os versores normais n̂ à superfície 
e que saem da superfície), em uma integral de 
volume desta superfície fechada do divergente 
do vetor.” ou 
 
“O fluxo do vetor A
r
 através de uma 
superfície fechada S é igual à integral 
do divergente de A
r
 ao longo do volume 
V interno à superfície S.“ 
 
 
∫∫ =⋅
VS
dVAdivdSnA
rr
ˆ 
 
 
 
Teorema de Stokes ou 
Teorema do Rotacional: 
 
“Pode-se transformar uma integral de linha 
fechada (ou circuitação de um vetor ao longo de 
n̂n̂
V S 
n̂
n̂
24 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 2 - Vetores - 10ª